2.1集合的基本概念

黑龙江省考研数学与应用数学复习资料离散数学重点整理离散数学是数学的一个分支，主要研究离散结构以及离散对象之间的关系。

它在计算机科学、信息技术、电子工程等领域中具有重要的应用价值。

对于准备参加黑龙江省考研数学与应用数学专业的同学来说，熟悉离散数学的重要概念和基本知识点，掌握离散数学的解题方法和应用技巧，对于提高考试成绩将起到重要的作用。

本文将对离散数学的重点内容进行整理和归纳，以供考生复习使用。

一、命题逻辑命题逻辑是离散数学中的重要内容之一。

在命题逻辑中，我们研究命题的逻辑关系，包括命题的否定、合取、析取、条件和双条件等。

此外，我们还需要掌握等价命题、永真和矛盾命题的概念，以及逻辑推理和证明方法。

1.1 命题及其逻辑关系命题是陈述性句子，可以判断其真假。

命题可以进行否定、合取、析取、条件和双条件等逻辑运算。

1.2 等价命题等价命题指的是逻辑上等价的命题，它们具有相同的真值。

1.3 逻辑推理和证明方法逻辑推理是根据已知的命题，通过推理规则得出新的命题。

证明方法是为了证明一个结论的正确性，通过逻辑推理和证明步骤来证明。

二、集合论集合论是离散数学中的另一个重要内容，它研究集合的基本概念、运算和集合之间的关系。

在集合论中，我们需要掌握集合的表示方法、集合间的运算、集合的基数以及集合的代数运算等知识点。

2.1 集合的基本概念集合是由一些确定的对象组成的整体，我们可以用不同的方式来表示一个集合。

2.2 集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集等。

2.3 集合的基数集合的基数表示集合中元素的个数，当集合的基数有限时，我们称之为有限集合。

2.4 集合的代数运算集合的代数运算指的是集合的基本运算，如幂运算、笛卡尔积运算等。

三、图论图论是离散数学的重要分支之一，它研究图的性质、图的表示方法以及图的算法和应用。

在图论中，我们需要了解图的基本概念、图的遍历算法、连通性和网络流等内容。

3.1 图的基本概念图由节点和边构成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。

高考数学第一题集合题目：高考数学第一题集合正文：一、集合的基础概念集合是数学中的一种基本概念，它是由若干确定的元素组成的总体。

在高考数学中，我们常常会遇到关于集合的问题。

下面，就让我们一起来了解一些关于集合的基础知识。

1.1 集合的定义与表示法集合是由若干确定的元素组成的总体，我们通常用大写字母A、B等来表示集合。

而集合中的元素则用小写字母a、b等表示。

例如，我们可以表示一个集合A={1, 2, 3, 4}，其中元素1、2、3、4都属于集合A。

1.2 集合的性质集合有一些基本性质，包括空集、全集、子集、真子集等。

空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集则是指某一给定范围内的元素构成的集合，用符号U表示；而子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，用符号⊆表示。

如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，则称这个子集为真子集。

1.3 常见的集合运算在高考数学中，我们会遇到一些常见的集合运算，包括并、交、差、补等。

集合的并是指包含两个或更多个集合中的所有元素的新集合，用符号∪表示；集合的交则是指两个或更多个集合中共有的元素构成的新集合，用符号∩表示；而集合的差是指从一个集合中减去另一个集合的所有元素所构成的新集合，用符号−表示；集合的补是指给定集合中不属于另一个集合的元素所构成的新集合，用符号'表示。

