2018最新北师大版高中数学必修一学案：第二章 4 二次函数性质的再研究

学习目标 1.掌握配方法，理解a ，b ，c (或a ，h ，k )对二次函数图像的作用.2.理解由y ＝x 2到y ＝a (x ＋h )2＋k 的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质．知识点一 二次函数的配方法思考 y ＝4x 2－4x －1如何配方？你能由此求出方程4x 2－4x －1＝0的根吗？梳理 对于一般的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，可类似地配方为y ＝a (x ＋b2a )2＋4ac －b 24a，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y ＝x 2与y ＝ax 2＋bx ＋c 图像间的关系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的数学方法． 知识点二 图像变换思考 y ＝x 2和y ＝2(x ＋1)2＋3的图像之间有什么关系？梳理 由y ＝x 2的图像各点纵坐标变为原来的a 倍，左移b2a 个单位，上移4ac －b 24a个单位，可得y ＝a (x ＋b2a )2＋4ac －b 24a 的图像，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像．知识点三 二次函数的三种形式思考 我们知道y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1＝(x －2)x ，那么点(1，－1)，数0,2是y ＝x 2－2x 的什么？梳理(1)二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)如果已知二次函数的顶点坐标为(－h，k)，则可将二次函数设为y＝a(x＋h)2＋k.(3)如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为y＝a(x－x1)(x－x2)．知识点四二次函数的性质向上向下类型一二次函数解析式的求解例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．反思与感悟求二次函数解析式的步骤跟踪训练1(1)y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x交于点A(1，m)，求a.(2)f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求f(x)．类型二二次函数的图像及变换例2由函数y＝x2的图像如何得到f(x)＝－x2＋2x＋3的图像．引申探究利用f(x)＝－x2＋2x＋3的图像比较f(－1)，f(2)的大小．反思与感悟 处理二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x 轴、y 轴交点、对称轴等与系数a ，b ，c 之间的关系． 在图像变换中，记住“h 正左移，h 负右移，k 正上移，k 负下移”．跟踪训练2 二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图像，则b ＝______，c ＝______. 类型三 二次函数的性质例3 已知函数f (x )＝12x 2－3x －34：(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值； (2)若x ∈[1,4]，求函数值域．反思与感悟 解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与g (x )＝bx 2＋ax ＋c (b ≠0)的图像可能是下图中的( )2．设二次函数y ＝f (x )满足f (4＋x )＝f (4－x )，又f (x )在[4，＋∞)上是减函数，且f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥4 B ．0≤a ≤8 C ．a <0D ．a <0或a ≥83．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)>c >f (－1) B ．f (1)<c <f (－1) C ．c >f (－1)>f (1)D ．c <f (－1)<f (1)4．已知二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________． 5．根据下列条件，求二次函数y ＝f (x )的解析式． (1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．1．配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换，研究二次函数性质时使用频繁． 2．二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即： (1)y ＝f (x )――→左移a 个单位y ＝f (x ＋a )； (2)y ＝f (x )――→上移b 个单位y ＝f (x )＋b ；(3)y ＝f (x )――→纵坐标变为原来a 倍y ＝af (x )(a >0)；(4)y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； (5)y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝4(x 2－x )－1＝4(x 2－x ＋14－14)－1＝4(x －12)2－2.