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2023届高考理科数学模拟试题一(含答案及解析)本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑墨水钢笔、签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上，答在试题卷上不得分；3． 考试结束，考生只需将答题卷交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B *=*第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z= A ． i 2-B ．i 2C ．i -1D ．i +12. 设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则()U C A B =A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(1,4)-3. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14B ．12C ． 2D ．4 4. ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=A ．6πB ．4π C ．34π D ．4π或34π5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a(n N ＋)的直线的斜率是A ．4B ．3C ．2D ．16.已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ,且1)2()4(=-=f f )()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示， 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．87. 一台机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ， 加工A 时,停机的概率是310，加工B 时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为( )A ． 1130B ．307 C ．107 D ．1018. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。
天利38套高三高考能力提升卷（四）（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，劲度系数为的轻弹簧下端固定在倾角为的光滑斜面底端，上端连接物块Q，Q同时与平行于斜面的轻绳相连，轻绳跨过定滑轮O与套在足够长的光滑竖直杆上的物块P连接，图中O、B两点等高，间距。
初始时在外力作用下，P在A点静止不动，A、B间距离，此时轻绳中张力大小为。
已知P的质量为，Q的质量为，P、Q均可视为质点。
现将P由静止释放（不计滑轮大小及摩擦，重力加速度取，，，弹簧始终处于弹性限度内），下列说法正确的是（）A．物块P上升的最大高度为B．物块P上升至B点时，其速度大小为C．在物块P由A点运动到B点的过程中，弹簧对物块Q一直做正功D．在物块P由A点运动到B点的过程中，物块P机械能守恒第(2)题传感器是一种检测装置，能感受到被测量的信息，并能将感受到的信息，按一定规律变换成为电信号或其他所需形式的信息输出，以满足信息的传输、处理、存储、显示、记录和控制等要求，它是实现自动检测和自动控制的首要环节。
如图所示是测定液面高度h的电容式传感器示意图，E为电源，G为灵敏电流计，A为固定的导体芯，B为导体芯外面的一层绝缘物质，C为导电液体。
已知电流从灵敏电流计左边接线柱流进电流计，指针向左偏。
如果在导电液体的深度h发生变化时观察到指针正向左偏转，则（ ）A．导体芯A所带电荷量在增加，液体的深度h在增大B．导体芯A所带电荷量在减小，液体的深度h在增大C．导体芯A所带电荷量在增加，液体的深度h在减小D．导体芯A所带电荷量在减小，液体的深度h在减小第(3)题激光陀螺仪是很多现代导航仪器中的关键部件，广泛应用于民航飞机等交通工具。
激光陀螺仪的基本元件是环形激光器，其原理结构比较复杂，我们简化为如图所示模型：由激光器发出的A、B两束激光，经完全对称的两个通道（图中未画出）在光电探测器处相遇，产生干涉条纹。
2023年高考数学全真模拟卷一（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}ln 20A x x x =-=，()(){}130B x x x =+->，则A B = （）A ．{}0,3B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．若1i z =-，则2|32i |z +-=（）AB ．5C ．3D ．3．2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1－11月份说法错误的是（A ．有5个月平均气温在30℃以上B ．有4个月平均降水量为0mm C ．7月份平均气温最高D ．3月份平均降水量最高4．某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关，酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ 1.259≈）（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85．数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（）A ．12B ．2C ．2D 7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为（）1.414≈ 1.732≈）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．13B ．23C ．129．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos 2Ba a c =+，则ABC 为（）A ．钝角三角形B ．正三角形C ．直角三角形10．高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A ．1384B ．34C ．38D ．11611．在三棱锥S ABC -中，2SAC SBC π∠=∠=，23ACB π∠=，1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．13πB ．373πC ．49πD ．52π12．已知111a =，b =，11ln 10c =．则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．b a c>>第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.14．已知向量1,,()()1,a m b m ==- ，若(2)a b b -⊥，则b = ________．15．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，当AOB (O 为坐标原点）的面积最小时，1260F PF ∠=（12,F F 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.16．已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310．(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；(2)请将下面的列联表补充完整，并依据0.05α=的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，864S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP =.(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.20．已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E的坐标为()3-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．21．已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+，R a ∈．(1)当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．