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tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例1 求 解 令 u = x, v′ = cos x, 则 u′ =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − ∫ sin xdx
= xsin x + cos x + C
思考: 思考 如何求 提示: 提示 令 u = x , v′ = sin x, 则
∴ I=
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1+ x 2 1+ x2
earctan x + C
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
内容小结
分部积分公式 1. 使用原则 :
∫u v′dx = u v − ∫u′vdx v易求出, ∫ u′v dx易积分
v′
2. 使用经验 : “反对幂指三 , 前 u 反对幂指三” 反对幂指三 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 4. 计算格式 :
u′ = −sin x, v = ex
= ex sin x − ex cos x − ∫ ex sin x dx
故 原式 =
1 ex (sin x − cos x) + C 2
说明: 说明 也可设 必须一致 .
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为三角函数 , 但两次所设类型
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
解题技巧: 解题技巧 反对幂指三” 的 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 顺序, 前者为 u 后者为 v′. 例5 求 解 令 u = arccos x , v′ =1, 则
反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
u′ = −
1 , 1−x2
x +a
2
∫
x + a dx = x x + a − ∫
2
2
2
x2 x +a +a
2 2
dx
= x x +a −∫
2 2
( x2 +a2 )−a2 x +a
2 2
dx
2
= x x +a
2
2−
∫
x + a dx + a
2 2
∫
dx x2 +a2
1 a2 x x2 + a2 + ln( x + x2 + a2 ) + C ∴ 原式 = 2 2
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例9 求
1 − 2nx , v′ =1, 则 u′ = 2 2 n+1 ,v = x 解 令u= 2 2 n (x + a ) (x + a ) 2 x x ∴ In = 2 2 n + 2n∫ 2 dx 2 n+1 (x + a ) (x + a ) x (x2 + a2) − a2 = 2 2 n + 2n∫ dx 2 2 n+1 (x + a ) (x + a ) x = 2 2 n + 2n In − 2na2In+1 (x + a )
v=x
x 1−x2
原式 = xarccos x + ∫
dx
2
−1 2
= xarccos x − 1 2
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(1− x ) d(1−x2 ) ∫
= xarccos x− 1− x2 + C
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例6 求
1 解 令 u = lncos x, v′ = ,则 2 cos x u′ = −tanx, v = tan x
1 x 2n −1 + I 得递推公式 In+1 = 2 2 2 n 2 n 2n a ( x + a ) 2n a
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第三节 分部积分法
1 x 2n −1 + I 递推公式 In+1 = 2 2 2 n 2 n 2n a ( x + a ) 2n a 1 x 说明: 说明 已知 I1 = arctan + C 利用递推公式可求得 In . a a 例如, 1 x 3 I3 = 2 2 2 2 + 2 I2 4a (x + a ) 4a 1 x 3 1 x 1 = 2 2 2 2 + 2 ( 2 2 2 + 2 I1 ) 4a (x + a ) 4a 2a x + a 2a 1 x 3 x 3 x = 2 2 2 2 + 4 2 2 + 5 arctan + C a 4a (x + a ) 8a x + a 8a
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第三节 分部积分法
由导数公式 积分得:
第三节 分部积分法
第四章 四
(uv)′ = u′v + uv′
uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′ dx
分部积分公式
∫uv′dx = uv − ∫u′v dx 或 ∫ ud v = uv − ∫ v du
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
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备用题. 备用题 求不定积分 解 方法1 (先分部 , 再换元)
d ex −1
令 u = ex −1, 则
4
u2 +1−1
− 4(u − arctanu) + C
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方法2 方法 (先换元,再分部) 令 u = e −1, 则
x
故
= 2u ln(1+ u )
递推公式
u
u′ + −∫ v′ v
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
cos x ∫ sin x dx
cos x =1+ ∫ dx sin x cos x cos x ∴ ∫ dx − ∫ dx =1, sin x sin x
= secn−2 x ⋅ tan x− (n − 2)∫ secn−2x ⋅ (sec2 x −1) dx
= sec
n−2
x ⋅ tan x − (n − 2) In + (n − 2) In−2
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第三节 分部积分法
说明: 说明 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
证
f −1(x)d x = x f −1(x) − ∫ xd f −1(x) ∫ = x f −1(x) − ∫ f [ f −1(x)]d f −1(x)
= x f −1(x) − F[ f −1(x)] + C
注意: x = f [ f −1(x)]
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第三节 分部积分法
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第三节 分部积分法
x 求 ∫ e sin x dx. 例4 u = sin x, v′ = ex , 则 解 令
u′ = cos x, v = e
x
= ex sin x − ∫ ex cos x dx ∴ 原式
再令 u = cos x , v′ = ex , 则
