高中数学人教A版必修四 第三章 三角恒等变换 单元测试7 (1)

第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。

数学人教A 版必修4第三章三角恒等变换单元检测(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 105°＝( )A ．2B ．－2C ．－3D ．－22．已知sin 2α＝45，cos 2α＝35-，则sin α等于( ) A ．1225-B ．725-C ．2425-D ．6253．函数y ＝3sin x －x 的最大值是( )A ．3＋B ．C ．6D ．34．若函数f (x )＝cos 22x －sin 22x ＋sin 4x (x ∈R )，则f (x )的( )A ．最小正周期为π2，最大值为1 B ．最小正周期为πC ．最小正周期为π2，最小值为D ．最小正周期为π，最小值为－15．函数f (x )＝1－2π2sin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝( )A ．B ．12-C ．12D 6．若cos α＝45-，α是第三象限角，则πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．10-B ．10C ．10-D ．107．已知x ∈π,02⎛⎫-⎪⎝⎭，cos(π－x )＝45-，则tan 2x 等于( )A ．724B ．724-C ．247D ．247-8．函数f (x )＝(1tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2πB ．3π2C ．πD ．π29．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan 2θ的值为( ) A ．2B ．12C ．12或不存在 D ．2或不存在10．已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为__________． 12．已知tan α＝12，tan(β－α)＝25，那么tan(β－2α)＝__________. 13．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α＝__________. 14．sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，则cos 2β＝__________. 15．在△ABC 中，sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝__________. 三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)(2011·广东惠州一模)已知函数f (x )＝2＋sin 2x ＋cos 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调增区间．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)．求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)．求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．。

一、选择题1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34B ．43 C ．23D ．322．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．143．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ）A ．1B ．或1C ．34-或1 D ．1或-14．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-5．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-6．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15167．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数8．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]39．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．566510．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-711．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③12．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（ ） A．BC．9-D．9二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.14．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．16．()sin 5013tan10︒+︒的值__________. 17．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 18．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 19．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 20．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题21．函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，且最高点A 与B 的距离29AB π=+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求cos2α的值. 22．已知函数21()3cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x=-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.23．已知3sin 5α=-，且α为第四象限角 （1）求sin sin(2)2tan()cos()παπααππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---+的值； （2）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值．24．先将函数2sin 23sin 26y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若α，β满足42()()3f f αβ⋅=，且4παβ+=，设232sin()sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=，求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 25．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 26．（1）化简：(cos 20tan 20sin 40-⋅°°°；（2）证明：()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-， 故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2．C解析：C 【分析】利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭，又根据()3f π=，可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据ω的范围，即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=，因为22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈，即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6aπω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()3f π3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈，解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.3．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴αα=sin()4πα-=1cos sin 2ββ-=ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．4．D解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++， 故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.5．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题.【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.6．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值.22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.7．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确； 对于选项D：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.8．D解析：D 【解析】222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-（））12222222223sin x x sin x cos x sin x π==+=+（）（）， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），， ∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，9．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.10．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.11．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+==故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.14．【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．15．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-， 因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+, 在ABP △中，tan BPBAP x AB∠==， 在ADQ △中，tan DQDAQ y AD∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠故答案为：4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.16．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒ ()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题解析：2【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.19．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式可得同理证明另外两组式子成立不等式两边同时相加化简即可得解【详解】由题意知则因为则不等式两边同时加可得开平方可得同理相加可得化简得故答案为:【点睛】本题考查【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+ 可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题21．（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【分析】（1）根据最高点A 与点B 的距离AB ==，求得,T ω，点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.