《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇 第9讲 函数的应用

第 7讲函数图象A 级基础操练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．函数 y＝e sin x(－π≤x≤π)的大概图象为()．π π分析因－π≤ x≤π，由 y′＝e sin x cos x>0，得－2<x<2.则函数 y＝e sin x在区间π π－2，2上为增函数，清除 A 、B、C，应选 D.答案D2．已知函数 f(x)＝4－ 1的定义域是 [a，b](a，b∈Z )，值域是 [0,1] ，则知足|x|＋ 2条件的整数对 (a， b)共有()．A．2 对B．5 对C．6 对D．无数对分析明显 f(x)＝4－1 为偶函数．其图象如图所|x|＋2示．4－1，x≥0，f(x)＝x＋2要使值域 y∈ [0,1] ，且－ 4x－2－1，x<0，a，b∈Z，则 a＝－ 2，b＝0,1,2；a＝－ 1，b＝2；a＝0，b＝2，∴共有 5 对．答案B1 x－ππ．已知函数f(x)＝－ tan x<x<，若实数 x0是函数 y＝ f(x)的零点，且 0<t<x0，3e22则 f(t)的值()．A ．大于 1B ．大于 0C ．小于 0D ．不大于 01 xπ π分析 分别作出函数 y ＝ e与 y ＝tan x 在区间 －2，2 上的图象，获得π＝ 1 x 的图象位于函数 y ＝tan x 的图象上 0 ，且在区间 (0， x 0 内，函数e 0<x <2)y 方，即 0<x<x 0 时， f(x)>0，则 f(t)>0，应选 B. 答案 B4．如图，正方形 ABCD 的极点 A，2，B2， 0 ，极点 C 、D 位于第一象限，22直线 l ：x ＝t(0≤ t ≤ 2)将正方形 ABCD 分红两部分，记位于直线 l 左边暗影部分的面积为 f(t)，则函数 S ＝ f(t)的图象大概是( )．分析当直线 l 从原点平移到点 B 时，面积增添得愈来愈快；当直线 l 从点 B平移到点 C 时，面积增添得愈来愈慢．应选 C.答案C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )5．设函数 f(x)＝ |x ＋ 2|＋|x －a|的图象对于直线 x ＝2 对称，则 a 的值为 ________．分析 由于函数 f(x)的图象对于直线 x ＝2 对称，则有 f(2＋ x)＝f(2－ x)对于随意实数 x 恒建立，即 |x ＋4|＋ |x ＋2－a|＝ |x － 4|＋|x －2＋a|对于随意实数 x 恒成2－a ＝－ 4，立，进而有解得a ＝6.a －2＝4，答案616．(2011 新·课标全国 )函数 y＝1－x的图象与函数 y＝2sin x(π－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．1－1分析函数 y＝1－x＝x－1和 y＝ 2sin xπ的图象有公共的对称中心 (1,0)，画出两者图象如下图，易知 y＝1－1x与 y＝2sin x(π－2≤x≤4)的图象共有8 个交点，不如设其横坐标为 x1，x2， x3，x4，x5，x6，x7， x8，且 x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由对称性得x1＋ x8＝x2＋x7＝ x3＋x6＝x4＋ x5＝2，∴x1＋ x2＋x3＋x4＋ x5＋x6＋x7＋ x8＝8.答案8三、解答题 (共 25 分 )7．(12 分 )议论方程 |1－ x|＝ kx 的实数根的个数．解设 y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－ x|的图象与 y＝kx 的图象交点的个数．由右侧图象可知：当－ 1≤k<0 时，方程没有实数根；当k＝0 或k<－1 或k≥1 时，方程只有一个实数根；当 0<k<1 时，方程有两个不相等的实数根．x8．(13 分 )已知函数 f(x)＝1＋x.(1)画出 f(x)的草图； (2)指出 f(x)的单一区间．x1解(1)f(x)＝1＋x＝1－x＋1，函数f(x)的图象是由反比1例函数 y＝－x的图象向左平移 1 个单位后，再向上平移1个单位获得，图象如下图．(2)由图象能够看出，函数 f(x)有两个单一递加区间： (－∞，－ 1)，(－1，＋∞ )．B 级能力打破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )11．函数＝ ln|2x－3|的大概图象为 (如下图 )()．－ln 2x－ 3 ，x>3 2，分析y＝－ ln|2x－3|＝3－ ln 3－2x ，x<2，33故当 x>2时，函数为减函数，当x<2时，函数为增函数．答案A2．(2012 ·江西 )如右图，已知正四棱锥S－ABCD 全部棱长都为 1，点 E 是侧棱 SC 上一动点，过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分红上、下两部分．记 SE＝x(0<x<1)，截面下边部分的体积为 V(x)，则函数 y＝V(x)的图象大概为()．1分析(1)当 0<x<2时，过 E 点的截面为五边形EFGHI (如图 1 所示 )，连结 FI，由 SC 与该截面垂直知， SC⊥EF，SC⊥EI，∴ EF＝ EI＝SEtan 60°＝ 3x， SI ＝2SE＝ 2x，IH ＝ FG＝ BI＝1－2x，FI ＝GH＝2AH＝ 22x，∴五边形EFGHI12122的面积 S＝FG×GH＋2FI×EF－2FI＝22x－32x ，∴ V(x) ＝ V－EFGHI ＋2V －BHC＝12x－ 2 ×＋×1 ×1×1×(1－C I3 (2 3 2x ) CE23223222x)×2 (1－2x)＝2x －2x＋6 ，其图象不行能是一条线段，故清除C，D.1(2)当2≤x<1时，过 E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△ EFG，则EG＝EF＝ECtan 60°＝3(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥 E－FGC2底面 FGC 上的高 h＝ECsin 45 ＝°2 (1－ x)，23∴V(x)＝3×2CG·CF·h＝3 (1－x) ，∴V′(x)＝－2(1－x)2，11又明显′(x)＝－－x)2在区间1， 1 上单一递加，′x∈1，1，V2(12V (x)<02231∴函数V(x)＝3 (1－x)在区间2，1 上单一递减，且递减的速率愈来愈慢，故清除 B，应选 A.答案A二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．使 log (－ x)<x＋1 建立的 x 的取值范围是 ________．2分析作出函数 y＝log2(－x)及＝＋的图象．此中＝ 2 －x)与＝2 y x 1y log (y log x的图象对于 y 轴对称，察看图象 (如下图 )知－ 1<x<0，即 x∈ (－ 1,0)．也可把－x>0，原不等式化为x＋ 1 后作图．－x<2答案(－ 1,0)24．(2011 ·北京 )已知函数 f(x)＝ x，x ≥2，若对于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不x －1 3，x<2.同的实根，则实数 k 的取值范围是 ________．2，x ≥2，分析作出函数 f(x)＝x的简图，方程x － 1 3，x<2f(x)＝k 有两个不一样的实根，也就是函数 f(x)的图象与直线 y ＝k 有两个不一样的交点，因此 0<k<1.答案(0,1)三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )已知函数 f(x)＝ x|m －x|(x ∈R )，且 f(4)＝ 0.(1)务实数 m 的值；(2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数；(3)依据图象指出 f(x)的单一递减区间；(4)依据图象写出不等式 f(x)>0 的解集；(5)求会合 M ＝{ m|使方程 f(x)＝m 有三个不相等的实根 } ．解 (1)∵f(4)＝ 0，∴ 4|m －4|＝0，即 m ＝4.x x － 4 ，x ≥4，(2)∵f(x)＝x|m －x|＝x|4－x|＝ －x x －4 ，x<4.∴函数 f(x)的图象如图：由图象知 f(x)有两个零点．(3)从图象上察看可知： f(x)的单一递减区间为 [2,4] ．(4)从图象上察看可知：不等式 f(x)>0 的解集为： { x|0<x<4 或 x>4} ．(5)由图象可知若 y＝ f(x)与 y＝m 的图象有三个不一样的交点，则0<m<4，∴集合 M＝{ m|0<m<4} ．16．(13 分)设函数 f(x)＝x＋x(x∈(－∞， 0)∪ (0，＋∞ ))的图象为 C1，C1对于点A(2,1)的对称的图象为C2， C2对应的函数为 g(x)．(1)求函数 y＝ g(x)的分析式，并确立其定义域；(2)若直线 y＝ b 与 C2只有一个交点，求 b 的值，并求出交点的坐标．1解(1)设 P(u，v)是 y＝ x＋x上随意一点，1∴v＝u＋u①.设 P 对于A(2,1)对称的点为Q(x， y)，u＋x＝4，u＝ 4－ x，∴?v＋y＝2v＝ 2－ y，代入①得112－ y＝4－x＋ 4－x? y＝x－2＋ x－4，1∴g(x)＝ x－ 2＋x－4(x∈(－∞， 4)∪(4，＋∞ ))．y＝ b，(2)联立1? x2－(b＋ 6)x＋ 4b＋9＝0，y＝ x－ 2＋x－4∴Δ＝(b＋6)2－ 4× (4b＋ 9)＝b2－4b＝0? b＝0 或 b＝ 4.∴当 b＝0 时得交点 (3,0)；当 b＝ 4 时得交点 (5,4)．特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

第4讲平面向量应用举例[最新考纲]1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．2．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．3．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．4．向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.学生用书第76页1．向量与其他数学知识的交汇(1)已知△ABC 中，BC 边最长，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为钝角三角形．(×)(2)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是矩形．(×) (3)(2014·贵州调研改编)在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.(√) 2．平面向量在物理中的应用(4)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2大小为19.(√)(5)已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为2.(√) [感悟·提升]1．一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算． 2．两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.考点一 向量在平面几何中的应用【例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.(2)(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．审题路线 (1)法一：把向量AE →与BD →分别用基底AD →，AB →表示． 法二：建立平面直角坐标系?求向量AE →，BD →的坐标．(2)把向量AC →与BE →分别用基底AB →，AD →表示?利用AC →·BE →＝1整理?建立关于|AB →|的一元二次方程?解得|AB →|.解析 (1)法一 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.法二 以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (1,2)．∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)．从而AE →·BD →＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.(2)由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝1，即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°，所以AB →·AD →＝12|AB →|，因此①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1，解得|AB →|＝0(舍去)或12，所以AB 的长为12. 答案 (1)2 (2)12规律方法 用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．【训练1】 (1)(2014·杭州质检)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →＝( )．(2)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比值是( )．解析 (1)建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，∴AC →＝(3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14，∴AC →·AE →＝3×334＝94.(2)由已知可得PC →＝2AP →，∴P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )， 易知S △PAB ＝13S △ABC ，即S △PAB ∶S △ABC ＝1∶3.答案 (1)D (2)A考点二 向量在三角函数中的应用【例2】 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝?sin β＋cos β?2＋?4cos β－4sin β?2 ＝17－15sin 2β≤4 2. 又当β＝k π－π4(k ∈Z )时，等号成立， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16，得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .规律方法 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【训练2】 (2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解 (1)由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π， 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6. 