2015年高三一模数学(文)北京市石景山区试题Word版带解析

2015年石景山区高三一模数 学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则A B =（ ） A ．{0} B ．{2} C ．{0,1,2} D ．φ2．函数sin()1y x π=--的图象（ ）A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称3A ．48，49B ．62，63C ．75，76 4．如图，在66⨯,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=（ ）A ．0 55．阅读右面的程序框图，若输出的12y =A ．1- B ．0 C ． 1 D ．6．函数 ))(()(b x a x x f --=（其中a b >()x g x a b =+的大致图象是（ ）A B C 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．8．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知角α的终边经过点(,6)P x -，且tan α=10．设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，11．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，B (2,0)-，C (1,0)，分别以△ABC 的 边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ． 13．某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计成 米．开始a bc14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①2{(,)|+1}M x y y x ==；②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}xM x y y ==-；④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,),*nS n n N n∈均在函数y x =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 为等比数列，且11231,8b b b b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知b c =，3A C π+=． （Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）求sin B 的值；（Ⅲ）若b =，求△ABC 的面积．17．（本小题满分13分） 已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为Bx 与y 均为B 等级的概率是0.18．30%，求a ，b 值； （Ⅲ）已知10,8a b ≥≥，求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率.18．（本小题满分14分）如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB 90=，AB //CD ，AD =AF =CD =2，AB =4． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求三棱锥A -CDE 否存在一点M ，使得BM ⊥CE ?若存在，确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x 的离心率2e =，短轴的右端点为B ， M （1，0）为线段OB 的中点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 。

北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）数学（理）试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，且，则集合可能是（）A．B．C．D．2．在极坐标系中，圆被直线截得的弦长为（）A．B．C．D．3．执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为（）A．B．C．D．4．已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．二项式的展开式中，常数项的值是（）A．B．C．D．6．等差数列中，，则该数列前项之和为（）A．B．C．D．7．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）xy ．．11O．．．．z212 2① ② ③ ④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线是黄金双曲线； ②双曲线是黄金双曲线；③在双曲线中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 2,则该双曲线是黄金双曲线； ④在双曲线中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．，为复数的共轭复数，则___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ， 若P A ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆内的概率为___________．12．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则 ． 13．若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的 课程中恰有门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①； ②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．ACD EFB三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记. (Ⅰ)求函数的值域； (Ⅱ)设的角所对的边分别为， 若，且，，求.16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表： 下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln,()(0)af x x a xg x ax+=-=->．(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若存在，使得成立，求的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>离心率，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分）设数列满足：①；②所有项；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列； (Ⅱ)设，求数列的伴随数列的前30项之和； (Ⅲ)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列 的前项和．参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos )4f παααα=+=+， ………………5分因为，所以，故.………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+=，所以， ………………9分 在中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2122b =+-，解得. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x 82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分 （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意的所有可能取值为：． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,，． …11分的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF 平面ABCD ，EDAB ．所以ED 平面ABCD ………………1分 又因为BC 平面ABCD ，所以EDBC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BDBC ……………4分 又因为EDBD =D ，所以BC 平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ……6分 则()()()()()0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,2,0,2D A E B F()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设，则令是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以，令，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以…………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于， 所以AP 与所成的角为或 所以1cos ,24AP n AP n AP n⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为，所以或 ………12分 当时，（*）式无解 当时，解得：………13分所以，或. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）的定义域为． ………1分 当时，． ………2分 由，解得.当时，单调递减； 当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为．