2019年深圳市高三数学一模(文)试卷

2019年深圳市高三年级第一次调研考试数 学 2019．3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第5页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共50分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回参考公式：(1)如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； (2)如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )；一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数11i+所对应的点位于A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限 2．50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知直线l 及三个平面αβγ、、，给出下列命题:①若l //α，l //β，则//αβ ②若,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥③若,,l l αβ⊥⊥ 则//αβ ④若,//l l ⊂αβ，则//αβ 其中真命题是A. ①B. ②C. ③D. ④4. 已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为A. 24B. 20C. 16D. 125. 已知R 上的奇函数)(x f 在区间（－∞，0）内单调增加，且0)2(=-f ，则不等式()0f x ≤的解集为A. []2,2-B. (][],20,2-∞-⋃C. (][),22,-∞-⋃+∞D. [][)2,02,-⋃+∞6. 某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A ．7种 B ．8种 C ．9种 D ．10种7. 按向量)2,6(π=平移函数()2sin()3f x x π=-的图象，得到函数()y g x =的图象，则A. ()2cos 2g x x =-+B. ()2cos 2g x x =--C. ()2sin 2g x x =-+D. ()2sin 2g x x =--8. 函数()f x （x ∈R ）由ln ()0x f x -=确定，则导函数()y f x '=图象的大致形状是A.C.D.9. 曲线214x y =上的点P 到点(1,3)A --与到y 轴的距离之和为,d 则d 的最小值是B.3C.D.410. 若点A B C 、、是半径为2的球面上三点,且2AB =，则球心到平面ABC 的距离之最大值为A.2B.2第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项:第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．11则第3组的频率为 ▲ .12. 14lim14nnn →∞-=+ ▲ . 13. 圆22:2270C x y x y +---=的圆心坐标为 ▲ ，设P 是该圆的过点(3,3)的弦的中点,则动点P 的轨迹方程是 ▲ .14．将给定的25个数排成如右图所示的数表，若 每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列 的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表 正中间一个数a 33＝1，则表中所有数之和为三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知向量＝)sin ,(cos x x , ＝)cos ,cos (x x -, ＝)0,1(-. （Ⅰ）若6π=x ，求向量a 、c 的夹角；（Ⅱ）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值.16．(本小题满分13分)已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.(Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数ξ的数学期望；(Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数η的方差. 17． (本小题满分13分)如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点.(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离. 18．（本题满分14分）已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.19.（本题满分13分）已知椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c ,P Q 两点(其中点P 在第一象限)，线段OP 与椭圆1c 交于点坐标原点(如图所示). （I ）求实数t 的值；M PDCＡ（II ）若3OP OA =⋅，PAQ ∆的面积26tan S PAQ =-⋅∠， 求直线l 的方程. 20．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式为34().n b n n N *=-∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）试比较n a 与n b 的大小,并加以证明；（III ）是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.2019年深圳市高三年级第一次调研考试（数学）答案及评分标准说明：一．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一．选择题：本大题每小题5分，满分50分．1. D2. A3. C4. B5. B6. C7. A8. C9. B 10. D 二．填空题：本大题每小题5分，满分20分．11. 24.0 12. 1- 13. (1,1)；22(2)(2)2x y -+-= 14. 25 三．解答题：本大题满分80分． 15．(本小题满分13分)已知向量＝)sin ,(cos x x , ＝)cos ,cos (x x -, ＝)0,1(-. （Ⅰ）若6π=x ，求向量a 、c 的夹角；（Ⅱ）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值.解: （Ⅰ）当6π=x 时，2cos ,cos a c a c a c ⋅==⋅ …………………2分 6cos cos π-=-=x ……………………………3分5cos 6π= ……………………………4分∴65,π=c a…………………………6分 （Ⅱ） 1)cos sin cos (212)(2++-=+⋅=x x x b a x f ……………………8分)42sin(22cos 2sin π-=-=x x x (10)分∴]2,43[42πππ∈-x ，故]22,1[)42sin(-∈-πx ………………………11分 ∴当4342ππ=-x ,即2π=x 时, 1)(max =x f ………………………13分 16．(本小题满分13分)已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.(Ⅰ)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数ξ的数学期望；(Ⅱ)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数η的方差.解：(Ⅰ) 依题意，ξ的可能取值为2,3，4 ……………………………1分52)2(2624===A A P ξ； ……………………………3分52)()3(3613221412===A C A C C P ξ； ……………………………5分51)()4(4613331422===A C A C C P ξ； ……………………………7分 故取球次数ξ的数学期望为14.5…………………………8分 (Ⅱ) 依题意，连续摸4次球可视作4次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为32，则η )32,4(B ……………………………10分故共取得红球次数η的方差为8.9……………………………13分 17． (本小题满分13分)如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点.(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离.解法1：(Ⅰ) 取CD 的中点E ，连结PE 、EM 、EA ∵△PCD 为正三角形∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3 ∵平面PCD ⊥平面ABCD∴PE ⊥平面ABCD …………………3分 ∵四边形ABCD 是矩形∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理可求得 EM=3，AM=6，AE=3∴222AE AM EM =+……………………………5分∴∠AME=90°∴AM ⊥PM ……………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分MPDCＡEＡBCDPM∴tan ∠PME=133==EM PE ∴∠PME=45°∴二面角P －AM －D 为45°； ……………………………10分 (Ⅲ)设D 点到平面PAM 的距离为d ，连结DM ，则PAM D ADM P V V --=……………………………11分而2221=⋅=∆CD AD S ADM 在Rt PEM ∆中，由勾股定理可求得PM=6. 所以：d ⨯⨯=⨯⨯33132231, 即点D 到平面PAM 的距离为362.