2023年高考数学全真模拟卷一（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}ln 20A x x x =-=，()(){}130B x x x =+->，则A B = （）A ．{}0,3B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】B【分析】直接解出{0,1,3}A =，{}13B x x =-<<，根据交集的概念即可得到答案.【详解】由题可得{0A xx ==∣或ln |2|0}{0,1,3}x -==，()(){}{}13013B x x x x x =+-<=-<<，所以{}0,1A B = ，故选：B.2．若1i z =-，则2|32i |z +-=（）AB ．5C ．3D ．【答案】B【分析】根据复数运算，复数的模计算即可解决.【详解】由题知，22|32i |12i+i 32i 34i 5z +-=-+-=-=，故选：B3．2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Oatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1－11月份说法错误的是（）A ．有5个月平均气温在30℃以上B ．有4个月平均降水量为0mmC ．7月份平均气温最高D ．3月份平均降水量最高【答案】D【分析】根据给定的图表，逐项分析判断作答.【详解】观察图表知，5月、6月、7月、8月、9月的5个月平均气温均在30℃以上，A 正确；6月、7月、8月、9月的4个月平均降水量为0mm ，B 正确；7月份平均气温最高，C 正确；2月份平均降水量比3月份平均降水量高，D 错误.故选：D4．某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M 与该品种水果中氢离子的浓度N 有关，酿醋成功指数M 与浓度N 满足 2.8lg M N =-．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ 1.259≈）（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】D【分析】直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可.【详解】由题意知：2.9 2.8lg N =-，整理得lg 0.1N =-，解得0.110N -=，又0.11100.81.259-=≈≈，故0.8N ≈.故选：D.5．数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由1(1)0a q -<，解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案.【详解】由已知1(1)0a q -<，解得101(0)a q q >⎧⎨<≠⎩或101a q <⎧⎨>⎩，11n n a a q -=，此时数列{}n a 不一定是递减数列，所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的非充分条件；若数列{}n a 为递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，所以()110a q -<，所以()110a q -<是“数列{}n a 递减”的必要条件.所以“()110a q -<”是“数列{}n a 为递减数列”的必要不充分条件.故选：B.6．若双曲线2221y x b-=则该双曲线的离心率为（）A ．12B C ．2D 【答案】C【分析】写出双曲线的焦点，渐近线后，列方程求出b ，然后根据离心率定义计算.【详解】依题意得，双曲线的一条渐近线为0bx y -=，一个焦点为)，根据点b =，于是2c ==，离心率2ce a==.故选：C 7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为（） 1.414≈、1.732≈）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米【答案】B【分析】在Rt ADC 中用CD 表示AC ，Rt BDC 中用CD 表示BC ，建立CD 的方程求解即得.【详解】Rt ADC 中，30DAC ︒∠=，则AC =，Rt BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，由AC-BC=AB 147(1)19.124CD CD -=⇒=≈，CD 约为19米.故选：B8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．13B ．23C ．12D ．43【答案】B【分析】由三视图画出三棱锥原图，利用13V Sh =锥可得结果.【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，DA ⊥平面ABC ，所以11121223323ABC V S DA ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△故选：B.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos 2Ba a c =+，则ABC 为（）A ．钝角三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案【详解】由22cos2Ba a c =+结合正弦定理可得1cos 2sin sin sin 2B A A C +⋅=+，即sin sin cos sin sin A A B A C +=+，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B ，因为sin 0B >，所以cos 0A =，因为0πA <<，所以π2A =，故ABC 为直角三角形，故选：C 10．高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A ．1384B ．34C ．38D ．116【答案】D【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可.【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有88A 种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有2222864244C C C C A 种分法，4组人有44A 种站法，故所求概率22228642884444C C C C A A 1A 16P ⋅==.故选：D.11．在三棱锥S ABC -中，2SAC SBC π∠=∠=，23ACB π∠=，1AC BC ==.若三棱锥S ABC -的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．13πB ．373πC ．49πD ．52π【答案】D【分析】由条件可知ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形，则SC 的中点O 为外接球的球心.过S 做SH ⊥平面ABC ，垂足为H，由三棱锥的体积可求出高SH =，根据三角形全等可证明H 在ABC ∠的角平分线上，即60HCA ∠=o ，由线面垂直的定理可知AC HA ⊥，从而可计算2CH =，勾股可知SC 的长，从而计算外接球的半径和表面积.【详解】解：因为2SAC SBC π∠=∠=，所以ASC 和BSC 为以SC 为斜边的直角三角形，则SC 的中点O 到各个顶点的距离都相等，则O 为外接球的球心.即SC 为直径.过S 做SH ⊥平面ABC ，垂足为H ，连结HB ，HA ，则1111132S ABC V SH -=⨯⨯⨯⨯，解得：SH = 1AC BC ==，2SAC SBC π∠=∠=，SC SC =，SAC SBC ∴≅V V ，则SA SB=,AH BH 分别为,SA SB 在平面ABC 内的射影，所以有AH BH =，又AC BC =，HC 为公共边，所以AHC BHC ≅V V ，则HCA HCB ∠=∠，所以H 在ABC ∠的角平分线上，60HCA ∠=o ，AC SA ⊥，AC SH ⊥，SA SH S = ，所以有AC ⊥平面SHA ，AH ⊂平面SHA ，则有AC HA ⊥，因为1AC =，60HCA ∠=o，所以2CH =，则SC ==，则R =故外接球的表面积为2452S R ππ==.故选：D.12．已知111a =，b =，11ln 10c =．则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【分析】令()()ln 1f x x x =-+，()()1ln 111g x x x =+-++，利用导数可求得()(),f x g x在()0,1上的单调性，从而确定()ln 1x x >+，()1ln 111x x +>-+，x >，令110x =即可得到大小关系.