令y ＝0，即4x 2－4x －1＝0， 4(x －12)2－2＝0，(x －12)2＝12，x ＝12±22＝1±22. 知识点二思考 y ＝x 2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y ＝2x 2的图像；再把y ＝2x 2的图像向左平移1个单位，再上移3个单位，得y ＝2(x ＋1)2＋3的图像． 知识点三思考 点(1，－1)是y ＝x 2－2x 的顶点，数0,2是方程x 2－2x ＝0的两根． 题型探究例1 解 方法一 代入A (－3,0)， 有9a －3b ＋c ＝0，①由对称轴为x ＝－1，得－b2a ＝－1，②顶点M 到x 轴的距离为|a －b ＋c －0|＝2，③联立①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝1，c ＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－1，c ＝32，所以此函数的解析式为y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32.方法二 因为二次函数图像的对称轴是x ＝－1，又顶点M 到x 轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，故可得二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋2或y ＝a (x ＋1)2－2. 因为图像过点A (－3,0)，所以0＝a (－3＋1)2＋2或0＝a (－3＋1)2－2，解得a ＝－12或a ＝12.故所求二次函数的解析式为y ＝－12(x ＋1)2＋2＝－12x 2－x ＋32或y ＝12(x ＋1)2－2＝12x 2＋x －32.方法三 因为二次函数图像的对称轴为x ＝－1，又图像过点A (－3,0)，所以点A 关于对称轴的对称点A ′(1,0)也在图像上， 所以可得二次函数的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －1)． 由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)， 分别代入上式，解得a ＝－12或a ＝12.故所求二次函数的解析式为y ＝－12(x ＋3)(x －1)＝－12x 2－x ＋32或y ＝12(x ＋3)(x －1)＝12x 2＋x －32. 跟踪训练1 解 (1)把A (1，m )代入y ＝－3x ，得m ＝－3， 把(1，－3)代入y ＝ax 2＋6x －8，得 a ＋6－8＝－3，即a ＝－1. (2)方法一 由f (－4)＝f (0)， 知f (x )的对称轴为x ＝－4＋02＝－2，又f (－2)＝－2，∴顶点坐标为(－2，－2)， ∴f (x )＝(x ＋2)2－2＝x 2＋4x ＋2. 方法二 由f (－4)＝f (0)， 可设f (x )＝x (x ＋4)＋c . 代入x ＝－2，得－2×(－2＋4)＋c ＝－2，∴c ＝2. ∴f (x )＝x 2＋4x ＋2.例2 解 f (x )＝－x 2＋2x ＋3 ＝－(x 2－2x )＋3 ＝－(x 2－2x ＋1－1)＋3 ＝－(x －1)2＋4，∴由y ＝x 2的图像关于x 轴对称， 可得y ＝－x 2的图像．由y ＝－x 2的图像向右平移1个单位， 向上平移4个单位， 可得y ＝－(x －1)2＋4， 即y ＝－x 2＋2x ＋3的图像．引申探究 解 f (x )图像如图．由图知越接近对称轴，函数值越大． 由|－1－1| ＝2>|2－1|＝1，即f (2)比f (－1)更接近对称轴， ∴f (2)>f (－1)． 跟踪训练2 －6 6解析 f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， 其图像顶点为(1,0)．将二次函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，－3)，得到的抛物线为y ＝(x －3)2－3， 即f (x )＝x 2＋bx ＋c ， ∴(x －3)2－3＝x 2＋bx ＋c ， 即x 2－6x ＋6＝x 2＋bx ＋c ， ∴b ＝－6，c ＝6.例3 解 (1)对函数右端的表达式配方，得f (x )＝12(x －3)2－214，所以函数图像的顶点坐标为(3，－214)，对称轴方程为x ＝3，最小值为－214.(2)由于3∈[1,4]，所以函数在区间[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数， 所以当x ＝3时，y min ＝－214， 当x ＝1时，y max ＝12×4－214＝－134，所以函数的值域为[－214，－134]．跟踪训练3 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去； 当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上，a 的值为－3或38.当堂训练1．D 2.B 3.B 4.(2,3] 5．解 (1)y ＝38(x －2)(x －4)．(2)y ＝2(x －1)2＋2. (3)y ＝x 2－2x ＋2.。