（2）由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）最高点A 与点B 的距离AB ==，14,2T πω==， ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上， 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()43sin 2266f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以cos 26πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭， cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6=. 【点睛】 方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．（1）1a ≤-，（2）6π 【分析】（1）先对函数()f x 化简变形，然后求出函数()f x 在,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最小值，则可得到实数a 的取值范围；（2）根据题意，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，先得到()g x 的解析式，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【详解】解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-12cos 2sin(2)226x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-，所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称，所以1234342x x x x π+++=，所以12346x x x x π+++= 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域，函数恒成立问题，函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解，属于中档题 23．（1）45；（2）34-. 【分析】（1）先求出4cos 5α=，再利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.（2）先求出3tan 4α=-，再利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.【详解】（1）因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，故4cos 5α=. 原式()cos sin cos t 45an cos ααααα===-⋅-. （2）由（1）得4cos 5α=，故3tan 4α=- 原式222sin cos 2sin sin tan =2sin cos 2cos cos 34ααααααααα==+-+=. 【点睛】思路点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.24．（1）()2cos f x x =；（2）4.【分析】（1）先对函数化简变形可得cos 2y x =，再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式；（2）由已知条件可得cos cos 3αβ=，sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-，然后令tan [1,1]t x =∈-，则2()231h t t t =+-，从而可求出其最值【详解】（1）原函数化简得到2sin 2cos cos 2sin 2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦， 将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得2cos2y x =，再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x =所以()2cos f x x =.（2）由题意知cos cos 3αβ=， 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=，解得sin sin 6αβ=-()g x =.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos cos x x x x x⎤⎛++⋅⎥ ⎥⎝⎭⎣⎦= 22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-，2()231h t t t =+-， 则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==. 【点睛】 关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=，再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin 6αβ=-()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-，再利用换元法可求得结果，属于中档题25．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈，又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.26．（1）2-；（2）详见解析.【分析】（1）首先变形sin 20tan 20cos 20=，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱导公式化简正切，即sin tan cos x x x =，代入后化简证明. 【详解】 （1）原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅ ⎪⎝ sin 203cos 20cos 20cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2=- ；（2）原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x --==++ ()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==---21sin 212sin x x-=- 【点睛】 思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《第三章 三角恒等变换》模块检测(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0， ∴sin θ<0，∴θ是第四象限角． 答案 D2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 答案 B3．已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为2π3时，a 在e 方向上的投影为( )．A.12 B ．－12 C ．4 D ．－4 解析 a 在e 的方向上的投影为|a |cos 2π3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.答案 D4．下列关系式中，不正确的是( )． A ．sin 585°<0B ．tan(－675°)>0C ．cos(－690°)<0D ．sin 1 010°<0解析 585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin 585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，∴tan(－675°)>0；1 010°＝1 080°－70°，是第四象限角， ∴sin 1 010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角， ∴cos(－690°)>0. 答案 C5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( )．A.π6B.π3C.π4 D ．－π4 解析 由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝π4，故应选C.答案 C6．已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且BD ＝13BC ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )．A.13(a －b ) B.13(b －a ) C.13(2a ＋b ) D.13(2b －a ) 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选C.答案 C7．已知a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )． A.7 B.10 C.13 D. 4解析 本题若直接求|a ＋3b |则较为困难，因此解答时可依据公式|a |＝a 2先求(a ＋3b )2. 因为|a |＝1，|b |＝1，且它们的夹角为60°， 故a ·b ＝cos 60°＝12，所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋3＋9＝13，即|a ＋3b |＝13，故应选C. 答案 C8．计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于( )． A.22 B ．－22 C.32 D ．－32解析 原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°) ＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin 45°＝22. 答案 A9．设向量a ＝(cos 25°，sin 25°)，b ＝(sin 20°，cos 20°)，若t 是实数，且c ＝a ＋t b ，则|c |的最小值为( )．A. 2 B ．1 C.22 D.12解析 c ＝a ＋t b ＝(cos 25°，sin 25°)＋(t sin 20°，t cos 20°) ＝(cos 25°＋t sin 20°，sin 25°＋t cos 20°)， ∴|c |＝＋t2＋＋t2＝1＋t 2＋2t sin 45°＝t 2＋2t ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222＋12，∴当t ＝－22时，|c |最小，最小值为22. 答案 C10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )． A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝23π. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)． 11．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________.解析原式可化为cos 2α－sin 2α22α－cos α＝α＋sin αcos α－sin α22α－cos α＝－22，∴sin α＋cos α＝12. 答案 1212．已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，p ＝(23，1)．若m ∥p ，则sin x ·cos x ＝________. 解析 ∵m ∥p ，∴3sin x ＝23cos x ，tan x ＝2， ∴sin x ·cos x ＝sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x 1＋tan 2x ＝25.答案 2513．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －a ·aa ·b·b . 则向量a 与c 的夹角为________． 解析 ∵a ·c ＝a ·a －a ·aa ·b·b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0， ∴a ⊥c ，即a 与c 的夹角为90°. 答案 90°14．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan(α＋π4)的值为________． 解析tan(α＋π4)＝tan 错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案723三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)对任意实数x 和整数n ，已知f (sin x )＝sin[(4n ＋1)x ]，求f (cos x )． 解 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π2－4n ＋1x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－4n ＋1x＝cos[(4n ＋1)x ]．