【详解】令()()ln 1f x x x =-+，01x <<，则()11011xf x x x '=-=>++，()f x \在()0,1上单调递增，()()00f x f ∴>=，即()ln 1x x >+；令()()1ln 111g x x x =+-++，01x <<，则()()()22110111x g x x x x '=-=>+++，()g x ∴在()0,1上单调递增，()()00g x g ∴>=，即()1ln 111x x +>-+；又当01x <<x >，∴当01x <<()1ln 111x x x >>+>-+；则当110x =1111ln 101011>>>，即b c a >>.故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线()e e xxf x x =+在1x =处的切线方程为___________.【答案】10x y -+=【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；【详解】解：因为()e e x x f x x =+，所以()1e 1112ef ⨯=+=，()()e 11exx f x -'=+，所以()()1e 11111ef -'=+=，所以切线方程为21y x -=-，即10x y -+=；故答案为：10x y -+=14．已知向量1,,()()1,a m b m ==- ，若(2)a b b -⊥，则b = ________．【答案】2【分析】首先求向量2a b -的坐标，再根据向量的数量积为0，求23m =，最后代入公式求模.【详解】2(23,,23)0)(a b m a b b m -=-⋅=-+= ，得23m =，所以2b == .故答案为：2.15．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=()0a b >>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，当AOB (O 为坐标原点）的面积最小时，1260F PF ∠=（12,F F 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是_________.【分析】先根据题意点()00,P x y 处的切线方程为：00221xx yy a b +=，进而得20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭，故220012AOBa b Sx y =，再结合椭圆方程与基本不等式可得0021x yab≥，故AOBS ab ≥，当且仅当002x y a b ==时，AOB 的面积最小.再结合椭圆定义与余弦定理得22143b PF PF =，进而根据等面积法得12223F PF S bc ==，故2232b c =，进而得e =.【详解】解：根据题意结合椭圆性质得椭圆在点()00,P x y 处的切线方程为：00221xx yya b+=，由于直线与l 与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，故20,0a A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，200,b B y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222200001212AOBa b a b x y Sx y =⋅⋅=，由于2200002221x y x y a b ab+=≥，所以0012x y ab ≥，所以222200001122AOBa b a b ab x y x y S⋅=⋅≥=，当且仅当002x y a b ==时，AOB 的面积最小.由于1260F PF ∠=，故在12F PF △中用余弦定理得：()2222212212121214343c PF PF PF PF PF PF PFPF a PF PF =+-=+-=-所以22143b PF PF =，所以12221114sin 60223F PF b SPF PF ==⋅⋅另一方面121201122222F PF S F F y c b bc ==⋅⋅所以232bc =，即：2232b c =，由于222b a c =-，所以2252a c=所以5e =.故答案为：516．已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤2π），x =-4π为f （x ）的零点，x =4π为y =f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（18π，6π）上单调，则ω的最大值为______．【答案】5【分析】先根据4x π=-是()f x 的零点，4x π=是()y f x =图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得ω的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对ω赋值验证找到适合的最大值即可．【详解】由题意可得4424k T T ππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21212=244k k T ππω++⋅=⋅，解得()=21,k k N ω++∈，又因为()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以12·618922T ππππω-=≤=，即9ω≤，因为要求ω的最大值，令=7ω，因为4x π=是()y f x =的对称轴，所以()74k k Z πϕπ+=∈，，又2πϕ≤，解得4πϕ=，所以此时()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 在3,2828ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()f x 在3,1828ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在3286ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，同理，令=5ω，()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在52020，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为51862020ππππ⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，，所以()f x 在186，ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，满足题意，所以ω的最大值为5.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人．这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310．(1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；(2)请将下面的列联表补充完整，并依据0.05α=的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与年龄是否有关．确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上4050岁以下合计10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)740(2)列联表见解析，认为确诊为新冠肺炎与年龄有关【分析】（1）根据题意，可知50岁及以上的确诊人数为7人，又50岁以上的人数为40，根据古典概型，即可求出结果；（2）由题中的数据，可以直接得出表中的数据，再利用独立性检验公式，计算出2χ，可参考表中的数据可以直接判断．．（1）解：因为100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占310，所以50岁以下的确诊人数为3，所以50岁及以上的确诊人数为7，因为50岁及以上的共有40人，所以50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率估计为740．（2）解：补充列联表如下：确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计50岁及以上7334050岁以下35760合计1090100零假设为0H ：确诊为新冠肺炎与年龄无关．计算可得()220.05100757333254.167 3.841406010906x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯．依据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为确诊为新冠肺炎与年龄有关．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，864S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()11n n n b n a a *+=∈N ，求数列{}nb 的前n 项和nT ．【答案】(1)21n a n =-(2)21n n T n =+【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得1,a d ，进而得到n a ；（2）由（1）可得n b ，采用裂项相消法可求得n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则518149878642a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，()12121n a n n ∴=+-=-.（2）由（1）得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，111111111111233557212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP = .(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据空间中的线面关系即可证得；（2）通过建立空间直角坐标，将空间的角度问题转化为空间的坐标运算问题即可得到答案.【详解】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH.由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PM HC MC =，∴AP MH ∥，又MH ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴AP ∥平面MBD.（2）记O 为CD 的中点，连接PO ，BO.∵PCD 为等边三角形，∴PO CD ⊥，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，如下图，则()0,1,0D -，(P，10,3M ⎛ ⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C，11,3BM ⎛=- ⎝⎭，()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z =，则1030n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取x ＝1得1,n ⎛=- ⎝⎭，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =.设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则cos m n m nθ⋅==⋅ .∴二面角M －BD －C20．已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E的坐标为()3-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）分析可知当点E 为MN 的中点时，FMN 为等腰直角三角形，求出点M 的横坐标，分析可得2M px MF +==，结合抛物线的定义可得出关于p 的等式，解出p 的值，即可得出抛物线C 的方程；（2）分析可知，直线MF 、NF 均不与x 轴重合，设直线MF 的方程为()10x my m =+≠，则直线NF 的方程为11x y m=-+，将直线MF 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可求得点P 的坐标，同理可得出点Q 的坐标，分21m =、21m ≠两种情况讨论，求出直线PQ 的方程，并化简，即可求得直线PQ 所过定点的坐标.【详解】（1）解：因为以MN 为直径的圆过点F ，则MF NF ⊥，当点E 为MN 的中点时，MN EF ⊥，则MF NF =，此时FMN 为等腰直角三角形，又点E 、F 在x 轴上，则MN x ⊥轴，所以3M E x x ==-，6p >-，32p ∴>-F 在E的右侧，所以32pEF =-+由抛物线的定义知2M p x MF +==，所以，33222p p -=-+，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（2）证明：若直线MF 与x 轴重合，则直线MF 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，同理可知，直线NF 与x 轴也不重合，设直线MF 的方程为()10x my m =+≠，则直线NF 的方程为11x y m=-+，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()11,M x y 、()22,A x y ，则124y y m +=，124y y =-，所以()221,2P m m +，同理可得2221,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当21m ≠时，()2222221211PQm m m k m m m +==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，所以直线PQ 的方程为()222121m y x m m m =--+-，化简得()231m y x m =--，当3x =时，0y =，直线PQ 过定点()3,0．当21m =时，直线PQ 的方程为3x =，直线PQ 必过点()3,0，综上所述，所以直线PQ 过定点()3,0．21．已知函数()()212ln 11ax xf x x x +=+-+，R a ∈．(1)当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()()()1g x x f x =+在()0,∞+上不单调，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 在()10-，上单调递增，在()0,∞+上单调递减(2)()01，【分析】（1）当2a =时，确定函数解析式，求出定义域，利用导数求函数()f x 的单调性；（2）由()g x 的解析式求出导数，无法直接判断导函数的正负，构造新函数再求导，分类讨论()g x 的单调性，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，函数()()()2ln 1ln 11x xf x x x x x +=+-=+-+，定义域为()+∞-1,，易知()1111x f x x x -'=-=++，令()0f x ¢>，得10x -<<，令()0f x '<，得0x >，所以函数()f x 在()10-，上单调递增，在()0,∞+上单调递减．（2）由题意知()()()211ln 12g x x x ax x =++--，则()()ln 1g x x ax '=+-，令()()ln 1x x h ax =+-，0x ≥，则()11h x a x '=-+．①当0a ≤时，()0h x '>，则()g x '在()0,∞+上单调递增，所以当0x >时，()()00g x g ''>=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，不符合题意．②当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，则()g x '在()0,∞+上单调递减，所以当0x >时，()()00g x g ''<=，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意．③当01a <<时，由()101h x a x '=-=+，得110x a=->，当10,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．易知ln 1≤-x x ，当且仅当x ＝1时取等号，则当0x >时，1≤，即)ln 21x ≤．所以当x ＞0时，()()212h x ax a x <--<-+-．取241t a =-，则11t a >-，且()20h t <-=．又()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，所以存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，所以当()00x x ∈，时，()0h x >，即()0g x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()00x ，上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，故函数()g x 在区间()0,∞+上不单调，符合题意．