学生用书第77页【例3】 (2013·湖南卷)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 2＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值为13－43(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.规律方法 向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ?a ·b ＝0；a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法．【训练3】 已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32?y －b ?，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y 3.把a ＝－x2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．创新突破5——破解平面向量与圆的交汇问题【典例】 (2013·湖南卷改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0?.若向量c 满足|c －a －b |＝1?，则|c |的最大值为________． 突破1：根据条件?转化到平面直角坐标系中．突破2：把条件?坐标化．突破3：把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程． 突破4：利用圆的知识求|c |max .解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量， ∴可设OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)，OC →＝c ＝(x ，y )． ∴c －a －b ＝(x －1，y －1)， ∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C (x ，y )的轨迹是以M (1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c |＝x 2＋y 2，∴|c |的最大值为|OM |＋1， 即|c |max ＝2＋1. 答案2＋1 [反思感悟] 平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决． 【自主体验】1．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2 OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →＝( )． C ．3 D ．23解析 由2 OA →＋AB →＋AC →＝0，得2 OA →＋OB →－OA →＋OC →－OA →＝0，即OB →＝－OC →，即O ，B ，C 三点共线，BC 为△ABC 外接圆的直径，故∠BAC ＝90°.又|OA →|＝|AB →|，得B ＝60°，所以C ＝30°，且|CA →|＝3(如图所示)． 所以CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos 30°＝3×2×32＝3.答案 C2．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝x OA →＋y OB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析法一 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，32， 设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)， 由OC →＝x OA →＋y OB →， 得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.法二 依题意，|OC →|＝1，则|OC →|2＝1， 又OC →＝xOA →＋yOB →，|OA →|＝|OB →|＝1， <OA →，OB →>＝120°，∴x 2·OA →2＋y 2·OB →2＋2xyOA →·OB →＝1，因此x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝1，xy ＝x 2＋y 2－1. ∴3xy ＝(x ＋y )2－1≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4. ∴x ＋y 的最大值是2. 答案 2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )． A ．1 B ．－1 C. 3 解析 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ， 而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 答案 A2．(2014·南昌模拟)若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( )． C ．2 3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝8sin 15°cos 15°×32＝4×sin 30°×32＝3. 答案 B 3.(2013·哈尔滨模拟)函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB→＝( )．A ．4B ．6C ．1D ．2 解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B4．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )． A ．－π6 B ．－π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 答案 D5．(2014·安庆二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若4aBC →＋2bC A →＋3cAB →＝0，则cos B ＝( )．A ．－1124 D ．－2936解析 由4aBC →＋2bC A →＋3cAB →＝0，得4aBC →＋3cAB →＝－2bC A →＝－2b (BA →－BC →)＝2bAB →＋ 2bBC →，所以4a ＝3c ＝2b .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 24＋49b 2－b 22·b 2·23b ＝－1124.答案 A 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析 由题意知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2， 即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →) ＝AB →2＝2?c ＝|AB →|＝ 2.答案 27．(2014·南通一调)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则BA →·BC →|BC →|＝________.解析 易知满足|AB →＋AC →|＝|BC →|的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，于是BA →·BC →|BC →|＝|BA →|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.答案 128．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________. 解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0， 于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223，又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC →＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1.答案 －1 三、解答题9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )．由MA →＝2AN →，得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎨⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.10．(2014·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )．解析 由题意，得OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使直线OA 与圆相切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 答案 D2．(2014·北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为( )． 3 C ．3 3 3 解析如图所示，CD →＝AD →－AC →＝12AD →－AB →，∴CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AB →2，即3＝14AD →2＋AB →2－AD →·AB →，∵|AD →|＝|AB →|，∴54|AD →|2－|AD →||AB →|cos 60°＝3，∴|AD →|＝2. 又BC →＝AC →－AB →＝12AD →，∴|BC →|＝12|AD →|＝1，∴|BC →|2＋|CD →|2＝|BD →|2，∴BC ⊥CD .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×sin 60°＋12×1×3＝32 3，故选B.答案 B二、填空题3．(2014·苏锡常镇二调)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a 与b 的夹角大小为________．解析 |a |＝2，|b |＝1，|a ＋x b |≥|a ＋b |对一切实数x 恒成立，两边平方整理得x 2＋2a ·b x －2a ·b －1≥0对一切实数x 恒成立，所以(2a ·b )2＋4(2a ·b＋1)≤0，即(a ·b ＋1)2≤0，所以a ·b ＝－1，故cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－22，又<a ，b >∈[0，π]，所以<a ，b >＝3π4，即a ，b 的夹角是3π4.答案3π4三、解答题4．(2014·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4 ＝32sin x2＋1＋cosx 22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，32.方法强化练——平面向量 (对应学生用书P283)(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，即a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得，m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 答案 A2．(2013·德州一模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )．A ．－6B ．－23D ．14解析 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.答案 C3．(2013·浙江五校联考)已知|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，则|a ＋2b |＝( )． A ．9 B ．3 C ．1 D ．2解析 由|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝1， ∴4a ·b ＝4，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝5＋4＝9， ∴|a ＋2b |＝3. 答案 B4．(2014·郑州一模)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )．A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．63解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝0，即－2＋3m －4＝0，解得m ＝2 3. 答案 B5．(2014·长春一模)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )．解析 a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12.所以<a ，b >＝π3.答案 B6．(2013·潮州二模)已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1,2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( )． A ．－1 B ．0 C.12解析 a ⊥b ?a ·b ＝0，即1－2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝0. 答案 B7．(2014·成都期末测试)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则有( )． ＝2OD → ＝OD →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即OB →＋OC →＝2OD →＝2AO →，所以OD →＝AO →，即O 为AD 的中点． 答案 B8．(2013·潍坊一模)平面上有四个互异点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定 解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. 所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形． 答案 B9．(2013·兰州一模)在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°.则AG →·BG →＝( )． A ．－89 B ．－109 D ．－5－39解析 由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，所以BC ＝3，∠ACB ＝90°，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则A (0,1)，B (－3，0)，所以重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，13，所以AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－23，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，13，所以AG →·BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫233，13＝－89. 