二、高考数学集合题的解题方法在高考数学中，集合题是一种常见的考点。

下面，我们来了解一些常用的解题方法。

2.1 集合图示法集合图示法是一种直观的解题方法，它通过用图形的方式表示集合，帮助我们更清晰地理解和解题。

例如，我们可以通过用圆形来表示集合，用交叉部分表示集合的交，用圆周上未填充的部分表示集合的差等。

2.2 元素法元素法是一种逐个检查集合元素的解题方法。

通过逐个检查集合元素是否符合给定条件，我们可以确定一个集合的内容。

例如，当解决集合的并、交、差等问题时，我们可以逐个检查集合中的元素，再通过运算规则得出结果。

七年级上数学期中考知识点下面是七年级上数学期中考所需要掌握的知识点总结：一、集合1.1 集合的基本概念集合是指有一定的规律或关系联系在一起的一些元素的总体。

1.2 集合的表示常用的几种表示方法有枚举法、描述法和图形法。

1.3 集合的运算集合的基本运算有并集、交集、差集、补集和对称差等。

1.4 集合的运算律并集的交换律和结合律、交集的交换律和结合律、差集的运算法则、补集的运算法则等。

二、分数2.1 分数的概念分数是一个整体被等分成若干份，其中的一份就是分数。

2.2 分数的基本性质分数的几个基本性质包括分数的大小比较、相同分母的分数比较、相同分子的分数比较等。

2.3 分数的四则运算分数的四则运算涉及加减乘除四个方面。

2.4 分数与带分数的互换带分数可以化成假分数进行计算，假分数也可以化成带分数进行表示。

三、代数式3.1 代数式的基本概念代数式是由数、字母和运算符号构成的代数表达式，通常用字母表示未知量。

3.2 代数式的常见形式代数式常见的形式包括多项式、分式、因式分解等。

3.3 代数式的运算代数式的基本运算包括加减乘除和化简等。

四、方程式4.1 方程式的基本概念方程式是指未知量和已知量之间通过等号相联系的式子。

4.2 方程式的解法方程式的解法一般分为开方法、配方法、消元法和因式分解法等。

4.3 一元一次方程一元一次方程是一种形如ax+b=c的方程，其中a、b、c均为常数，x为未知量。

五、图形与几何5.1 图形的基本概念图形是指具有形状、大小和位置的平面或立体图形。

5.2 基础几何知识基础几何知识包括线段、直线、射线、角、平行线等。

5.3 各种图形的面积和周长各种图形的面积和周长计算方法不同，需要做到熟练掌握。

六、常识计算6.1 近似计算近似计算是指用一些已知数近似地代替其他数，比如四舍五入、放缩等。

6.2 利率计算利率计算包括单利和复利两种计算方法。

6.3 百分数及其应用百分数是指用百分号表示的一个数，常见的应用包括增减百分数、百分数与分数的互化等。

第二章集合与不等式数学是以数量的形式，来反映和表示客观现实世界的规律的，因此在第一章我们首先学习数的运算．现实世界中的平衡关系，在数学上表现为相等；不平衡关系，则表现为不等．客观现实世界是不断发展的，原来的平衡关系，在发展中会变为不平衡，因此可以说，平衡是相对的，而不平衡是绝对的．这就给数学提出了一个任务：除了研究相等关系外，还必须十分重视不等关系的研究．不等关系在数学上用不等式表示．本章学习的就是不等式的解法及其解集，这是数学和其它学科的基础．§2.1数集和集合预备知识∙基本数集∙一元一次不等式的解重点∙集合的基本概念∙集合的运算关系难点∙子集和真子集学习要求∙理解集合是一个一般的概念∙理解集合与元素、集合与集合之间的关系，掌握集合交、并、补运算在解不等式中，数集的概念是必不可少的，所谓解各类不等式，其实就是在求它们的解集，而解集就是一个数集．在本节中，先介绍一下集合的一般概念，然后把数集及其有关概念，作一个小结，并在此基础上，补充一些相关知识．1. 集合的基本知识(1)集合集合是一个一般的概念．一个集合，是有限或无限个具有某种属性的事物的总体；构成集合的每一个事物，称为元素．例如你所在的班级就是一个集合，班上每一位同学就是班级这个集合的元素；本校的所有班级也是一个集合，校内每个班级就是本校班级这个集合的元素．通常用一个大写的西文字母标识一个集合，例如你所在的班级的集合表示为A，本校班级的集合表示为B等等．集合内的元素通常用小写的西文字母表示，例如集合A的元素的通用标识是x，x既可以表示你，也可以表示你班的任何一位同学．一个事物若是集合内的元素，则说事物属于集合，“属于”用符号“∈”表示，例如学生王明是你班级的同学，则王明∈A；一个事物若不是集合内的元素，则说事物不属于集合，“不属于”用符号“∉”，例如学生赵伟不是你班级的同学，则赵伟∉A．(2)集合的表示说到一个集合，总是包含两方面的内容：第一，构成集合的事物，也就是元素x是什么(例如学生，班级)，第二，构成集合的事物具有怎样性质(例如你所在班级的学生，本校的班级)，也就是具有怎样属性的事物才属于集合．①集合构成的两个基本原则从描述集合元素属性来讲，可以用各种不同的方式来描述属于集合的元素的属性，但不论怎样，你的描述必须符合确定性原则，即根据属性能判定某事物是否是集合内的元素．象上面提到的集合A,B的属性表达是正确的：任何一个人x，只要是学生，且在你所在的班级，则x是A内的元素，否则就不是；任何一个团体x，只要是一个班级，且这个班级是本校的，则x是B内的元素，否则就不是．象下面这种说法，就不是构成集合的事物的属性描述：本校身高170cm左右的男学生；本校男生数与女生数大致相等的班级．从集合元素方面来讲，还有一个互异性原则，即相同的元素只能算做一个元素．例如A={本校三好生或优秀学生干部}，如果有一位学生既是三好生，又是优秀学生干部，在集合A内只能算是一个元素．②集合的表示法表示集合的最直接方法，是干脆把所有元素列出来，并且用一对“{}”引住，例如A={张三，李四，王五，.....}；B ={99届机械１班，99届机械2班，2000届计算机1班， 2000届秘书1班，....}．这种方法称为列举法．当然列举法仅适用于元素个数较少的集合．如果元素个数很多甚至无限个(集合元素个数仅有有限个，称为有限集，否则称为无限集)，通常采用描述法来表示一个集合，它的一般形式是 集合标识符={元素及其特征描述}， 或 集合标识符={元素含义｜元素特征描述}， 或 集合标识符={元素标识符｜元素特征描述}． 例如 A ={机械1班的全部学生}， A ={学生|学生∈机械1班}， A ={x |x 是机械1班学生}． 课内练习11. 用标识符A 表示元素是苹果、香蕉、梨、柑橘、西瓜的集合．2. 用标识符B 表示所有你校年龄不小于15周岁的男学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C ={x |x 是本校健康状况良好的学生}； (2)D ={经常出差的业务员}； (3)D ={职工｜在本校工作}； (4)E ={x |x ∈本校书法兴趣小组}； (5)F ={王强}．2. 数集如果集合的元素是数，则称为数集． (1)基本数集数集的概念你不应该感到陌生，在第一章中不就总结了你在初中阶段所接触到的一些数集了吗？