又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分 由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为． ……..……7分 （III ）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．即在上的最小值小于零． …8分 ①当，即时，由（II ）可知在上单调递减． 故在上的最小值为， 由1()0ah e e a e+=+-<，可得． ………9分 因为．所以； ………10分 ②当，即时，由（II ）可知在上单调递减，在上单调递增．在上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为，所以．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即不满足题意，舍去． …………12分综上所述:． ………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得， ………………1分由2c e a a ===，得． ∴椭圆的标准方程为． ………………4分 （Ⅱ）以为直径的圆过定点． ………………5分 证明如下：设，则，且，即，∵，∴直线方程为：，∴……………6分直线方程为：，∴， ………………7分 以为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心，得到圆的方程】即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令，则，解得.∴以为直径的圆过定点． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由，得*31log ()n m m N ≤+∈当时， ……………………4分当时， ……………………5分当时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分当时，430292827====b b b b……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵ ∴ 当时，121n n n a S S n -=-=-∴ ……………………9分 由得：因为使得成立的的最大值为，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2015年石景山区高三统一测试数 学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．}2,1{B ．}1|{≤x xC ．}1,0,1{-D ． R 答案：A 解析：因为AB B =，故B A ⊆ 选A2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（ ） A ．3 B ．2 C ．23 D ．3 答案：C解析：如图所示：易知弦长为233．执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案：C解析：此程序计算过程如下表所示步骤s n 开始11第1步64第2步197第3步48104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B是开始输出s 结束否n k >3n n =+ k输入1,1n s ==2s s n =+解析：函数21x y =-图像为所以当1m <时，函数21x y m =+-有零点； 函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数，则01m << 因为{}{}|01|1m m m m <<⊆< 所以“函数21x y m =+-有零点”是“函数l o g m y x =在0+∞（，）上为减函数”的必要不充分条件5．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 答案：A解析：二项式621(2)x x +的展开式通项为()6616212rr rr T C x x --+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当2r = 时常数项为2406．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 答案：C解析：在等差数列中()111,m k a a m k d d a km km=+-⇒==所以()111122mk mk mk mk S a mk mk -+=⋅+⋅=7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 答案：D解析：根据题意作出直观图：∴三视图的正视图与俯视图分别是④和②8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；x y．． 1 1O ． ． ． ． z21 2 2③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 答案：B解析：如果双曲线的离心率215+=e ，则有2222515122a b b a a +++=⇒=由此判断①错误，②正确，故选B（在④中，可知M 坐标为(),3c c ，即222231c c a b -=计算可知22512b a+≠故错误）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ⋅+-=___________．答案：12+解析：221,1,2z i z i z z z z =+=-⋅===所以1z z z ⋅+-=12+10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若P A ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．AC DPOB．答案：6π 解析：连接OD 、OC,由题可知PC PD PA PB ⋅=⋅ 解得8,3PD CD == 所以△OCD 为等边三角形，即1,326COD CBD COD ππ∠=∠=∠= 11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________． 答案：8π 解析：作出区域D ：易知落在圆内的概率为8π 12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c x a y b x y R=+∈，则=xy．答案：112解析：引入坐标，由图记()()()3,4,1,2,2,1c a b ===-∴c xa yb =+即()()()3,41,22,1x y =+- 解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有180种（用数字作答）． 答案：解析：2264180C A ⋅=14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是③④ ． 答案：③④解析：当12120x x y y ≠时，即函数()(),f x xy y x f x ==-的值域分别是A 和B 原式12120x x y y +=2121y xx y ⇔=-若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则有B A ⊆对于①，集合A=()0,+∞ ，B=(),0-∞ 不满足条件； 对于②，函数2log x y x =其导数为221log x y x -'=，易知其值域A 为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，易知函数2log xy x=值域B=()(),02,-∞+∞ 不满足条件；对于③，函数2x e y x -=其导数为2(1)2x e x y x-+'= 函数()12xy e x =-+ 的导数为x y e x '=⋅ ∴函数 ()12x y e x =-+最小值为()0min 01210y e =-+=>故2x e y x-=为区间(),0-∞ 和()0,+∞单调递增函数，其值域A 为全体实数，同理可知函数2x xy e -=-值域B 为全体实数，A=B ，满足要求； 对于④，考虑函数sin 1y x =+ 其图像为，由图可知总能找到这样的两点满足条件，即综上，答案为③④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 若()2f C =，且2a =，1c =，求b .答案：(Ⅰ) ()(1,2]f α∈ (Ⅱ)1 解析：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos 2sin()4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,2]f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()2sin()24f C C π=+=， (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2212222b b =+-⨯，解得1b =. ……………13分 xy PQOα16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表： 下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：西部城市 AQI 数值 东部城市 AQI 数值 西安 108 北京104 西宁 92 金门 42 克拉玛依 37 上海 x 鄂尔多斯 56 苏州 114 巴彦淖尔 61 天津 105 库尔勒456石家庄93AQI 平均值：135 AQI 平均值：90(Ⅰ) 求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．答案：(Ⅰ) x =82 D 东部<D 西部(Ⅱ)1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．解析：（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分空气质量等优良轻度污染 中度污染 重度污染严重污染 AQI 值范围[0,50) [50，100） [100,150)[150,200)[200,300)300及以上ACDEFB（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．