16．(10分)已知a ，b 不共线，AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋3b ，CD →＝2a －b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－CB →＋CD →＝a －4b ， 而a 与b 不共线，∴BD →≠0.又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．故存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2a ＋k b ＝λa －4λb . 又∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ＝－4λ⇒k ＝－8.17．(10分)已知α为锐角，且sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 解 (1)因α为锐角，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝tan α－11＋tan α＝17.18．(12分)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，若a ∥b ，求锐角α的值．解 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，且a ∥b ，∴32×12－cos αsin α＝0，即sin αcos α＝34. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝34，得sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋32＝3＋12， ∴sin α、cos α是方程x 2－3＋12x ＋34＝0的两根． 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝32cos α＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝12，cos α＝32.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3或π6.19．(12分)已知向量b ＝(m ，sin 2x )，c ＝(cos 2x ，n )，x ∈R ，f (x )＝b ·c ，若函数f (x )的图象经过点(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.(1)求m 、n 的值；(2)求f (x )的最小正周期，并求f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值；解 (1)f (x )＝m cos 2x ＋n sin 2x ， ∵f (0)＝1，∴m ＝1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，∴n ＝1.(2)f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期为π.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴π4≤2x ＋π4≤3π4.∴当x ＝0或x ＝π4时，f (x )的最小值为1.。

数学人教A 必修4第三章 三角恒等变换单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分) 1．化简22ππcos sin 44αα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到( ) A ．sin 2α B ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2α 2．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则3cos π22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．9-B ．79-C ．9D ．793．已知tan α＝12，tan(α－β)＝25-，那么tan(β－2α)的值为( )A ．34-B ．112- C ．98- D ．984．已知函数f (x )ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．5π11ππ+,π+1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．πππ,π+36k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 5．2cos10sin 20sin 70︒-︒︒的值是( )A ．12B ．2CD 6．22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅+等于( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．127．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A B ．C D ．8．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则2sin 22cos 1tan x xx++的值为( )A ．85 B ．58 C ．25 D ．52二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________． 10．已知0＜x ＜π2，化简：2lg cos tan 12sin 2x x x ⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭＋πlg 4x ⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎭⎦－lg(1＋sin 2x )＝________．11．设函数f (x )＝2cos 2x x ＋a ，已知当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )的最小值为－2，则a ＝________．三、解答题(本大题共3小题，共34分)12．(10分)已知 3π5sin 413α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且ππ44α-<<，π3π44β<<，求cos 2(α－β)的值．13．(10分)已知πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭x ∈π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭． (1)求sin x 的值； (2)求πsin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 14．(14分)已知函数f (x )＝π3π2cos 2sin 32x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．参考答案1答案：A解析：原式＝πcos 24α⎛⎫-⎪⎝⎭＝πcos22α⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin 2α．2答案：C解析：3cosπ22θ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝123=．3答案：B解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝1 12 -．4答案：C解析：f(x)ωx＋cos ωx＝π2sin6xω⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得周期T＝π．∴ω＝2，即f(x)＝π2sin26x⎛⎫+⎪⎝⎭．由ππ2π226k x-≤+(k∈Z)得ππππ36k x k-≤≤+(k∈Z)．5答案：C解析：原式＝2cos(3020)sin20sin70︒-︒-︒︒＝2(cos30cos20sin30sin20)sin20sin70︒⋅︒+︒⋅︒-︒︒=．6答案：B解析：原式＝22222 2sin2cos2sin cos2tan12cos1cos2cos sin1tanαααααααααα⋅⋅==+---＝tan2α．7答案：C解析：设等腰三角形的底角为π2αα⎛⎫<<⎪⎝⎭，则其顶角为π－2α．由已知cos(π－2α)＝45，∴cos 2α＝45-．故1－2sin2α＝45-，sin2α＝910．又0＜α＜π2，∴sin α．8答案：C解析：由已知条件知tan x＝2，原式＝22cos(sin cos)2cos(1tan)1tan1tanx x x x xx x++=++＝2cos2x＝2221tan5x=+．9答案：1解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcosβ－cos αsin β．∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1．10答案：0解析：原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(sin x＋cos x)2＝0．11答案：－2解析：f(x)＝1＋cos 2x x＋a＝π2sin216x a⎛⎫+++⎪⎝⎭．∵x∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．∴sπ1sin2,162x⎛⎫⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴f (x )min ＝2×12⎛⎫-⎪⎝⎭＋a ＋1＝a ．∴a ＝－2． 13答案：解：∵ππ44α-<<，∴π3ππ24α<+<．∴312cos π413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． ∵π3π44β<<，∴ππ024β-<-<．∴π4sin 45β⎛⎫-==-⎪⎝⎭．∴cos(α－β)＝3πcos π44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝3π3π16sin πsin cos πcos 444465αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅--+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴cos 2(α－β)＝2cos 2(α－β)－1＝216371321=654225⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭． 13答案：解：(1)∵x ∈π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭，∴πππ,442x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∵πcos 410x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴πsin 410x ⎛⎫-=⎪⎝⎭． ∴sin x ＝ππsin 44x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ππππ4sin cos cos sin 44445x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)由(1)可得cos x ＝35-，∴sin 2x ＝2425-，cos 2x ＝725-，∴πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin 2cos 3x ＋πcos 2sin 3x＝． 14答案：解：f (x )＝π2cos cos3x ＋π2sin sin 3x －2cos x＝cos x x －2cos x x －cos x＝π2sin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)令ππ32π2ππ262k x k +≤-≤+ (k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴单调递减区间为2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，ππ2π62x k -=+(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是2π2π,3x x k k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ．(3)f (x )＝65即π62sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴π3sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴2ππcos 212sin 36x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝23712525-⨯=．。