如N 是自然数集，Z 是整数集，Q 是有理数集，最后R 是实数集等等．这些数集称为基本数集．用特征法表示这些数集，就是： N ={0, 1, 2, 3, 4, .... }； N ={0和所有正整数}；N ={x |x =0或x 是1的正整数倍}； Z ={... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }； Z ={自然数和它的相反数}； Z ={x |x =0或正整数或负整数}； Z ={x |x ∈N 或-x ∈N }； Q ={整数或循环小数}；Q ={x |x =q p , p , q ∈Z ; q ≠0; p , q 既约 }；还有一些是与基本数集相近的常用数集，如N ＋＝{1, 2, 3, 4, ... }={x |x 是1的正整数倍}； R +={x |x ∈R, x ≠0｝． (2)一般数集首先回忆一下求解一元一次不等式问题．求解不等式3x <15，得x <5，即小于5的一切实数都能满足不等式，这是由属性“x 是实数，且小于5”所限定的实数的一部分，它是一个数集，不妨记作A ，在实数轴上表示这个数集，是图2-1(1)的形式；求解不等式2x +3≥-9，得x ≥-6，即不小于-6的一切实数 都能满足不等式，这是由属性“x 是实数， 且不小于-6”所限定的实数的一部分，它也 是一个数集，不妨记作B ，在实数轴上表示 这个数集，是图2-1(2)的形式(注意两张图上 空心圆点和实心圆点含义的区别，实心表示 集合中含有该点，空心则表示集合中不含该点)．称集合A ,B 、即由满足不等式的全部值构成的集合，为不等式的解集．不等式的解集常常是某个基本数集的一部分，对这种非基本数集的元素的属性说明，应该由两部分构成：第一部分说明元素取自哪个基本数集，第二部分说明元素在基本数集中的的属性．例如C 是不大于1000、不小于-20的整数集合，则C ={x |x ∈Z ; -20≤x ≤1000}；D 是绝对值大于20的实数集合，则D ={x | x ∈R ; |x |>20}； A 是不等式3x <15的解集，则A ={x | x ∈R , x <5}； B 是不等式2x +3≥-9的解集，则B ={ x | x ∈R , x ≥-6}．在具体问题中，若基本数集是实数集，元素的基本数集属性可以不写，例如可以把D 写成D ={x | |x |>20}，A 写成A ={x | x <5}，B 写成B ={x |R , x ≥-6}．但如果实际问题不是在实数范围内求解，那元素的基本数集属性是不能随便缺省的．例如，若干人分100元，每人不少于3元，问可以分给多少人？用x 表示人数，这是一个简单的不等式问题 3x ≤100，解得x ≤3331，你不能答解集是(-∞,3331)吧？解集应该是{x |x ∈N,0<x ≤33}，这时，x 的基本数集属性x ∈N 怎么也不能缺省了． 课内练习21. 把下列描述的数集，用特征法表示 (1)数集B 是平方等于1的全体； (2)数集A 是大于0、不大于5的奇数；(3)方程2x 2-4x +3=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有 理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式0<3x +6≤12在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在图2-1(1)图2-1(2)有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ． 2. 求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来： (1)2x +3≤7；(2)-3x -2>6；(3)x +6≥3x +8；(4)5x +3<-2x -4．3. 集合的运算 (1)交集在初中，你也学习过解一元一次不等式组，例如解不等式组x +1≥6 (1) 2x -3≤15 (2) 解(1)得到解集A ={x |x ≥5}，解(2)得解集B ={x |x ≤9}．不等式组的解，应使(1),(2)同时满足，也即x 既要属于(1)的解集A ，也要属于(2)的解集B ，因此不等式组的解是A ,B 的公共部分，不难写出公共部分是C ={x |5≤x ≤9}，我们称由A ,B 的公共部分组成的C 为A , B 的交集．所谓“交”如果在数轴上表示数集A ,B ，那么“相交” 的意义再直观不过了(见图2-2)． 一般地，设A ,B 是两个集合，A ,B 的公共部分组成的集合C 称为A ,B 的交集，记作C =A ∩B ．根据交集的构成，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B } (2-1-1) 集合的交是一种运算，运算的对象是集合，“∩”是运算符，运算结果得到交集．集合的交运算可以形象地以图2-3表示． 例1 求下列集合的交集： (1)A ={2, 4, 7}，B ={-2, 1, 2, 4}； (2)A ={等腰三角形}，B ={直角三角形}, (3)A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >-4}． 解 (1) A ∩B ={2, 4} ▌ (2)A ∩B ={等腰直角三角形} (3)A ∩B ={x |-4<x ≤-1}(见图 2-4) ▌再来看一个例子．A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >2}，求交集A ∩B ．你能发 现，A ,B 根本没有公共元素(见图2-5)， 因此它们的交集没有元素，是空的．我们称没有元素的集合为空集；空集用一个特定的记号…∅‟表示，所以 A ∩B =∅． (2)并集对例1(1)，若把集合A 和集合B 的元素合并，得到一个新的集合D={-2, 1, 2, 4, 7}．集合D 的元素与交集C 不同，它不是由既属于A 、又属于B 的图2-3图2-2图2-4图2-5元素构成，而是属于A 或属于B 的元素构成．称这样构成的集合D 为集合A ,B 的并集，“并”的意思也就是“合并”．一般地，设A ,B 是两个集合，称由A ,B 的全部元素构成的集合D 为A ,B 的并集，记作D =A ∪B ．根据并集的构成，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B } (2-1-2) 集合的并也是一种运算，运算的对象是集合， “∪”是运算符，运算结果得到并集．集合的并 运算可以形象地以图2-6表示． 例2 求下列集合的并集： (1)A ={x |x ≥3}，B ={x |x ≤-3}；(2)A ={班内全体男生}，B ={班内全体女生}； (3)A ={x |x ≥3}，B ={x |0<x <5}．