答案：(Ⅰ)略 (Ⅱ)66(0,,)33P 或66(0,,)33P --. 解析：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为EDBD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()()0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,2,0,2D A E B F()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120 所以221cos ,242AP n y z AP n AP ny z ⋅+<>===⋅++⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：63y z ==±………13分AC DEFBx z y所以，66(0,,)33P 或66(0,,)33P --. ………14分18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； (Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．答案：(Ⅰ) 极小值为(1)1ln11f =-= (Ⅱ) ()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞．(Ⅲ)21(,)1e e ++∞-解析：（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． (1)分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>离心率22e =，短轴长为22．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．答案：(Ⅰ) 22142x y += (Ⅱ) 经过定点(2,0)F ± 解析：（Ⅰ）由短轴长为22，得2b =，………………1分由2222c a b e a a -===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ±． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 NMQAOPxy以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得2x =±.∴以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ±． …………14分20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b的前m 项和m T ．答案：(Ⅰ) 1,4,7 (Ⅱ)84 (Ⅲ)2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩解析：（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCBACDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos 2sin()4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,2]f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()2sin()24f C C π=+=， (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2212222b b =+-⨯，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分题号 910111213 14 答案1+26π8π112180③④（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为EDBD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()()0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,2,0,2D A E B F()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，AC DEFBx z y则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120 所以221cos ,242AP n y z AP n AP ny z ⋅+<>===⋅++⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：63y z ==±………13分所以，66(0,,)33P 或66(0,,)33P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞．又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分 由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为22，得2b =， (1)分由2222c a b e a a -===，得224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ±． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y-=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得2x =±.∴以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ±． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2015年北京市石景山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣3的绝对值等于（）A．3 B．C．D．﹣32．（3分）2015年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为（）A．6.310×103B．63.10×102C．0.6310×104 D．6.310×1043．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．104．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）某班25名女生在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：则这25名女生测试成绩的众数和中位数分别是（）A．47，46 B．47，47 C．45，48 D．51，476．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．7．（3分）某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．若从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（）A．B．4 C．2 D．69．（3分）某商户以每件8元的价格购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（）A．5元 B．10元C．12.5元D．15元10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点O以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S 与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：x3﹣9x=．12．（3分）二次根式有意义的条件是．13．（3分）已知点A（4，6）与B（3，n）都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则n=．14．（3分）如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为．15．（3分）2014年5月1日起，北京市居民用水实施阶梯水价．按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，水量分档和水价标准如下：第一阶梯用水量不超过180立方米，水价为每立方米5元；第二阶梯用水量在180（不含）﹣260（含）立方米之间，超出180立方米的部分的水价为每立方米7元；第三阶梯用水量为260立方米以上，超出260立方米的部分的水价为每立方米9元．若某居民家庭全年用水量为240立方米，则应缴纳的水费为元．16．（3分）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy中，棋子从点（0，0）出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位…依此规律走棋．（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AE交于点F，AE=AC，AD=BC，FA=FC．求证：∠B=∠D．18．（5分）计算：（π﹣1）0﹣+2cos30°+（）﹣1．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知x2﹣6x﹣1=0，求代数式（x+2）2﹣2x（x﹣1）的值．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3﹣m=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．22．（5分）列方程或方程组解应用题：小辰和小丁从学校出发，到离学校2千米的“首钢篮球馆”看篮球比赛．小丁步行16分钟后，小辰骑自行车出发，结果两人同时到达．已知小辰的速度是小丁速度的3倍，求两人的速度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．24．（5分）为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查．问卷如下：2014﹣2015学年度第一学期你参加过几次公益活动？