新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（11新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．452.（09陕西理5）若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为（）A.103B.53C.23D.2- 3.（12重庆理5）设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ） Ａ．3-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．34.（12辽宁理7）已知sin cos αα-=，α∈（0，π），则tan α=（）A.-1B.2-C.2D.1 5.（11福建文9）若)2,0(πα∈，且412cos sin 2=+αα，则αtan 的值等于（）A ．2B CD6.（10新课标理9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-（） A.12-B.12C.2D.-27.（08宁夏理7）0203sin 702cos 10--=（）A.12B.2C.28.（12全国Ⅰ理7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（ ）A.3-B.9-939.（08宁夏文11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A.－3，1B.－2，2C.－3，32D.－2，3210.（11辽宁理7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（） A ．79- B ．19- C ．19 D ．7911.（08山东文10）已知354sin )6cos(=+-απα，则)67sin(πα+的值是（ ）A.5-B.5C.45-D.4512.（11浙江理6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则cos()2βα+=（） A．3B．3-C．9D．9-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13.（07江苏）若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ=___________. 14.（10全国Ⅰ理14）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-，则tan(2)4πα+=___________.15.（11重庆理14）已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________. 16.（12江苏11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分，08江西文17）已知1tan 3α=-，cos ,5β=,(0,)αβπ∈ （Ⅰ）求tan()αβ+的值；（Ⅱ）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．18.（本题满分12分，07四川理18）已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<. （Ⅰ）求α2tan 的值；（Ⅱ）求β.19.（本题满分12分，11广东理16）已知函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈（Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）设，，，，、56)23(1310)23(20=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f 求cos()αβ+的值.20.（本题满分12分，08江苏15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为10． （Ⅰ）求)tan(βα+的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．21.（本题满分12分，11四川文18）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．22.（本小题满分12分，12湖北文18）设函数)(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωω的图像关于直线π=x 对称，其中λω，为常数，且).1,21(∈ω （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若)(x f y =的图像经过点(,0)4p ，求函数)(x f 的值域.新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换（参考答案）一、选择题答题卡：二、填空题13. 2 ．14.71-,15．214-.16.50.三、解答题17.解：（Ⅰ）.2cos sin tan ,552cos 1sin ),,0(,55cos 2===-=∴∈=βββββπββΘ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+∴.12311231=⨯++-=（Ⅱ）.101tan cos sin ,103tan 11cos ),,0(,31tan 2==-=+-=∴∈-=αααααπααΘ从而())cos()f x x x αβ=-++.sin 5sin 52cos 51cos 51sin 53sin sin cos cos )sin cos cos (sin 2x xx x x x x x x -=-+--=-+-=ββαα 1sin -=∴x 时，.5)(max =x f18.解：（Ⅰ）由1cos 7α=，π02α<<，得sin α===∴sin 7tan cos 71ααα==⨯=于是22tan tan 21tan 47ααα===--． （Ⅱ）由π02βα<<<，得02παβ<-<． 又∵13cos()14αβ-=，∴sin()14αβ-===． 由()βααβ=--，得 cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317142=⨯+=∴π3β=． 19.解：（Ⅰ）55()2sin()2sin 41264f ππππ=-==.（Ⅱ）1310sin 2]6)23(31sin[2)23(==-+=+αππαπαf ，5sin 13α∴=， 又[0,]2πα∈，12cos 13α∴=. 56cos 2)2sin(2]6)23(31sin[2)23(==+=-+=+βπβππβπβf ，3cos 5β∴=，又[0,]2πβ∈，4sin 5β∴=， 所以16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=. 20.解：由已知条件及三角函数的定义可知，cos αβ==. 因为α,β为锐角，所以.55cos 1sin ,1027cos 1in 22=-==-=ββααs 因此.21cos sin tan ,7cos sin tan ====βββααα （Ⅰ）.32171217tan tan 1tan tan )(tan -=⨯-+=-+=+βαβαβα （Ⅱ）解法一：ββαββαβαtan )tan(1tan )tan()2(tan +-++=+.121)3(1213-=⨯--+-=.432πβα=+∴解法二：因为22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==--..432πβα=+∴21.解：（Ⅰ）7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x2sin()4x π=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-．（Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=.∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．22.解：（Ⅰ）)(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωωλπωλπωπωλωωλωωλωωωω+-=+-=+-=+-=+--⋅=)62sin(2)6sin 2cos 6cos2(sin 2)2cos 212sin 23(22cos 2sin 3)sin (cos cos sin 2322x x x x x x x x x x x.)62sin(2)(λπω+-=∴x x f根据题意得，1)62sin(1)62sin(-=-=-πωππωπ，或， .262Z k k ∈+=-∴，πππωπ即.231Z k k∈+=，ω.65)1,21(=∴∈ωω，Θ这时.)635sin(2)(λπ+-=x x f故函数)(x f 的最小正周期为.56352ππ=÷=T（Ⅱ）由0)4(=πf 得.24sin 20)6435sin(2-=-=∴=+-⨯πλλππ，.2)635sin(2)(--=∴πx x f当1)635sin(-=-πx 时，22)(min --=x f ；当1)635sin(=-πx 时，22)(max -=x f ； 故函数)(x f 的值域为[].2222---，。

人教a 版高一必修4_第三章_三角恒等变换_单元测试_word 版含解析(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．cos 230°－sin 230°的值是( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32解析：选A.cos 230°－sin 230°＝cos 60°＝12. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.1925B.1625C.1425D.725解析：选D.sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. 3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选B.f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故T ＝2π2＝π. 4．cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°－2cos 75°cos 15°的值等于( )A ．0 B.32C ．1D ．－12解析：选A.因为cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°＝cos 76°·cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝12，2cos 75°·cos 15°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，所以原式＝12－12＝0，故选A. 5．若2sin 2x ＝cos 2x ＋1，且cos x ≠0，则tan 2x ＝( )A.43 B ．－43C ．2 D.817解析：选A.由已知得4sin x cos x ＝2cos 2x ，∴tan x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43，故选A. 6．已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°解析：选B.易知点P 到坐标原点的距离为 sin 240°＋（1＋cos 40°）2＝2＋2cos 40° ＝ 2＋2×（2cos 220°－1）＝2cos 20°，由三角函数的定义可知cos α＝sin 40°2cos 20°＝2sin 20°cos 20°2cos 20°＝sin 20°， ∵点P 在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°. 7．如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( ) A.225 B ．－25C.25 D ．－225解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35. ∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 8.sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：选C.原式＝sin （30°－20°）＋sin （30°＋20°）sin 35°·cos 35°＝2sin 30°·cos 20°12sin 70°＝cos 20°12sin 70°＝2. 9．在△ABC 中，若cos A cos B ＝－cos 2C 2＋1，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C.