连续时间信号的卷积运算

常见的卷积运算
卷积运算是信号处理和图像处理领域中常用的一种运算方法，用于滤波、特征提取和图像处理等任务。

以下是一些常见的卷积运算：
1.一维离散卷积：一维离散卷积用于处理一维序列，如时间序列或音频信号。

它将输入序列与卷积核进行卷积操作，计算出输出序列。

2.二维离散卷积：二维离散卷积常用于图像处理任务，例如边缘检测、模糊滤波等。

它使用二维滤波器（卷积核）与输入图像进行卷积操作，生成输出图像。

3.一维连续卷积：一维连续卷积适用于处理连续信号。

它使用输入信号与连续卷积核进行卷积操作，计算出输出信号。

4.二维连续卷积：二维连续卷积常用于图像处理领域。

它使用二维连续滤波器与输入图像进行卷积操作，生成输出图像。

这些都是卷积运算的常见形式，具体使用哪种形式取决于输入信号的维度和问题的需求。

卷积运算在信号处理和图像处理中有广泛应用，可以进行信号滤波、特征提取、图像增强等任务。

实验一 连续时间信号分析一、实验目的（一）掌握使用Matlab 表示连续时间信号1、学会运用Matlab 表示常用连续时间信号的方法2、观察并熟悉常用信号的波形和特性（二）掌握使用Matlab 进行连续时间信号的相关运算1、学会运用Matlab 进行连续时间信号的时移、反褶和尺度变换2、学会运用Matlab 进行连续时间信号微分、积分运算3、学会运用Matlab 进行连续时间信号相加、相乘运算4、学会运用Matlab 进行连续时间信号卷积运算二、实验条件装用Matlab R2015a 的电脑。

三、实验内容1、利用Matlab 命令画出下列连续信号的波形图。

（1）)4/3t (2cos π+ 程序：t=-3:0.01:3; ft=2*cos(3*t+pi/4); plot(t,ft)图像：（2）)t (u )e 2(t--程序：t=-6:0.01:6; ut=(t>=0);ft=(2-1*exp(-t)).*ut; plot(t,ft)图像：（3）)]2()(u )][t (cos 1[--+t u t π 程序：t=-6:0.01:6; ut=(t>=0); ut2=(t>=2);ft=(1+cos(pi*t)).*(ut-ut2); plot(t,ft)图像：2、利用Matlab 命令画出复信号)4/t (j 2e )t (f π+=的实部、虚部、模和辐角。

程序：t=0:0.01:20;ft=2*exp(1j*(t+pi/4));subplot(2,2,1);plot(t,real(ft));title('ʵ²¿');axis([-0.5,20,-2.5,2.5]); subplot(2,2,2);plot(t,imag(ft));title('Ð鲿');axis([-0.5,20,-2.5,2.5]); subplot(2,2,3);plot(t,abs(ft));title('Ä£');axis([-0.5,20,-0.5,2.5]); subplot(2,2,4);plot(t,angle(ft));title('·ø½Ç');axis([-0.5,20,-3.5,3.5]);图像：3、已知信号的波形如下图所示：试用Matlab 命令画出()()()()2332----t f t f t f t f ，，，的波形图。

连续时间信号卷积运算的MATLAB 实现一、实验目的（1）理解掌握卷积的概念及物理意义。

（2）理解单位冲激响应的概念及物理意义。

二、实验原理连续信号卷积运算定义为1212()()*()()()f t f t f t f f t d τττ∞-∞==-⎰卷积计算可以通过信号分段求和来实现，即1212120()()*()()()lim ()()k f t f t f t f f t d f k f t k τττ∞∞∆→=-∞-∞==-=∆-∆∆∑⎰ 如果只求当t n =∆（n 为整数）时()f t 的值()f n ∆，则由上式可得1212()()()()[()]k k f n f k f n k f k f n k ∞∞=-∞=-∞∆=∆∆-∆=∆∆-∆∑∑ 式中的12()[()]k f k f n k ∞=-∞∆-∆∑ 实际上就是连续信号1()f t 和2()f t 经等时间间隔∆均匀抽样的离散序列1()f k ∆和2()f k ∆的卷积和。