4.2二次函数的性质一、教材分析初三已经学习了一元二次函数2(0)y ax bx c a=++≠图象、开口方向、对称轴最大、最小值，有了初步的感性认识。

在高一阶段将进一步从“数和形”两个方面研究一般二次函数的图象和性质，二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。

可以以它为素材来研究函数的单调性，奇偶性，最值等问题。

还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

二、教学目标1、知识与技能：掌握配方法，并能应用配方法对二次函数进行研究。

2、过程与方法：培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、分析、归纳概括能力,进一步向学生渗透数形结合的数学思想方法。

3、情感态度与价值观：通过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，和谐的数学美。

三、教学重难点教学重点：掌握配方法，能够较快求出二次函数的开口方向对称轴，单调区间、最值及顶点坐标。

教学难点：运用配方法研究二次函数的性质。

四、教法学法和教具学生探究学习，教师启发指导的教学方法，教学中使用了多媒体投影来辅助教学，目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美，有助于学生对问题的理解和认识。

教具：多媒体五、教学过程一、问题提出1.画出函数2243y x x =--的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.2.画出函数245y x x =-++的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.3.讨论函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.22(1)5y x =-- 2(2)9y x =--+222432(1)5y x x x =--=--，∴开口向上，对称轴1x =，顶点坐标-15（，）， ∞（-,1)递减，∞(1,+)递增，min ()5f x =-2245(2)9y x x x =-++=--+∴开口向下，对称轴2x =，顶点坐标（2,9）， ∞（-,2)递增，∞(2,+)递减，max ()9f x =设计意图：从具体到抽象，从简单到复杂的认知，概括2(0)y ax bx c a =++≠的 开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.渗透分类讨论和数形结合的思想。

2.4.2二次函数的性质[学习目标]1、知识与技能(1) 结合二次函数图象，研究二次函数所具有的性质,从解析式到定义域、值域、单 调性,对称性等不同的角度认识二次函数,熟知性质.(2) 通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值 域.2、 过程与方法(1)能够借助二次函数的图象，研究二次函数的性质,体会数形结合研究函数的重要 性.(2)仔细体会函数的定义域对研究函数性质的影响.3、情感.态度与价值观通过学习二次函数的性质体会研究具体函数性质的方法和必要性与重要性，增强研究学习函数性质的积极性和自信心.[学习重点]:二次函数的性质.[学习难点]：二次函数在区间上的值域．[学习用具]：直尺、多媒体 [学习方法]：观察、思考、探究.[学习过程]【新课导入】[互动过程1]1．二次函数()02≠++=a c bx ax y 性质包括图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值、最小值.请画出函数()02≠++=a c bx ax y 的图像并回答出其性质。

对于二次函数c bx ax y ++=2配方为___________________________.当0>a 时，它的图像开口向_______，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；()f x 在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，()f x 取得最______-值。

当0<a 时，它的图像开口向________，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；()f x 在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，()f x 取得最______值。

2．请说出二次函数2235y x x =-+和222y x x =-++的性质.[互动过程2]1．你能利用函数单调性的定义证明函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性吗?试试看,请写出证明过程.证明: 设0a >,任取12,x x ,且122b x x a <≤-, 则21()()f x f x -=由函数单调性的定义,()f x 在__________________上是减少的, 同理可证()f x 在______________________上是增加的.练习1:请同学们证明当0a <时, 函数c bx ax y ++=2的单调性.2．对于二次函数a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=来说,你可以通过哪些量说出函数的性质?,画出函数的图像?例题2: 将函数2361y x x =--+配方,确定其对称轴、顶点坐标,求出它的单调区间、最大值或最小值,并画出函数的图像.解:思考:研究二次函数的图像和性质的方法步骤是_____________________________ 练习2:课本练习3例题3:绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?解:反思:__________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 练习3.课本练习2,4补充例题: 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）．A ．(,40]-∞B ．[40,64]C ．(,40][64,)-∞+∞UD ．[64,)+∞练习4: 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）．A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥练习5:若函数2()22f x x x =++，(1,4]x ∈的值域（ ）．A ．(5,26]B ．(4,26]C ．(3,26]D ．(2,26]课堂小结:1．____________________________________________________________________.2．__________________________________________________________________________3．____________________________________________________________________________. 作业:课本习题:A 组4-8,B 组1-4。