答案 A10．(2014·皖南八校第三次联考)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 边上的动点(可以与A 或B 重合)，则DE →·CD →的最大值是( )．A ．1 C ．0 D ．－1解析 建立直角坐标系如图所示，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则D (0,1)，C (1,1)，B (1,0)，所以DE →·CD →＝(x ，－1)·(－1,0)＝－x ，当x ＝0时取得最大值0. 答案 C 二、填空题11．(2013·济南模拟)若a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝x －2＝0，∴x ＝2. 答案 212．(2013·昆明期末考试)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．解析 a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，∴|a |＝2，|b |＝2，∴cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝222＝22，∴<a ，b >＝π4.答案π413．(2014·杭州质检)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB →·CD →＝________.解析 AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝2×1－2×3cos 30°＝－1. 答案 －114．(2014·湖南长郡中学、衡阳八中联考)已知G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→＝________(用e 1，e 2，e 3表示)． 解析 由A 1A 2→＝A 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2A 2→＝e 1 ①，B 1B 2→＝B 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2B 2→＝e 2 ②，C 1C 2→＝C 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2C 2→＝e 3 ③，且G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，所以A 1G 1→＋B 1G 1→＋C 1G 1＝0，G 2A 2→＋G 2B 2→＋G 2C 2→＝0，将①②③相加得G 1G 2→＝13(e 1＋e 2＋e 3)． 答案13(e 1＋e 2＋e 3) 三、解答题15．(2013·漯河调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值． 解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .① 又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋?cos θ－1?24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.16．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.17．(2013·银川调研)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.18．(2014·太原模拟)已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )．(1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．解 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减， ∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π.∴A ＝π3. ∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5， 又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.。

第 3 讲 函数的奇偶性与周期性A 级 基础操练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．f(x)是定义在 R 上的奇函数，且知足 f(x ＋2)＝f(x)，又当 x ∈(0,1)时， f(x)＝ 2x－ 1，则 f(log 126)等于()．A ．－ 5B ．－6C ．－ 5D ．－ 16 21分析f(log 26)＝－ f(log 26)＝－ f(log 26－2)．3 3 1∵log 26－2＝log 22∈(0,1) ，∴ f log 22 ＝2，∴f(log 1 126) ＝－ 2.答案 D2．(2011 ·安徽 )设 f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤ 0 时， f(x)＝2x 2－x ，则f(1)等于()．A ．－ 3B ．－1C ．1D ．3分析∵f(x)是定义在R 上的奇函数，且x ≤0 时，f(x)＝2x 2－x ，∴f(1)＝－ f(－21)＝－ 2×(－1) ＋(－1)＝－ 3.3．定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x)＝f(x ＋2)，当 x ∈[3,5] 时， f(x)＝2－|x －4|，则以下不等式必定建立的是()．A ．f cos2π 3 >f sin2π3B ． f(sin 1)<f(cos 1)C ．f sinπ 6 <f cosπ6D ．f(cos 2)>f(sin 2)分析 当 x ∈ [－1,1]时， x ＋4∈[3,5]，由 f(x)＝f(x ＋2)＝ f(x ＋4)＝ 2－ |x ＋ 4－ 4| ＝2－|x|，2π明显当 x ∈[ －1,0]时， f(x)为增函数；当 x ∈[0,1] 时， f(x)为减函数， cos 3 ＝－1 2π 3 1 1 1 3 2π 2π2，sin 3 ＝ 2 >2，又 f －2 ＝f 2 >f 2 ，所以 f cos 3 >f sin3 .答案 A－x，x ≥0，．·连云港一模 ) 已知函数 f(x) 1－2()．＝则该函数是4 (20132 x－1，x<0，A ．偶函数，且单一递加B ．偶函数，且单一递减C ．奇函数，且单一递加D ．奇函数，且单一递减分析当 x>0 时， f(－ x)＝2－x －1＝－ f(x)；当 x<0 时， f(－x)＝1－2－ (－ x)＝ 1－2x＝－ f(x)．当 x ＝0 时，f(0)＝ 0，故 f(x)为奇函数，且 f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数， f(x)＝2x －1 在 (－∞ ，0)上为增函数，又 x ≥0 时 1－ 2－x ≥0，x<0时 2x－1<0，故 f(x)为 R 上的增函数．答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )5．(2011 ·浙江 )若函数 f(x)＝x 2－|x ＋ a|为偶函数，则实数 a ＝________.分析由题意知，函数 f(x)＝ x 2－ |x ＋a|为偶函数，则 f(1)＝ f(－ 1)，∴ 1－|1＋a|＝1－|－ 1＋ a|，∴ a ＝0.答案6．(2012 ·上海 )已知 y ＝ f(x)＋ x 2是奇函数，且 f(1)＝1.若 g(x)＝f(x)＋ 2，则 g(－ 1)＝ ________.分析 由于 y ＝f(x)＋ x 2 是奇函数，且 x ＝1 时， y ＝ 2，所以当 x ＝－ 1 时， y ＝－2，即 f(－1)＋(－1)2＝－ 2，得 f(－1)＝－ 3，所以 g(－1)＝f(－ 1)＋2＝－ 1.答案－1三、解答题 (共 25 分 )7．(12 分 )已知 f(x)是定义在f(xy)＝yf(x)＋ xf(y)．R 上的不恒为零的函数，且对随意x ，y ，f(x)都知足(1)求 f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解 (1)由于对定义域内随意 x ，y ，f(x)知足 f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令 x ＝y＝1，得 f(1)＝0，令 x＝ y＝－ 1，得 f(－ 1)＝0.(2)令 y＝－ 1，有 f(－x)＝－ f(x)＋ xf(－1)，代入 f(－ 1)＝0 得 f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的奇函数．8．(13 分)设定义在 [－ 2,2]上的偶函数f(x)在区间 [ － 2,0]上单一递减，若 f(1－m)<f(m)，务实数 m 的取值范围．解由偶函数性质知f(x) 在[0,2] 上单一递加，且f(1－ m)＝f(|1－ m|)，f(m)＝f(|m|)，－2≤1－m≤2，所以 f(1－ m)<f(m)等价于－2≤m≤2，|1－m|<|m|.1解得：2<m≤ 2.1所以实数 m 的取值范围是2，2 .B 级能力打破(时间：30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )()．1．函数 f(x)的定义域为R，若 f(x＋1)与 f(x－1)都是奇函数，则A ．f(x)是偶函数B． f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D． f(x＋3)是奇函数分析由已知条件，得f(－ x＋ 1)＝－ f(x＋1)，f(－x－1)＝－ f(x－ 1)．由 f(－x ＋1)＝－ f(x＋ 1)，得 f(－x＋ 2)＝－ f(x)；由 f(－x－1)＝－ f(x－ 1)，得 f(－ x－ 2)＝－ f(x)．则 f(－x＋2)＝ f(－x－2)，即 f(x＋ 2)＝f(x－ 2)，由此可得 f(x＋ 4)＝f(x)，即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(x＋3)＝f(x－1)，即函数 f(x＋ 3) 也是奇函数．答案D．·福建设函数1，x为有理数，D(x)＝则以下结论错误的选项是()．2 (2012)0，x为无理数，A ．D(x)的值域为 {0,1}B． D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单一函数分析明显 D(x)不但一，且D(x)的值域为 {0,1} ，所以选项 A 、D 正确．若 x是无理数，－ x， x＋ 1 是无理数；若 x 是有理数，－ x， x＋1 也是有理数．∴D(－ x)＝D(x)， D(x＋1)＝D(x)．则 D(x)是偶函数， D(x)为周期函数， B 正确，C错误．答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．f(x)＝2x＋ sin x 为定义在 (－ 1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋ f(1－ 2a)<0 的解集是 ________.分析f(x)在(－1,1)上是增函数，且 f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－ a)<f(2a －1<1－a<1，－1)等价于－ 1<2a－ 1<1，1－a<2a－1.2解得3<a<1.2答案3，14．若定义域为R的奇函数 f(x)知足 f(1＋x)＝－ f(x)，则以下结论：① f(x)的图象对于点1， 0对称；②f(x)的图象对于直线x＝1对称；③f(x)是周期函数，且 2 22是它的一个周期；④f(x)在区间 (－ 1,1)上是单一函数．此中全部正确的序是________．分析由函数为奇函数且知足 f(1＋x)＝－ f(x)，得 f(x＋2)＝f(x)，又 f 1＋ x－1 2＝－ f x－1，f1＋ x ＝f1－x ，所以②③正确．222答案②③三、解答题 (共 25 分 )2a5．(12 分 )已知函数 f(x)＝ x＋x(x≠0，常数 a∈R)．(1)议论函数 f(x)的奇偶性，并说明原因；(2)若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞ )上为增函数．务实数 a 的取值范围．解 (1)函数 f(x)的定义域为 {x|x≠0} ，当a＝ 0 时， f(x)＝x2， (x≠0)明显为偶函数；当 a ≠0 时， f(1)＝ 1＋ a ， f(－ 1)＝1－a ，所以 f(1)≠f(－1)，且 f(－1)≠－ f(1)，所以函数 f(x)＝ x 2＋ax 既不是奇函数，也不是偶函数．a 2x 3－a(2) f ′(x)＝2x － x 2＝ x 2 ，当 a ≤ 0 时， f ′(x)>0，则 f(x)在[2，＋∞ )上是增函数，当 a>0 时，由 f ′(x)＝ 2x 3－ ax 2 >0，解得 x>3 a，＋∞ )上是增函数，，由 f(x)在[223 a可知≤2.解得 0<a ≤16.2综上可知实数 a 的取值范围是 (－∞， 16]．6．(13 分 )已知函数 f(x)的定义域为 R ，且知足 f(x ＋ 2)＝－ f(x)．(1)求证： f(x)是周期函数；1 1(2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝2x ，求使 f(x)＝－ 2在[0,2 014]上的全部 x 的个数．(1)证明∵ f(x ＋2)＝－ f(x)，∴ f (x ＋4)＝－ f(x ＋2)＝－ [ －f(x)] ＝f(x)，∴ f (x)是以 4 为周期的周期函数．1(2)解 当 0≤ x ≤ 1 时， f(x)＝2x ，设－ 1≤ x ≤0，则 0≤－ x ≤1，11∴ f (－x)＝ 2(－x)＝－ 2x.∵ f (x)是奇函数，∴ f(－x)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝－1，即f(x)＝12x2x.1故 f(x)＝ 2x(－ 1≤ x ≤ 1)．又设 1<x<3，则－ 1<x － 2<1，1∴f(x－2)＝2(x－2)．又∵ f(x)是以 4 为周期的周期函数1∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝2(x－ 2)，1∴f(x)＝－2(x－ 2)(1<x<3)．12x，－ 1≤x≤1，∴f(x)＝1－2 x－ 2 ，1<x<3.1由 f(x)＝－2，解得 x＝－ 1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数，1∴f(x)＝－2的全部 x＝ 4n－1(n∈Z)．1 2 015令 0≤ 4n－1≤2 014，则4≤ n≤ 4 .又∵ n∈Z，∴ 1≤n≤503(n∈Z )，1∴在 [0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)＝－2.特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