解 (1)A ∪B ={x | x ≤-3或x ≥3},(见图2-7(1)) ▌ (2)A ∪B ={全班学生} ▌ (3)A ∪B ={x |x >0},(见图2-7(2)) ▌课内练习31. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示出来：(1) 2x +5>7 (2)1<2x +4≤10； (3) x +6<1 x +1≤10； -2x +3>0．2. A ={x |x 是今年天下雨的日子}，B ={x |x 是今年天阴的日子}．求A ∪B ， A ∩B ．3. C ={某商场内单价不高于2500元的洗衣机}，D ={同一商场内单价在1000 元到2000元之间的洗衣机}．求A ∪B ，A ∩B ．4. 求下列两个数集的交集和并集，并在数轴上表示出来： (1) A ={x | x ≥1}, B ={x | x >21}； (2) C ={t | -1≤t <3}, D ={ t | t ≤5}； (3) E ={y | 4≥y ≥-1.5}, F ={y | y ≤1.5}；(4) A ={x | 2<x ≤5}, B ={x | 5≤x ≤6}； (5) A ={y | 2<y ≤4}, B ={y | 4.1≤y ≤6}．4. 集合的关系(1)数集的包含关系与子集根据数的含义，我们知道有这样关系：x 是自然数⇒x 是整数⇒ x 是有理数⇒ x 是实数，但所有的箭头反过来是不对的，例如，肯定有整数(负整数)不是自然数．从数集的角度来看，表示图2-6–3 –2 –1 0 1 2 3 4图2-7(1) –1 0 1 2 3 4 5图2-7(2)x ∈N ⇒ x ∈Z ，存在x ∈Z 但x ∉N (1) 这样的关系可以说成：自然数集是整数集的真子集，也可以说成：整数集真包含了自然数集．我们用符号表示为N Z，或Z N ， 符号“ ”或“ ”所表达的意思，就是(1)；采用这两个符号中的哪一个，全看你把真子集写在符号的哪一边．同理，因为x ∈Z ⇒ x ∈Q ，存在x ∈Q 但 x ∉Z所以 Z Q ，或Q Z ； 因为 x ∈Q ⇒ x ∈R ，存在x ∈R 但 x ∉Q所以 QR ，或R Q ． 连在一起，可以写成N Z Q R 或R Q Z N ．用我们曾经使用过的圆圈形象表示，就是第一章出现过的、如图2-8(1)的包含图．如果再算上N +,R +，那么还可以有N +N , R + R 或N N +, R R +． 对一般的两个数集或集合A ,B ，如果具有(1)那样的关系，即 x ∈A ⇒x ∈B ，且存在x ∈B 但x ∉A (2-1-3) 那么，称数集A 为数集B 的真子集，记作A B 或 B A ，用圆圈形象表示的图象是图2-8(2)． 空集是一切非空数集的真子集． 例3 讨论下列集合的包含关系：(1)A ={本年天阴的日子}，B ={本年天下雨的日子}；(2)A ={x |x ∈本班且所有各门课成绩都不低于90分}，B ={x |x ∈本班且仅有数学成绩不低于90分}；(3)A 是不等式2x +5≤ 2的解集，B 是不等式x +5<3的解集．解 (1)因为雨天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以BA ▌ (2)因为x ∈A ⇒ x 的各门课成绩都不低于90分 ⇒ x 的数学成绩都不低于90分 ⇒ x ∈B ；但存在x ∈B ⇒ x 仅数学成绩不低于90分⇒x ∉A ．所以A B ▌(3)解不等式2x +5≤2，得A ={x |x ≤-1.5}； 解不等式x +5<3，得B ={x |x <-2}．当x ∈B ⇒ x <-2 ⇒ x ≤-1.5 ⇒ x ∈A ；当x =-1.6 ⇒ x ∈A 但x ∉B ．所以A B (见图2-9) ▌现在把例3(2)的集合B 改为B ={x |x ∈本班且数学成绩不低于90分}，就有两种可能：第一种，有数学成绩不低于90分而其它课程低于90分的学生，此时仍然有A B ；第二种，所有数学成绩不低于90分的学生，其它课程图2-8(1)图2-8(2)⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠–3 –2 –1 0图2-9⊂ ≠成绩也都不低于90分，此时就不存在属于B 而不属于A 的学生了．对于这种吃不准的情况，我们只能有把握说，若x ∈A 则x ∈B ，但不能有把握说，存在x ∈B 但x ∉A ．这是两个集合之间的另一种关系，称为包含． 两个集合(包括数集)A ,B ，若x ∈A ⇒ x ∈B (2-1-4) 则称A 为B 的子集，称B 包含A 或A 被B 包含，记作A ⊆B 或B ⊇A ． (2)集合的相等关系若构成两个集合A ,B 的元素完全相同，则称集合A ,B 相等，记作A =B ． 从包含关系来看，若A =B ，则A 包含B ，B 也包含A ，因此也可以说，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A ,B 相等． 课内练习41. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A ={1, 2, 3, 4}，B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}；(2)A ={a , b , c | a , b , c ∈R }, B ={c , b , a | a , b , c ∈R }； (3)A ={x |1<x ≤2}, B ={x |1<x <2}；(4)C ={x |x 为无限循环小数}, D ={x |x =p ,q ∈N +, p ∈Z }；(5)A ={x |x ∈本校田径队}，B ={x |x ∈本校长跑队}；(6)C ={x |x ∈十一月份公休日}，D ={x |x ∈十一月份的星期六或星期天}； (7)A 1是不等式-5≤3x -2≤5在自然数集中的解集，B 1是不等式-6≤3x -2≤6中 的解集．(3)数集的互补关系在实数范围内，给出两个集合A ={x |x 是有理数}，B ={x |x 是无理数}，则容易验证A ⋃B =R , A ⋂B =∅．因为我们考虑的范围是实数，也就是说R 是全部，这样的两个A ,B 就有一个特殊性质：它们没有公共元素，而并正好就是全部，因此称A ,B 是互补的． 在一般情况下，若我们考虑的集合范 围是U ，则把U 也看作一个集合，称其为 全集；若集合A ,B 具有性质：A ⋃B =U , A ⋂B =∅，则称A 是B 关于U 的补集，B 是 A 关于U 的补集，即A ,B 关于U 是互补的，记作A =C U B , B =C U A ，用图象表示，可以表 示为图2-10那样．例如上面提到的有理数集A 和无理数集B ，就是关于实数集R 是互补的，即A =C R B , B =C R A ．怎样的集合才有资格称作全集，并无明确的规定，要看实际问题的含义．