【教学设计、中学数学】
《2.4.3二次函数的性质》
2.4.3二次函数的性质------高三复习课
教学任务分析
教学流程安排
教学过程设计x=-
=
时=
= f f f f
总体设计说明
本节课为高三第一轮复习课，教学内容为第二章第4节《二次函数的性质》。

所面对的对象是基础较为薄弱的文科生，所以教学设计上遵循循序渐进的原则，所选例题均偏重基础，总体思路是：基础---巩固---提高---灵变。

同时在本节课中给学生提供了展示自己的舞台，充分发挥他们的动手能力，体验成功的乐趣。

也培养了学生相互合作的合作意识，有利于学生的全面发展。

§4 二次函数性质的再研究4.2 二次函数的性质教学目标：知识与技能：1、进一步掌握五种二次函数图像的顶点坐标、对称轴、单调区间及最值的求法.2、培养学生的观察分析能力由特殊到一般的归纳能力，引导学生会用数形结合的方法研究问题.过程与方法：从感性认识入手升华到理性认识，结合设计的问题，引导学生思考、探索，在解决问题中建构新知.情感态度与价值观：通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲.重点难点：教学重点：运用配方法研究二次函数的性质.教学难点：利用二次函数的图像性质解决一些实际问题.教学过程：一、复习回顾1、二次函数解析式的三种形式：⑴一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ;⑵顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ;⑶两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y .（注意：任意二次函数解析式都有顶点式和一般式，但不一定有两根式.）2、五点法作图：3、平移规律:4、练一练：对于给定的二次函数y ＝－2x 2＋8x ＋24.问题1：将该二次函数化成顶点式．问题2：该函数的单调区间是什么？问题3：当自变量x 取何值时，函数的图像达到最高点？ 二、学习新知1、填表：五种形式二次函数的图像及性质(见学生练习卷)2、典型例题：例2：将函数y x x =--+2361配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.变式思考题：求函数y x x =--+2361，[]5,2-∈x 的最值. 方法总结：求二次函数c bx ax x f ++=2)(在[]n m ,上的最值的一般步骤：例3：某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线段表示如图．(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年生产量的函数关系式，并求年生产量是多少时纯收益最大？巩固练习：课本47页练习第2、3、4三、课堂小结：1. 二次函数的性质应结合图像进行记忆和理解，做到数形结合;2. 利用二次函数解决实际问题，不要忽略自变量的取值范围;3.四、作业：课本48页习题2—4 A组第5、6、7、8题；B组第3、4题.（注：A组作业学生独立完成，B组可以讨论）五、板书设计：二次函数的性质一、二次函数的性质主要包括那些？二、应用举例：例2：例3:（实际应用——建模）三、巩固练习：四、小结五、作业布置：。

2.4.2 二次函数的性质本节教材分析本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对0a时函数的单调性进行证明。

与二次函数图像一节相比,例题也比较综合，有一定的难度,可以而且应该适度综合，适度抽象.三维目标1。

知识与技能：对一般二次函数解析式配方，确定其位置,并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小）值等性质.2.过程与方法：在回归初中知识的基础上通过画图分析研究二次函数的性质.3。

情感态度与价值观:培养和提高学生数形结合的应用能力.教学重点：二次函数的性质.教学难点：应用二次函数的性质解决实际问题．教学建议：可以自选一些题目来做，对于抽象的一般二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小）值、单调区间等.上课时注意组织学生动手，活动，实践。

教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”教师要创造性地用好它们。

新课导入设计导入一：上一节课，我们学习了二次函数的图像,本节课我们来学习二次函数性质。

导入二：“菊花”烟火是最壮观的烟花之一，人们在制造时一般是期望在它达到最高点（大约是距离地面25米到30米处）时爆炸,烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的,为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度,如果是你来设计，你可以吗？教师引出课题。