A 级 基础演练（时间：30分钟 满分：55分）一、选择题侮小题5分，共20分） 1. f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且满足1Xf(x + 2) = f(x)，又当 x € (0,1)时，f(x) = 2-1，则 f(log 26)等于().51A .— 5B .— 6C .— 6D .—亠 21解析 f(log 26) = — f(log 26) =— f(log 26 — 2).33 1T Iog 26 — 2 = log 22 €(0,1),11二 f(log 26) =— 2 答案 D2. （2011 •安徽）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x < 0时，( ).A .— 3B .— 1C . 1D . 32解析 T f(x)是定义在R 上的奇函数，且x < 0时，f(x) = 2x — x ,A f(1) = — f(—04第3讲 函数的奇偶性与周期性二 f log 22 = 2,f(x) = 2x 2— x ,则 f(1)等于1) = —2X (—1) + (—1) =—3.3 .定义在R 上的函数f(x)满足f(x) = f(x + 2)，当x € [3,5]时，f(x) = 2 —|x —4|，则下列不等式一定成立的是().2 n 2 nA . f cos 3 >f sin 3 B. f(sin 1)<f(cos 1)n nC. f sin 6 <f cos 6D. f(cos 2)>f(sin 2)解析当x € [ —1,1]时，x+ 4 € [3,5]，由f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = 2 —|x + 4 —4|=2 —|x|,第1页共6页时2x— 1<0，故f(x)为R 上的增函数•答案C 二、填空题侮小题5分，共10分)25. (2011 •浙江)若函数f(x) = x — |x + a|为偶函数，2a| = 1 — | — 1 + a|，…a = 0. 答案 026. (2012 •上海)已知 y = f(x) + x 是奇函数，且 f(1) = 1.若 g(x) = f(x) + 2，贝V g( — 1)2解析因为y = f(x) + x 是奇函数，且x = 1时，y = 2，所以当x =— 1时，y =2—2，即f( — 1) + (— 1)=— 2，得 f( — 1) = — 3，所以 g( — 1) = f( — 1) + 2 =— 1.答案 —1三、解答题(共25分)7. (12分)已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意 x , y , f(x)都满足f(xy) = yf(x) + xf(y).显然当x € [ — 1,0]时，f(x)为增函数；当 2，sin答案x 2 n 3 132 >2 , 又 f —2x € [0,1]时，f(x)为减函数，ncos 2 n4 (2013连云港一模)已知函数f(x)>f,所以 f cos 3 >f sinA .偶函数，且单调递增 —x1—2, x >0 ,x2 —1, x<0 ,B •偶函数，且单调递减 则该函数是C •奇函数，且单调递增D •奇函数，且单调递减解析 当x>0时，f( — x) = 21 = — f(x);当 x<0 时，f( — x) = 1 — 2(-x)xL2 =— f(x) •当 xx上为增函数，f(x) = 2 — 1在(—x ■A — X=0 时，f(0) = 0，故 f(x)为奇函数，且 f(x) = 1 — 2—在［0 ,+x )■I—x 1 — 2,0)上为增函数，又x > 0时>0, x<0解析 由题意知，函数 f(x) = x — |x + a|为偶函数，贝I 」f(1) = f( — 1) ,••• 1 —11 +(1) 求f(1), f(—1)的值；(2) 判断函数f(x)的奇偶性.解(1)因为对定义域内任意x, y, f(x)满足f(xy) = yf(x) + xf(y)，所以令x= y第2页共6页=1，得f⑴=0，令x = y =—1，得f( - 1) = 0.⑵令y = —1，有f( —x)=—f(x) + xf( —1)，代入f( —1) = 0 得f( —x) = —f(x),所以f(x)是(— *,+* )上的奇函数.8 (13分)设定义在［—2,2］上的偶函数f(x)在区间［—2,0］上单调递减，若f(1 —m)vf(m)，求实数m的取值范围.解由偶函数性质知f(x)在［0,2］上单调递增，且f(1 —m) = f(|1 —m|), f(m)= f(|m|),—2 < 1 —m < 2,因此f(1 —m)vf(m)等价于—2< m<2,|1 —m|<|m|.1解得：2<m < 2.1因此实数m的取值范围是 2 , 2 .JuB级能力突破(时间：30分钟满分：45分)■ ■一、选择题侮小题5分，共10分)1.函数f(x)的定义域为R，若f(x + 1)与f(x —1)都是奇函数，则()・A . f(x)是偶函数B. f(x)是奇函数C. f(x) = f(x + 2)D. f(x + 3)是奇函数解析由已知条件，得f( —x + 1) = —f(x + 1), f( —x —1) = —f(x —1).由f( —x + 1) =—f(x + 1)，得f( —x + 2) = —f(x); 由f( —x —1) = —f(x —1)，得f( —x —2)=—f(x) •则f( —x+ 2) = f( —x —2)，即f(x + 2) = f(x —2)，由此可得f(x + 4) = f(x), 即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x + 3) = f(x —1)，即函数f(x + 3)也是奇函数.答案D•福建殳函数1, x为有理数，) D(x)=0, x为无理数，第3页共6页则下列结论错误的是().2 (2012A . D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数C. D(x)不是周期函数D. D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1},因此选项A、D正确.若x是无理数，—x , X + 1是无理数；若X是有理数，—x , X + 1也是有理数・•••D( —x) = D(x), D(x + 1) = D(x) •贝U D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案C 二、填空题侮小题5分，共10分)3・f(x) = 2x + sin x为定义在(一1,1)上的函数，则不等式f(1 —a) + f(1 —2a)<0的解集是___________ .解析f(x)在(—1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数•于是原不等式为f(1 —a)<f(2a —1<1—a<1 ,—1)等价于—1<2a —1<1 ,1 —a<2a —1.2解得3<a<1.2答案3，14•若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1 + x) = —f(x)，则下列结论：①f(x)的图象1 1关于点，0对称；②f(x)的图象关于直线x= 对称；③f(x)是周期函数，且22 2是它的一个周期；④f(x)在区间(一1,1)上是单调函数•其中所有正确的序号是1 解析由函数为奇函数且满足f(1 + x)=—f(x)，得f(x + 2) = f(x)，又f 1 + x—2「111 ・=—f x —, f + x = f —x，所以②③正确.2 2 2答案②③三、解答题(共25分)2 a5. (12分)已知函数f(x) = x + x(x半0，常数a€ R)・(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x€ [2 ,+比)上为增函数.求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为{x|x工0},2当a= 0 时，f(x) = x , (x工0)第4页共6页显然为偶函数；当a半0时，f(1) = 1 + a, f(- 1)= 1 - a,因此f(1)半 f(-1)，且f( - 1)半一f(1),2 a所以函数f(x) = X2+ X既不是奇函数，也不是偶函数.3a 2x —a(2)f f (x)=2x —x2= X2，当a< 0时，f' (x)>0 ,贝U f(x)在[2 ,+* )上是增函数，32x - a当a>0 时，由f‘ (x) =x2 >0 ,3坊解得X>叫，由f(x)在[2 , +TO)上是增函数，23 a可知< 2.解得0<a < 16.A 综上可知实数a的取值范围是(— J 16].6. (13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x + 2) = - f(x).(1)求证：f(x)是周期函数；1 12在⑵若f(x)为奇函数，且当0W x < 1时，f(x) = 2x，求使f(x) = - [0,2014]上的所有x的个数.(1) 证明••• f(x + 2) = - f(x)，f(x + 4) = - f(x + 2) =- [ -f(x)] = f(x)，••• f(x)是以4为周期的周期函数.1(2) 解当0< x< 1 时，f(x) = 2x，设一K x < 0，贝U 0 <- x < 1，1 1二f( —x)= 2(-x) = - 2x.T f(x)是奇函数，••• f(-x) =- f(x)，• ••—f(x) = - 1，即=x2 f(x) 2x.1故f(x) = 2x( —1 < x < 1).又设1<x<3，则—1<x —2<1，第5页共6页f(x —2) = 2(x —2).又V f(x)是以4为周期的周期函数1二f(x—2) = f(x + 2)=—f(x) ,•••—f(x) = 2(x —2),1•f(x) = —2(x —2)(1<x<3).12X , — 1 < x < 1 , …f(x)=1—2 x —2 , 1<x<3.1由f(x) = —2，解得x =—1.V f(x)是以4为周期的周期函数，1•f(x) = —2 的所有x = 4n —1(n € Z).1 2 015令0 w 4n —1< 2 014，则4= n W 4 '又V n€ Z ,• 1 w n w 503(n € Z ),1•••在［0,2 014］上共有503 个x 使f(x) = —2・特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计•高考总复习》光盘中内容.第6页共6页。

第9讲 函数的应用A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )．解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .答案 D2．(2013·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( )．A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B4．(2013·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x－25x ＋12，∵x ∈N *，∴y x ≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2013·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )．解析 由题意得2xy ＝20，即y ＝10x ，当x ＝2时，y ＝5，当x ＝10时，y ＝1时，排除C ，D ，又2≤x ≤10，排除B.答案 A2．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克 解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·阜阳检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y＝f (x )，则y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．解析 将P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1. 答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速度移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c .6．(13分)(2013·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r ×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π. (2)设运动场的造价为y 元，y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r)－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π. 令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2，当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0，∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r ＝40时，y min ≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。