A．没有参加过公益活动B．参加过一次公益活动C．参加过二次至四次公益活动D．参加过五次或五次以上公益活动以下是根据调查结果的相关数据绘制的统计图的一部分．请回答以下问题：（1）此次调查对象共人，扇形统计图中m的值为；（2）请补全条形统计图并在图上标出数据；（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请根据上述调查结果估计这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有人．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F．过点C作⊙O的切线交FD于点E．（1）求证：CE=EF；（2）如果sinF=，EF=，求AB的长．26．（5分）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4，BC=，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：AD的长为．参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD 的长．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4，2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．28．（7分）在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如，下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．（1）若点A（﹣1，2），四边形ABCD为直线x=﹣1的“理想矩形”，则点D的坐标为；（2）若点A（3，4），求直线y=kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积；（3）若点A（1，﹣3），直线l的“理想矩形”面积的最大值为，此时点D 的坐标为．2015年北京市石景山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣3的绝对值等于（）A．3 B．C．D．﹣3【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：|﹣3|=3．故选：A．2．（3分）2015年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为（）A．6.310×103B．63.10×102C．0.6310×104 D．6.310×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将6310用科学记数法表示为6.31×103．故选：A．3．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵360÷40=9，∴这个多边形的边数是9．故选：C．4．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看是一个有直径的圆环，故选：D．5．（3分）某班25名女生在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：则这25名女生测试成绩的众数和中位数分别是（）A．47，46 B．47，47 C．45，48 D．51，47【分析】根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第13个数解答即可．【解答】解：47出现的次数最多，出现了7次，所以众数为47，按从小到大的顺序排列，第13个数是47，所以中位数为47，故选：B．6．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．7．（3分）某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．若从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是（）A．B．C．D．【分析】由某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵某超市货架上摆放着外观、颜色、样式、规格完全相同的盒装酸奶，其生产日期有三盒是“20150410”，五盒是“20150412”，两盒是“20150413”．∴从中随机抽取一盒，恰好抽到生产日期为“20150413”的概率是：=．故选：D．8．（3分）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（）A．B．4 C．2 D．6【分析】连接OB，由垂径定理可知，AB=2BD，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt△DOB中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB，∴AD=BD，即AB=2BD，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1，∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选：C．9．（3分）某商户以每件8元的价格购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（）A．5元 B．10元C．12.5元D．15元【分析】由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，所以降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元，则降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元．【解答】解：∵由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，∴降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元，∴降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元．故选：B．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，且A，C在坐标轴上，满足OA=，OC=1．将矩形OABC绕原点O以每秒15°的速度逆时针旋转．设运动时间为t秒（0≤t≤6），旋转过程中矩形在第二象限内的面积为S，表示S 与t的函数关系的图象大致如图所示，则矩形OABC的初始位置是（）A． B． C．D．【分析】根据图象计算0秒、2秒、6秒的时候，矩形在第二象限内的面积为S，即可分析出矩形OABC的初始位置．【解答】解：由图象可以看出在0秒时，S=0，在2秒时，S=，在6秒时，S=；由题意知，矩形OABC绕原点0以每秒15°的速度逆时针旋转，6秒逆时针旋转90°，S=，不难发现B和D都符合，但在2秒时，S=，即矩形OABC绕原点0逆时针旋转30°时，S=，则只有D符合条件．故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：x3﹣9x=x（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．【解答】解：x3﹣9x，=x（x2﹣9），=x（x+3）（x﹣3）．12．（3分）二次根式有意义的条件是x≤．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴1﹣2x≥0，解得x≤．故答案为：x≤．13．（3分）已知点A（4，6）与B（3，n）都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则n=8．【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入解析式即可求得n的值．【解答】解：把A（4，6）代入y=得，6=，解得k=24，∴反比例函数y=，∵B（3，n）都在反比例函数y=的图象上，∴n==8．故答案为8．14．（3分）如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD•AC．【分析】由于△ABD和△ACB有一个公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，所以当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB．【解答】解：∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD•AC时，△ABD∽△ACB．故答案为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或AB2=AD•AC．15．（3分）2014年5月1日起，北京市居民用水实施阶梯水价．按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，水量分档和水价标准如下：第一阶梯用水量不超过180立方米，水价为每立方米5元；第二阶梯用水量在180（不含）﹣260（含）立方米之间，超出180立方米的部分的水价为每立方米7元；第三阶梯用水量为260立方米以上，超出260立方米的部分的水价为每立方米9元．若某居民家庭全年用水量为240立方米，则应缴纳的水费为1320元．【分析】根据题中的阶梯水价，计算出应缴纳的水费即可．【解答】解：根据题意得：180×5+（240﹣180）×7=900+420=1320（元），则应缴纳的水费为1320元，故答案为：132016．（3分）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy中，棋子从点（0，0）出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位…依此规律走棋．（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为（2，9）；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为（33，100）．【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向上3个单位，向右1个单位，用8和100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．