……………………………13分 解法2：(Ⅰ) ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC ⊥CD∵平面PCD ⊥平面ABCD∴BC ⊥平面PCD ……………………………2分 而PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC 同理AD ⊥PD在Rt △PCM 中，PM=62)2(2222=+=+PC MC同理可求PA=32，AM=6∴222PA PM AM =+…………………………5分 ∴∠PMA=90°即PM ⊥AM ……………………6分 (Ⅱ)取CD 的中点E ，连结PE 、EM ∵△PCD 为正三角形∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3 ∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCDEＡBDPM由(Ⅰ) 可知PM ⊥AM ∴EM ⊥AM∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分 ∴sin ∠PME=2263==PM PE ∴∠PME=45°∴二面角P －AM －D 为45°； ……………………………10分 (Ⅲ)同解法(Ⅰ)解法3：(Ⅰ) 以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,依题意，可得)0,2,2(),0,0,22(M A ……2分)0,2,2()0,0,22()0,2,2(-=-=AM …4分即⊥,∴AM ⊥PM. ……………………………6分 (Ⅱ)设),,(z y x =，且⊥平面PAM ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PM n 即⎪⎩⎪⎨⎧-⋅-⋅)0,2,2(),,()3,1,2(),,(z y x z y x 取1=y ，得)3,1,2(=取)1,0,0(=，显然⊥平面ABCD结合图形可知，二面角P －AM 45°；……………………………10分(Ⅲ) 设点D 到平面PAM 的距离为d ，由()3,1,2(=n 与平面PAM 垂直，则即点D 到平面PAM 的距离为362.……………………………13分 18．（本题满分14分）已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，令.1,321),()(-=+='='x x x g x f 故得∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的切点为).0,1(- ……………2分 将切点坐标代入函数()f x x b =+可得 1=b . ……………5分 或:依题意得方程)()(x g x f =，即0222=-++b x x 有唯一实数解………2分故0)2(422=--=∆b ，即1=b …………………5分 故)35)(1(3583)(22++=++='x x x x x F , 令0)(='x F ,解得1-=x ,或35-=x . ………………………8分 列表如下 : 从上表可知)(x F 在3-=x 处取得极大值27,在1-=x 处取得极小值. ……10分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数)(x F y =大致图象如下图所示.……………………………12分作函数k y =的图象,当)(x F y =的图象与函数k y =的图象有三个交点时, 关于x的方程kxF=)(恰有三个不等的实数根.结合图形可知：)274,0(∈k……………………………14分19.（本题满分13分）已知椭圆221:36(0)xc y tt+=>的两条准线与双曲线222:536cx y-=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l与双曲线2c的右支相交于,P Q两点(其中点P在第一象限)，线段OP与椭圆1c交于点,A O为坐标原点(如图所示).（I）求实数t的值；（II）若3OP OA=⋅，PAQ∆的面积26S=-⋅求直线l的方程.（I）解：由题意知椭圆221:36(0)xc y tt+=>上，0 1.t∴<<……1分椭圆1c的两条准线的方程为y=y==……3分双曲线222:536c x y-=的两条准线的方程为x=x=，这两条准线相距5. …………4分上述四条准线所围成的四边形是矩形,5=1.5t=故实数t的值是15.……………………………5分（II）设(,),A m n由3OP OA=⋅及P在第一象限得(3,3),0,0.P m n m n>>12,,A c P c ∈∈∴2222536,54,m n m n +=-=解得2,4,m n ==即(2,4),(6,12).A P ……………………………8分 设(,),Q x y 则22536.x y -= ① 由26tan ,S PAQ =-∠得1sin 26tan 2AP AQ PAQ PAQ ⋅⋅∠=-∠， 52AP AQ ∴⋅=-，即(4,8)(2,4)52,230.x y x y ⋅--=-++= ②……………………………10分联解① ②得5119319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，或3.3x y =⎧⎨=-⎩因点Q 在双曲线2c 的右支，故点Q 的坐标为(3,3)-. ……………………11分 由(6,12),P (3,3)Q -得直线l 的方程为33,12363y x +-=+-即5180.x y --= ……………………13分 20．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 和n S 满足：11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式为34().n b n n N *=-∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）试比较n a 与n b 的大小,并加以证明；（III ）是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.解：（I ）121(),n n S S n N *++=-∈两式相减得212120,2().n n n n a a a a n N *+++++==-∈…………………………2分又111,a S ==-211221231,2.S S a a a a +=+=-=-111,2(),n n a a a n N *+∴=-=-∈即数列{}n a 是首项为1,-公比为2-的等比数列,其通项公式是1(2)().n n a n N -*=--∈ (4)分另解一:111,21(),n n S S S n N *+=-+=-∈111211,2()(),3333n n S S S n N *+∴+=-+=-+∈即数列13n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2,3-公比为2-的等比数列,其通项公式是1(2)().33nn S n N *-+=∈…………………………2分当2n ≥时, 111(2)1(2)1(2),3333n n n n n n a S S ---⎡⎤⎡⎤--=-=---=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 又111,(2)().n n a a n N -*∴=-∴=--∈ ……………………………4分（II ）(1)1122441,1;2,2;8,8.a b a b a b =-=-====∴当1,2,4n =时,.n n a b = ……………………………6分(2)当21()n k k N *=+∈时, 22121(2)0,610,.k k k n n a b k a b ++=--<=->∴<……………………………7分(3)当2(,3)n k k N k *=∈≥时,2660180,n n a b k ∴-≥-≥>即.n n a b > ……………………………9分（III ）不存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m k A A A 落在圆C 上. …………10分假设存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m kA A A 即11(34,(2)),(34,(2)),n n n m A n A m --------1(34,(2))k k A k ----落在圆C 上.不妨设,n m k >>设圆C 的方程为:220x y Dx F +++=.从而21924164(34)0n n n n D F --+++-+= ①21924164(34)0m m m m D F --+++-+= ② 21924164(34)0k k k k D F --+++-+= ③由①-②, ②-③得即11449()2430n m n m D n m---+-++=- ④ 11449()2430m k m k D m k---+-++=- ⑤由④-⑤得 整理得441,.n k m kn m k n k m k-->>≥∴<-- (12)分作函数4()(1),x f x x x =≥由224ln 444(ln 41)()0(1),x x x x x f x x x x ⋅-⋅-'==>≥ 知函数4()(1)xf x x x=≥是增函数. 441,1,,n k m kn m k n k m k n k m k-->>≥∴->-≥>--产生矛盾. 故不存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点,,n m kA A A 落在圆C 上. ……………………………14分。