第4 讲指数与指数函数A 级基础演练(时间：30 分钟满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共20 分)x 1．(2011 ·山东)若点( a,9)在函数y＝3aπ的图象上，则tan6 的值为( )．A．0 B.33 C．1 D. 3aππ解析由题意有 3 3＝ 3.a＝9，则a＝2，∴tan6 ＝tan答案 D1.2，b＝2．(2012 ·天津)已知a＝2 12 －0.8，c＝2log52，则a，b，c 的大小关系为( )．A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a1.2>2，而b＝解析a＝2 12 －0.8＝20.8，所以1<b<2，c＝2log52＝log54<1，所以c<b< a.答案 Aa x3．(2013 ·佛山模拟)不论 a 为何值时，函数y＝(a－1)2－恒过定点，则这个定2点的坐标是( )．A. 1，－12 B. 1，12 1 1C. －1，－2D. －1，2x 解析y＝(a－1)2－x x x a 1 12＝a 2 2 －2 2＝0，得x＝－1，则函数y＝(a －，令2 －2＝a 2 2 －2 2＝0，得x＝－1，则函数y＝(ax －1)2－a2恒过定点－1，－12 .答案 C第 1 页共 6 页4．定义运算：a* b＝a，a≤b，b，a> b，如1*2=1,则函数f(x) =2x*2-x 的值域为()．x*2-x 的值域为()．A．R B．(0，＋∞) C．(0,1] D．[1，＋∞)x*2－x＝解析f(x)＝2x，x≤0，2－x，x>0，2∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f(x)≤ 1.答案 C二、填空题(每小题5分，共10 分)5．(2013 ·太原模拟)已知函数f(x)＝x，x<0，aa－3 x＋4a，x≥0，满足对任意x1≠x2，都有f x1 －f x2x1－x2<0 成立，则 a 的取值范围是________．解析对任意x1≠x2，都有f x1 －f x2x1－x2<0 成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则0<a<1，且(a－3)×0＋4a≤ a 4.0，解得0< a≤ 1 1答案0，46．若函数f(x)＝x，x<0，2－x－2 ，x>0，则函数y＝f( f( x))的值域是________．解析当x>0 时，有f(x)<0；当x<0 时，有f(x)>0.故f(f (x))＝f x ，f x <0，2－2－f x ，fx >0－f x ，f x >0＝－x，x>0，2－2－2－2x，x<0.x，x<0.－x<0，则1－x<1.而当x>0 时，－1<－2 2<2－2x<0，则－1<－2－2x<－1 而当x<0 时，－1<－2 2.则函数y＝f(f(x))的值域是－1，－12∪1，12答案－1，－12 ∪12，1三、解答题(共25 分)第2页共 6 页7．(12 分)已知函数f(x)＝x－1 2x＋1. 2(1)判断函数f (x)的奇偶性；(2)求证f (x)在R上为增函数．x－12 2(1)解因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1－，所以f(－x)＋x x2 ＋1 2 ＋1f(x)＝1－2－x＋1 ＋1－22x＋1 ＝2－22x＋1＋22－x＋1 ＝2－2x2 2·2x＋1＋x＋1 ＝22 2x＋1 22－x＋1 ＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 2 (2)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，有2x1－1 2x2－1－＝f( x1)－f(x2)＝2x1＋1 2x2＋12 2x1－2x22x1＋1 2x2＋1，∵x1<x2,2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．－2x＋b8．(13 分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．x＋12 ＋a(1)求a，b 的值；2－2t)＋f(2t2－1)<0. (2)解关于t 的不等式f(t－1＋b解(1)因为f (x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f( x)2＋a－2 －2＋1x＋1x＋1＝＝－x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知2 4＋a1－＋12.解得a＝2. 1＋a－2x＋1x＋1 (2)由(1)知f( x)＝x＋1＋2＝－2 1 1＋x＋1.2 2由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t )＋f(2t2－1)<0 等价于f(t2－2t)<－f (2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－12t－1>0，解不等式可得t t>1或t<－3 .B级能力突破(时间：30 分钟满分：45 分)共 6 页第3页一、选择题(每小题 5 分，共10 分)x＋log a x( a>0 且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2 1．已知函数f (x)＝a＋6，则a 的值为( )．A. 1 12 B.4 C．2 D．4解析由题意知f(1)＋f(2)＝log a2＋6，即a＋log a1＋a2＋log a2＝log a2＋6，a2＋a－6＝0，解得a＝2 或a＝－3(舍)．答案 Cx－a－x( a>0 且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则2．若函数f(x)＝(k－1)ag(x)＝log a(x＋k)的图象是下图中的( )．解析函数f( x)＝(k－1)a x－a－x 为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1) a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝a x－a－x，又f(x)＝a x－a－x 为减函数，故0<a<1，所以g( x)＝log a(x＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案 A二、填空题(每小题 5 分，共10 分)3．已知函数f(x)＝2＋2ax，x≥2，xx＋1，x<2，2且f(f(1))>3a2，则a 的取值范围是________．2，则a 的取值范围是________．解析由已知得f(1)＝21＋1＝3，故f(f(1))>3a2? f(3)>3a2? 32＋6a>3a2.解得－1<a<3.答案(－1,3)2，g(x)＝4．已知f(x)＝x 12x－m，若对?x1∈[－1,3]，? x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m 的取值范围是________．解析x1∈[－1,3]时，f( x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈122－m，12－m ，即g( x2)∈14－m，1－m ，要使? x1∈[－1,3]，? x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需第4页共 6 页f(x)min≥g(x)min，即0≥14－m，故m≥11.3答案14，＋∞三、解答题(共25 分)1 a 5．(12 分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝x(a∈x－4 2R)．(1)求f (x)在[0,1]上的最大值；(2)若f (x)是[0,1]上的增函数，求实数 a 的取值范围．解(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，1 ax－a·2x， f(－x)＝－x－－x＝44 2∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．令t＝2x，t∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t2＝－t－ax，t∈[1,2]，∴g(t)＝a·t－t2＝－t－a222＋a，4a当≤1，即a≤ 2 时，g(t)max＝g(1)＝a－1；2a当1< max＝g 2<2，即2<a <4 时，g(t)2a a2 ＝；4a当≥2，即a≥ 4 时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.22a综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1；当2< a<4 时，f(x)的最大值为；当4a≥ 4 时，f(x)的最大值为2a－4.x－ln 4×4x＝2x ln 2 (·a－ (2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴f′(x)＝a ln 2×22×2x)≥0，∴a－2×2x≥0 恒成立，∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥ 4.x－1 6．(13 分)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x |.23(1)若f (x)＝，求x 的值；2(2)若2t f(2t)＋mf(t )≥0 对于t∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)当x<0 时，f(x)＝0，无解；当x≥0 时，f(x)＝2x－1，x2共 6 页第5页x－132x－3·2x－2＝0，由2 ，得2·2 x＝2 2看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2 或－x 的一元二次方程，解得2x＝2 或－1 2 ，x>0，∴x＝1.∵21t－1(2)当t∈[1,2]时，2 2t ＋m 2 t ≥0，2 2即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.共 6 页第6页。

第二篇函数与基本初等函数I第 1 讲函数及其表示A 级基础操练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．以下各对函数中，是同一个函数的是()．A ．f(x)＝ x2， g(x)＝3 x3|x|1， x≥ 0，B．f(x)＝x， g(x)＝－1，x<02n＋12n＋12n－ 1x)2n－1，n∈N*C．f(x)＝x，g(x)＝(D．f(x)＝ x· x＋1，g(x)＝x x＋ 1分析关于选项 A，因为 f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的值域及对应法例都不同样，所以它们不是同一个函数；关于选项B，因为函数f(x)的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，而 g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；关于选项 C，因为当 n∈N*时， 2n±1 为奇数，所以 f(x)＝2n＋1x2n＋1＝ x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法例都同样，所以它们是同一个函数；关于选项 D，因为函数 f(x)＝ x· x＋1的定义域为 [0，＋∞ )，而g(x)＝x x＋1 的定义域为 (－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不一样，所以它们不是同一个函数．答案C． ·江西 以下函数中，与函数1 定义域同样的函数为()．2 (2012)y ＝3x1ln xA ．y ＝sin xB ．y ＝ xxsin x C ．y ＝xeD ．y ＝ x分析 函数 y ＝ 1的定义域为 { x|x ≠0，x ∈R } 与函数 y ＝ sin x的定义域同样，3 xx应选 D. 答案D3．若一系列函数的分析式同样， 值域同样，但定义域不一样， 则称这些函数为“同族函数”，则函数分析式为 y ＝x 2＋ 1，值域为 {1,3} 的同族函数有( )．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个分析 由 x 2＋1＝1，得 x ＝ 0.由 x 2＋ 1＝ 3，得 x ＝± 2，所以函数的定义域能够是 {0 ， 2} ，{0 ，－ 2} ，{0 ， 2，－ 2} ，故值域为 {1,3} 的同族函数共有3 个．答案 C4．(2012 ·安徽 )以下函数中，不知足f(2x)＝ 2f(x)的是 ()．A ．f(x)＝|x|B ．f(x)＝x － |x|C ．f(x)＝x ＋1D ．f(x)＝－ x分析 因为关于 C ，若答案Cf(x)＝kx 与 f(x)＝k|x|均知足 f(2x)＝2f(x)，所以f(x)＝x ＋ 1，则 f(2x)＝2x ＋ 1≠ 2f(x)＝ 2x ＋2.A ，B ，D知足条件；二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )5．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出，x1 2 3 f(x)131x1 2 3 g(x)321则 f[g(1)] 的值为 ________，知足 f[g(x)]> g[f(x)] 的 x 的值是 ________．分析∵g(1)＝ 3，∴ f[g(1)] ＝ f(3)＝1，由表格能够发现g(2)＝2， f(2)＝3，∴f(g(2))＝ 3， g(f(2))＝1.答案 1 26．函数 y＝ x＋1－ x－1的值域为 ________．分析函数定义域为 [1，＋∞)，∵y＝2，x＋1－ x－1＝x＋1＋ x－1当 x≥ 1 时是减函数，∴ 0<y＝2－≤2＝ 2.x＋＋x121故函数的值域为 (0， 2]．答案(0， 2]三、解答题 (共 25 分 )2 7．(12 分)记 f(x)＝ lg(2x－ 3)的定义域为会合M，函数 g(x)＝1－x－1的定义域为会合 N，求：(1)会合 M，N；(2)会合 M∩N，M∪N.解(1)M＝ { x|2x－ 3>0} ＝ x x>3，22x－3N＝ x 1－x－1≥ 0 ＝ x x－1≥0 ＝ { x|x≥3，或 x<1} ．3(2)M∩N＝{ x|x≥3} ，M∪N＝ x x<1或 x>2.8．(13 分 )二次函数 f(x)知足 f(x＋1)－ f(x)＝ 2x，且 f(0)＝1.(1)求 f(x)的分析式；(2)在区间 [ －1,1]上，函数 y＝f(x)的图象恒在直线 y＝ 2x＋m 的上方，试确立实数 m 的取值范围．解 (1)由 f(0)＝1，可设 f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠ 0)，故 f(x＋1)－ f(x)＝ a(x＋ 1)2＋b(x ＋ 1) ＋ 1 － (ax2＋ bx＋ 1) ＝ 2ax ＋ a ＋ b，由题意，得2a＝2，解得a＋b＝ 0，a＝ 1，b＝－ 1，故 f(x)＝ x2－x＋1.(2)由题意，得x2－x＋1>2x＋m，即 x2－3x＋1>m，对 x∈[ －1,1]恒建立．令g(x)＝x2－ 3x＋1，则问题可转变为g(x)min >m，又因为 g(x)在[－ 1,1]上递减，所以 g(x)min＝g(1)＝－ 1，故 m<－1.B 级能力打破 (时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )|lg x|，0<x≤ 10，1．已知函数f(x)＝1若 a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，－2x＋6，x>10.则 abc 的取值范围是()．A ．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)分析a，b，c 互不相等，不如设a<b<c，∵f(a) ＝ f(b) ＝ f(c) ，由图可知0<a<1,1<b<10,10<c<12.∵f(a)＝ f(b)，∴|lg a|＝|lg b|，1 1∴l g a＝－ lg b，即 lg a＝lg b? a＝b，∴a b＝1,10<abc＝c<12.故应选 C.答案 C．定义两种运算：⊕ ＝2－b2，a?b＝a－b 2，则函数 f(x)＝2⊕x的解2 a b a x?2 －2析式为()．4－x 2A ．f(x)＝， x∈ [－2,0)∪ (0,2]xB．f(x)＝x2－ 4x， x∈ (－∞，－ 2]∪ [2 ，＋∞ ) x2－4C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞ )x24－ xD．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]x分析∵2⊕x ＝ 4－x 2，x?2＝x －2 2 ＝|x －2|，4－x 2∴ f (x)＝|x － 2|－2.