【解答】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向上3个单位，向右1个单位，8÷3=2…2，100÷3=33…1，（1）当走完第8步时，为第3个循环组的第2步，所处位置的横坐标为1×2=2，纵坐标为3×9=9，棋子所处位置的坐标为（2，9）；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×1=33，纵坐标为33×3+1=100，棋子所处位置的坐标是（33，100）．故答案为：（2，9）；（33，100）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AE交于点F，AE=AC，AD=BC，FA=FC．求证：∠B=∠D．【分析】根据三角形全等得到对应角相等即可得出结论．【解答】证明：∵FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，在△ABC和△EDA中，，∴△ABC≌△EDA，∴∠B=∠D．18．（5分）计算：（π﹣1）0﹣+2cos30°+（）﹣1．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣3+2×+2=1﹣3++2=3﹣2．19．（5分）解不等式组：．【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求其公共解集即可．【解答】解：由①得x≥﹣2；由②得x＜4；∴不等式组的解集为﹣2≤x＜4．20．（5分）已知x2﹣6x﹣1=0，求代数式（x+2）2﹣2x（x﹣1）的值．【分析】由x2﹣6x﹣1=0，得出x2﹣6x=1，进一步化简代数式，整体代入求得答案即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣1=0，∴x2﹣6x=1，∴（x+2）2﹣2x（x﹣1）=x2+4x+4﹣2x2+2x=﹣x2+6x+4=﹣（x2﹣6x）+4=﹣1+4=3．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3﹣m=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+3﹣m=0有两个实数根可得△=（﹣2）2﹣4（3﹣m）≥0，求出m的取值范围即可；（2）找出符合条件的m的最小整数，然后解一元二次方程即可．【解答】解：（1）由题意得△≥0，∴（﹣2）2﹣4（3﹣m）≥0，∴m≥2；（2）∵由（1）知道m≥2，m为符合条件的最小整数，∴m=2，∴当m=2时，原方程为x2﹣2x+1=0，∴解方程得x1=x2=1．22．（5分）列方程或方程组解应用题：小辰和小丁从学校出发，到离学校2千米的“首钢篮球馆”看篮球比赛．小丁步行16分钟后，小辰骑自行车出发，结果两人同时到达．已知小辰的速度是小丁速度的3倍，求两人的速度．【分析】首先设小丁的速度是x千米/小时，则小辰的速度是3x千米/小时，根据的题意可得等量关系：小丁所用时间﹣小辰所用时间=16分钟，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设小丁的速度是x千米/小时，则小辰的速度是3x千米/小时．根据题意，得﹣=，解得x=5经检验，x=5是所列方程的解，且符合题意．所以3x=15．答：小丁的速度是5千米/小时，小辰的速度是15千米/小时．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．24．（5分）为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查．问卷如下：2014﹣2015学年度第一学期你参加过几次公益活动？A．没有参加过公益活动B．参加过一次公益活动C．参加过二次至四次公益活动D．参加过五次或五次以上公益活动以下是根据调查结果的相关数据绘制的统计图的一部分．请回答以下问题：（1）此次调查对象共200人，扇形统计图中m的值为13；（2）请补全条形统计图并在图上标出数据；（3）据统计，该市某大学有学生15000人，请根据上述调查结果估计这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有8700人．【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比即可求出总人数，再用D的人数除以总人数即可求出m的值；（2）用总人数减去A、B、D的人数求出C的人数，从而补全统计图；（3）用该市的总人数乘以这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）此次调查对象的人数是：=200（人），D所占的百分比是：=13%，扇形统计图中m的值为13；故答案为：13；（2）C的人数是：200﹣10﹣74﹣26=90（人），补图如下：（3）∵该市某大学有学生15000人，∴这所大学2014﹣2015学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有15000×=8700（人）．故答案为：8700．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F．过点C作⊙O的切线交FD于点E．（1）求证：CE=EF；（2）如果sinF=，EF=，求AB的长．【分析】（1）连结OC，由CE为⊙O的切线，得到OC⊥CE，又因为FD⊥AB，推出∠3=∠F，得到结论CE=EF；（2）根据三角函数，设出AD=3k，AF=5k，可得FD=4k，连结CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB=∠FCB=90°，推出∠F=∠B，再根据边角关系得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠2+∠3=90°，∵FD⊥AB，∴∠F+∠1=90°，又∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠3=∠F，∴CE=EF；（2）解：如图2∵FD⊥AB，sin∠F=，设AD=3k，AF=5k，可得FD=4k，∵D为OB中点∴DB=k，连结CB交FD于点G，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=∠FCB=90°，∴∠F=∠B，∵DB=k，∴GD=k，可得FG=k，∵∠FCB=90°，∴∠5+∠F=∠3+∠4，∵∠F=∠3，∴∠4=∠5，∴CE=EF=EG，∵EF=，∴FG=5，∴=5，∴k=，∴AB=．26．（5分）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4，BC=，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：AD的长为6．参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD 的长．【分析】（1）延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么AE=AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD；（2）延长AB与DC相交于点E．由∠ABC=∠BCD=135°，得出∠EBC=∠ECB=45°，那么BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，由tanA=，得出=，求出x=3，那么BC=3，AE=12，DE=6，再利用勾股定理即可求出AD．【解答】解：（1）延长AB与DC相交于点E，在△ADE中，∵∠A=90°，∠D=60°，∴∠E=30°．在Rt△BEC中，∵∠BCE=90°，∠E=30°，BC=，∴BE=2BC=2，∴AE=AB+BE=4+2=6．在Rt△ADE中，∵∠A=90°，∠E=30°，AE=6，∴AD=AE•tan∠E=6×=6．故答案为6；（2）如图，延长AB与DC相交于点E．∵∠ABC=∠BCD=135°，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，∠E=90°，∵tanA=，∴=，即=，∴x=3．经检验x=3是所列方程的解，且符合题意，∴BC=3，AE=12，DE=6，∴AD===6．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4，2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于m的方程，通过解该方程可以求得m的值；（2）根据抛物线解析式求得对称轴，所以由抛物线的对称性和增减性进行解答；（3）根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．【解答】解：（1）将A（3，0）代入，得m=1．∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3．B点的坐标（﹣1，0）．（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．∵当﹣2＜x＜1时，y随x增大而减小；当1≤x＜3时，y随x增大而增大，∴当x=1，y=﹣4．最小当x=﹣2，y=5．∴y的取值范围是﹣4≤y＜5．（3）当直线y=kx+b经过B（﹣1，0）和点（4，2）时，解析式为y=x+．当直线y=kx+b经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，解析式为y=x﹣．结合图象可得，b的取值范围是﹣＜b＜．28．（7分）在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【分析】（1）根据轴对称的性质画出即可；（2）过点F作FG⊥CA于点G，求出四边形HFGA为矩形．推出FH=AG，FG∥AB 求出∠GFC=∠EBC，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS推出△FGC≌△CDF，推出CG=FD即可；（3）过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，求出四边形ACGH为矩形．推出AC=GH，CG∥AB，证△FGC≌△CDF，根据全等三角形的性质得出FG=FD，即可得出答案．