机器人学数学基础

由 August Ferdinand Möbius 提出的齐次坐标（Homogeneous coordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理， 齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如，2D 齐次坐标 是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w，变成(x, y, w)，其中笛卡尔坐标系中的大X，Y 与齐次坐标中的小x，y有如 下对应关系： X = x/w Y = y/w 笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这 点移动到无限远(∞,∞)处，在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ，这样我 们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。
z
W'
w

V' O'
0 1 ix iu 0 cos 0 sin
sin cos 0
方向余弦阵

o
U'
v
y
u x
图2-5
z
三个基本旋转矩阵:
W'
w
0 1 R(x, ) 0 cos 0 sin
sin cos 0
i
运动学研究的问题
Where is my hand?
运动学正问题
Direct Kinematics HERE!
How do I put my hand here?
运动学逆问题
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的两类问题:
运动学正问题 --- 已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。 运动学逆问题 --- 已知操作机杆件的几何参数，给定操作 机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位 置），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？ 如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的 条件？
由刚体的等距变换可知：
p pxyz p
T xyz
T uvw uvw
p
将上式代入，可得： RT R I R为正交矩阵。
R为R的伴随矩阵， det R为R的行列式，由于 R是正交矩阵， 因此R 1 R T
由图可知，jv 在y轴上的投影为
k z cos
j y cos
， jv 在z轴上的投影
为 k z sin , kw 在y轴上的投影为 j y sin ， kw 在z轴上的投影为 ，所以有：
i x i R(x, ) j y i k i z
i x jv j y jv k z jv
ix k w jy k w k z kw
[ 例] ：
V 3i 4 j 5k
可以表示为： V=[3 或 V=[6 4 8 5 10 1]T 2]T
或
V=[-12 -16
-20
-4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
• V点在ΣOXYZ坐标系中表 示是唯一的（x、y、z） • 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。
2.2.3
解2：用分步计算的方法 ① R（x, 90°）
1 0 P' 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 1 2 3 0 0 3 2 1 1 1
（2-14）
Px Puvw ix ix ( Pu iu Pv jv Pw kw )
Py Puvw j y j y ( Pu iu Pv jv Pw k w )
x
Pw
P o Pv
(O')
v y
Pu
Pz Puvw jz jz ( Pu iu Pv jv Pw k w )
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、 y、z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ， 即 v = [ x y z w ]T 其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
•
x H
y
图2.1 点向量的描述
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k （2.1）
用齐次坐标变换来表示式旋转变换：
Px P R y Pz 1 0 0 0
0 P u P 0 v 0 Pw 1 1
Pu P R 1 v Pw 1 0 0 0
iu 、 jv 、 kw
为坐标系ΣO´uvw的单位矢
w o u x
P
v
(O')
量，则P点在Σoxyz中可表示为：
y
Pxyz Px i x Py i y Pz i z
Puvw Pxyz
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系 Σoxyz中的位置 z
w
已知： Puvw Pu iu Pv ju Pw k w P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
点 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应笛卡尔坐标中的同一点 (1/3, 2/3)。 任意数量积的(1a, 2a, 3a) 始终对应于笛卡尔坐标中的同一 点 (1/3, 2/3)。因此这些点是“齐 次”的，因为他们始终对应于笛 卡尔坐标中的同一点。换句话说 ，齐次坐标描述缩放不变性（ scale invariant）。
– 并联机器人：刚性好，负载大，误差不积累，工作空间 小，姿态范围不大。
–本章讲解以串联机器人为主。
D-H方法基本思想
• 给每个关节指定一个参考坐 标系，然后，确定从一个关 节到下一个关节（一个坐标 系到下一个坐标系）来进行 变换的步骤。如果将从基座 到第一个关节，再从第一个 关节到第二个关节直至到最 后一个关节的所有变换结合 起来，就得到了机器人的总 变换矩阵。 • D-H模型表示了对机器人连 杆和关节进行建模的一种非 常简单的方法，可用于任何 机器人构型，而不管机器人 的结构顺序和复杂程度如何。 它也可用于表示已经讨论过 的在任何坐标中的变换，例 如直角坐标、圆柱坐标、球 坐标、欧拉角坐标及RPY坐 标等。另外，它也可以用于 表示全旋转的链式机器人、 SCARA机器人或任何可能的 关节和连杆组合。
为什么引入齐次坐标？
在欧几里得几何空间 里，两条平行线永远 都不会相交。但是在 投影空间中，如右图 中的两条铁轨在地平 线处却是会相交的， 因为在无限远处它们 看起来相交于一点。
在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描 述2D/3D 几何物体是很理想的，但在投 影空间里面却并不见得。 我们用 (x, y) 表示笛卡尔空间中的一 个 2D 点，而处于无限远处的点 (∞,∞) 在 笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间 里的两条平行线会在无限远处相交于一 点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问 题（因为无限远处的点在笛卡尔空间里 是没有意义的），因此数学家想出齐次 坐标这个点子来了。
② R（z, 90°）
0 - 1 1 0 P '' 0 0 0 0
0 0 P ''' - 1 0 0 1 0 0
列矩阵
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
x T V y x y z w 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随 z w值的不同而不同。在计算机图学中，w w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但 在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
y z x a= , b= , c= ，w为比例系数 w w w
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×”
2.2 点齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v ai bj ck
杆件参数 关节角 运动学正问题 杆件参数 关节角 运动学正问题 末端执行器
研究的对象
• 机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式 串联机器人，另外一种是并联机器人。
PUMA560
Fanuc manipulator
Hexapod
这两种机器人有所不同：
– 串联机器人：工作空间大，灵活，刚度差，负载小，误 差累积并放大。
x
z
z o x
标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´ 重合，如图。各轴 对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。 则P点在ΣO´uvw中可表示为： z
Puvw Pu iu Pv ju Pw k w
数学基础 — 齐次坐标和齐次变换
点向量（Point vectors）
点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空
z c E 0 a x z u 0 v b y p
间位置。同一个点在不同坐标系的描述及位置向 量的值也不同。如图 2.1中，点 p在 E坐标系上表示 为 Ev，在H坐标系上表示为 Hu，且v ≠ u。一个点 向量可表示为 v = ai + bj + ck
向量的点积是标量。用“ · ”来定义向量点积，即
a· b = ax bx + ay by + az bz 表示叉积，即 a × b = ( ay bz ¯az by ) i + ( az bx ¯ax bz ) j + ( ax by ¯ay by ) k 可用行列式表示为 a×b = i j k ax ay az bx by bz （2.4） （ 2.3） （2.2 ）