注意到定义域：4－ x 2≥0， －2≤x ≤2， ?? x ∈[ －2,0)∪(0,2]，∴ f(x)＝|x －2|≠2x ≠0且x ≠ 4－4－x 2， x ∈ [－2,0)∪(0,2]． x答案D二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )．设 ＝2 1 ＋f 1＋ f 1 ＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋ f(4)＝ ________.1－x 2，则 f3f(x)1＋x4321－x 2121111－ x分析 因为 f(x)＝ 1＋x 2，所以 f x ＝－1＋ x2，fx ＋f(x)＝0，所以 f 4 ＋f 3 ＋1f 2 ＋f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋f(4)＝f(1)＝0.答案．已知函数x 2＋1，x ≥0，的 的取值范围f(x)＝ 则知足不等式 f(1－ x 2)>f(2x) x 41， x<0，是 ________．分析由题意有1－ x 2>0， 1－x 2>2x ， 2－1，或解得－ 1<x<0 或 0≤x<2x<02x ≥0∴所求 x 的取值范围为 (－ 1， 2－ 1)．答案(－1， 2－1)三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设函数 f(x)＝1，1≤x ≤2， g(x)＝ f(x)－ ax ，x －1，2<x ≤3，x ∈[1,3] ，此中 a ∈ R ，记函数 g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．(1)求函数 h(a)的分析式；(2)画出函数 y ＝h(x)的图象并指出 h(x)的最小值．1－ ax ，1≤x ≤2， 解 (1)由题意知 g(x)＝1－a x －1，2<x ≤3，当 a<0 ，函数 g(x)是 [1,3] 上的增函数，此 g(x)max＝g(3)＝ 2－ 3a，g(x)min ＝g(1)＝ 1－ a，所以 h(a)＝1－2a；当 a>1 ，函数 g(x)是 [1,3] 上的减函数，此 g(x)min＝g(3)＝2－3a，g(x)max ＝g(1)＝ 1－ a，所以 h(a)＝2a－1；当 0≤ a≤ 1 ，若 x∈ [1,2]， g(x)＝ 1－ ax，有 g(2)≤g(x)≤ g(1)；若 x∈ (2,3]， g(x)＝ (1－a)x－1，有 g(2)<g(x)≤g(3)，所以 g(x)min＝ g(2)＝1－2a，而 g(3)－g(1)＝ (2－3a)－(1－a)＝1－2a，1故当 0≤a≤2， g(x)max＝g(3)＝ 2－ 3a，有 h(a)＝1－a；1当2<a≤ 1 ， g(x)max＝g(1)＝ 1－ a，有 h(a)＝ a.1－2a，a<0，11－a，0≤a≤2，上所述， h(a)＝1a，2<a≤ 1，2a－1，a>1.11 (2)画出 y＝h(x)的象，如所示，数形合可得h(x)min＝h 2＝2.6．(13 分 )(2012 江· )会合 P n＝{1,2 ，⋯，n} ，n∈N* . f(n)同足以下条件的会合 A 的个数：① A? P n；②若 x∈A， 2x?A；③若 x∈?P n A， 2x??P n A.(1)求 f(4)；(2)求 f(n)的分析式 (用 n 表示 )．解 (1)当 n＝ 4 ，切合条件的会合 A ：{2} ，{1,4} ，{2,3} ，{1,3,4} ，故 f(4)＝4.(2)任取偶数n，将x除以2，若商仍偶数，再除以2，⋯， k 次以x∈Pk*后，商必为奇数，此时记商为m，于是 x＝m·2 ，此中 m 为奇数， k∈N .若 m?A，则 x∈A? k 为奇数．于是 x 能否属于 A 由 m 能否属于 A 确立．设 Q n是 P n中全部奇数的会合，因n 此 f(n)等于 Q n的子集个数．当n 为偶数 (或奇数 )时， P n中奇数的个数是2(或n＋12)，n22， n为偶数，所以 f(n)＝n＋ 122， n为奇数 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容 .。

第5节 指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1.根式(1)概念:式子na 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时,n a n ＝a ,当n 为偶数时,na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0,m ,n ∈N *,且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0,m ,n ∈N *,且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ,其中a >0,b >0,r ,s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,函数的定义域是R ,a 是底数.(2)指数函数的图象与性质[微点提醒]1.画指数函数y ＝a x(a >0,且a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2.在第一象限内,指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高,底数越大.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x－1是指数函数.( ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0,＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4,故(1)错. (2)(－1)24＝4（－4）4＝1,故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0,且a ≠1), 故y ＝2x －1不是指数函数,故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1,又a ＞1,∴a x 2＋1≥a .故y ＝a x2＋1(a ＞1)的值域是[a ,＋∞),(4)错.【参考答案】(1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0,且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13,则f (－1)＝( ) A.1B.2C. 3D.3解析 依题意可知a 2＝13,解得a ＝33, 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x,所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3.【参考答案】C3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a 件,在今后m 年内,计划使每年的产量比上一年增加p %,则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( ) A.y ＝a (1＋p %)x (0<x <m ) B.y ＝a (1＋p %)x (0≤x ≤m ,x ∈N ) C.y ＝a (1＋xp %)(0<x <m ) D.y ＝a (1＋xp %)(0≤x ≤m ,x ∈N )解析 设年产量经过x 年增加到y 件,则第一年为y ＝a (1＋p %),第二年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)2,第三年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)3,…,则y ＝a (1＋p %)x (0≤x ≤m 且x ∈N ). 【参考答案】B4.(2018·晋中八校一模)设a >0,将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂,其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32解析 由题意得a 2a ·3a 2＝a 2－12－13＝a 76.【参考答案】C5.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,则f (x )( )A.是偶函数,且在R 上是增函数B.是奇函数,且在R 上是增函数C.是偶函数,且在R 上是减函数D.是奇函数,且在R 上是减函数 解析 函数f (x )的定义域为R , f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x ),∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x在R 上是增函数,函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数,∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.【参考答案】B6.(2019·福州检测)设a ＝0.60.6,b ＝0.61.5,c ＝1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1,而c ＝1.50.6>1,∴b <a <c . 【参考答案】C考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0,b >0).解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32+16-1＋13b 1+13-2-13＝a b .规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式:(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·衡水中学检测)不论a 为何值,函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是________.解析(1)y＝(a－1)2x－a2＝a⎝⎛⎭⎪⎫2x－12－2x,令2x－12＝0,得x＝－1,故函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象,如图所示.∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0,2).【参考答案】(1)C(2)(0,2)规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.【训练2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点,则b的取值范围是________.解析(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出,函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.(2)画出曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示.由图象得|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]. 【参考答案】(1)D (2)[－1,1] 考点三 指数函数的性质及应用 多维探究角度1 指数函数的单调性【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1 (2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1,则实数a 的取值范围是________.解析 (1)A 中,∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数,2.5<3, ∴1.72.5<1.73,错误；B 中,∵y ＝0.6x 在R 上是减函数,－1<2, ∴0.6－1>0.62,正确；C 中,∵(0.8)－1＝1.25,∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数,0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2,即0.8－0.1<1.250.2,错误； D 中,∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1, ∴1.70.3>0.93.1,错误.(2)当a <0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1,则2－a <8,解之得a >－3,所以－3<a <0. 当a ≥0时,则a <1,0≤a <1.综上知,实数a 的取值范围是(－3,1). 【参考答案】(1)B (2)(－3,1)角度2 与指数函数有关的复合函数的单调性【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数),若f (x )在区间[2,＋∞)上是增加的,则m 的取值范围是______. (2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2+2x +3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19,则f (x )的单调递增区间是________.解析 (1)令t ＝|2x －m |,则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上是增加的,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，m 2上是减少的.而y ＝2t 在R 上是增加的,所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2,＋∞)上是增加的,则有m2≤2,即m ≤4,所以m 的取值范围是(－∞,4]. (2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3, 由于f (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19,所以g (x )的值域是[2,＋∞). 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1,这时g (x )＝x 2＋2x ＋3,f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2x ＋3.由于g (x )的单调递减区间是(－∞,－1], 所以f (x )的单调递增区间是(－∞,－1]. 【参考答案】(1)(－∞,4] (2)(－∞,－1] 角度3 函数的最值问题【例3－3】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0,且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14,则a 的值为________.