【解答】解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA，证明：过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如，下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．（1）若点A（﹣1，2），四边形ABCD为直线x=﹣1的“理想矩形”，则点D的坐标为（﹣1，0）；（2）若点A（3，4），求直线y=kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积；（3）若点A（1，﹣3），直线l的“理想矩形”面积的最大值为5，此时点D的坐标为（3，﹣2）或（﹣1，﹣2）．【分析】（1）只需根据新定义画出图形就可解决问题；（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（3，4）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“理想矩形”ABCD面积；（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=10﹣2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，点D的坐标为（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）；（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．∵点A的坐标为（3，4），∴AC=AO==5，AF=3，OF=4．∵点A（3，4）在直线y=kx+1上，∴3k+1=4，解得k=1．设直线y=x+1与y轴相交于点G，当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，∴FG=4﹣1=3=AF，∴∠FGA=45°，AG==3．在Rt△GAB中，AB=A G•tan45°=3．在Rt△ABC中，BC===．∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB•BC=3；（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．∵（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=10﹣2xy≥0，∴xy≤5．当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形．①当点D在第四象限时，如图3，过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，易证RtAMB≌Rt△DNA，则有AN=BM=2，DN=AM=1，∴点D的坐标为（1+2，﹣3+1）即（3，﹣2）．②当点D在第三象限时，如图4，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，易证RtANB≌Rt△DMA，则有DM=AN=1，AM=BN=2，∴点D的坐标为（1﹣2，﹣3+1）即（﹣1，﹣2）．故答案分别为：5、（3，﹣2）或（﹣1，﹣2）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2015-2016年北京石景山高三上学期期末文科数学试题及答案石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高三数学（文）,2016.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}5,2=A ，集合{}2,1=B ,集合{}7,5,2,1=C ，则()C B A ⋂⋃为（ ） A.{}5,2,1 B.{}5,2 C.{}7,5,2 D.{}7,5,2,1 2．若变量y x ,满足约束条件2,1,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．43．若函数()y f x =的定义域为{}|22x x M =-≤≤,值域为{}|02N y y =≤≤, 则函数()y f x =的图象可能是（ ）-24．“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．右面的程序框图表示算法的运行结果是( )A. 2-B. 2C.1- D. 16．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于 直线x y =对称，则圆C 的标准方程为( ) A.22(1)1x y -+=o y x 2AB.22(1)1x y ++=C.22(1)1x y +-=D.22(1)1x y ++=7．已知()1f x x =-，若()1f x ax ≥-在x R ∈上恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A.[]1,0 B.(][),11,-∞-⋃+∞C.[]1,1-D.(][)+∞⋃∞-,10,8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法.现有如下图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ （ ）A ．6 B. 8 C. 10 D.12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数(1)i i -的实部为_____________.10.已知向量()3,4a →=-，()m b ,1=→，若()0a a b →→→⋅-=，则=m ___________. 11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98）， [98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .12.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .15a =，10b =，60A = ，则sin B =_____________.13.三棱锥S ABC -及其三视图中的 正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为___________.14.股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多. （注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为________元，能够成交的股数为___________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）求数列{}na 2的前n 项和nS ．16．（本小题共13分）已知函数R x x x x x f ∈-=,sin 2cos sin 32)(2. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在[0,]4π上的最大值与最小值．CB AS22正（主）视图17．（本小题共13分）编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率．18．（本小题共14分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -中， 1AA ⊥底面ABC ，2==BC AC ，41=AA，22=AB ，N M ,分别是棱1CC ，AB 中点．（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：CN ∥平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥AMN B -1的体积．19．（本小题共13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，其中21=e （e 为椭圆离心率），焦距为2，过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点B A ,，点B 在AM 之间．又点B A ,的中点横坐标为74． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求直线l 的方程．20. （本小题共14分） 已知函数mx x g x m x x f -=+-=31)(,2131)(23,R m ∈. （Ⅰ）若)(x f 在1=x 处取得极小值,求m 的值； （Ⅱ）若)(x f 在区间()+∞,2为增函数,求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数)()()(x g x f x h -=有三个零点,求m 的取值范围．石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(14题第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解 （Ⅰ）由题设知公差0d ≠， ………………2分 由11391,,,a a a a =成等比数列得1218112d d d++=+， ………………4分解得1,0d d ==（舍去）， ………………5分 故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯=. ………………7分(Ⅱ)由（Ⅰ）知22ma n =，由等比数列前n 项和公式得 ………………9分2312(12)22222212n nn n S +-=++++==-- . ………………13分16．（本小题共13分）解：()cos21f x x x +-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. ………………2分（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == ………………4分 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . ………………7分 （Ⅱ）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ， 于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤. ………………9分当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. ………………11分 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==. ………13分17．