综上，实数a 的取值范围为()0,1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)求C 的上的动点到l 的距离的取值范围.【答案】(1)40x y -+=，22+=13yx(2)【分析】（1）对于直线l ，消去参数t 即可求解，对于曲线C ，根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==即可求解；（2）先将曲线C 化为参数方程，再根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1） 直线l 的参数方程为{15x ty t =+=+（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为40x y -+=，曲线C 的极坐标方程为23=2+cos2ρθ，即222+cos2=3ρρθ，即22222+(cos sin )=3ρρθθ-，222222+cos sin =3ρρθρθ-，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，∴曲线C 的直角坐标方程22222(+)+=3x y x y -，即22+=13y x .（2） 曲线C 的直角坐标方程为：22+=13yx ∴曲线C的参数方程为{x y αα=(α为参数),设曲线C上的动点(cos )M αα，则曲线C 上的动点M 到直线l的距离d[]2sin )2,26πα-∈- （，∴曲线C 上的动点到直线l=，故曲线C 上的动点到直线l距离取值范围为：.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)(]0,8.【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出()21,312,121,1x m x mg x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+，根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，当2x >时，()32f x =>成立；当12x -≤≤时，()212f x x =->，则322x <≤；试卷第17页，共17页当1x <-时，()32f x =-<不合题意，综上，()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）因为0m >，所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，当1x <-时，()g x 单调递增，当1x m -≤≤时，()g x 单调递增，当x >m 时，()g x 单调递减，所以当x m =时，()g x 取得最大值，()()max 1g x g m m ==+，∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤，解得：108m -≤≤，又0m >，则08m <≤，∴m 的取值范围是(]0,8.。
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。
38套专题训练：数列大题1、（宁波期末）（本题满分15分）如果数列{}n a 同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数k ，对任意*n N Î，212n n n a a a k ++=+都成立。
则称这样的数列{}n a 为“k 类等比数列”。
（I ）若数列{}n a 满足31n a n =+，证明数列{}n a 为“k 类等比数列”，并求出相应的k ； （II ）若数列{}n a 为“3类等比数列”，且满足121,2a a ==，问是否存在常数l ，使得21n n n a a a l +++=对于任意*n N ∈都成立？若存在，求出l ；若不存在，请举出反例。
2、（杭州检测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S +n a =n （*N n ∈）.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求证：221...21212133221＜nn a a a a ++++. 3、（绍兴期末）20、（本小题满分14分）数列{}n a 是公差不为零的等差数列，56a =．数列{}n b 满足：13b =，11231n n b bb b b +=⋅⋅⋅+．()I 当2n ≥时，求证：111n n n b b b +-=-； ()II 当31a >且3a *∈N 时，3a ，5a ，1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，n k a ，⋅⋅⋅为等比数列．()i 求3a ；()ii 当3a 取最小值时，求证：1231231111111141111n n k k k k b b b b a a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪----⎝⎭．4、（温州一）19．（本题满分15分）对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n na n a a n ---+++=++++ .(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112nn ++++<- 5、（台州期末）18．（15分）已知数列{a n }的前n 项和S n ，a 1=t （t ≠﹣1），S n +2a n+1+n+1=0，且数列{a n +1}为等比数列． （1）求实数t 的值；（2）设T n 为数列{b n }的前n 项和，b 1=1，且．若对任意的n ∈N *，使得不等式+…≥恒成立，求实数m 的最大值．6、（湖州期末）20、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足21n n a S -=．()I 求数列{}n a 的通项公式； ()II 设()1nn n b a =--，记12111n nb b b T =++⋅⋅⋅+，求证：2n T <． 7、（诸暨期末）8、（衢州期末）19. （本题满分14分）已知数列{n a }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，124,,a a a成等比数列，5328a S =+ （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）若数列{n a }的前n 项和31n n n T a =+，对任意2n ≥且*n N ∈，不等式n b ＜n kT 恒成立，求实数k 的取值范围.9、（五校联考）21．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n nn a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n nT -<-<．10、（金华十校）11、（金丽衢1）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知,11=a 12432432=++S S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）当2≥n 时，1401-≥++λλnn a a 恒成立，求λ的取值范围.12、（杭州2）13、（嘉兴一模）在数列{}n a 中，13a =，n a =2n n b a =-，2n =，3，⋅⋅⋅．()I 求2a ，3a ，判断数列{}n a 的单调性并证明；()II 求证：11224n n a a --<-（2n =，3，⋅⋅⋅）； ()III 是否存在常数M ，对任意2n ≥，有23n b b b ⋅⋅⋅≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，请说明理由． 14、（嘉兴检测2）19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．15、（宁波二模）19.（本题满分15分）已知m 为实数，且29-≠m ，数列{}n a 的前n 项和S n 满足m a S nn n +⨯+=32134 （Ⅰ）求证：数列{}13+-n n a 为等比数列，并求出公比q ；（Ⅱ）若15≤n a 对任意正整数n 成立，求证：当m 取到最小整数时，对于n ≥4，n ∈N ，都有 4811...n++>-16、（温州二模）20．（本小题14分）已知数列{}n a 满足：2,121==a a ，且1123(2,)n n n a a a n n *+-=+≥∈N ．