解析 令a x ＝t ,则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时,因为x ∈ [－1,1],所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ,又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增,所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14,解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时,因为x ∈[－1,1],所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ,又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增,则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14,解得a ＝13(负值舍去).综上,a ＝3或a ＝13. 【参考答案】3或13规律方法 1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小. 2.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时,当底数a 与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.【训练3】 (1)(2019·河南八市测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0,＋∞)上具有不同的单调性,则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( )A.M ＝NB.M ≤NC.M <ND.M >N(2)函数f (x )＝________,单调递减区间为________.(3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞,1]上恒成立,则实数m 的最大值为________.解析 (1)因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1,且a ≠2)在(0,＋∞)上具有不同的单调性. 所以a >2.因此M ＝(a －1)0.2>1,N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1.故M >N .(2)依题意知x 2－5x ＋4≥0,解得x ≥4或x ≤1,令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－94,x ∈(－∞,1]∪[4,＋∞),所以当x ∈(－∞,1]时,u 是减函数,当x ∈[4,＋∞)时,u 是增函数.而3>1,所以由复合函数的单调性可知,f (x )＝(－∞,1]上是减函数,在区间[4,＋∞)上是增函数.(3)把A (1,6),B (3,24)代入f (x )＝b ·a x,得⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0,且a ≠1,解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在区间(－∞,1]上恒成立,只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(－∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(－∞,1]上为减函数,所以当x ＝1时,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以只需m ≤56即可.所以m 的最大值为56. 【参考答案】(1)D (2)[4,＋∞) (－∞,1] (3)56[思维升华]1.根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小,当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题,要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成,并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解题,但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.(2019·永州模拟)下列函数中,与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A.y ＝sin xB.y ＝x 3C.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.y ＝log 2x解析 y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数.而y ＝sin x 不是单调递增函数,不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数,不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0,＋∞),不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数符合题意.【参考答案】B2.函数y ＝a x －1a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( )解析 若a >1时,y ＝a x －1a 在R 上是增函数,当x ＝0时,y ＝1－1a ∈(0,1),A,B 不满足.若0<a <1时,y ＝a x －1a 在R 上是减函数,当x ＝0时,y ＝1－1a <0,C 错,D 项满足.【参考答案】D3.(2019·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0,a ≠1)的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( )A.y ＝1－xB.y ＝|x －2|C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )解析 f (x )过定点A (1,1),将点A (1,1)代入四个选项,y ＝1－x 的图象不过点A (1,1).【参考答案】A4.设x >0,且1<b x <a x ,则( )A.0<b <a <1B.0<a <b <1C.1<b <aD.1<a <b解析 ∵x >0时,1<b x ,∴b >1.又x >0时,b x <a x ,∴x >0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1. ∴a b >1,∴a >b ,∴1<b <a .【参考答案】C5.若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)＝19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞,2]B.[2,＋∞)C.[－2,＋∞)D.(－∞,－2]解析 由f (1)＝19,得a 2＝19,解得a ＝13或a ＝－13(舍去),即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞,2]上单调递减,在[2,＋∞)上单调递增,所以f (x )在(－∞,2]上单调递增,在[2,＋∞)上单调递减.【参考答案】B二、填空题6.化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5＝________. 解析 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56 ＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .【参考答案】1a7.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________. 解析 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,因为x ∈[－3,2],所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8,故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时,y min ＝34；当t ＝8时,y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 【参考答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 8.设偶函数g (x )＝a |x +b |在(0,＋∞)上单调递增,则g (a )与g (b －1)的大小关系是________.解析 由于g (x )＝a |x +b |是偶函数,知b ＝0,又g (x )＝a |x |在(0,＋∞)上单调递增,得a >1.则g (b －1)＝g (－1)＝g (1),故g (a )>g (1)＝g (b －1).【参考答案】g (a )>g (b －1)三、解答题9.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2). (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2,且g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值.解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝2,解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x , 又g (x )＝f (x ),则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x , ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0, 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ,则t >0,t 2－t －2＝0,即(t －2)(t ＋1)＝0, 又t >0,故t ＝2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2,解得x ＝－1, 故满足条件的x 的值为－1.10.(2018·长沙一中月考)已知函数f (x )＝3x ＋a 3x ＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性,并加以证明.解 (1)因为函数f (x )是奇函数,且f (x )的定义域为R ；所以f (0)＝1＋a 1＋1＝0,所以a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1,函数f (x )在定义域R 上单调递增. 证明:设x 1<x 2∈R ,则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3x 2）（3x 1＋1）（3x 2＋1）. 因为x 1<x 2,所以3x 1<3x 2,所以3x 1－3x 2<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在定义域R 上单调递增.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2019·西安市质检)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍,则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析 设原有荒漠化土地面积为b ,经过x 年后荒漠化面积为z ,则z ＝b (1＋10.4%)x ,故y ＝z b ＝(1＋10.4%)x ,其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.【参考答案】D12.(2019·合肥检测)当x ∈(－∞,－1]时,不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.(－2,1)B.(－4,3)C.(－3,4)D.(－1,2) 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞,－1]上是减函数,知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. 故原不等式恒成立等价于m 2－m <2,解得－1<m <2.【参考答案】D13.(2018·上海卷)已知常数a >0,函数f (x )＝2x 2x ＋ax的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p +q ＝36pq ,则a ＝________.解析 因为f (x )＝2x 2x ＋ax ＝11＋ax 2x,且其图象经过点P ,Q , 则f (p )＝11＋ap 2p ＝65,即ap 2p ＝－16,① f (q )＝11＋aq 2q ＝－15,即aq 2q ＝－6,②①×②得a 2pq 2p ＋q ＝1,则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq , 所以a 2＝36,解得a ＝±6,因为a >0,所以a ＝6.【参考答案】614.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |,(1)若f (x )＝32,求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围.解 (1)当x <0时,f (x )＝0,故f (x )＝32无解；当x ≥0时,f (x )＝2x－12x ,由2x －12x ＝32,得2·22x －3·2x －2＝0, 将上式看成关于2x 的一元二次方程,解得2x ＝2或2x ＝－12,因为2x >0,所以2x ＝2,所以x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0, 即m (22t －1)≥－(24t －1),因为22t －1>0,所以m≥－(22t＋1),因为t∈[1,2],所以－(22t＋1)∈[－17,－5], 故实数m的取值范围是[－5,＋∞).。