（本小题共13分）（Ⅰ）解：4，6，6 ………3分 （Ⅱ）解（i ）：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种. ………8分（Ⅲ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种. ………11分所以51().153P B == ………13分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥. ………1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. ………3分 因为1AA AB A ⋂=， ………4分 所以CN ⊥平面11ABB A . ………5分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以NG ∥1BB ，112NG BB =. ………6分 又因为CM ∥1BB ，112CM BB =， 所以CM ∥NG ，CM ＝NG .所以四边形CNGM 是平行四边形．所以CN ∥MG . ………8分 因为CN ⊄平面1AMB ，MG ⊂平面1AMB ， ………9分 所以CN ∥平面1AMB . ………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知MG ⊥平面1AB N .所以111144323B AMN M AB N V V --==⨯= ………14分19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2223b a c =-=， ………3分椭圆的标准方程是22143x y +=． ………4分 （Ⅱ）由已知,,A B M 三点共线，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ．若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意． ………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-． …6分由22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 得，2222(34)3264120k x k x k +-+-=．① ………8分 由①的判别式△=42223224(43)(6412)144(14)0k k k k -+-=->， …9分解得214k <， ………10分 21223243k x x k +=+,2122641243k x x k -=+. ………11分由21221642437x x k k +==+，可得218k =，即有4k =±. ………12分即所求直线方程为(4)4y x =±-. ………13分20．（本小题共14分）解: （Ⅰ）2()(1)f x x m x '=-+ ………1分由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, ………3分 所以0m =(经检验适合题意) ………4分（Ⅱ）2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, ………5分所以(1)0x x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立,由于2x >,得1m ≤.所以m 的取值范围是1m ≤. ………8分 （Ⅲ）32111()()()323m h x f x g x x x mx +=-=-+-, 故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x =当1m =时, 2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意. ……9分当1m <时, (),()f x f x '随x 的变化情况如下表:要使()()f x g x -有三个零点,故需321110623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩, ………12分即2(1)(22)01m m m m ⎧---<⎨<⎩, 解得31-<m所以m 的取值范围是31-<m . ………14分。

2015北京市石景山区高三（上）期末数 学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ,{}2,1=A ,{}4,2=B , 则=B A C U ）（（ ） A ．{}2 B ．{}4,2,1 C ．{}4 D ．{}4,12．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．3y x =- C ．lg y x =- D ．2x y = 3．已知向量()()2,4,0,2AB AC ==，则=BC 21（ ） A ．)22(--，B ．(22)，C ．(1,1)D ．(1,1)-- 4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75．设为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：0a b << ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()22f x log x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线的距离依次为和，则这样的直线有（ ） A ．条 B ．条 C ．条 D ．条A ≤5 是否 开始 A =1，B =1A =A +1B =2B +1输出B结束,a b l 1212348．某同学为了研究函数()()()2211101f x x x x =+++-≤≤ 的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设CP x = ，则()f x PF AP =+．那么可推知方程()6f x =解的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z -1-3i. 10．若抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213x y -= 的右焦点重合，则a 的值为8．11．在中，角所对的边分别为,,a b c ，已知6C π=，1a = ，3b = ，则____________．12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ．13．已知不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为1，则=a 1；若点S y x P ∈),(，则y x z 3-= 的最小值为-4.14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为45，最大值为85.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,*n N ∈.APFDBEC 1ABCD BEFC P BC 0124ABC ∆C B A ,,=B(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(Ⅱ)已知数列{}n b 是等差数列,n T 为{}n b 的前n 项和,且1123b a a a =++,33b a =,求n T 的最大值. 16．（本小题共13分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值与最小值.17．（本小题共14分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是棱111D C DD 、的中点． （Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ； （Ⅱ）证明：F B 1//平面BE A 1；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积.18．（本小题共13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：E A BC DB 1A 1 D 1C 1F（Ⅰ）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率. 19．（本小题共14分） 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为21. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 经过点）（1,0M ，且与椭圆C 交于B A ,两点，若MB AM 2=，求直线l 的方程.20. （本小题共13分） 已知函数32()(,)f x ax x bxa b R =-+∈，()f x '为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-．（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7 1.95,ln8 2.08≈≈）k x k数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 答案：C解析：{}(){},,344U U C A C A B ==2． 答案：A解析：二次函数图像为满足在)0(∞+，上单调递增，且是偶函数两个条件。