绝密★启用前 试卷类型：（A ）深圳市2019年高三年级第一次调研考试数 学（文科） 2019．2本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|12}A x x =-≤≤，{1,2,3}B =，则A B =2．设22i1iz -=+，则||z = 3．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边过点(2,1)P -，则sin(π2)α-的值为（A ）{1} （B ）{2}（C ）{1,2}（D ）{1,2,3}（A（B ）2（C（D ）34．设x ，y 满足约束条件030426x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为5．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间(,0]-∞为增函数，且(3)0f =，则不等式(12)0f x ->的解集为6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的 几何体的三视图，则该几何体的体积为72，则该圆锥的外接球表面积为 （A ）25π4（B ）16π （C ）25π （D ）32π8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD为半径画弧，交AB 于点E ． 点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上 随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为2.236≈）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.618（A ） 45-（B ）35-（C ）35（D ）45（A ）7（B ）9（C ）13（D ）15（A ）(1,0)-（B ）(1,2)-（C ）(0,2)（D ）(2,)+∞（A ）64 （B ）68 （C ）80 （D ）109第（8）题图EDCB9．已知直线π6x =是函数()sin(2)f x x ϕ=+π(||)2ϕ<图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，BC =，1CC =M 为1AA 的中点，则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为 11．已知1F ，2F 是椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，若1PF PQ ⊥且112QF PF =，则21F PF ∆与21F QF ∆的面积之比为12．已知函数ln ,0,()1,0,x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若12x x ≠且12()()f x f x =，则12||x x -的最大值为（A ）1（B（C ）2（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线1e xy x=-在点()1(1)f ，处的切线的斜率为 ． 14．已知平面向量a ,b 满足||2=a ，||4=b，|2|+=a b 则a 与b 的夹角为 ． 15．已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于,,,A B C D 四个点，若这四个点与1F ，2F 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为 ．16．在ABC ∆中，︒=∠150ABC ，D 是线段AC 上的点，︒=∠30DBC ，若ABC ∆的面（A ）向左平行移动π6个单位长度 （B ）向右平行移动π6个单位长度 （C ）向左平行移动π12个单位长度 （D ）向右平行移动π12个单位长度 （A ）6（B ）23（C ）34（D）3（A ）2- （B1（C ）（D）BD 取到最大值时，=AC ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和． 已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--， 其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在12,2--［］上恒成立，求m 的取值范围．深圳市2019年高三年级第一次调研考试 文科数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） B （3） A （4） C （5） B （6） A （7） C （8） A （9） C（10）B （11）D （12）C12【解析】不妨设21x x <，由12()()f x f x =，要使12||x x -最大，即转化为求()12max x x -， 问题可转化为（如图所示）11(,)A x y 到1(0)y x x =+<距离的最大值问题． 此时需过A 点的切线与1y x =+平行．当0x >时，()ln 1f x x '=+，令()1f x '=，则11x =，(1,0)A ，21x =- 所以12||x x -的最大值为2．二．填空题：13．e 1+14．60︒ 15．2 16．16【解析】由题意可知 11sin15024ABC S ac ac ∆=︒==ac =．设BD x =，则14BCD ABD S S ax ∆∆+==可得x =，当且仅当a =时x 取到最大值，所以a =2c =，由余弦定理可得b = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ． 【解析】（1）∵2a ，4a ，8a 成等比数列， ∴2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++， ……………………………………2分 ∴2(43)(4)(47)d d d +=++，解得4d =或0d =， ∵0d >，∴4d =． ………………………………………………………4分 ∴数列{}n a 的通项公式1(1)4()n a a n d n n *=+-=∈N ． …………………6分（2）∵21()222n n n a a S n n +==+， …………………………………………8分 ∴211111()2221n S n n n n ==-++， ………………………………………10分∴12111......nn T S S S =+++ 111111111()()()(1)21223121n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥++⎣⎦． ……………12分 【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【解析】（1） 指标Y 的平均值132=9.6+10+10.410.07666⨯⨯⨯≈．……………2分 （2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[]9.8,10.2内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在(]10.2,10.6内的有2件，记为12B B 、；指标Y 在[)9.4,9.8内的有1件，记为C ． …………………3分从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：()()()121311A A A A A B ,、,、,、()()121A B A C ,、,、()()()()2321222,,,,A A A B A B A C 、、、、()()()31323,,,A B A B A C 、、、 ()()()1212,,,B B B C B C 、、． …………………5分其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()()()121323,A A A A A A ,、,、．…………………6分所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==． …………………7分（3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为()1=4816300+8600=20048x x η⨯+⨯⨯+元； …………………9分 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400⨯元，平均每件产品的消费费用()1=48100+830015048x x ξ⨯+⨯=+⎡⎤⎣⎦元．…………………11分 所以该服务值得消费者购买． …………………12分【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养．19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．【解析】（1）证明：取PC 中点M ，连接AM ，DM ，……1分PD DC =，且M 为PC 中点，∴DM PC ⊥， ………………………………2分AD PC ⊥，ADDM D =， …………………3分∴PC⊥平面ADM ， ………………………………4分AM ⊂平面ADM ，∴PC AM ⊥， ……………………………………5分M 为PC 中点，∴AC PA =． ……………………………………6分（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ， ……………………7分 平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH ⊥AD ，∴PH ⊥平面ABCD ，……………………………8分CH ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥CH ， ………………………………9分PD DC =，AD AD =，AC AP =，∴ADP ADC ∆≅∆， ∴120ADC ADP ∠=∠=︒，∴4PD CD AD ===，AC AP ==PH CH ==PC =…………………10分设B h 为点B 到平面PAC 的距离， 由于P ABC B ACP V V --=，可得1133ABC ACP B S PH S h ∆∆⋅=⋅，1442ABC S ∆=⨯⨯=12ACP S ∆=⨯= …………………………………………11分所以B h =．即点B 到平面PAC ．