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4．1 二次函数的图像1．函数y ＝x 2与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像间的关系阅读教材P 41～P 42第2自然段结束有关内容，完成下列问题．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍得到．其中a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．思考1：函数y ＝4x 2的图像可由y ＝x 2的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍得到，还可以通过怎样的变换由y ＝x 2的图像得到y ＝4x 2的图像？[提示] 因为y ＝4x 2＝(2x )2，所以y ＝4x 2的图像可由y ＝x 2的图像上各点横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变得到．思考2：对于函数y ＝ax 2(a ≠0)，a 越大，其图像开口越小吗？[提示] 不一定小．例如函数y ＝x 2与y ＝－x 2的图像的开口大小相同，决定其开口大小的是|a |，|a |越大，开口越小．2．函数y ＝ax 2(a ≠0)与函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像 阅读教材P 42第3自然段～P 44的有关内容，完成下列问题．(1)y ＝ax 2――――――――――――→h >0向左平移h 个单位h <0，向右平移|h |个单位y ＝a (x ＋h )2――――――――――――→k >0，向上平移k 个单位k <0，向下平移|k |个单位y ＝a (x ＋h )2＋k . (2)将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方化为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的形式，然后通过函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像左右、上下平移得到函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像．思考3：通过怎样的变换，可以由函数y ＝x 2的图像得到y ＝2(x －1)2的图像？[提示] 把函数y ＝x 2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2x 2的图像；把函数y ＝2x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2的图像．1．函数y ＝2x (3－x )的图像可能是( )B [由2x (3－x )＝0得x ＝0或x ＝3，可知图像与x 轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A ，C.又y ＝2x (3－x )＝－2x 2＋6x ，所以图像开口向下，故排除D ，因此选B.]2．把函数y ＝x 2的图像向下平移1个单位长度，将得到的函数图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2－1 B ．y ＝2x 2－2 C ．y ＝2x 2＋1D ．y ＝2x 2＋2B [y ＝x 2→y ＝x 2－1→y ＝2(x 2－1)＝2x 2－2.]3．二次函数y ＝2x 2与y ＝－2x 2的图像开口大小________，开口方向________． 相同 相反 [由|2|＝|－2|，知二者开口大小相同；由2>0，－2<0，知二者开口方向相反．]4．下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为________． ①f (x )＝14x 2；②f (x )＝12x 2；③f (x )＝－13x 2；④f (x )＝－3x 2.④②③① [依据|a |越大，开口越小，知从小到大的顺序排列为④②③①.]【例1】 若把函数y ＝x 2－6x ＋6图像的横坐标缩小到原来的2倍，得到图像C 1，再把C 1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C 2，试写出图像C 2的解析式．[解] y ＝x 2－6x ＋6―――――――→横坐标缩小到原来的12倍y ＝(2x )2－12x ＋6＝4x 2－12x ＋6――――――→纵坐标扩大到原来的2倍y 2＝4x2－12x ＋6，即y ＝8x 2－24x ＋12.所以图像C 2的解析式为y ＝8x 2－24x ＋12.平移变换不改变图像的形状，只改变图像在坐标系中的位置. ①x 轴上平移，即把x 换成x ±k k >0，左正右负； ②y 轴上平移，即把y 换成y ±hh >0，下负上正伸缩变换改变图像的形状. ①把横坐标变化到原来的ωω>0且ω倍，即把x 换成.②把纵坐标变化到原来的λλ>0且λ倍，即把y 换成1．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图像，则b ＝________，c ＝________.－6 6 [二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y ＝(x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ＋3.整理得，y ＝x 2＋(b ＋4)x ＋7＋2b ＋c ， 又y ＝x 2－2x ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝－2，7＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝6，∴b ＝－6，c ＝6.]【例2】 ，求这个函数的解析式．[思路探究] 已知二次函数的图像的顶点(1，－3)，可设其解析式为y ＝a (x －1)2－3，再利用其图像过点(2,0)求a .[解] 因为二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)， 所以，可设其解析式为y ＝a (x －1)2－3. 又其图像过点P (2,0)， 则a (2－1)2－3＝0， 解得a ＝3.所以，这个函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3.1．(变条件)已知二次函数的图像与x 轴的交点为A (－1,0)和B (1,0)，且与y 轴的交点为(0，－1)，求这个函数的解析式．