例如我们考虑的范围是本校，则本校全体学生就是全集，即全集是T ={x |x ∈本校}；若E ={x |x 是本校女生}，F ={x |x 是本校男生}，则E =C T F , F =C T E ．图2-10⊂ ≠ ⊃ ≠课内练习51. 填空：(1)A={x|x>0,x∈R}, C R A= ；(2)D={x|x≠0,x∈R}，C R D= ；(3)C N N+= ；(4)B={x|x∈Z,-100<x<100}，C Z B= ；(5)U={x|x=kπ,k∈Z}，A={x|x=2kπ,k∈Z}，C U A= ；(6)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,4,7}，C U A= ；2. A={晚餐菜肴}，B={晚餐主食}，求一个集合U，使A,B关于U是互补的．课外习题A类1. 用标识符A表示元素是铅笔、纸张、钢笔、直尺、橡皮、圆珠笔的集合．2. 用标识符B表示所有你校年龄大于16周岁的女学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C={x|x是本班视力良好的学生}；(2)D={校内喜欢体育的学生}；(3)D={职工｜在本校工作}；(4)E={x|x∈本校美术兴趣小组或x∈本校篮球队}；(5)F={班内不叫王强的学生}．4. 把下列描述的数集，用特征描述法表示：(1)数集B是平方不等于81的全部自然数；(2)数集A是小于0或大于10的奇数；(3)方程x2-5x+6=0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D；(4)不等式2x+7≤1在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D，并把D表示在数轴上．6. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示非空解集：(1)3x+5>-1 (2)6<2x+4≤12；(3) x-6≥1x+1≤0；-2x+3<0．6. A={x|x是今年的法定假日}，B={x|x是今年星期天}．求A∪B，A∩B．7. C={一班身高不低于1.60m的女同学}，D={一班身高在1.55m到1.70m之间的女同学}．求C∪D，C∩D．8. A={x|x是出厂期不超过20天且单价在0.50元~0.70元的牛奶}，B={x|x 是出厂期在10天以内且单价在0.60元~0.80元的牛奶}．求A∪B，A∩B．⊃≠⊂≠9. 用“⊇”,“⊆”,“”,“”,“=”连接下列数集对：(1)A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}，B={0, 1, 2, 3, 4}；(2)A ={10, 20, 30}, B ={30, 10, 20}；(3)A ={x |x >2或x <-2}, B ={ x |x ≥2或x <-2}；(4)C ={x |x 是1的正整数倍}，D =N +；(5)A 1是不等式2x -1≤ 5的解集，B 1是不等式3x -2<5的解集；10. 填空：(1)A ={x |x ≤0, x ∈R }, C R A = ；(2)D ={x |x =0}，C R D = ；(3)V ={x |x ∈Z ,x >0}，C Z V = ；(4)B ={x |x ∈Z ,-100<x <100}，C Z B = ；(5)U ={0, 1, 4, 5, 6, 7, 9},A ={0, 1, 4, 5, 7},C U A = ；11. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈本校运动队}，B ={x |x ∈本校体操队}；(2)C ={x |x ∈本班三好生}，D ={x |x ∈本班所有课程都及格的学生}；12. A ={含酒精的饮料}，B ={不含酒精的饮料}，求一个集合U ，使A ,B 关 于U 是互补的．B 类1. 把下列描述的数集，用特征描述法表示(1) B 是以341的整数倍为元素构成的数集； (2)数集A 是奇数，但不是3的整数倍； (3)方程2x 2-5x -875=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在 有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式-5≤x ≤5在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有理 数集内的解集C ，在实数集内的解集D ．2. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A 是不等式2x +1>3的解集，B 是不等式x +1≥ 2的解集；(2) x +1≥9 x +1≤9(3)C 是不等式1≤1+2x ≤5在自然数集内的解集，D 是不等式1≤1+2x ≤6在 自然数集内的解集．3. 写出数集A ={0,1,2,3}的所有的真子集．4. 设A ={x |x =2k -1,k ∈Z }，B ={x |x =5k ,k ∈Z }，求B ∩C N A .5. 设A ={x |x ≤3}，求A ∩R , A ∩∅, C R A , A ∩C R A , A ∪C R A ．6. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈乐器}，B ={x |x ∈钢琴}；(2)C ={x |x ∈笔盒内的笔}，D ={x |x ∈笔盒内的铅笔或钢笔或圆珠笔}； A 是不等式x +1>9的解集，B 是不等式 的解集； ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠7. A =C U D ，B =C U E ．若D E ，那么A 与B 有怎样的包含关系？C 组1. 如图，矩形表示的U 是全集，圆圈表示的 A ,B 是U 的两个子集，试用阴影表示出集合(1)C U A ∩C U B ，(2)C U A ∪C U B ．2. 若C U A ⊆ A ，求A ．3. 设A ,B 是非空集，证明C U A ∪C U B =C U (A ∩B )C U A ∩C UB =C U (A ∪B )．4. 设A ={本班级数学成绩和语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关于{本班级全体学生}的补集. 5. 设A ={本班级数学成绩或语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关 于{本班级全体学生}的补集.6. 设U ={本班级全体学生}，B =C U A ={本班级身高超过1.80m 且各门课程 成绩都不低于75分的男学生}，求A .第1题图 ⊂ ≠。