由已知得2cos A cos B ＝－2cos 2C 2＋2＝－(cos C ＋1)＋2＝cos(A ＋B )＋1＝cos A cos B －sin A sin B ＋1，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，故选C.10．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心是( )A ．(2π3，－32)B ．(5π6，－32) C ．(－2π3，32) D ．(π3，－3) 解析：选B.y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2－ 3 ＝12sin 2x ＋32cos 2x －32＝sin(2x ＋π3)－32， h (x )＝sin(2x ＋π3)的对称中心为(－π6＋k π2，0)，k ∈Z ，∴y ＝sin(2x ＋π3)－32的对称中心为(－π6＋k π2，－32)，k ∈Z ，经验证知B 正确． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 解析：由已知得cos α＝－45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos α＋22sin α＝－210. 答案：－21012．已知α，β为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.答案：113．已知A ，B 为锐角，且满足tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )＝________．解析：由A ，B 为锐角，且tan A ＋tan B ＝tan A tan B －1，得tan(A ＋B )＝－1，A ＋B ＝3π4，故cos(A ＋B )＝－22. 答案：－2214．已知3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝A sin(2x ＋φ)，其中A >0，0<φ<2π，则A ＝________，φ＝________． 解析：3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴A ＝3，φ＝π3. 答案：3 π315．若函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6与函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象的对称轴相同，则实数a 的值为________． 解析：y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32，这个函数图象的对称轴方程是2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，取k ＝0，得其中一条对称轴方程是x ＝－π6.如果x ＝－π6是函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的对称轴，则当x ＝－π6时，这个函数取得最值，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝±1＋a 2，即－32＋12a ＝±1＋a 2，解得a ＝－33.当a ＝－33时，函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x ＝sin 2x －33cos 2x ＝233⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x ＝－233cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，显然符合要求． 答案：－33三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. 求：(1)tan(α－β)的值；(2)α＋β的值．解：(1)∵tan α＝2，tan β＝－13，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7. (2)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1， 且0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2. ∴α＋β＝5π4. 17．已知函数f (x )＝2a sin x 2cos x 2＋sin 2x 2－cos 2x 2(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小正周期及图象的对称轴；(2)当a ＝2时，在f (x )＝0的条件下，求cos 2x 1＋sin 2x的值． 解：f (x )＝a sin x －cos x .(1)当a ＝1时，f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)， 则函数f (x )的最小正周期为2π.令x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋3π4(k ∈Z )． 则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝k π＋3π4(k ∈Z )． (2)当a ＝2，f (x )＝0时，有0＝2sin x －cos x ，则tan x ＝12， 则原式＝cos 2x －sin 2x（cos x ＋sin x ）2＝cos x －sin x cos x ＋sin x＝1－tan x 1＋tan x ＝13. 18．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)． 解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4， ∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714. ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 19．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β. 证明：因为tan(α－β)＝sin 2β，tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β， sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β， 所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β， 整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β. 所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 20．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x . (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值． 解：f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. (1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )， ∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . (3)f (x )＝65，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35.∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.。

必修4第三章《三角恒等变换》单元测试题命题人：余德勇 审题人： 总分： 考试时间：第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.) 1.下列命题中不正确．．．的是（ ）. A ．存在这样的α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ B ．不存在无穷多个α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ C ．对于任意的α和β，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ D ．不存在这样的α和β值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(-≠+ 2.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <⋅，则△ABC 一定为（ ）. A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形3.44cossin 88ππ-等于（ ） A ．0B ．22C ．1D ．－22 4.︒⋅︒+︒+︒19tan 11tan 19tan 311tan 3的值是（ ）. A ．3B ．33 C ．0 D ．15.若)sin(32cos 3sin 3ϕ+=-x x x ，(,)ϕ∈-ππ，则ϕ等于（ ）.A ．－6π B ．6π C ．56π D ．56π-6.在△ABC 中，已知A tan ，B tan 是方程01832=-+x x 的两个根，则C tan 等于（ ）. A.4- B.2-C.2D.47.要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数3sin 2cos 2y x x =-的图象（ ）.DA.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向左平移12π个单位8.48cos 78sin 24cos 6sin ⋅⋅⋅的值为（ ）.A ．161 B ．161-C ．321 D ．81 9.4cos 2sin 22+-的值等于（ ）.A ．2sinB ．2cos -C ．2cos 3D ．2cos 3-10.已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos2θ的值为（ ）.A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±11.设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）.A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 12.已知不等式()2632sincos 6cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的 566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A.3m ≥B.3m ≤C.3m ≤-D.33m -≤≤第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.=︒-︒10cos 310sin 1 .14.已知βα,3(,)4π∈π，53)sin(-=+βα，12sin()413βπ-=，则cos()4απ+= . 15.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是 . 16.已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的值为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.（本小题满分10分）已知91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，0α<<π，02βπ<<，求)co s(βα+的值.18.（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且415sin =α，求sin()4sin 2cos21αααπ+++的值.19．（本小题满分12分）（1）求值：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋； （2）已知0cos 2sin =+θθ，求θθθ2cos 12sin 2cos +-的值.20.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值． 21．（本小题满分13分）已知函数2()sin()sin()cos 2f x x x x π=π--+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当3[,]88x ππ∈-时，求函数()f x 的单调区间.22.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552.（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值.