…………………………………………12分 【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【解析】（1）由22,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理，得2480y my --=，……………1分显然216320m ∆=+>，设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理可得，124y y m +=，821-=⋅y y ，…………………………………3分12AB y y =-=AB ∴== ………………………………………4分 24m ∴=-（舍去）或21m =，1m ∴=±，∴直线方程为02=--y x 或02=-+y x ． ………………………………5分（2）设AB 的中点M 的坐标为),(M M y x ，则1222M y y y m +==， 又21212()444x x m y y m +=++=+，212222M x x x m +∴==+， ……………………………………………………6分 2(22,2)M m m ∴+，由题意可得(0,2)N m ， …………………………………7分设以MN 为直径的圆经过点),(00y x P则200(22,2)PM m x m y =+--，00(,2)PN x m y =--，…………………8分 由题意可得，0=⋅PN PM ，即22200000(42)420x m y m x y x --++-=， ………………………………9分由题意可知00220004204020x y x y x ⎧-=⎪=⎨⎪+-=⎩，，，……………………………………………10分 20=∴x ，00=y ， …………………………………………………11分∴定点)0,2(即为所求． ………………………………………………………12分【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--， 其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()=2e 2x f x x --，()=2e 1x f x '-．………………1分 由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-．故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln2,0-上单增． …………2分 ∴ ()min ()ln 2ln 21f x f =-=-． ……………………3分 ∵2(1)=10ef --<，(0)=0f ， ∴ max ()(0)0f x f ==． ……………………………………4分 （2）法一： 令()()()2e 1xg x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．（i ）当=0a 时，由（1）知，与题意不符； …………………5分 （ii ）当0a >时，由2()0 2g x x a ⎛⎫'>⇒>-+⎪⎝⎭，2()0 2g x x a ⎛⎫'<⇒<-+ ⎪⎝⎭． ∴ 22min 2()=g 2=e 10a g x a a --⎛⎫----< ⎪⎝⎭，∵ (0)=+10g a >，∴ 此时函数()f x '存在异号零点，与题意不符． ……………………6分 （iii ）当20a -<<时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭， 由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭． ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．故22max 2()=g 2=e 1a g x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ……………………7分由题意知，22e 10aa ----≤恒成立． ……………………8分令22t a --=，则上述不等式等价于e 12t t≤+，其中1t >-．……………9分 易证，当0t >时，e 112ttt >+>+， 又由（1）的结论知，当(]10t ∈-，时，e 12tt≤+成立． …………………11分 由2120a-<--≤，解得21a -<≤-． 综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． …12分（2）法二：因为2(1)10ef '-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增．…6分 所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立． 由(0)10f a '=+≤可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-． ……………………………7分 令()()()2e 1xg x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．当21a -<≤-时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭， 由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭， ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞⎪⎝⎭，上单调递减． 故22max 2()=g 2=e1ag x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ………………………………………9分 22()=e1ah a a ----令，下证：当21a -<≤-时，22()=e10ah a a ----≤．即证221eaa--≤-．令22t a --=，其中(]1,0t ∈-，则112t a -=+．则原式等价于证明：当(]1,0t ∈-时，e 12tt≤+． ……………………11分 由（1）的结论知，显然成立．综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． ………12分 【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．【解析】（1）∵ θρcos 2= ∴ θρρcos 22=， …………………………………1分 ∵222y x +=ρ，x =θρcos ， …………………………………3分∴ 曲线C 的直角坐标方程为0222=-+x y x ． …………………………………5分 （2）将⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x 代入曲线C 的直角坐标方程，可得08cos 62=+-t t α， …………………………………6分由题意知236cos 320α∆->=，故98cos2>α，又1cos 2≤α，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴1,98cos 2α， …………………………………7分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则αcos 621=+t t ，821=⋅t t ， …………………………………8分 1t ∴与2t 同号，由参数t 的几何意义可得：αcos 62121=+=+=+t t t t PB PA ，821=⋅=⋅t t PB PA ，22222()211PA PB PA PBPAPBPA PB+-⋅∴+=⋅221212212()29cos 4()16t t t t t t α+-⋅-==⋅， ……………………………………9分 ⎥⎦⎤⎝⎛∈1,98cos 2α ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-∴165,41164cos 92α，2211PBPA+∴的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛165,41． ………………………………10分 【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2上恒成立，求m 的取值范围．【解析】（1）21)(-++=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=∴,2,12,21,3,1,12)(x x x x x x f ……………………………………………………1分当4-=m 时，14)(2+--=x x x g ，① 当1-≤x 时，原不等式等价于022<+x x ，解得，02<<-x ，12-≤<-∴x ． ………………………………………………2分② 当21<<-x 时，原不等式等价于0242<++x x ， 解得，2222+-<<--x ，221+-<<-∴x ． ……………………………………………………3分③ 当2≥x 时，11)2()(-=≤g x g ，而3)2()(=≥f x f ，∴不等式)()(x g x f <解集为空集． ………………………………………………4分综上所述，不等式)()(x g x f <的解集为),(222+--． ……………………5分 （2）① 当12-≤≤-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于x x mx 22->，又0<x ， 2-<∴x m ，故4-<m ； …………………………………………………7分② 当211-≤<-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于3)(>x g 恒成立，即3)(min >x g ， 只需⎪⎩⎪⎨⎧>->-3)21(3)1(g g 即可，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧-<-<,29,3m m29-<∴m ， …………………………………………9分综上所述，9,2m⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭．……………………………………………………10分【命题意图】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。

