机器人学基础 第4章 机器人动力学 蔡自兴.
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3. 坐标系的位置变化如下:初始时,坐标系与重合,让坐标系绕轴旋转角;然后再绕旋转角。
给出把对矢量的描述变为对描述的旋转矩阵。
解:坐标系相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变换顺序为依次右乘。
对描述有;其中。
9. 图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。
(1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
(2)作图说明每个从右至左的变换序列。
(3)作图说明每个从左至右的变换序列。
解:(1)方法1:如图建立两个坐标系、,与2个楔块相固联。
图1:楔块坐标系建立(方法1)对楔块1进行的变换矩阵为:;对楔块2进行的变换矩阵为:;其中;所以:;对楔块2的变换步骤:①绕自身坐标系X轴旋转;②绕新形成的坐标系的Z轴旋转;③绕定系的Z轴旋转;④沿定系的各轴平移。
方法2:如图建立两个坐标系、与参照坐标系重合,两坐标系与2个楔块相固联。
图1:楔块坐标系建立(方法2)对楔块1进行的变换矩阵为:;对楔块2进行的变换矩阵为:;所以:;。
备注:当建立的相对坐标系位置不同时,到达理想位置的变换矩阵不同。
(2)、(3)略。
2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。
轴1和轴2垂直。
试求其运动方程式。
解:方法1建模:如图3建立各连杆的坐标系。
图3:机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表1。
表1:机械手的连杆参数该3自由度机械手的变换矩阵:;;;;方法二进行建模:坐标系的建立如图4所示。
图4:机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表2。
表2:机械手的连杆参数;;;3. 图3-12 所示3 自由度机械手,其关节1与关节2相交,而关节2与关节3平行。
图中所示关节均处于零位。
各关节转角的正向均由箭头示出。
指定本机械手各连杆的坐标系,然后求各变换矩阵,和。
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3.坐标系}B {的位置变化如下:初始时,坐标系}A {与}B {重合,让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角;然后再绕B X 旋转φ角。
给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。
解:Θ坐标系}B {相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变换顺序为依次右乘。
∴对P A 其中T A B 9.图 (1 (2(3解:(1对楔块对楔块其中02T 所以:⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣=1000001000011T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣-=1000401000012T 对楔块2的变换步骤:① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90; ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180; ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90;④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。
方法2:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合,两坐标系与2个楔块相固联。
图1:楔块坐标系建立(方法2)对楔块1进行的变换矩阵为:)90,()90,(1z Rot y Rot T =; 对楔块2进行的变换矩阵为:3213⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10001000111111111θθθθθθs L c s c L s c A ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000222222222θθθθθθs L c s c L s c A ; ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010*******333θθθθc s s c A ;方法二进行建模:坐标系的建立如图4所示。
图4:机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表2。
表2:机械手的连杆参数连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。
机械手的D-H 参数值见表3。
表3:机械手的连杆参数注:关节变量04321====θθθθ。
将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=1000010010000012110L L T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010********321L T ; ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001432L T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100001000013末T 方法2建模:⎦⎣1000⎦⎣10001. 已知坐标系}C {对基座标系的变换为:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000131004010C ;对于基座标系的微分平移分量分别为沿X 轴移动0.5,沿Y 轴移动0,沿Z 轴移动1;微分旋转分量分别为0.1,0.2和0。
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3.坐标系{B}的位置变化如下:初始时,坐标系{A}与{B}重合,让坐标系{B}绕Z B轴旋转角;然后再绕XB旋转角。
给出把对矢量B P的描述变为对A P描述的旋转矩阵。
解:坐标系{ B}相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变换顺序为依次右乘。
对A P描述有A P B T B P;其中A T Rot(z, )Rot(x,)。
9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。
(1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
(2)作图说明每个从右至左的变换序列。
(3)作图说明每个从左至右的变换序列。
解:(1)方法1:如图建立两个坐标系{qx^zj、{o2x2y2z2},与2个楔块相固联。
图1:楔块坐标系建立(方法1)对楔块1进行的变换矩阵为:T1 Rot(y,90)Rot(z,90);对楔块2进行的变换矩阵为:10 0 0010 5 0 0 10 0 0 0 10 0 1 00 0 1 21 0 0 010 0所以: T 1;T 20 1 0 0 0 1 0 40 0 0 11对楔块 2的变换步骤:① 绕自身坐标系X 轴旋转90 ; ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转180 ; ③ 绕定系的Z 轴旋转90 ; ④沿定系的各轴平移(3,0,4)。
与2个楔块相固联。
对楔块1进行的变换矩阵为:T 1 Rot(y,90)Rot(z,90); 对楔块2进行的变换矩阵为:T 2 Trans( 3,0,4)Rot(z,90o );TRot(x,90o )Rot(z, 180°);其中0T方法2:如图建立两个坐标系{o 1x 1y 1z 1}{QX z y z Z ?}与参考坐标系重合,两坐标系(-】,5, O ( 1),5, 2,1)(1, 5T Z1)II(L 0, 0,1)(1,4, ai)图1 :楔块坐标系建立(方法2)(-〔421)/y(1,9, 0 1)T2 Trans( 2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90o)Rot(x,180o)Rot(z, 90°);0 0 1 0 0 0 1 21 0 0 0 1 0 0 0所以:T ;T21 0 1 0 0 20 1 0 90 0 0 1 0 0 0 1备注:当建立的相对坐标系位置不同时,到达理想位置的变换矩阵不同。