（I ）设1()n n n b a a n *+=+∈N ，求证{}n b 是等比数列；（II ）（i ）求数列{}n a 的通项公式；（ii ）求证：对于任意*∈N n 都有47111121221<++++-n n a a a a 成立． 17、（绍兴质检）18、（台州调研）19、（诸暨毕业班）20、（衢州二模）19.（本题满分15分）设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[]1.21=），设[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n S 及n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2015的正整数n ,都有21n T n =+ ，证明:12013213q ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．21、（杭二中）18．已知数列{a n }中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数， （Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．22、（学军中学）19.（15分）已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．（1）若12n n a -=，求S n ；（2）是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若{a n }是单调递增数列，求证：S n ＜2．23、（镇海中学）19.（本题满分15分）P 在曲线C : ()11y x x=>上，曲线C 在点P 处的切线与直线y = 4x 交于点A ， 与x 轴交于点B .设点A ， B 的横坐标分别为,A B x x ，记()A B f t x x =.正数数列{n a }满足()1n n a f a -=*(,2)n N n ∈≥,1a a =. (Ⅰ)写出1,n n a a -之间的关系式；(Ⅱ)若数列{n a }为递减数列，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)若2a =,34n n b a =-，设数列{n b }的前n 项和为n S ，求证：()*32n S n N <∈． 24、（绍兴一中）18. （本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,,2n S a =且满足1241()n n S S n N *+=+∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1i n ≤≤，1j n ≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和.25、（五校2）20．（本小题满分14分）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．26、19．（六校联考）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n *3()2n a n n N =-∈．（I ）求证{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（II ）证明：27、（金华十校）18．（本题满分15分） 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，其中a 1=1，且1nn nS a a λ+=( n ∈N *)．(Ⅰ)求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式； (Ⅱ)记3nn na b =，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n k ≥(k ∈N *)，都有3144nT n -<，求常数k 的最小值.28、（宁波十校）已知数列{}n a 满足11a =，点()1,n n a a +在直线21y x =+上．数列{}n b 满足11b a =,121111()n n n b a a a a -=+++ （2n ≥且*n N ∈）． (I)(i)求{}n a 的通项公式 ;(ii) 证明111n n n n b ab a +++=（2n ≥且*n N ∈）； (II)求证：12111101113n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 29、（稽阳联谊）20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=2，S n +2=2a n ，n ∈N +， （Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）求证+…+（Ⅲ）设b 1，b 2，…，b 2015是数列a 1，a 2，…，a 2015的任意一个排列，求（）的最大值，并说明何时取到等号．30、（金丽衢2）20. （本题满分１４分）在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列}{2n a 为等差数列； （ⅱ）求数列}{n a 的通项公式.（Ⅱ）设数列}1{na 的前n 项和为n S ，证明：43(3)n n S n >+，*n ∈N ．。
2023届高三新高考数学原创模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．||OQB ．|5．若()20230112x a a x -=++A ．2-B ．-6．函数y=ax 2+bx 与y=log b aA ．．C ．．7．以()x φ表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量()2,N μσ，则概率(P ξμ-A ．()()φμσφμσ+--()() 11φφ--C ．1 μφσ-⎛⎫⎪⎝⎭．()2φμσ-8．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量1111ABCD A B C D -，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（A ．1AB ，AC ，1AD 的长度B ．AC ，1B D ，1AC 的长度D ．1AC ，BD ，1CC 的长度二、多选题三、双空题13．设i 是虚数单位，已知2i 3-是关于x 的方程220(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p =________，q =________．四、填空题五、双空题16．正方形ABCD 位于平面直角坐标系上，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，(1,1)D -．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L ：逆时针旋转90︒．（2）R ：顺时针旋转90︒．（3）S ：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A ，B ，C ，D 四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R 之后，顶点A 从(1,1)移动到(1,1)-，然后再作一次变换S 之后，A 移动到(1,1)-．对原来的正方形按1a ，2a ，L ，k a 的顺序作k 次变换记为12k a a a ，其中{,,}i a L R S ∈，1,2,,i k = ．如果经过k 次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k -恒等变换．例如，RRS 是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数n ，n -恒等变换共________种．六、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．(1)证明：PB DM ⊥．(2)求BD 与平面ADMN 所成角的正弦值．18．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持(1)在某次测量中，40AE =，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆AB 上有两点1A ，2A 满足1212AA AA =．当横档CD 的中点E 位于度角为(1,2)i i α=，其中1α，2α都是锐角．证明：122αα<．19．设正项数列{}n a 满足11a =，12121n n n a a a ++=-，*n ∈N ．