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( ) A ．[]01， B ．()01， C ．(]01，D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1y x =D ．y xx =4．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i > B ．5i < C ．6i > D ．6i <5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．C ．10D ．6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2f x A x A =+>><，，πωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的函数图象的解析式为( ) A ．sin 2y x = B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且BC =O 到AC 的距离OD ＝________． 12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s=+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____． 13．已知函数2log 0()30xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B ． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，的值．16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <；（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2，直线 :l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由； （Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算【试题解析】因为故答案为：D【答案】D2【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。

2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sincos )4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===Q ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为ED I BD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-u u u r u u u r…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=r是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u r ξ所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n =r …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30o，所以AP 与(0,1,1)n =r 所成的角为60o 或120o所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅u u u r r u u u r r u u u r r………11分所以22440(*)y z yz ++-=L L L又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：y z ==………13分所以，(0,33P或(0,33P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b = (1)分由2c e a a ===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCBACDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos 2sin()4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,2]f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()2sin()24f C C π=+=， (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2212222b b =+-⨯，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分 （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分题号 91011121314答案1+26π8π112180③④ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为EDBD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()()0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,2,0,2D A E B F()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120 所以221cos ,242AP n y z AP n AP ny z ⋅+<>===⋅++⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分ξ 1 2 3P153515AC DEFBx zy当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：63y z ==±………13分所以，66(0,,)33P 或66(0,,)33P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本小题共14分） （Ⅰ）由短轴长为22，得2b =， ………………1分由2222c a b e a a -===，得224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ±． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y-=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得2x =±.∴以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ±． …………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

【关键字】试题石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则＝( )A． B． C． D．2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A． B． C． D．4．下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A． B．C． D．5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A．B．C．D．6．在数列中，“”是“数列为递增数列”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为( )A． B． C． D．8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半 (即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为( )A．4 B．6 C．32 D．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量满足约束条件则的最大值等于_____．11．如图，是半圆的直径，，为半圆的切线，且，则点到的距离＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，若直线与曲线相交于两点，则＝____．13．已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）设△的内角的对边分别为且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值．16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式 分1期 分2期 分3期分4期 分5期频数352510已知分3期付款的频率为,请以此人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题： （Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用表示销售一部苹果6S 手机的利润，求的分布列及数学期望． 17．（本小题共14分）如图，三棱柱中，⊥平面，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <；（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2，直线 :l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值． 20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}na 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由； （Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算 【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D2【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限 故答案为：B 【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值 【试题解析】因为A ．不是奇函数，B ．不是增函数，C ．不是增函数 ，只有 D ．既是奇函数又是增函数故答案为：D 【答案】D4【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A 【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。