第三章《三角恒等变换》测试题参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.B 由两角差的余弦公式易知C ，D 正确，当0==βα时，A 成立，故选B.2.D 由B A B A cos cos sin sin <⋅得0)cos(>+B A ，即0)cos()](cos[cos <+-=+-=B A B A C π，故角C 为钝角. 3.B 4422222cossin (cos sin )(cos sin )cos 88888842πππππππ-=-+==. 4.D 原式3(tan11tan19)tan11tan19=︒+︒+︒⋅︒3tan 30(1tan11tan19)tan11tan19=︒-︒⋅︒+︒⋅︒119tan 11tan 19tan 11tan 1=︒⋅︒+︒⋅︒-=.5.A 313sin 3cos 23(sin cos )23sin()226x x x x x π-=-=-，故6ϕπ=-.6.C ∵38tan tan -=+B A ，31tan tan -=B A ，∴231138tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan =+--=-+-=+-=+-=BA BA B A B A C π. 7.D 313sin 2cos22(sin 2cos2)2sin(2)2sin 2()22612y x x x x x x ππ=-=-=-=-. 8.A ︒︒︒︒=⋅⋅⋅48cos 24cos 12cos 6sin 48cos 78sin 24cos 6sin1616cos 1696sin 6cos 248cos 24cos 12cos 6sin 6cos 244=︒︒=︒︒︒︒︒︒=. 9.D22222sin 2cos4(1sin 2)(cos41)cos 22cos 2-+=-++=+3|cos2|3cos2==-.10.B 由225sin sin 240θθ+-=得2524sin =θ或1sin -=θ（∵θ为第二象限角，故舍去），∴257cos -=θ，且2θ为第一或者第三象限角，∴25712cos22-=-θ， 故3cos 25θ=±. 11.C 由0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x 得x x cos 2sin =，0cos ≠x ，故2tan =x ，5231t a n t a n 2221c o s s i n c o s s i n 2c o s 2t a n 12s i n c o s 222222=++=+++=++x xx x x x x x x x . 12.A ()2632632sin cos 6cos sin cos 44422222x x x x xf x m m =+--=+-， 6sin()026x m π=+-≤， ∴6sin()26x m π≥+，∵566x ππ-≤≤， ∴4264x πππ-≤+≤， ∴36sin()326x π-≤+≤， ∴3m ≥.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.)13.4 132(cos10sin10)13cos103sin10221sin10cos10sin10cos10sin 202︒-︒︒-︒-==︒︒︒︒︒4sin(3010)4sin 20︒-︒=︒.14.6556- 由已知可得54)cos(=+βα，5cos()413βπ-=-，故cos()cos[()()]44ααββππ+=+--56cos()cos()sin()sin()4465αββαββππ=+-++-=-.15.0 原式)60sin(2)]60(180cos[3)60sin(︒-+︒+-︒-︒+=x x x )60sin(2)60cos(3)60sin(︒-+︒++︒+=x x x )60sin(2)6060sin(2︒-+︒+︒+=x x0)60sin(2)60sin(2)60sin(2)18060sin(2=︒-+︒--=︒-+︒+︒-=x x x x . 16.724 易知22βαβαα-++=，22βαβαβ--+=， 由41sin sin =+βα，得412cos 2sin 2=-+βαβα， 由31cos cos =+βα，得312cos 2cos 2=-+βαβα， 两式相除，得432tan =+βα，724)43(1432)tan(2=-⨯=+βα. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17．解：由已知145,cos()sin()422929βββαααπ<-<π-=--=又故， 同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故， 故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα． 18．解：22sin()(sin cos )42sin 2cos212sin cos 2cos ααααααααπ++=+++)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=， 当α为第二象限角，且415sin =α时，0cos sin ≠+αα，41cos -=α，所以sin()4sin 2cos21αααπ+++2cos 42-==α. 19．解：（1）原式=00000000000000sin(8015)sin15sin10sin80cos15cos1523sin(1510)cos15cos80sin15cos10sin15-+===++-. （2）由0cos 2sin =+θθ，得θθcos 2sin -=，又0cos ≠θ，则2tan -=θ，所以θθθθθθθθθ22222cos 2sin cos sin 2sin cos cos 12sin 2cos +--=+-612)2()2(2)2(12tan tan 2tan 12222=+-----=+--=θθθ. 20．解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32ϕπ+=，而0ϕ<<π，536ϕπ∴+=π，2ϕπ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2αβπ∈，2234125sin 1(),sin 1()551313αβ∴=-==-=，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=. 21．解：（1）11()sin cos cos 222f x x x x =⋅++111sin 2cos 2222x x =++21sin(2)242x π=++ ∴函数()f x 的最小正周期22T π==π. （2）当3[,]88x ππ∈-时，2[0,]4x π+∈π， ∴当2[0,]42x ππ+∈即[,]88x ππ∈-时，函数()f x 单调递增；当2[,]42x ππ+∈π即3[,]88x ππ∈时，函数()f x 单调递减.22.解：由条件得102cos =α，552cos =β，∵α，β为锐角， ∴1027cos 1sin 2=-=αα，55cos 1sin 2=-=ββ，因此7cos sin tan ==ααα，21cos sin tan ==βββ. （1）32171217tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα. （2）∵34)21(1212tan 1tan 22tan 22=-⨯=-=βββ， ∴134713472tan tan 12tan tan )2tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα， ∵α，β为锐角， ∴3022αβπ<+<， ∴324αβπ+=.。

一、选择题1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或2 3．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α=（ ）A ．15B C ．35D 4．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-的值为（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．35．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 6．若()π,2πα∈，πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．0CD ．或0 7．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C D ． 8．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56659．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-10．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．1311．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且h =2c a b c c b b ++的最大值是（ ）A ．B ．C ．4D ．612．已知()0,απ∈，sin cos 3αα+=cos2=α（ ）A ．B ．3C ．D 二、填空题13．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________．14．tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.15．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，()cos αβ+=()cos 2αβ+=______.16．已知函数()sin cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，有以下结论： ①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 图象的一条对称轴方程是4x π=； ④()f x 的最大值为2．则上述说法中正确的是__________（填序号） 17．已知π0π2αβ<<<<，3cos 5α=，()3sin 5αβ+=-，则cos β的值为______．18．tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒的值为________.19．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 20．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．三、解答题21．如图，在扇形OPQ 中，半径2OP =，圆心角3POQ π∠=，B 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记BOC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值．22．已知3sin 5α=-，且α为第四象限角 （1）求sin sin(2)2tan()cos()παπααππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---+的值； （2）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值．23．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. ①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②函数()3)cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->； ③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭； 问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3f α=α的值． 24．已知函数21()3cos sin 2f x x x x =+-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若(,)123A ππ∈，1()3f A =，求5cos(2)6A π-的值.25．已知函数2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线3x π=是函数f (x )的图象的一条对称轴.（1）求函数f (x )的单调递增区间;（2）已知函数y =g (x )的图象是由y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位长度得到的，若6(2),(0,),352g ππαα+=∈求sin α的值.26．已知函数()2cos cos f x x x x m =++的最小值为3-. （1）求m 的值及()f x 的单调递减区间； （2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先化简已知得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 对于A ， 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 0,42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．