[解] 因为二次函数的图像与x 轴的交点为A (－1,0)和B (1,0)， 所以，可设其解析式为y ＝a (x －1)(x ＋1)． 又其图像与y 轴的交点为(0，－1)， 则a (0－1)(0＋1)＝－1， 解得a ＝1.所以，这个函数的解析式为y ＝(x －1)(x ＋1)＝x 2－1.2．(变条件)已知二次函数的图像过点A (1,1)，B (0,2)，C (3,5)，求这个函数的解析式．[解] 设这个函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，所以，这个函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧,求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，用待定系数法求之.当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋ca ，b ，c 为常数，a ，然后列出三元一次方程组求解当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大小值时，则设所求二次函数为顶点式y ＝a x ＋h2＋k [其顶点是－h ，k ，a ≠0].当已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为x 1，，x 2，时，则设所求二次函数为两点式y ＝a x －x 1x －x 2a[探究问题1．如何由二次函数的图像解不等式x 2－2x －3<0? 提示：画出函数y ＝x 2－2x －3的图像：观察图像得，不等式x 2－2x －3<0的解集为(－1,3)． 2．如何讨论关于x 的方程x 2－2|x |＝k 解的个数． 提示：令f (x )＝x 2－2|x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.画出函数f (x )的图像因为方程x 2－2|x |＝k 解的个数为函数f (x )的图像与直线y ＝k 的交点个数． 所以，当k <－1时，方程无解； 当k ＝－1或k >0时，方程有两个解； 当k ＝0时，方程有三个解；当－1<k <0时，方程有四个解．【例3】 求函数f (x )＝x |x －1|的单调区间．[思路探究] 画出函数f (x )的图像，通过观察函数的图像求其单调区间．[解] f (x )＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，－x 2＋x ，x <1.其图像如下：观察图像，得f (x )的递增区间是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，[1，＋∞)．递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.1．二次函数的图像是二次函数的直观表示，解决与二次函数相关的问题时，常借助其图像来求解．2．观察二次函数图像特征时，常考虑以下几个方面：①开口方向；②对称轴的位置；③顶点坐标；④与x 轴公共点的个数．2．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的一部分，图像过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的序号是________．①④ [由该函数图像与x 轴交于两点，得b 2>4ac .①正确；因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a ＝－1，即2a －b ＝0.②错误；结合图像，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；因为图像开口向下，所以，a <0，所以5a <2a ＝b .④正确．]1．画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．2．二次函数的图像变换规律(1)左右平移：只改变x ，如y ＝2x 2――――→向左平移1个单位y ＝2(x ＋1)2.规律：左加右减．(2)上下平移：只改变y ，如y ＝2x 2――――→上移1个单位y ＝2x 2＋1.规律：上加下减．(3)纵向伸缩：只改变y ，如y ＝x 2＋1――――――→横坐标不变纵坐标扩大2倍y ＝2(x 2＋1)．(4)横向伸缩：只改变x ，如y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c ――――――――――→纵坐标不变，横坐标变为原来的ω倍y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ω2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ω＋c .1．思考辨析(1)二次函数y ＝3x 2的开口比y ＝x 2的开口要大．( )(2)要得到y ＝－(x －2)2的图像，需要将y ＝－x 2向左平移2个单位长度．( ) (3)要得到y ＝2(x ＋1)2的图像，需将y ＝2(x ＋1)2－1的图像向上平移1个单位．( ) [解析] (1)×，|a |越大，开口越小； (2)×，应向右平移2个单位长度； (3)√.[答案] (1)× (2)× (3)√2．把函数y ＝－2(x ＋1)2＋3的图像向左平移1个单位长度，并把所得到的函数图像上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，所得到的函数的解析式为( )A ．y ＝－(x ＋2)2＋32B ．y ＝－(x ＋2)2＋3 C ．y ＝－x 2＋32D ．y ＝－x 2＋3A [y ＝－2(x ＋1)2＋3→y ＝－2[(x ＋1)＋1]2＋3＝－2(x ＋2)2＋3→y ＝12[]－x ＋2＋3＝－(x ＋2)2＋32.]3．已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则此函数的解析式为__________．y ＝－34x 2＋3 [设y ＝a (x ＋2)(x －2)(a ≠0)，因为其图像过点(0,3)，所以，a (0＋2)(0－2)＝3，解得，a ＝－34.所以，此函数的解析式为y ＝－34(x ＋2)(x －2)＝－34x 2＋3.]4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：[解] 由表可知该函数图像与x 轴有两个交点(－2,0)，(3,0)，故该函数可设为y ＝a (x ＋2)(x －3)．又其图像过点(0，－6)， 则－6a ＝－6， 解得a ＝1.所以，该函数的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)＝x 2－x －6.。