深圳市2019届高三第一次调研考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{1, 2, 3}，则A∩B＝(A) {1} (B) {2} (C) {1,2} (D) {1,2,3}2.设z＝221ii-+，则｜z｜＝（A(B) 2(C) (D) 33.在平面直角坐标系xoy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，－1)，则sin(π－2α）的值为（A）一45(B)一35（C）35(D)454.设x，y满足约束条件030426xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则z＝3x＋y的最大值为(A) 7 (B）9 (C) 13(D) 155.己知()f x是定义在R上的偶函数，在区间（一∞，0］为增函数，且f（3）＝0，则不等式f (1一2x)＞0的解集为（A）（－l，0）(B) (－1，2)(C) (0，2) (D) (2，+∞)6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 64(B) 68(C) 80 (D) 1097.2，则该圆锥的外接球表面积为（A）254π（B) 16π(C) 25π(D) 32π8. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ＝1，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为≈2.236）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189. 己知直线6x π=是函数f （x ）=sin(2)(||)2x πϕϕ+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数 y ＝f （x ）的图象，可把函数y ＝sin2x 的图象（A ）向左平行移动6π个单位长度 （B ）向右平行移动6π个单位长度（C ）向左平行移动12π个单位长度 （D ）向右平行移动12π个单位长度10．在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC＝CC 1＝M 为AA 1的中点，则异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值为(A) （B ）23 （C ）34 （D）11．己知F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点，过F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且｜QF 1｜＝2｜PF 1｜，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为（A ）2（B1 （C（D ）12.己知函数ln ,0()1,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则｜12x x -｜的最大值为 (A) 1(B) (C) 2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、曲线1xy ex=-在点（1, f(1)）处的切线的斜率为14.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，｜2a+b｜＝a与b的夹角为．15.己知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A，B，C，D四个点，若这四个点与F1，F2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为．16.在△ABC中，∠ABC＝150°，D是线段AC上的点，∠DBC＝30°，若△ABC的BD取到最大值时，AC＝三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）记S n为等差数列{a n}的前n 项和．已知a1 = 4，公差d > 0 ，a4是a2与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列｛1nS｝前n 项和为Tn ．18．（本小题满分12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表．（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6 件产品，再从6 件产品中随机抽取2 件产品，求这2 件产品的指标Y 都在[9.8, 10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300 元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100 元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分12 分）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，PD=DC，AD⊥PC．（1）求证：AC=AP；（2）若平面APD ⊥平面ABCD，∠ADC = 120︒，AD= DC = 4 ，求点B 到平面PAC 的距离．20．（本小题满分12 分）设抛物线C：y 2 = 4x ，直线l : x－my－2= 0与C 交于A，B 两点．（1）若|AB｜，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N 。

深圳市2019届高三第一次调研考试数学文试题2019.02.21一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{1, 2, 3}，则A∩B＝(A) {1} (B) {2} (C) {1,2} (D) {1,2,3}2.设z＝221ii-+，则｜z｜＝（A(B) 2(C) (D) 33.在平面直角坐标系xoy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，－1)，则sin(π－2α）的值为（A）一45(B)一35（C）35(D)454.设x，y满足约束条件030426xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则z＝3x＋y的最大值为(A) 7 (B）9 (C) 13(D) 155.己知()f x是定义在R上的偶函数，在区间（一∞，0］为增函数，且f（3）＝0，则不等式f (1一2x)＞0的解集为（A）（－l，0）(B) (－1，2)(C) (0，2) (D) (2，+∞)6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 64(B) 68(C) 80(D) 1097.2，则该圆锥的外接球表面积为（A）254π（B) 16π(C) 25π(D) 32π8. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并 用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ＝1，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为≈2.236）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189. 己知直线6x π=是函数f （x ）=sin(2)(||)2x πϕϕ+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数y ＝f （x ）的图象，可把函数y ＝sin2x 的图象（A ）向左平行移动6π个单位长度 （B ）向右平行移动6π个单位长度 （C ）向左平行移动12π个单位长度 （D ）向右平行移动12π个单位长度10．在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝M 为AA 1的 中点，则异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值为（B ）23 （C ）34 （D ）311．己知F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过F 2的直线与椭圆交 于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且｜QF 1｜＝2｜PF 1｜，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为（A ）2 （B 1 （C （D ） 12.己知函数ln ,0()1,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则｜12x x -｜的最大值为(A) 1 (B)(C) 2 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、曲线1x y e x=-在点（1, f(1)）处的切线的斜率为14.已知平面向量a ，b 满足｜a ｜＝2，｜b ｜＝4，｜2a +b ｜＝a 与b 的夹角为 ．15.己知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交 于A ，B ，C ，D 四个点，若这四个点与F 1，F 2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该 双曲线的离心率为 ．16.在△ABC 中，∠ABC ＝150°，D 是线段AC 上的点，∠DBC ＝30°，若△ABC 的BD 取到最大值时，AC ＝三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． （本小题满分 12 分）记S n 为等差数列{a n }的前 n 项和．已知a 1 = 4，公差 d > 0 ， a 4 是 a 2 与 a 8 的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列｛1nS ｝前 n 项和为Tn ．18． （本小题满分 12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一 共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 Y 有关，具体见下表．（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量 指标 Y 的平均值（保留两位小数）；（2） 用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件 产品，求这 2 件产品的指标 Y 都在[9.8, 10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次． 工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次． 将每件产品的购买支出和一年 的维护支出之和称为消费费用． 假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该 服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据， 判断消费者在 购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19． （本小题满分 12 分）已知四棱锥 P －ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， PD =DC ， AD ⊥PC ．（1） 求证： AC =AP ；（2） 若平面 APD ⊥ 平面 ABCD ， ∠ ADC = 120︒ ， AD = DC = 4 ，求点 B 到平面 PAC 的距离．20． （本小题满分 12 分）设抛物线C ：y 2 = 4x ，直线l : x －my －2= 0与C 交于 A ， B 两点．（1）若|AB ｜ ，求直线l 的方程；（2）点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直， 垂足为 N 。

