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5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)

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5.3证明不等式的基本方法(1) 课件(人教A版选修4-5)

5.3证明不等式的基本方法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2
2
ab b ) 0
2
即： 5 b 5 a 2 b 3 a 3 b 2 a 本题变形的方法— 因式分解法
例4
比较a
a
b 和 a
b
b
b 的
a
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
例2.已知 a , b , m 都是正数，并且 a b , 求证
证明：
a m b m a b

b ( a m ) a (b m ) b (b m )
a m b m

a b
m (b a ) b (b m )
∵ a , b , m 都是正数， 并且 a b ,
ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b
•
比较法是证明不等式的一种最基本、
最重要的一种方法，用比较法证明不等 式的步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法 例1.求证： 3 3 x x
b ) b (a
2 3 3
(a
2
b )( a
b ) ( a b )( a b ) ( a
ab b )
2
都是正数， ∴ a b 0 , a 2 a b b 2 0 ∵ a,b 又∵ a b , ( a b ) 0
( a b )( a b ) ( a

2.1《证明不等式的基本方法-比较法》课件(新人教选修4-5)[1].

2.1《证明不等式的基本方法-比较法》课件(新人教选修4-5)[1].

5.设P a 2b2 5, Q 2ab a 2 4a, 若P Q, 则实数a, b
ab 1或ab 2 满足的条件为 ________
ab 1 6.若0 a b 1, P log 1 , Q (log 1 a log 1 b), 2 2
2 2 2
Q>P>M M log 1 (a b), 则P , Q , M的大小关系是__________
2
练习
1.求证a 3b 2b(a b)
2 2
2.求证• a
b 2 2a 2b 4a 3.已知a 2, 求证 1 2 4a
2 2
例4.甲,乙 两 人 同 时 同 地 沿 同 一 路线走到 同一地点 .甲 有 一 半 时 间 以 速 度 m 行 走, 另一半时间以速度 n行 走;乙 有 一 半 路 程 以 速 度m 行 走, 另 一 半 路 程 以 速 度 n行 走. 如 果m n,问 甲 乙 两 人 谁 先 到 达 指 定 地 点.
2
2
2
2
(a b )(a b )2
a, b 0, a b 0 2 又 a b (a b) 0
故(a b)(a b)2 0即(a 3 b 3 ) (a 2b ab 2 ) 0
a b a b ab
3
3
2Hale Waihona Puke 2a 例 2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液, 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg白糖, 此时溶液的浓度 am 增加到 , 将这个事实抽象为数学 问题, 并给出证明 . bm 解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 :
一、比较法 (1)作差比较法

5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)

5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)

思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且 x 1 ， x 0 ， n 为大于 n 1 的自然数，那么有 (1 x) 1 nx .
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立. 当 是实数,且 或 0 时,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
课外训练:
能被 8 整除.
作业:课本 P 6 题 54 明天开始复习不等式(使用发的资料).
答案
1.求证:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 2 ,右边= 2 2 2 ,由于 2 4 5 3 ,故不等式成立. 4 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
证明贝努利不等式你有第二种方法吗？
答案
例4、已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．
求证：(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立 （2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n k 1时，不等式成立。 由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
3. 用 数学 归 纳法 证明 : An 5n 2 3n1 1(n N * )
能被 8 整除.
证:(1)当 n=1 时,A1 =5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当 n=k 时,Ak 能被 8 整除,即 Ak 5k 2 3k 1 1 是 8 的倍数.那么: Ak 1 5k 1 2 3k 1

人教a版高考数学(理)一轮课件：选修4-5不等式选讲

人教a版高考数学(理)一轮课件：选修4-5不等式选讲

考纲解读
通过近几年的高考题可以看出, 本 部分内容的考查主要是在绝对值 不等式的几何意义和解绝对值不 等式两个方面,考查难度一般,试题 题型较为单一 .对于绝对值不等式 的证明一般会结合函数、导数等 内容考查,难度较大,属中高档题.
1.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 其中不等式|a+b|≤|a|+|b|又称为三角不等式. (2)在|a+b|≤|a|+|b|中用向量 a,b 分别替换实数 a,b,则|a+b|<|a|+|b|的几 何意义是三角形的两边之和大于第三边(a,b 不共线). (3)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
(������ + 1)2 ≥ (x + 2)2 , ⇔ ������ + 2 ≠ 0, (������ + 1 + ������ + 2)(������ + 1-������-2) ≥ 0, 即 ������ ≠ -2, 解得 x≤- 且 x≠-2.
3 2
3 .设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a ,b ,c 之间的大小关系是 【答案】 c>b>a 【解析】分别由 a<0,b>0,c>0,再由 b 2-c2<0 得 b<c 判断.
5 .设 m 等于|a| ,|b| 和 1 中最大的一个,当|x|>m 时,求证: +
3 .|ax+b| ≤c,|ax+b| ≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b| ≤c(c>0)型不等式的解法是:先化为不等式-c≤ax+b ≤c,再利用 不等式的性质求出原不等式的解集. (2)|ax+b| ≥c(c>0)的解法是:先化为 ax+b ≥c 或 ax+b ≤-c,再进一步利用不 等式的性质求出原不等式的解集.