2.4.1二次函数的图象[学习目标]1、知识与技能(1) 通过绘制二次函数图象，观察二次函数图象的特征；(2) 通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数2x y =和2ax y =以及()k h x a y +-=2的图象之间的关系和变换特征.(3) 利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识. 2、过程与方法(1)通过学习二次函数的图象，借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换 规律,完成从直观到抽象的转变.(2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质. 3、情感.态度与价值观通过学习感受到学习二次函数图象的必要性与重要性，增强学习函数的积极性和自信心.[学习重点]:二次函数图象的变换.[学习难点]：二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论． [学习用具]：直尺、多媒体和画图纸 [学习方法]：观察、思考、交流、总结. [学习过程] 【新课导入】 [互动过程1]我们初中学习过二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线,了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系.请同学们回顾二次函数()02≠++=a c bx ax y 的开口方向与谁的取值有关?抛物线的对称轴的方程是什么?顶点的坐标是什么?怎样表示出?练习 1.回答二次抛物线（1）322+-=x x y 的对称轴方程_________和顶点坐标__________;（2）11622++=x x y 的对称轴方程_______和顶点坐标________. [提出问题] 1．2x y =和()02≠=a ax y 的图象之间有什么关系?2．()02≠=a ax y 和()()02≠++=a k h x a y 的图象之间有什么关系?3．()02≠=a ax y 和()02≠++=a c bx ax y 的图象之间有什么关系?这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题： 2.4.1二次函数的图象1．请同学们列表画出函数2x y =和22x y =的图像从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系? 从表中我们不难发现,要得到22x 的值,只要把相应的2x 的值扩大____倍即可,在图像上 则可以看出把线段AB________为原来的____倍,即AC 的长度,得到当1=x时, 22y x =对应的值.同理,其余的x 的值对应的2x 的值,都_____为原来的___倍,就可以得到22y x =的图像了.请你用类似的方法画出221x y =和22x y -=的图像. 思考:（1）221x y =和22x y -=的图像与2x y =和22x y =的图像之间有什么关系? （2）二次函数()02≠=a ax y 与2x y =的图像之间有什么关系?请你总结出规律. 规律：二次函数()02≠=a ax y 的图像可以由2x y =的图像变化得到，横坐标____________，纵坐标__________________到原来的_____________倍. （3）二次函数()02≠=a ax y 中a 起什么作用?从图上可以看出，a 决定了图像的_________和__________________________. [互动过程3]请画出22y x =与()2213y x =++的图像,并回答下列问题:1．抛物线22y x =与()2213y x =++的顶点分别是______________.对称轴和开口方向_________________________那么开口大小呢？开口大小与谁有关呢？2．22y x =与()2213y x =++的图像有什么关系?抛物线22y x =的顶点为____________开口向_________, 对称轴为____________, ()2213y x =++的顶点是_________, 开口向________,对称轴为______________.从图上可以看出只要把22y x =向_________平移__________个 单位长度, 再向__________平移___________个单位长度就 可以得到()2213y x =++的图像.,它们的形状相同,位置不同. [互动过程4]1．你能说出由函数23x y -=的图像怎样得到函数 ()2321y x =---的图像吗?2．如果把函数25x y -=向右平移2个单位,再向上平移3个单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式_______________________________.3．思考:对于二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 的作用是什么?h 和k 分别代表什么含义?结论:一般地, 二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 决定了二次函数图像的_________及___________;h 决定了二次函数图像的________平移,而且遵循的原则为“____________________”;k 决定了二次函数图像的__________平移,而且“_______________________”.4．