绝密★启用前 试卷类型：A市2019年高三年级第一次调研考试数 学（理科） 2019.2本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答. 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数z=i(2i)+的共轭复数是（A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i -- 2. 已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，2{|30}B x x x =-≤，则AB =（A ）{|02}x x << （B ）{|02}x x ≤< （C ）{|23}x x << （D ）{|23}x x <≤3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若525S =，348a a +=，则{}n a 的公差为（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 4. 已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表:若求得其线性回归方程为ˆ 6.5yx a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为 （A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）515. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）72 （B ）64（C ）48 （D ）32 6. 已知直线π6x =是函数()sin(2)f x x ϕ=+π(||)2ϕ<的图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象7. 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则=AB BE ⋅ （A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）18. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为（参考数据：5 2.236≈）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189. 已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值围是（A ）(0,2) （B ）(2,0)-（C ）(,0)(2,)-∞+∞ （D ）(,2)(0,)-∞-+∞10. 已知直线(0)y kx k =≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为（A ）向左平行移动π6个单位长度 （B ）向右平行移动π6个单位长度 （C ）向左平行移动π12个单位长度 （D ）向右平行移动π12个单位长度 (第5题图)(第8题图)EDCBA（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）511. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ，若12V V 的最大值为3，则球O 的表面积为 （A ）16π9 （B ）64π9（C ）3π2 （D ）6π12. 若关于x 的不等式11()9x x λ≤有正整数．．．解，则实数λ的最小值为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设x ，y 满足约束条件240,10,0,x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =+的最大值为___________．14. 若3()n x x-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为___________． 15. 已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且||12NF =，则p =___________．16. 在右图所示的三角形数阵中，用,()i j a i j ≥表示 第i 行第j 个数（*,i j ∈N ），已知,1,1112i i i i a a -==-（*i ∈N ），且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于 其“肩膀”上的两个数之和，即,1,11,i j i j i j a a a ---=+(21)j i ≤≤-，若,2100m a >，则正整数m 的最小值为_______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第（16）题图（17）（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线， 已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-．（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长 为1的菱形，45BAD ∠=︒，2PD =，M 为PD 的中点，E 为AM 的中点，点F 在线段PB 上，且3PF FB =.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若平面PDC ⊥底面ABCD ，且PD DC ⊥， 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．19.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为(1,0)F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左，右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于点Q ，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．20.（本小题满分12分）(第18题图 )P ABCDF M E某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：消费金额/元（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600,3200]的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800]的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回．．．地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()e (2)xaf x x x=--，其定义域为(0,)+∞.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的递增区间；（2）若函数()f x 为定义域上的增函数，且12()()4e f x f x +=-，证明:122x x +≥.请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ． （1）求曲线C 的参数方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PAPB+的取值围．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ． （1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在1[2,]2--上恒成立，数m 的取值围．市2019年高三年级第一次调研考试 理科数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷一．选择题1.D2.B3.A4.C5.B6.C7.B8.A9.C 10.D 11.B 12.A11. 解析:设△ABC 的外接圆圆心为O '，其半径为r ，球O 的半径为R ，且||OO d '=， 依题意可知1max 2()3V R dV d +==，即2R d =，显然222R d r =+，故3R r =， 又2sin 3AC r ABC ==∠，故3r =，∴球O 的表面积为2216644πππ39R r ==，故选B.12. 解析：11()9x x λ≤，∴9x x λ≥，∴ln 2ln 3x xλ≥，*x ∈N ，∴0λ>，（法一）∴ln 2ln 3x x λ≥，令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x-'=， 易知()f x 在(0,e)上递增，在(e,)+∞上递减， 注意到2<e<3，只需考虑(2)f 和(3)f 的大小关系， 又ln 2ln8(2)26f ==，ln 3ln 9(3)36f ==，∴(2)(3)f f <， ∴只需ln 32ln 3(3)3f λ=≥，即6λ≥，即实数λ的最小值为6，故选A. （法二）ln 2ln 3x x λ≥，2ln 3ln x x λ∴≥，令2ln 3k λ=，则ln x kx ≥（*）， 不等式（*）有正整数解，即ln y x =在y kx =的图象上方（或者图象的交点）存在横坐标为正整数的点，易知直线exy =与曲线ln y x = 相切，如右图所示，∴ln 22k ≥，或ln33k ≥，解得4ln 3ln 2λ≥，或6λ≥，不难判断4ln 36ln 2≥，即实数λ的最小值为6，故选A. 