集合与分类美篇一、引言在我们日常生活中，我们会遇到各种各样的事物和现象，它们构成了丰富多彩的世界。

为了更好地理解和描述这个世界，人们将事物和现象进行分类，并将同类事物和现象组成集合。

集合与分类是我们认识世界的基础，也是科学研究和人类思维的重要工具。

本文将从集合和分类的基本概念、集合与分类的关系以及集合和分类在不同领域的应用等方面展开探讨。

二、集合的概念与基本性质2.1 集合的定义集合是由一些确定的对象构成一个整体。

这些对象称为集合的元素，可以是任意事物、概念或数学对象等。

通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。

例如，A = {1, 2, 3, 4, 5} 表示一个由数字1、2、3、4、5构成的集合。

2.2 集合的分类根据集合元素的特征，集合可以分为无序集合和有序集合。

无序集合中元素之间没有顺序关系，例如上述的集合A；有序集合中元素之间有确定的先后次序，例如一个由字母组成的字符串。

另外，集合还可以分为有限集合和无限集合。

有限集合中元素的个数是有限的，例如上述的集合A；无限集合中元素的个数是无限的，例如自然数的集合N。

2.3 集合的基本性质•互异性：集合中的元素都是互不相同的，同一个集合中不会有重复的元素；•确定性：集合中的元素是确定的，对于给定的元素，要么属于集合，要么不属于集合；•无序性：集合中的元素之间没有顺序关系，集合元素的排列顺序可以任意变动。