C解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α． 【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴cos 410πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．3．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理得到1sin cos 2αα=，再利用同角三角函数的平方关系，结合范围解出cos α即可. 【详解】由2sin 2cos21αα-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2sin 21cos2αα=+，cos 0α>， 所以24sin cos 2cos ααα=，即2sin cos αα=，故1sin cos 2αα=， 代入22sin cos 1αα+=得，25cos 14α=，故24cos 5α=，因为cos 0α>，所以cos 5α=. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点.4．D解析：D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=，再计算()22sin cos 9θθ-=，根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=，所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=， 所以72sin cos 9θθ=， 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=，因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，即sin θcos θ0，所以sin cos θθ-= 故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题求sin cos θθ-的值时，采用的方法是先对其平方而后再开方，再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号，从而得到正确的答案.5．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 444f b a ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据题意，化简得到cossin 222αα+=-，所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，取得1sin 2α=-，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得22cos sin cos sin 022222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭，即cos sin cos sin 022222αααα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 022αα-≠，解得cossin 222αα+=-，所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11sin 2α+=，所以1sin 2α=-，又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos 2α==，所以π11sin 062222α⎛⎫+=-+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.7．C解析：C 【分析】 根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4545αα===cos ；所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.9．D解析：D 【解析】()sin 23f x x x sin x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D.10．C解析：C 【解析】 因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 11．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc ++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc +++++===+， 而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．12．A解析：A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin 3αα∴-=-，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+== 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解：根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析： 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简，即可得所求的值. 【详解】解：根据两角和的正切公式，可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=，所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为：. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用，考查化简运算能力，属于基础题.15．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π， 又10sin10，()cos 5αβ+=，所以，cos 10α==，()sin αβ+==所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦2-=. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．①【分析】去掉绝对值利用辅助角公式化简函数解析式利用函数的奇偶性单调性对称性以及函数的最值对选项进行判断即可【详解】当时当时即函数为偶函数图象关于y 轴对称①正确；函数在区间上单调递增在区间上单调递减解析：① 【分析】去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用函数的奇偶性，单调性，对称性以及函数的最值对选项进行判断即可. 【详解】(),,042sin cos ,0,42x x f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确； 函数()f x 在区间,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，②错误；因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不关于直线4x π=对称，所以直线4x π=不是一条对称轴，③错误；()f x，④错误．故答案为:①． 【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查余弦函数的奇偶性，单调性，对称性以及最值，考查辅助角公式的应用，考查学生的分析推理能力，属于中档题.17．【分析】根据角的范围求出和的值再将变成利用两角差的余弦公式即可求得【详解】因为且所以因为所以因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式考查了学生的计算能力属于中档题 解析：2425-【分析】根据角的范围，求出sin α和cos()αβ+的值，再将cos β变成cos()αβα+-利用两角差的余弦公式即可求得. 【详解】 因为02πα<<，且3cos 5α=，所以4sin 5α， 因为π0π2αβ<<<<，所以322ππαβ<+<， 因为3sin()5αβ+=-，所以4cos()5αβ+=-， 所以cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++433424555525=-⨯-⨯=-.故答案为：2425- 【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒，展开化简得到答案. 【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.19．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++- 故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.三、解答题21．当6πα=时，矩形ABCD . 【分析】由题意可得2cosCD αα=-，2sin BC α=，从而可得矩形ABCD 的面积为S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅)6πα=+-，再由03πα<<可得52666πππα<+<，由此可得262ππα+=时，S 取得最大值 【详解】在Rt OBC 中，2sin BC α=，2cos OC α=.在Rt ADO 中，tan 3AD OD π==, 所以OD AD α===, 所以2cosCD OC OD αα=-=. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅24sin cosααα= 2sin 22αα=- )6πα=+.由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时，max S ==因此，当6πα=时，矩形ABCD 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形ABCD 的面积表示为S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅)6πα=+-，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题 22．（1）45；（2）34-. 【分析】（1）先求出4cos 5α=，再利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.（2）先求出3tan 4α=-，再利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值. 【详解】 （1）因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，故4cos 5α=. 原式()cos sin cos t 45an cos ααααα===-⋅-.（2）由（1）得4cos 5α=，故3tan 4α=- 原式222sin cos 2sin sin tan =2sin cos 2cos cos 34ααααααααα==+-+=. 【点睛】思路点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.23．（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+（Ⅱ）12πα=或4πα=【分析】分别选择①，②，③求出函数()2sin(2)6f x x π=+， （Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间； （Ⅱ）代入()f α，根据α的范围可求出结果. 【详解】因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．所以22T ππ=⨯=， 选择①，则22ππω=，得1ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+， 所以()()2sin 2()1212g x f x x ππϕ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)6x πϕ=-+， 因为()g x 的图象关于原点对称，所以()g x 为奇函数，所以(0)0g =， 所以2sin()06πϕ-=，所以6k πϕπ-=，k Z ∈，所以6k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以0,6k πϕ==，所以()2sin(2)6f x x π=+， 选择②，())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6x πω=+，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+， 选择③，()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-=14cos cos 12x x x ωωω⎫+-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=+-2cos 2x x ωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+， （Ⅰ）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为[,]36ππk πk π-++，k Z ∈.