5.3放缩法与反证法证明不等式课件(人教A版选修4-5)

5.3放缩法与反证法证明不等式课件(人教A版选修4-5)
不等式的证 明
复习
不等式证明的常用方法:

比较法、综合法、分析法
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例 1 . 已 知 x ， y 0 ， 且 x y 2 .试 证 ： 1 x 1 y ， 中 至 少 有 一 个 小 于 2. y x

1
1 1 a b
1
a b 1 a b
a 1 a b 1 b .
1 a | |b
b

|a| 1 a b
1 a b
法３：函数的方法
例 3求 证 ： 2（ n+1-1） <1+ 1 2
1 k
1 2 2[( 1

1 3
...
1 n
2 n (n n )
*
2
1 3
2 k

2 k
1 n
k 1
2( k
k 1 ), k N
*
1


0) ( 2
1) ( 3
2 ) ( n
n 1 )] 2
n.
例4、巳知：a、b、c∈
a ab b
1 1 ab 1
当 a b 0 时，左边
1 1 a b 1 a b 1 a b |a| 1 a b

b 1 a b

a２：
ab 1 a b 1
0 ab a b ,
a b 11 1 a b
例1、若a, b, c, dR+，求证：

第二讲 证明不等式的基本方法 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)

第二讲 证明不等式的基本方法 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 ＝(ax ＋by －2xy)＋(by ＋ c z －2yz)＋( c z ＋a x －2zx) ＝( x)2≥0. b＋c 2 c＋a 2 a＋b 2 ∴ a x ＋ b y ＋ c z ≥2(xy＋yz＋zx)成立. b a x－ a 2 b y) ＋( c b y－ b 2 c z) ＋( a c z－ c a
a＋b c a b ∴ ＜ ＝ ＋ 1＋c 1＋a＋b 1＋a＋b 1＋a＋b a b ＜ ＋ ， 1＋a 1＋b c a b 即 ＜ ＋ ， 1＋c 1＋a 1＋b b a c 同理： ＜ ＋ ， 1＋b 1＋a 1＋c a b c ＜ ＋ . 1＋a 1＋b 1＋c a b c ∴以 ， ， 为边可以构成一个三角形． 1＋a 1＋b 1＋c
－2，分别代入 A、B、C、D 中，知 A、B、D 均错． 答案：C
二、填空题
5．设α、β为锐角，且M＝sin(α＋β)，N＝sinα＋ sinβ，则M、N的大小关系是________． 解析：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ<sinα＋sinβ. 答案：M<N
a＋b a b 6．设 a＞0，b＞0，M＝ ，N＝ ＋ ，则 M 与 N a＋b＋2 a＋2 b＋2 的大小关系是________．
[例 2]
设 f(x)＝3ax2＋2bx＋c， a＋b＋c＝0， f(1) 若 f(0)·
＞0，求证： (1)方程 f(x)＝0 有实根； b (2)－2＜a＜－1； (3)设 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根， 3 2 则 ≤|x1－x2|＜ . 3 3
[证明]
(1)当 a＝0，b＝－c，
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知 的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导 出所要证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻

第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)


对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a

2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法第一课时比较法课件新人教A版选修4_5

思路点拨 由于两边都是低次的整式，宜用作差法.
【证明】 (1)a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1). (2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0， ∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
解，然后得出结论.
【解析】 设原来的窗户面积与地板面积分别为 a，b， 窗户面积和地板面积同时增加的面积为 c，且ab≥10%. 则现有的窗户面积与地板面积分别为 a＋c 与 b＋c， 于是原来窗户面积与地板面积之比为ab，面积均增加 c 以 后的窗户面积与地板面积之比为ab＋＋cc，因此要确定采光条件的
题型三 比较法的实际应用 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地
板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小 于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.问同时 增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好 了，还是变坏了？请说明理由.
思路点拨 先建立数学模型，再利用不等式的知识求
a＋b 综上可知，对任意实数 a、b，都有 aabb≥(ab) 2 .
●方法技巧 (1)当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数不等式 时，常采用作商比较法. (2)作商比较法的证明步骤是：判断符号、作商、变 形、判断与1的大小.
变式训练
2.已知a>2，求证：loga(a－1)<log(a＋1)a.