其余的比较简单,大家可以自己考虑;3.坐标系}B {的位置变化如下:初始时,坐标系}A {与}B {重合,让坐标系}B {绕BZ 轴旋转θ角;然后再绕B X 旋转φ角;给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵;解: 坐标系}B {相对自身坐标系动系的当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变换顺序为依次右乘;∴对P A 描述有P T P BA B A =;其中),(),(φθx Rot z Rot T A B =;9.图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体;要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置;1用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转;2作图说明每个从右至左的变换序列; 3作图说明每个从左至右的变换序列;解:1方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ,与2个楔块相固联;图1:楔块坐标系建立方法1对楔块1进行的变换矩阵为:)90,()90,(1z Rot y Rot T =; 对楔块2进行的变换矩阵为:)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --=;其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ;所以:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤:① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90; ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180; ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90; ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-;方法2:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合,两坐标系与2个楔块相固联;图1:楔块坐标系建立方法2对楔块1进行的变换矩阵为:)90,()90,(1z Rot y Rot T =; 对楔块2进行的变换矩阵为:)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ;所以:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10009010000121002T ; 备注:当建立的相对坐标系位置不同时,到达理想位置的变换矩阵不同; 2、3略;2.图3-11给出一个3自由度机械手的机构;轴1和轴2垂直;试求其运动方程式; 解:方法1建模:如图3建立各连杆的坐标系;图3:机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表1;表1:机械手的连杆参数该3自由度机械手的变换矩阵:32130A A A T =;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100001000111111111θθθθθθs L c s c L s c A ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000222222222θθθθθθs L c s c L s c A ; ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100000033333θθθθc s s c A ; 方法二进行建模:坐标系的建立如图4所示;图4:机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表2;表2:机械手的连杆参数⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010*******111θθθθc s s c A ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000001000221222θθθθc s L s c A ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100000332333θθθθc s L s c A ; 3.图3-12所示3自由度机械手,其关节1与关节2相交,而关节2与关节3平行;图中所示关节均处于零位;各关节转角的正向均由箭头示出;指定本机械手各连杆的坐标系,然后求各变换矩阵10T ,21T 和32T ;解:对于末端执行器而言,因为单独指定了末端执行器的坐标系,则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系; 方法1建模:按照方法1进行各连杆的坐标系建立,建立方法见图5;图5:机械手的坐标系建立连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合;机械手的D-H 参数值见表3;表3:机械手的连杆参数注:关节变量04321====θθθθ;将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=1000010010000012110L L T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010********321L T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001432L T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100001000013末T 方法2建模:按照方法2进行各连杆的坐标系建立,建立方法见图6;图6:机械手的坐标系建立3自由度机械手的D-H 参数值见表4;表4:机械手的连杆参数注:关节变量04321====θθθθ;将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=100010000100012110L L T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000010010000121T ; ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001332L T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100001000143L T 末1. 已知坐标系}C {对基座标系的变换为:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000131004010C ;对于基座标系的微分平移分量分别为沿X 轴移动,沿Y 轴移动0,沿Z 轴移动1;微分旋转分量分别为,和0;(1) 求相应的微分变换;(2) 求对应于坐标系}C {的等效微分平移与旋转; 解:1对基座标系的微分平移:T d ]1,0,5.0[=;对基座标系的微分旋转:T ]0,2.0,1.0[=δ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∆0000101.02.001.0005.02.000; 相应的微分变换:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∆=00005.01.02.000001.05.0002.0c dc 2由相对变换C 可知n 、o 、a 、p ,5.0))((=+⨯⋅=d p n d x cδ;5.0))((=+⨯⋅=d p o d y c δ;0))((=+⨯⋅=d p a d z cδ0=⋅=δδn x c;1.0=⋅=δδo y c ;2.0=⋅=δδa z c对应于坐标系}{C 的等效微分平移:]0;5.0;5.0[=d c ;微分旋转:]2.0;1.0;0[=δc;2. 试求图所示的三自由度机械手的雅可比矩阵,所用坐标系位于夹手末端上,其姿态与第三关节的姿态一样; 解:设第3个连杆长度为3L ;1使用方法1建模,末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合,使用微分变换法;图7:机械手的坐标系建立表5:D-H 参数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=100001000)()(0)()(22323222323231θθθθθθθθθθs L c s c L s c T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010*********32θθθθc s s c T ;E T =33; 由上式求得雅可比矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11000000000000003232θθc L s L J T; 2使用方法2建模,使用微分变换法;图8:机械手的坐标系建立表6:D-H 参数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++-+=10000)()(01000)()(223232221323231θθθθθθθθθθs L c s c L L s c T ;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010*********32θθθθc s L s c T ;E T =33;由上式求得雅可比矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=11000)(00)(00000032322213232θθθθθθθc s c L L c L s L J T;。