（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=2sin(2)6πα+=sin(2)6πα+=， 因为02πα<<，所以72666πππα<+<， 所以263ππα+=或2263ππα+=，得12πα=或4πα=.【点睛】关键点点睛：根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.24．（1）(,)()63k k k ππππ-++∈Z ；（2）6. 【分析】（1）先把21()cos sin 2f x x x x =+-化为“一角一名一次”结构，利用“同增异减”讨论单调区间；（2）由1()3f A =，得到1sin(2)cos(2)6363A A ππ-=-=，，利用两角差公式求5cos(2)6A π-的值. 【详解】解：（1）21cos 1()2sin(2)226x f x x x π-=+-=-，令222262k x k πππππ-+<-<+，解得,63k x k k Z ππππ-+<<+∈.所以()f x 的单调增区间为(,)()63k k k ππππ-++∈Z .（2）1()sin(2)63f A A π=-=，令26A πθ=-，则02πθ<<，所以1sin 3θ=，cos θ=，则5222cos(2)cos()cos cos sin sin 6333A πθπθπθπ-=-=+11()32326=⨯-+⨯=. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等．25．（1）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2【分析】（1）首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据3x π=是函数的一条对称轴，代入求ω，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到()12cos2g x x =，并代入6(2)35g πα+=后，得3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用角的变换求sin α的值.【详解】（1）()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当3x π=时，2,362k k Z πππωπ⨯+=+∈，得13,22kk Z ω=+∈， 01ω<<，12ω∴=， 即()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 函数的单调递增区间是22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()1212sin 2cos 2362g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 622cos 365g ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210=⨯-⨯= 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.26．（1）52m =-，单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(,-∞. 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式以及辅助角公式化简()f x ，再根据()f x 的最小值列出关于m 的方程，由此求解出m 的值；（2）根据已知条件化简不等式sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，将问题转化为“min 12sin sin a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭且()0,x π∈”，再结合基本不等式求解出min 12sin sin x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而a 的取值范围可求.【详解】（1）因为()211cos cos 2cos 222f x x x x m x x m =++=+++， 所以()1sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值， 所以()min 1132f x m =-++=-，所以52m =-， 令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以单调递减区间为：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立， 所以sin sin 2202a x x π⎛⎫++-< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin cos220a x x +-<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 12sin 20a x x +--<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 2sin 1a x x <+对()0,x π∀∈恒成立，又因为()0,x π∈，所以sin 0x >，所以12sin sin a x x<+对()0,x π∀∈恒成立，所以min 12sin sin a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭且()0,x π∈，又因为12sin sin x x +≥12sin sin sin 0x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩，即2sin 2x ，即4x π=或34x π=，所以(a ∈-∞.【点睛】方法点睛：一元二次类型的不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值（可借助函数单调性、基本不等式）与参数的大小关系.。

《三角恒等变换》单元测试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1、已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是 （ ）A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665- 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是 （ ）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63653、已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2x 的值是 （ ）A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7254、设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则2y tan 的值是 （ ）A 、23±B 、32±C 、32-D 、23- 5、函数()sin cos 22f x x x ππ=+的最小正周期是 （ ）A 、πB 、2πC 、1D 、25'、若函数()()()sin g x f x x π=为以2为最小正周期的奇函数，则函数()f x 可以是 （ ）A 、()sin x πB 、cos 2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、sin 2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、sin 2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭6、某物体受到恒力是(F =u r ，产生的位移为()sin ,cos s t t =-r ，则恒力物体所做的功是 （ ）A 1B 、2C 、6'、已知向量()2cos ,2sin a ϕϕ=r ，()90,180ϕ∈o o ，()1,1b =r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A 、ϕB 、45ϕ-oC 、135ϕ-oD 、45ϕ+o7、要得到函数2sin 2y x =的图像，只需要将函数2cos 2y x x =-的图像 （ ）A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 8、已知12sin 41342x x πππ⎛⎫⎛⎫+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则式子cos 2cos 4x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A 、1013-B 、2413C 、513D 、1213- 9、函数sin 22x x y =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 10、已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则sin x 的值为 （ ） A 、45 B 、45- C 、35- D、11、已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ）A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 12、已知不等式()2cos 0444x x x f x m =+-≤对于任意的566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A、m ≥、m ≤ C、m ≤、m ≤≤二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）13、已知1sin 3x =，()sin 1x y +=，则()sin 2y x += 14、函数sin 234y x x π⎛⎫=+++⎪⎝⎭的最小值是15、函数1sin cosx y x-=图像的对称中心是（写出通式） 16、关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①、若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②、()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③、函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图像； ④、将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）已知02πα<<，15tan 22tan 2αα+=，试求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 18、（本小题满分12分）已知(),cos a x x ωω=r ，()cos ,cos b x x ωω=r ()0ω>，令函数()f x a b =r r g ，且()f x 的最小正周期为π．（1） 求ω的值；（2） 求()f x 的单调区间．（选做）18'、设()1cos ,sin a αα=+r ，()1cos ,sin b ββ=-r ，()1,0c =r ，()0,απ∈，(),2βππ∈，设a r 与c r 的夹角为1θ，b r 与c r 夹角为2θ，且126πθθ-=．求sin 8αβ-的值． 19、（本小题满分12分）已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，试求式子2sin 22cos 1tan ααα--的值． 20、（本小题满分12分）已知x R ∈，()211sin tan 222tan 2x f x x x x ⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎝⎭．（1） 若02x π<<，求()f x 的单调的递减区间；（2） 若()2f x =，求x 的值． 21、（本小题满分12分）已知函数()f x 满足下列关系式：（i ）对于任意的,x y R ∈，恒有()()222f x f y f x y f x y ππ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （ii ）12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． 求证：（1）()00f =；（2）()f x 为奇函数；（3）()f x 是以2π为周期的周期函数．。