数列{}n x 满足π0,2n x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，*n ∈N ．已知如下结论：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x (1)求{}n x 的通项公式．(2)证明：222212π11112111n n n a a a -<+++<+++ ．20．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点．椭圆C 于A ，B 两点．(1)若直线l 与x 轴垂直，并且OA OB ⊥，求a 的值．(2)若直线l 绕点F 任意转动，当A ，O ，B 不共线时，都满足AOB ∠取值范围．21．某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,i y i =学生编号i 123456789数学成绩i x 1009996939088858380知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060参考答案：【详解】，，或是，，根据集合元素的互异性，集合为，共含有9．AC【分析】对于A：根据线面平行分析判断；对于D：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断【详解】对于选项A：因为D，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF所以BC∥平面PDF，故A正确；对于选项B：因为D，E分别是且PA与AC夹角为60︒，所以异面直线对于选项C：因为E是BC的中点，且同理可得：AE BC ⊥，PE AE E = ，,PE AE ⊂平面PAE ，所以DF ⊥平面PAE ，且DF ⊂平面ABC ，所以平面PAE ⊥平面ABC ，故C 正确；对于选项D ：取底面ABC 的中心O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABC ，但PO 与平面PDF 相交，所以平面PDF 与平面ABC 不垂直，故D 错误；故选：AC.10．ABD【分析】由n S 与n a 的关系得出n a 与1n a -的关系式即可判断ABD ，通过举反例即可判断出C ．【详解】对于A ，当2n ≥时，n n S a =且11n n S a --=，两式相减可得11n n n n n a S S a a --=-=-，即10n a -=．所以{}n a 是恒为0的数列，即{}n a 是公差为0的等差数列，故A 正确；对于B ，当2n ≥时，n n S na =且11(1)n n S n a --=-，两式相减可得11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，所以1n n a a -=，即{}n a 是常数列，是公差为0的等差数列，故B 正确；对于C ，如果10a ≠，令1n =可得21a =，当2n ≥时，1n n n S a a +=且11n n n S a a --=，两式相减可得()111n n n n n n a S S a a a -+-=-=-，如果0n a ≠，则111n n a a +--=，这并不能推出{}n a 是等差数列，例如：考虑如下定义的数列{}n a ：1，1，2，2，3，3，L ，则其通项公式可写成2n a n =，21n a n -=．则()222122111(2)(1)nnn k k n n k k S a a k n n a a -+===+==+=∑∑，）DN．由（1）可知PB⊥平面BDN∠是BD与平面ADMN所成角．2AD AB BC a====，于是另一方面，22BD AB AD=+=因此，在直角三角形BDN中，sinBD与平面ADMN所成角的正弦值为(1)8 17证明见解析【分析】（1）方法一，根据三边长度，利用余弦定理，求方法二，先求sin CAE∠，再根据二倍角公式求）如图：轴垂直，则直线l ：1x =，联立直线与椭圆方程可得2b a =±．所以不妨设1,A ⎛ ⎝，所以4210b OA OB a ⋅=-= ，则b a，所以210a a --=，解得）如图：（i ）若直线AB 与x 轴垂直，由（1）可知钝角，只需4210b OA OB a ⋅=-< ，即21b a >．代入152-（舍去）．）若直线AB 与x 轴不垂直，设()11,A x y ，221b a =-，椭圆方程变为222211x y a a +=-．联立直线与椭圆方程选做（ii ）问：根据()g x 的单调性，可知：()g x 在区间π3π2π,2π()22m m m ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 即()1,m m a b +()g x 在ππ2,2π()22m m m π⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 即(),m m b a 中的值域为结合①②两式以及()1(0)g g b >，可知当N m ∈时，()g x 在πππ,π[0,22m m ⎛⎫-+++∞ ⎪⎝⎭I 当21m k =-时，()()()211,k k k A g a g b --=；当2m k =。
2023年陕西省西安三十八中高考数学模拟试卷（文科）（2月份）1. 在下列集合中，是其真子集的是( )A. B. C. D.2. 若，则z在复平面内所对应的点的坐标为( )A. B. C. D.3. 若向量，，则( )A. B. C. 40 D. 464. 函数的零点为( )A. B.2 C. D.5. 某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A. 计算B. 计算C. 计算D. 计算6. 若抛物线上一点到焦点的距离是5p，则( )A. B. C. D.7. 某中学举行歌唱比赛，甲、乙两位参赛选手各自从《难却》、《兰亭序》、《许愿》、《最初的梦想》这四首歌曲中选两首作为参赛歌曲，已知甲选了《难却》，乙末选《许愿》，则甲、乙有相同的参赛歌曲的概率为( )A. B. C. D.8. 若x ，y 满足约束条件，则下列目标函数中最大值为0的是( )A.B. C.D.9. 已知函数的最小正周期为T ，设，，，则( )A.B. C.D.10. 在正四棱柱中，E 是的中点，，则BE与平面所成角的正弦值为( )A.B. C.D.11. 若锐角满足，则( )A.B. C.D.12. P 为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A ，B ，C ，D ，若，则P 到x 轴的距离为( )A. B. C.D.13. 函数的图象在点处的切线的斜率为______ .14. 若“”是“”的充分不必要条件，则a 的取值范围是______ .15. 在中，，，，则的取值范围是______ .16. 若某圆锥外接球的体积为，母线长为4，则该圆锥的底面面积为______ .17. 为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为并画出如图所示的频率分布直方图.估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表；若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线.18. 设等比数列的前n项和为，已知，且求的通项公式；设，数列的前n项和为，证明：当时，19.如图，在三棱柱中，，，在平面ABC上的射影为AB的中点.证明：求多面体的体积.20. 已知函数求的单调区间；若，，证明：21. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.22. 设a，b，c均为正数，且证明：；答案和解析1.【答案】C【解析】解：是的子集，故A错误；不包含元素1，故B错误；是其真子集的是，故C正确；不包含元素1，故D错误．故选：根据已知条件，结合真子集的定义，即可求解．本题主要考查真子集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，在复平面内所对应的点的坐标为故选：利用复数的运算法则先化简，再得到其在复平面内对应点的坐标即可．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：已知向量，，则故选：结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．4.【答案】A【解析】解：函数的零点解得方程的根，可得，，解得故选：函数的零点转化为方程根，求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，是基础题．5.