当∆足够小时，()f n ∆就是卷积积分的结果——连续时间信号()f t 的较好的数值近似。

三、实验程序function[f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)f=conv(f1,f2);f=f*p;k0=k1(1)+k2(1);k3=length(f1)+length(f2)-2;k=k0:p:k3*p;subplot(2,2,1)plot(k1,f1)title('f1(t)')xlabel('t')ylabel('f(1)')subplot(2,2,2)plot(k2,f2)title('t')xlabel('t')ylabel('f(2)')subplot(2,2,3)plot(k,f);h=get(gca,’position’);h(3)=2.5*h(3);set(gca,'position',h)title('f(t)=f1(t)*f2(t)')xlabel('t')ylabel('f(t)')四、求解f t=cost∗sint（1）Matlab命令如下：p=0.1;k1=0:p:6;f1=sin(k1);k2=k1;f2=f1;[f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)（2）运行过程如下：图一程序截图图二运行结果五、实验小结实验结果表明，用Matlab计算出的结果与理论分析结果一致。

利用MATLAB实现信号的时域卷积一．引言具有强大的图形处理功能及符号运算功能，为实现信号的可视化以及时域分析提供了强有力的工具，所以我们要利用编程辅助分析与计算。

现在我们利用编程辅助计算连续时间信号、离散时间信号的卷积。

我们利用编制一个M函数，该函数可以计算离散序列和的卷积，此程序要计算，返回的非零点对应向量,还将绘制出序列，和的时域波形图；我们要验证并调用这个函数计算“”这两个序列的卷积和运算,并绘制图像。

现在我们再利用MATLAB编制一个计算连续时间信号卷积积分的M函数，此函数要计算出两个连续信号和的卷积积分的近似值，并绘制、和的时域波形图。

编完之后，我们利用函数求“”这两个连续时间信号的卷积积分运算，并绘制图形。

二．基本原理对于信号的时域卷积有：（1)离散时间信号的卷积和：它的定义为，离散时间信号和的卷积和为：设序列在区间非零，序列在非零，那么就有的非零区间就为并且区间长度为，则只需计算序列的非零区间就可以表示整个序列。

那么由上可知,在利用的函数的时候就要注意其卷积后的区间长度已经发生变化,在绘制卷积后的图像的时候就要有意识的先减去扩大的区间长度，不然绘制的卷积后的时域图像就是错误的,和横坐标不是正确的对应关系,并且我们在使用函数的时候要先构造和，让它们有限，才能返回序列的非零样值时间序列。

对于连续的时间信号和的卷积积分其定义为：那么可以用分段求和来实现,即：令则有当足够小的时候，的结果就是连续时间信号的较好的近似值。

所以当用MATLAB 实现和的卷积积分的时候要先对和以的间隔进行采样，得到它们的离散序列和，构造它们相应的时间向量；调用系统的函数计算卷积，计算的近似值；最后构造的时间向量，并用命令将波形图画出来。

三．实现方法（1）先编制一个M函数d conv（），能是实现两个序列的卷积和，并绘制这两个序列的时域波形图和卷积之后的波形图。

编程思路如框图1：从外部获取两个序列做这两个序列的时间向量利用stem命令将这两个序列的图画出来框图1程序如下所示：function xn=d conv(x1，x2) %任意两序列卷积x11=-5:l ength(x1)-6；％设定x1(n）的时间向量x22=—5:l ength(x2）—6; %设定x2（n)的时间向量subpl ot（131)，stem（x11,x1，’fill’)，grid on；%画x1(n）的图像titl e（'x1（n)=u（n)-u（n-4）’）;xlabel(’n');ylabel（'x（n)’）;set(gca,'xtick',—20：20）;axis(［（min(x11）-1)，(max（x11）+1)，（min(x1)—1),（max(x1)+1）］）subpl ot(132),stem（x22，x2，’fill’),grid on；%画x2（n)的图像titl e（’x2(n)=u(n）—u(n-4）’）;xlabel（’n’）；ylabel(’x(n）');set(gca,'xtick’,—20:20）;axis（[(min(x22)-1),(max(x22)+1）,（min（x2)—1),（max(x2）+1）]) xmin1=min(x11);xmax1=max（x11)；xmin2=min(x22）;xmax2=max(x22)；t=（xmax2+xmax1）—（xmin2+xmin1）+1;xx=—10：（t-6—5）；％设定x(n)的时间向量xn=conv(x1,x2）%求x（n)=x1(n)*x2（n)subpl ot(133),stem(xx,xn，’fill’),grid on；%画x（n)的图像titl e('x(n)=x1（n)＊x2(n）’)xlabel（’n’）；ylabel（'x（n）')；set(gca，’xtick’,-100：100）;axis(［（min(xx)+5），（max（xx)—7)，（min(xn）-0.5）,(max（xn）+0。