不等式的证明课件3(人教A版选修4-5)

2
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2

2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2

b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2

2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4

5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)


附课本例 3.已知 a , b 是正数，且 a b ， 求证： a b a b 证明：∵ a , b 是正数，且 a b ，
a b b a
∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) , 只要证 a lg a b lg b b lg a a lg b . (a lg a b lg b) (b lg a a lg b)
4 求证: 1 a b . 3
4. 比较 loga (1 x) 与 loga (1 x)
的大小（ a 0且a 1,0 x 1）.
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
1．若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 证明：采用差值比较法： 2 4 2 2 3(1 x x ) (1 x x ) = 3 3 x2 3 x4 1 x2 x4 2 x 2 x2 2 x3 = 2( x 4 x 3 x 1) = 2( x 1)2 ( x 2 x 1) 1 2 3 2 = 2( x 1) [( x ) ]. 2 4 1 2 3 2 x 1, ( x 1) 0, 且( x ) 0, 2 4 12 3 2 ∴ 2( x 1) [( x ) ] 0, ∴ 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2 4
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
思考二.(课本第 25 页例 4) a 2b2 b2c 2 c 2a 2 ≥ abc . 已知 a , b, c 0, 求证: abc
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= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
2．非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1
证明： x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 x2 ≤1, 1 x1 ≥ 0,1 x2 ≥ 0,1 x1 x2 ≥ 0 要证 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1，
只要证 a 2 ab b2 ab ,只要证 a 2 2ab b2 0 . ∵ a b 0 ,∴ (a b)2 0 即 a 2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
am a . 求证: bm b 4.(课本第 24 页例 2)已知 a1 , a2 ,, an R ,且 a1a2 an 1 ,
求证: (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ≥ 2n 5.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)已知 a 1 , b 1 , 求证: 1 ab a b
课外练习: 1.若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 1：作差比较，作差——变形——定符号
根据 a－b>0 a>b，欲证 a>b 只需证 a－b>0.
证明： (a 3 b3 ) (a 2b ab2 ) = a 2 (a b) b2 (a b) ∵ = (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∴a b a b
a b
b a
只要证 ( 1 x1 1 x2 )2 ≥ ( 1 x1 x2 1)2
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥ 2 x1 x2 2 1 x1 x2
只要证： x1 x2 ≥ 0
x1 x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。第二讲证Biblioteka 不等式的基本方法(一)引入
思考一
方法综合
课堂练习
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
第二讲证明不等式的基本方法(一)
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知 道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、 基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解 集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面， 我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法. 思考一： 已知 a , b 是正数，且 a b ，求证： a 3 b3 a 2b ab2
4 求证: 1 a b . 3
4. 比较 loga (1 x) 与 loga (1 x)
的大小（ a 0且a 1,0 x 1）.
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
1．若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 证明：采用差值比较法： 2 4 2 2 3(1 x x ) (1 x x ) = 3 3 x2 3 x4 1 x2 x4 2 x 2 x2 2 x3 = 2( x 4 x 3 x 1) = 2( x 1)2 ( x 2 x 1) 1 2 3 2 = 2( x 1) [( x ) ]. 2 4 1 2 3 2 x 1, ( x 1) 0, 且( x ) 0, 2 4 12 3 2 ∴ 2( x 1) [( x ) ] 0, ∴ 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2 4
尝试2 尝试3
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成 立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件 为止. 其逻辑关系是： B B1 B2 Bn A . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴要证 a3 b3 a 2b ab2 ,只要证 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) ,
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
思考二.(课本第 25 页例 4) a 2b2 b2c 2 c 2a 2 ≥ abc . 已知 a , b, c 0, 求证: abc
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 3:联想尝试， 就是由已知的不等式及题设条件 出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等 式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其 逻辑关系是： A B1 B2 Bn B . 证明：∵ a 0, b 0, 且a b ∴ a 3 ab2 2a 2b , b3 ba 2 2ab2 ,
课堂练习:
1 1 x y 1.已知 a, b, x, y R 且 , x y ,求证: . a b xa yb 2.(课本第 23 页习题 2.1 第 4 题)已知 a, b, c 是正数,

求证: a 2a b2b c 2c ≥ a b c ba c c a b 3.(课本第 22 页例 2)已知 a , b, m 都是正数,并且 a b ,
∴ a 3 ab2 b3 ba 2 2a 2b 2ab2 ,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：综合法的思维特点是：执因索果. 基本不等式以 及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这 样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们 证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。 （如课本第 23 页例 1、第 24 页例 2）
附课本例 3.已知 a , b 是正数，且 a b ， 求证： a b a b 证明：∵ a , b 是正数，且 a b ，
a b b a
∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) , 只要证 a lg a b lg b b lg a a lg b . (a lg a b lg b) (b lg a a lg b)