第8讲函数与方程A级||根底演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分,共20分)1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析f′(x)＝cos x－1≤0 ,∴f(x)单调递减,又f(0)＝0 ,∴那么f(x)＝sin x－x的零点是唯一的．答案 B2．(2021·泰州模拟)设f(x)＝e x＋x－4 ,那么函数f(x)的零点位于区间()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析∵f(x)＝e x＋x－4 ,∴f′(x)＝e x＋1>0 ,∴函数f(x)在R上单调递增．对于A 项,f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0 ,f(0)＝－3<0 ,f(－1)f(0)>0 ,A不正确,同理可验证B、D不正确．对于C项,∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0 ,f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0 ,f(1)f(2)<0 ,应选C.答案 C3．(2021·石家庄期末)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内,那么实数a的取值范围是()．A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)<0 ,即(2－2－a)(4－1－a)<0 ,即a(a－3)<0 ,解之得0<a<3.答案 C4．(2021·山东)f (x )是R 上最||小正周期为2的周期函数 ,且当0≤x <2时 ,f (x )＝x 3－x ,那么函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析 当0≤x <2时 ,令f (x )＝x 3－x ＝0 ,得x ＝0或x ＝1.根据周期函数的性质 ,由f (x )的最||小正周期为2 ,可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点 ,又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0 ,∴f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案 B二、填空题(每题5分 ,共10分)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≤0 f (x －1)x >0g (x )＝f (x )－x －a ,假设函数g (x )有两个零点 ,那么实数a 的取值范围为________．解析 设n 为自然数 ,那么当n <x ≤n ＋1时 ,f (x )＝(x －n －1)2 ,那么当x >0时 ,函数f (x )的图象是以1为周期重复出现．而函数y ＝x ＋a 是一族平行直线 ,当它过点(0,1)(此时a ＝1)时与函数f (x )的图象交于一点 ,向左移总是一个交点 ,向右移总是两个交点 ,故实数a 的取值范围为a <1. 答案 (－∞ ,1)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ≤0log 2xx >0那么函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析 此题即求方程f [f (x )]＝－1的所有根的集合 ,先解方程f (t )＝－1 ,即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0 t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0 log 2t ＝－1 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0 x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 2x ＝－2和⎩⎨⎧x ≤0 x ＋1＝12或⎩⎨⎧x >0log 2x ＝12.得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－3－12 14 2三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ,且f (a )＝f (b )时 ,求1a ＋1b 的值；(3)假设方程f (x )＝m 有两个不相等的正根 ,求m 的取值范围． 解 (1)如下列图． (2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1x －1x ∈(0 1] 1－1x x ∈(1 ＋∞)故f (x )在(0,1]上是减函数 ,而在(1 ,＋∞)上是增函数 , 由0<a <b 且f (a )＝f (b ) ,得0<a <1<b ,且1a －1＝1－1b ,∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知 ,当0<m <1时 ,方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 8．(13分)函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.(1)假设函数f (x )在点(1 ,f (1))处的切线斜率为4 ,求实数a 的值；(2)假设函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点 ,求实数a 的取值范围． 解 由题意得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a . (1)f ′(1)＝3＋4－a ＝4 ,∴a ＝3.(2)法一 ①当g (－1)＝－a －1＝0 ,a ＝－1时 ,g (x )＝f ′(x )的零点x ＝－13∈(－1,1)；②当g (1)＝7－a ＝0 ,a ＝7时 ,f ′(x )的零点x ＝－73∉(－1,1) ,不合题意； ③当g (1)g (－1)<0时 ,－1<a <7；④当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4×(4＋3a )≥0－1<－23<1g (1)>0 g (－1)>0时 ,－43≤a <－1.综上所述 ,a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－43 7.法二 g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点 ,等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解 ,也等价于直线y ＝a 与曲线y ＝3x 2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－43 7. 或者又等价于当x ∈(－1,1)时 ,求值域． a ＝3x 2＋4x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－43∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－43 7. B 级|| 能力突破(时间：30分钟 总分值：45分)一、选择题(每题5分 ,共10分)1．(2021·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0 ,＋∞)内( )．A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 解析 令f (x )＝0 ,得x ＝cos x ,在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如下列图 ,由图象知 ,两个函数只有一个交点 ,从而方程x ＝cos x 只有一个解． ∴函数f (x )只有一个零点． 答案 B2．(2021·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x ) ,f (x )＝f (2－x ) ,且当x ∈[0,1]时 ,f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )| ,那么函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 32上的零点个数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 由题意知函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时 ,f (x )＝x 3 ,那么当－1≤x ≤0时 ,f (x )＝－x 3 ,且g (x )＝|x cos(πx )| ,所以当x ＝0时 ,f (x )＝g (x )．当x ≠0时 ,假设0<x ≤12 ,那么x 3＝x cos(πx ) ,即x 2＝|cos πx |.同理可以得到在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12 0 ,⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12 1 ,⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤1 32上的关系式都是上式 ,在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象 ,如下列图 ,有5个根．所以总共有6个．答案 B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x ) ,且f (x )是偶函数 ,当x ∈[0,1]时 ,f (x )＝x 2.假设在区间[－1,3]内 ,函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点 ,那么实数k 的取值范围为________．解析 依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x ) ,即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点 ,即函数y ＝f (x )与y＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如下列图) ,注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0) ,由题及图象可知 ,当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 14时 ,相应的直线与函数y ＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点 ,故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 14. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 14 4．假设直角坐标平面内两点P ,Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称 ,那么称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个 "友好点对〞(点对(P 、Q )与点对(Q ,P )看作同一个 "友好点对〞)．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1x <02e xx ≥0那么f (x )的 "友好点对〞的个数是________． 解析 设P (x ,y )、Q (－x ,－y )(x >0)为函数f (x )的 "友好点对〞 ,那么y ＝2e x ,－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1 ,∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0 ,在同一坐标系中作函数y 1＝2ex 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象 ,y 1、y 2的图象有两个交点 ,所以f (x )有2个 "友好点对〞 ,故填2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0 ,a ,c ∈R )． (1)设a >cf (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1 ,＋∞)恒成立 ,求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点 ,有几个零点 ?为什么 ?解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c 3a ,由条件a >c >0 ,得2a >a ＋c ,故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1 ,即二次函数f (x )的对称轴在区间[1 ,＋∞)的左边 ,且抛物线开口向上 ,故f (x )在[1 ,＋∞)内是增函数．假设f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1 ,＋∞)恒成立 ,那么f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ,即a －c >c 2－2c ＋a ,得c 2－c <0 , 所以0<c <1.(2)①假设f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0 ,那么c <0 ,或a <c ,二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②假设f (0)＝c >0 ,f (1)＝a －c >0 ,那么a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac3a<0 ,所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 3a 1内各有一个零点 ,故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．6．(13分)二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)假设函数在区间[－1,1]上存在零点 ,求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0) ,当x ∈[t,10]时 ,f (x )的值域为区间D ,且区间D 的长度为12－t (视区间[a ,b ]的长度为b －a )．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8 ,∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点 ,那么必有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (－1)≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤01＋16＋q ＋3≥0∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10 ,f (x )在区间[0,8]上是减函数 ,在区间[8,10]上是增函数 ,且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时 ,在区间[t,10]上 ,f (t )最||大 ,f (8)最||小 , ∴f (t )－f (8)＝12－t ,即t 2－15t ＋52＝0 , 解得t ＝15±172 ,∴t ＝15－172；②当6<t ≤8时 ,在区间[t,10]上 ,f (10)最||大 ,f (8)最||小 , ∴f (10)－f (8)＝12－t ,解得t ＝8；③当8<t <10时 ,在区间[t,10]上 ,f (10)最||大 ,f (t )最||小 ,∴f(10)－f(t)＝12－t ,即t2－17t＋72＝0 ,解得t＝8,9 , ∴t＝9.综上可知,存在常数t＝15－172,8,9满足条件.。