第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。

解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。

讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。

τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。

解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。

卷积运算原理卷积运算是指对两个函数进行相乘并积分的一种运算方式。

其原理表述如下：在时间域（或空域）里，两个函数进行相乘在函数值上的叠加和，等同于在频域中对其傅里叶变换后的函数进行相乘再傅里叶反变换。

这个原理被广泛应用于信号处理、图像处理等领域。

卷积运算的过程卷积运算的过程可以用下面两个式子表示：$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(a)h(t-a)da $$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t-a)h(a)da $其中，$x(t)$ 和 $h(t)$ 分别代表两个需要进行卷积的函数。

第一个式子中，$x(t)$ 作为卷积操作的输入，$h(t)$ 作为线性时不变系统的响应，输出将得到卷积结果 $y(t)$。

第二个式子中，$h(t)$ 作为卷积操作的输入，$x(t)$ 作为线性时不变系统的响应，输出依然将得到卷积结果 $y(t)$。

卷积运算的应用卷积运算在数字信号处理中被广泛应用于信号滤波、降噪、压缩等领域。

在图像处理领域中，卷积运算也是一个基本操作，被用于模糊、锐化、边缘检测等多种图像处理任务中。

通常在图像卷积运算中，使用的是离散形式的卷积公式。

即对于一个 $M × N$ 的图像矩阵和一个 $K ×K$ 的滤波核，对于图像的每个小区域，均对卷积核和该小区域进行卷积运算，得到图像中每个像素的值。

卷积运算的局限性虽然卷积运算被广泛应用于多个领域中，但是也存在其局限性。

最主要的问题是卷积核的大小和形状的限制。

通常使用的卷积核都是固定大小的，这也限制了其处理的图片或信号的大小。

而且，一些卷积核在处理一些边界系统时，会产生锐利的边界，这也会对图像处理带来一定的问题。

总结卷积运算是广泛应用于信号处理、图像处理等领域的一种基本运算方式。

它通过对两个函数进行相乘并积分的方式，从而实现对信号、图像等的滤波、降噪、压缩等功能。

尽中存在其局限性，但其基本原理和应用依然得到了广泛的应用。

实验一连续时间信号的时域和频域分析一. 实验目的：1. 熟悉MATLAB 软件平台。

2. 掌握MATLAB 编程方法、常用语句和可视化绘图技术。

3. 编程实现常用信号及其运算MATLAB 实现方法。

4. 编程实现常用信号的频域分析。

二. 实验原理：1、连续时间信号的描述：（1）向量表示法连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点之外，信号都有确定的值与之对应。

严格来说，MATLAB 并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。

当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。

矩阵是MATLAB 进行数据处理的基本单元，矩阵运算是MATLAB 最重要的运算。

通常意义上的数量（也称为标量）在MATLAB 系统中是作为1×1 的矩阵来处理的，而向量实际上是仅有一行或者一列的矩阵。

通常用向量表示信号的时间取值范围，如t = -5:5，但信号x(t)、向量t 本身的下标都是从1 开始的，因此必须用一个与向量x 等长的定位时间变量t，以及向量x，才能完整地表示序列x(t)。

在MATLAB 可视化绘图中，对于以t 为自变量的连续信号，在绘图时统一用plot 函数；而对n 为自变量的离散序列，在绘图时统一用stem 函数。

（2）符号运算表示法符号对象(Symbolic Objects 不同于普通的数值计算)是Matlab 中的一种特殊数据类型，它可以用来表示符号变量、表达式以及矩阵，利用符号对象能够在不考虑符号所对应的具体数值的情况下能够进行代数分析和符号计算(symbolic math operations)，例如解代数方程、微分方程、进行矩阵运算等。

符号对象需要通过sym 或syms 函数来指定, 普通的数字转换成符号类型后也可以被作为符号对象来处理.我们可以用一个简单的例子来表明数值计算和符号计算的区别: 2/5+1/3 的结果为0.7333(double 类型数值运算), 而sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3)的结果为11/15, 且这里11/15 仍然是属于sym 类型, 是符号数。