二．填空题：13. 314. 1515. 8 16. 10316. 解析：,11112n n a -=-，∴1,1211,(2)2n n a n --=-≥ 下面求数列{},2n a 的通项，由题意可知,21,11,2,(3)n n n a a a n --=+≥，∴,21,21,1211,(3)2n n n n a a a n ----==-≥，即,21,2211,(3)2n n n a a n ---=-≥，∴,2,21,21,22,23,22,22,2215()()()22n n n n n n a a a a a a a a n ----=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-，数列{},2n a 显然递增，又易知102,2103,2100a a <<，∴m 的最小值为103，故应填103．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线， 已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-．（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．解：（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠，∴23cos 2cos 15BCD ACB ∠=∠-=-，cos 0ACB ∠>，∴cos ACB ∠=，………………………3分 在△ABC 中，1BC =，2AB =，cos ACB ∠=∴由余弦定理2222cos ABBC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠可得：230AC AC-=，解得AC =5AC =-（舍去），∴AC …………………6分（2）3cos 5BCD ∠=-，∴4sin 5BCD ∠==，……………7分 又45CBD ∠=︒，∴sin sin(18045)=sin(+45CDB BCDBCD ∠=︒-∠-︒∠︒） cos )BCD BCD =∠+∠=9分 ∴在△BCD 中，由正弦定理=sin sin BC CDCDB CBD∠∠，可得sin =5sin BC CBDCD CDB⋅∠=∠，即CD 的长为5.………………………12分【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养． 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长 为1的菱形，45BAD ∠=︒，2PD =，M 为PD 的中点，E 为AM 的中点，点F 在线段PB 上，且3PF FB =.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若平面PDC ⊥底面ABCD ，且PD DC ⊥， 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：（法一）如图，设DM 中点为N ，连接EN ，NF ，BD ，则有//NE AD ，NE ⊄平面ABCD，AD ⊆平面ABCD ，//NE ∴平面ABCD ，……………………2分又34PN PF PD PB ==， ∴//NF DB ，……………………4分（第18题图）P ABCDF MEPACNF ⊄平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD ， //NF ∴平面ABCD ，……………………5分又NF NE N =，∴平面//NEF 平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ．……………………6分（法二）如图，设AD 中点为R ，Q 为线段BD 上一点，且3DQ QB=. 连接ER 、RQ 、QF ，则有//ER PD ，……………………1分14BF BQ BP BD ==，∴//QF PD ，……………………3分 ∴//QF ER ，且14QF PD ER ==，…………………4分即QFER 为平行四边形，∴//EF QR ，………………5分EF ⊄平面ABCD ，RQ ⊆平面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ．……………………6分（2）（法一）解：平面PDC ⊥底面ABCD , 且PD DC ⊥，∴PD ⊥底面ABCD ，……………………7分如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz -，则(0,0,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)A ，(22C -∴(1,0,0)BC AD ==-，(2)22PC =--，……………………8分设平面PBC 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02022x x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩， 取y =1(0,2n =，……………………10分又易知平面PAD 的一个法向量2(0,1,0)n =，……………………11分CCS设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为q ，则1212||cos||||n n n n θ⋅=⋅=∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为3．……………………12分 （法二）如图，过A 、P 分别做PD 、AD 的平行线，交于点S ，则////SP AD BC ，∴直线SP 为平面PAD 与平面PBC 的交线，过D 做DG BC ⊥，交BC 于G ，连接PG ，则BC ⊥平面PDG ，∴GPD ∠即为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角，设为θ，……………………9分底面ABCD 是边长为1的菱形，45BAD ∠=︒，∴DGC 为等腰直角三角形，∴DG =，又2PD =， ∴cos θ=3．…………………………12分 【说明】本题主要考察了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，平面与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力． 19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为(1,0)F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．解：（1）(法一)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，一个焦点坐标为(1,0)F ，∴另一个焦点坐标为(1,0)-，……………………1分∴由椭圆定义可知2a=4∴2a =，……………………3分∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………4分 (法二)不妨设椭圆C 的方程为221x y m n+= (0m n >>)， 一个焦点坐标为(1,0)F ，∴1m n -=，① ……………………1分又点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴1312m n +=，② ……………………2分 联立方程①，②，解得4m =，3n =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………4分 （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，并整理得：22(34)690m y my ++-=，∵22(6)36(34)0m m =++>∆， ∴122634m y y m +=-+， 122934y y m =-+，……………………7分 ∵直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =联立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -，……………………9分 ∴22(2,)ANx y =+，112(6,)2y AQ x =-∵122126(2)2y y x x -+⋅-211216(2)2(2)2y x y x x --+=- [][]211216(1)22(1)212y my y my my +--++=+-（）1212146()1my y y y my -+=-221964()6()343401mm m m my ---++==-，∴//AN AQ ，……………………11分又向量AN 和AQ 有公共点A ，故A ，N ，Q 三点在同一条直线上．…………12分 【说明】本题以直线与椭圆为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 20.（本小题满分12分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级 消费金额 普通会员 2000 银卡会员 2700 金卡会员3200预计去年消费金额在的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600,3200]的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800]的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：消费金额/元方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回．．．地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由. 