三、分类的概念与方法3.1 分类的定义分类是将事物或现象按照某种共同特征进行分组的过程。

分类的目的是为了更好地理解和描述事物或现象之间的关系，从而形成概念上的框架和思维模式。

3.2 分类的方法分类可以根据不同的特征和标准进行。

常见的分类方法包括按照形状、颜色、功能、用途、性质等进行分类。

•形状分类：根据事物或现象的形状进行分类，例如圆形、方形、三角形等；•颜色分类：根据事物或现象的颜色进行分类，例如红色、蓝色、绿色等；•功能分类：根据事物或现象的功能进行分类，例如可食用和不可食用、用途等；•用途分类：根据事物或现象的用途进行分类，例如日常用品、工具、装饰品等；•性质分类：根据事物或现象的性质进行分类，例如固体、液体、气体等。

人教版】2020年高中数学新教材必修一电子教材目录2020年高中数学材必修一教材目录第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念集合是一种基本的数学概念，是由一些确定的对象组成的整体。

集合中的每个对象称为元素。

集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，元素属于集合用符号“∈”表示。

1.2 集合间的基本关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素，用符号“⊇”表示。

相等关系是指两个集合互相包含，用符号“=”表示。

交集是指两个集合中共同的元素组成的集合，用符号“∩”表示。

并集是指两个集合中所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。

1.3 集合的基本运算集合的基本运算有并、交、差、补四种。

并集是指两个集合中所有元素组成的集合，用符号“∪”表示。

交集是指两个集合中共同的元素组成的集合，用符号“∩”表示。

差集是指一个集合中除去另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合，用符号“-”表示。

补集是指在全集中除去一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合，用符号“C”表示。

1.5 全称量词与存在量词全称量词是指对于集合中的每一个元素，命题都成立，用符号“∀”表示。

存在量词是指集合中存在一个元素使命题成立，用符号“∃”表示。

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质等式性质是指对等式两边同时加、减、乘、除同一个数，等式仍成立。

不等式性质是指对不等式两边同时加、减、乘、除同一个正数，不等式方向不变；对不等式两边同时加、减、乘、除同一个负数，不等式方向改变。

2.2 基本不等式基本不等式是指对于任意实数x和y，有2xy≤x²+y²成立。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数是指函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的图象为开口向上或向下的抛物线。

一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程。

一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0（a≠0）的不等式。

Collection用法及搭配1.引言在程序开发中，集合（c ol le ct io n）是一种重要的数据结构，用于存储和操作一组相关对象。

使用集合可以简化代码逻辑，提高代码的可读性和可维护性。

本文将介绍集合的基本概念、常用操作和一些常见的集合搭配用法。

2.集合的基本概念2.1集合的定义与特点集合是一种无序、不重复的数据结构。

在P yt ho n中，常用的集合类型包括列表、元组、字典和集合。

列表（l i st）是有序的集合，元素可重复；元组（tu pl e）是有序的集合，元素不可变；字典（d ic ti on ar y）是无序的集合，由键值对组成；集合（se t）是无序的、不重复的集合。