【答案】A【解析】解：，，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；输出，故选：由题意，进行四次循环，可计算输出的本题考查程序框图，考查学生计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据抛物线的几何性质可得：，，故选：根据抛物线的几何性质，方程思想，即可求解．本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．7.【答案】C【解析】解：基本事件为：甲选《难却》+《兰亭序》，乙选《难却》+《兰亭序》，甲选《难却》+《兰亭序》，乙选《难却》+《最初的梦想》，甲选《难却》+《兰亭序》，乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，甲选《难却》+《许愿》，乙选《难却》+《兰亭序》，甲选《难却》+《许愿》，乙选《难却》+《最初的梦想》，甲选《难却》+《许愿》，乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，甲选《难却》+《最初的梦想》，乙选《难却》+《兰亭序》，甲选《难却》+《最初的梦想》，乙选《难却》+《最初的梦想》，甲选《难却》+《最初的梦想》，乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，共9种情况，其中甲、乙没有相同的参赛歌曲的事件为：甲选《难却》+《许愿》，乙选《兰亭序》+《最初的梦想》，共1种情况，所以甲、乙有相同的参赛歌曲的事件有8种情况，故概率为故选：利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案．本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由解得，设，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，所以的最大值为故选：画出可行域，求目标函数的最大值，从而求得正确答案．本题主要考查简单线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：函数的最小正周期为，设，，，所以故选：确定后，先判断函数值的正负，再利用中间值比较大小即可．本题考查三角函数的性质，考查比较大小，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：在正四棱柱中，E是的中点，，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设BE与平面所成角为，则BE与平面所成角的正弦值为：故选：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：因为，所以，又因为，所以，，所以故选：结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式来求得正确答案．本题主要考查了同角基本关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：椭圆方程为，，，，又曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，不妨设A，B为x轴上的左右交点，C，D为y轴上的上，下交点，则易得，，，，又P为椭圆上一点，且椭圆的两交点为，，，，点轨迹为以C，D为焦点，长轴长为的椭圆，，，，，，点轨迹方程为，又P为椭圆上一点，联立，解得，即，到x轴的距离为，故选：根据椭圆的几何性质，椭圆的概念，方程思想，即可求解．本题考查椭圆的几何性质，椭圆的概念，方程思想，属中档题．13.【答案】5【解析】解：由，得，即函数的图象在点处的切线的斜率为故答案为：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值即可得答案．本题考查导数的概念及其几何意义，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．14.【答案】【解析】解：由题意可知，当，即时，集合，满足题意，当，即时，集合或，，，解得，综上所述，a的取值范围是故答案为：由题意可知，再利用集合间的包含关系求解即可．本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．15.【答案】【解析】解：在中，，，由余弦定理得，，，又，则，故答案为：利用余弦定理可得，结合且，即可得出答案．本题考查三角形中的几何计算，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设圆锥外接球的半径为R，则，解得，由球的性质可得圆锥的外接球球心与圆锥底面圆的圆心连线与底面圆垂直，所以球心O在圆锥的高线SM或SM的延长线上，如图所示：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，因为母线长为4，所以，解得，，所以圆锥的底面圆面积为故答案为：求出圆锥外接球的半径R，由球的性质可得圆锥的外接球球心与圆锥底面圆的圆心连线与底面圆垂直，利用勾股定理求出圆锥的高和底面圆半径，再计算底面圆面积．本题考查了圆锥与球的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：由，得，这100名参赛学生的平均成绩约为分，故估计所有参赛学生的平均成绩为82分；获得表彰的学生人数的频率为，设获得表彰的学生的最低分数线为x，由分数在区间的频率为，可知，由，得，故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分．【解析】利用频率分布直方图频率和为1计算m的值，再计算平均数；获得表彰的学生人数的频率为，进而可得最低分数线在内，再进行求解．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的估计，属于基础题．18.【答案】解：设等比数列的公比为q，，且，，，联立解得，，证明：，数列的前n项和为，数列为单调递增数列，当时，，因此结论成立．【解析】设等比数列的公比为q，由，且，可得，，联立解得，q，即可得出，利用求和公式即可得出数列的前n项和为，再利用数列的单调性即可证明结论．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：在三棱柱中，，，在平面ABC上的射影为AB的中点D，连接，如图，平面ABC，平面ABC，，，平面，平面，，，三棱柱的高，，多面体的体积为：【解析】连接，则平面ABC，，从而平面，进而，由此能证明三棱柱的高，，多面体的体积为，由此能求出结果．本题考查线面垂直的判定与性质、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：的定义域为，则，令得，当时，；当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为；证明：由，得，则，所以，令，则，若，则当时，，而，所以对不可能恒成立，所以，令函数，则，令得，当时，，当时，，所以，所以，所以，令函数，则，令得，当时，，当时，，所以，所以，即【解析】求导数，结合定义域确定，的解集即可得单调区间；将原不等式变形整理成，构造新函数，分析讨论，时不等式成立情况，再将问题转化为，设函数，求导数确定单调性与最值，即可证明结论．本题考查了函数单调性、含参不等式恒成立与导数的综合应用，属于中等难度题．解决本题中含双参不等式的关键是先化简指对混合结构的不等式，利用指对同构，涉及的母函数为，则不等式化为恒成立，构造新函数，确定其单调性与最值即可转换为恒成立，将双参数不等式转化为单变量不等式恒成立问题，即再构造函数，求导确定其最值即可证得21.【答案】解：解：曲线C的参数方程为为参数，消去参数可得，又，所以曲线C的普通方程为，由，由可得：，故直线l的直角坐标方程为；由知直线l为，故直线的其中一个参数方程为为参数，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，设A，B对应的参数分别是，，则，，且，则，，由，故【解析】在曲线C的参数方程中消去参数，即可得其普通方程，将代入，即可得直线l的直角坐标方程；写出直线l过点的参数方程，设出A，B两点的参数，与曲线C联立，判别式大于零，韦达定理可得关于A，B参数的等式，根据参数的几何意义代入中计算即可．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．22.【答案】证明：因为，，，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以由，且c为正数，得，则，则，由柯西不等式可得：，当且仅当时，等号成立，所以【解析】利用重要不等式，结合综合法即可得证；利用柯西不等式即可证明不等式．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式以及基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．。