思考:对于一个一般函数()y f x a b =++的图像与函数()y f x =的图像之间的关系怎样?你能由函数()y f x =的图像得到函数()y f x a b =++的图像吗? [互动过程5]1．你能写出函数2422-+=x x y 的顶点坐标吗?有哪些方法？请你把方程改写为 ()()20y a x h k a =++≠的形式吗？你能说出函数的图象是由22y x =的怎样进行平移的吗?2．请举出一例形如()02≠++=a c bx ax y 的函数改写为()()20y a x h k a =++≠形式的函数吗?试试看.3．你能写出函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式()()20y a x h k a =++≠的形式. 并说明函数的图象是怎样由()02≠=a ax y 的图象变来的.变化规律为: c bx ax y ++=2=_________________________,即把函数()02≠=a ax y 的图象向__________________________________平移_______________个单位,然后再向_________________平移________________个单位.4．二次函数()02≠++=a c bx ax y 中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函数图像位置的参数是什么?5．写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.例1.二次函数()f x 和)(x g 的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数)(x g 的解析式和()f x 图像的顶点,写出函数()f x 的解析式.Oxy（1）函数2)(x x g =,()f x 的顶点为(4,-7); （2）函数2)1(2)(+-=x x g ,()f x 的顶点为(-3,2)练习: 1．画出函数22y x =的图像,并由此图像得到函数2245y x x =-+的图像.练习: 2．不画函数的图像,你能说出由函数2y x =的图像怎样得到函数21232y x x =--的图像吗?练习: 3.画出函数1y x =的图像,怎样得到函数123y x =-+的图像?.练习: 4.画出函数2yx=-的图像,你能由函数2yx=-的图像,得到函数382xyx-=-的图像吗?[解决的问题]：1．2 3．4．〖课后练习〗P44练习1,2,3.〖课后作业〗P46习题1,2,3。

必修1《二次函数的性质再研究》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》（北师大版）第二章第二节第二课时《二次函数的性质再研究》。

关于《二次函数的性质》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为二节课（探究图象及其性质）。

二次函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习其他初等函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以二次函数性质应重点研究。

二、学生学习况情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。

基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，利用单调性、对称轴及顶点坐标求函数值域，本节课在课本给出的一个例题基础上研究了含参数二次函数值域的求解。

本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。

如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是采用数形结合的思想，利用二次函数的性质求值域。

本节课，力图让学生通过对参数的讨论，从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究解决含参数函数的值域求解的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法数形结合的思想.四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够根据二次函数的定义域、单调性，求函数值域的性质，提高学生理解和掌握知识的方法.2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

1 2.4.1 二次函数的图像
本节教材分析
本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题.
三维目标
理解二次函数的图像中k h c b a ,,,,的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生的变换作图的能力. 教学重点：二次函数图像的变换．
教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数.
教学建议：处理本节课应在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次.
新课导入设计
导入一:在初中，我们应经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题. 导入二：高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题.。