2.2集合的创建和初始化集合可以通过字面值或构造函数来创建和初始化。

例如，使用方括号[]创建列表，使用小括号()创建元组，使用大括号{}创建字典和集合。

2.3集合的基本操作集合支持多种基本操作，包括增加元素、删除元素、修改元素和查询元素。

通过使用集合的内置方法，我们可以轻松地进行这些操作。

3. Li st（列表）3.1L i s t的特点与用途列表是P yt ho n中最常见的集合类型之一，它可以容纳任意类型的元素，包括数字、字符串、布尔值等。

列表是有序的，并且允许元素重复。

列表常用于存储一组有序的数据。

3.2L i s t的基本操作列表支持多种基本操作，如添加元素、删除元素、修改元素、查询元素等。

我们将详细介绍这些操作，并给出相应的示例代码。

4. Tu ple（元组）4.1T u p l e的特点与用途元组是P yt ho n中的另一种集合类型，它与列表类似，但元组的元素不可变。

元组常用于存储不可变的数据，例如坐标值、日期时间等。

4.2T u p l e的基本操作元组支持多种基本操作，但与列表不同，元组的元素不可变，因此涉及到修改元素的操作往往会引发错误。

我们将介绍元组的创建、访问、删除等操作，并给出相应的示例。

《集合概念》教案设计第一章：集合的定义与表示1.1 集合的概念：元素与集合的关系，集合的表示方法（列举法、描述法）1.2 集合的分类：直积集、子集、真子集、幂集1.3 集合的基本运算：并、交、补集第二章：集合的性质与运算规律2.1 集合的性质：无序性、确定性、互异性2.2 集合运算的交换律、结合律、分配律2.3 集合运算的德摩根定律、对偶性原理第三章：维恩图与集合的关系3.1 维恩图的概念与绘制方法3.2 利用维恩图表示集合的关系：并集、交集、补集、对称差3.3 维恩图在实际问题中的应用第四章：集合的划分与基数4.1 集合的划分：有限划分与无限划分4.2 集合的基数：势、阿列夫数4.3 集合的基数与集合的关系：基数相等、基数不等、基数极限第五章：图灵机与集合5.1 图灵机的概念与结构5.2 图灵机的运算：读写操作、状态转移5.3 图灵机与集合的关系：图灵机识别的语言、图灵机计算的问题第六章：集合论的基本公理系统6.1 集合论公理系统的概念6.2 ZFC公理系统：集合论的基础公理、替换公理、选择公理6.3 公理系统的完备性、一致性、独立性第七章：集合论的应用7.1 集合论在数学分析中的应用：实数集、函数集7.2 集合论在图论中的应用：顶点集、边集7.3 集合论在其他数学分支中的应用：代数结构、拓扑空间第八章：函数与集合8.1 函数的概念：函数的定义、函数的表示方法8.2 函数的性质：一一映射、单射、满射、双射8.3 函数与集合的关系：函数的定义域、值域、函数的复合第九章：关系的集合论性质9.1 关系的概念：关系的定义、关系的表示方法9.2 关系的性质：自反性、对称性、传递性9.3 关系的集合论表示：关系矩阵、关系代数第十章：集合论的进一步研究10.1 无穷集合：无穷的概念、无穷集合的类型10.2 集合论的新发展：类别论、模型论、公理化方法10.3 集合论在现代数学中的地位与作用第十一章：集合论与逻辑11.1 集合论与命题逻辑：命题的集合表示、逻辑运算符的应用11.2 集合论与谓词逻辑：个体、谓词、量词、逻辑运算11.3 集合论在数理逻辑中的应用：形式系统、公理化逻辑第十二章：集合论与组合数学12.1 组合数学的基本概念：排列、组合、图论基本概念12.2 集合论在组合数学中的应用：计数原理、鸽巢原理、包含-排除原理12.3 组合数学中的极限问题：卡塔兰数、Stirling 数第十三章：集合论与数理逻辑13.1 数理逻辑的基本概念：命题逻辑、谓词逻辑、形式系统13.2 集合论在数理逻辑中的应用：模型论、公理化方法13.3 数理逻辑在计算机科学中的应用：自动机理论、程序语言设计第十四章：集合论与拓扑学14.1 拓扑学的基本概念：拓扑空间、开集、闭集、连通性14.2 集合论在拓扑学中的应用：度量空间、拓扑关系、连通性14.3 拓扑学在其他数学领域中的应用：微分几何、泛函分析第十五章：集合论与计算机科学15.1 计算机科学中的集合概念：数据结构、算法、编程语言15.2 集合论在计算机科学中的应用：计算复杂性、形式语言、编译原理15.3 集合论在中的应用：知识表示、推理机制、专家系统重点和难点解析重点：1. 集合的基本概念和表示方法。

逻辑代数知识点总结逻辑代数的研究领域非常广泛，其知识点也十分丰富，下面我将就逻辑代数的相关知识点进行总结，以便更好地理解和应用逻辑代数的理论和方法。

一、集合论集合论是逻辑代数中的基础概念之一，它研究集合的属性、运算和关系。

集合是由若干个元素组成的整体，集合的运算包括并集、交集、补集和差集等。

集合的关系包括包含关系、相等关系和重叠关系等。

1.1 集合的基本概念集合的基本概念包括集合的元素、空集、全集、子集和集合的基数等。

其中，集合的元素是构成集合的个体，空集是不包含任何元素的集合，全集是包含所有元素的集合，子集是包含于另一个集合中的集合，集合的基数是集合中元素的个数。

1.2 集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集和差集等。

并集是将两个集合中的所有元素组成的集合，交集是两个集合中共有的元素组成的集合，补集是在全集中不属于某个集合的元素组成的集合，差集是在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合。

1.3 集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和重叠关系等。

包含关系是一个集合中的所有元素都属于另一个集合，相等关系是两个集合中的元素完全相同，重叠关系是两个集合中存在共同的元素。

二、布尔代数布尔代数是逻辑代数中的一个重要概念，它研究布尔变量、布尔运算和布尔函数等。

布尔代数在计算机科学、电路设计和逻辑推理等领域有广泛的应用。

2.1 布尔变量和布尔运算布尔变量只有两种取值，分别为真和假，用1和0来表示。

布尔运算包括与运算、或运算、非运算和异或运算等。

与运算是当且仅当两个布尔变量同时为真时结果为真，或运算是当且仅当两个布尔变量至少一个为真时结果为真，非运算是将一个布尔变量取反，异或运算是当且仅当两个布尔变量不同时为真时结果为真。

2.2 布尔函数布尔函数是布尔变量和布尔运算组成的算式。

布尔函数有多种表达形式，包括逻辑表达式、真值表和卡诺图等。

逻辑表达式是用布尔变量和布尔运算表示的算式，真值表是列出布尔函数的所有输入值和输出值的表格，卡诺图是用矩形和圆圈表示布尔函数的图形方法。