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也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
又当 x y 1时, ln( x2 y2 ) 0,
于是 ln( x2 y2 )dxdy 0.
r x y 1
例 4 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2 d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
的极限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
在直角坐标系下用平 y 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
则面积元素为 d dxdy
o
故二重积分可写为
D
x
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的.
(2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，定义中和式
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .
•
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
练习题
一、填空题:
1、当函数 f ( x, y) 在闭区域D 上______________时, 则其在D 上的二重积分必定存在 .
2、二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________.
3、若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z f (x, y) D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
播放
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，z
并取典型小区域，
z f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．
D
（二重积分中值定理）
例 1 不作计算，估计 I e( x2 y2 )d 的值，
D
其中D
是椭圆闭区域：
x2 a2
y2 b2
1
(0 b a).
解 区域 D 的面积 ab , 在D上 0 x2 y2 a2, 1 e0 ex2 y2 ea2 ,
由性质 6 知 e d ( x2 y2 ) ea2 ,
1
在 D 内有 1 x y 2 e,
故 ln( x y) 1,
D
o
12x
于是ln( x y) ln( x y)2,
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2 d .
D
D
四、小结
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质
思考题
D
D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区Hale Waihona Puke 具有可加性 ( D D1 D2 )
o
顶柱体的体积，x
D
•
n
i
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
f ( x, y)的最小值 m 1 1 ( x 1, y 2) 32 42 5
故2 I 2 0.4 I 0.5.
5
4
例 3 判断 ln( x2 y2 )dxdy 的符号.
r x y 1
解 当r x y 1时, 0 x2 y2 ( x y )2 1,
故 ln( x2 y2 ) 0;
D
ab e d ( x2 y2 ) abea2 .
D
例 2 估计I
d
的值，
D x2 y2 2 xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解 f (x, y)
1
,
( x y)2 16
区域面积 2,
在D上 f ( x, y)的最大值 M 1 ( x y 0) 4
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
f ( x, y)d f (,)