解：（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X 人， 则X 的可能值为“0,1,2”，……………………1分∴11284422121216319(1)(1)(2)333333C C C P X P X P X C C ≥==+==+=+=. ………………3分（或者2821219(1)1(0)133C P X P X C ≥=-==-=. ……………………3分）（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：28257100⨯=，602515100⨯=，12253100⨯=，……………………4分 ∴按照方案1奖励的总金额为：1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=元， ……………………5分方案2： 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能值为“0,200,300”， ……………………6分摸到红球的概率：121525C P C ==，∴03120133232381(0)5555125P C C η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21232336(200)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(300)5125P C η⎛⎫=== ⎪⎝⎭， …………………………8分 ∴η的分布列为∴81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=元，……………………10分 ∴按照方案2奖励的总金额为：2(28260312)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=元， ……………………11分方案1奖励的总金额1ξ多于方案1奖励的总金额2ξ，∴预计方案2投资较少. ……………………12分【说明】本题以健身锻炼为背景，考查应用超几何分布、二项分布等分布列模型及分层抽样与期望等统计学和概率知识对数据进行分析处理及决策的数学建模能力，综合考查了考生应用数学模型及所学知识对数据的处理能力及建模、解模的数学应用意识. 21.（本小题满分12分）已知定义域为(0,)+∞的函数()e (2)xaf x x x=--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的递增区间；（2）若函数()f x 为定义域上的增函数，且12()()4e f x f x +=-，证明:122x x +≥.解：（1）易知22e (1)()()x x x a f x x--'=，……………………………………………1分 ①若0a ≤，由()0f x '>解得1x >，∴函数()f x 的递增区间为(1,)+∞；……………………………………………2分②若01a <<，则∴函数()f x 的递增区间为和(1,)+∞；…………………………………3分③若1a =，则22e (1)(1)()0x x x f x x-+'=≥， ∴函数()f x 的递增区间为(0,)+∞；……………………………………………4分④若1a >，则5分综上，若0a ≤，()f x 的递增区间为(1,)+∞；若01a <<，()f x 的递增区间为和(1,)+∞； 若1a =，函数()f x 的递增区间为(0,)+∞；若1a >，函数()f x 的递增区间为(0,1)和)+∞.（2）函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，∴1a =，即1()e (2)x f x x x=--，…………………… 6分注意到(1)2e f =-，故12()()4e 2(1)f x f x f +=-=，∴不妨设1201x x <≤≤，…………………………7分(法一)欲证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()(2)f x f x ≥-，即证114e ()(2)f x f x --≥-，即证11()(2)4e f x f x +-≤-， 令()()(2)x f x f x ϕ=+-，01x <≤，只需证()(1)x ϕϕ≤，……………………8分∴222222e (1)(3)()()(2)e(1)[](2)x xx x x f x f x x x x ϕ--+-'''=--=---， 下证()0x ϕ'≥，即证2222e (1)(3)0(2)x x x x x -+--≥-， 由熟知的不等式e 1xx ≥+可知221222e(e )(11)x x x x --=≥+-=，当01x <≤时，即222e 1x x-≥，∴22322222e (1)(3)(3)311(2)(2)(2)x x x x x x x x x x x x -+---++-≥+-=---，…………………10分 易知当01x <≤时，2210x x --<，∴32231(1)(21)0x x x x x x -++=---≥，∴2222e (1)(3)0(2)x x x x x -+--≥-，………………………………11分 ∴()0x ϕ'≥，即()x ϕ单调递增，即()(1)x ϕϕ≤，从而122x x +≥得证. ………12分(法二) 令222e (1)(1)e (1)()()e (1)x x xx x x g x f x x x x -+-'===--，则323e (1)(2)()x x x x g x x -++'=，…………………8分x(0,1)1(1,)+∞()g x ' -+()g x极小值由上表可画出()e (2)xf x x x=--的图象，如右图实线所示， 右图虚线所示为函数1()e (2)xf x x x=--(01)x <≤的图象 关于点(1,2e)Q -对称后的函数()4e (2)h x f x =---的图象， 设图中点11(,())A x f x ，则12(2,())C x f x -，22(,())B x f x ， 欲证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证点B 不在点C 的左侧即可，即证当12x ≤<时，4e (2)()f x f x ---≥恒成立， 即证2114e e()e (2)2xx x x x x-----≥---， 即证211e (2)e()4e 2xxx x xx-+-++≥-，……………………………………10分 由基本不等式可知221111e (2)e()2e (2)e ()22xxx x x x x x xx x x--+-++≥+-⋅+-- 112e 2(2)2e 22(2)4e (2)(2)x x x x x x x x=+-+≥⋅+-⋅=--，∴211e (2)e ()4e 2x x x x x x-+-++≥-，∴122x x +≥得证. ……………12分【说明】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ． （1）求曲线C 的参数方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PAPB+的取值围．解:（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=， ……………………1分 将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式， ……………………2分 可得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=，……………3分∴曲线C 的参数方程为1cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. ……………………5分（2）将⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x 代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：26cos 80t t α-+=， ………………………………………………6分 由题意得236cos 320α∆->=，故98cos 2>α， 又1cos 2≤α，∴28cos (,1]9α∈， ………………………………………………7分 设方程26cos 80t t α-+=的两个实根分别为1t ，2t ，则αcos 621=+t t ，821=⋅t t ，…………………………………………………………8分1t ∴与2t 同号，由参数t 的几何意义，可得αcos 62121=+=+=+t t t t PB PA ，821=⋅=⋅t t PB PA ，22222()211PA PB PA PBPAPBPA PB+-⋅∴+=⋅221212212()29cos 4()16t t t t t t α+-⋅-==⋅， ………………… ……………………9分28cos (,1]9α∈，29cos 415(,]16416α-∴∈，2211PBPA+∴的取值围为15(,]416． ……………………………………10分 【说明】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ． （1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在1[2,]2--上恒成立，数m 的取值围．解: (1) 21)(-++=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=∴,2,12,21,3,1,12)(x x x x x x f …………………………………………1分当4-=m 时，14)(2+--=x x x g ，①当1-≤x 时，原不等式等价于022<+x x ，解得02<<-x ，12-≤<-∴x ； …………………………………………2分②当21<<-x 时，原不等式等价于0242<++x x ， 解之，得2222+-<<--x ，221+-<<-∴x ； ……………………………………………………3分③当2≥x 时，11)2()(-=≤g x g ，而3)2()(=≥f x f ，∴不等式)()(x g x f <解集为空集． …………………………………………4分 综上所述，不等式)()(x g x f <的解集为(2,2--．…………………………5分 （2）①当12-≤≤-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于x x mx 22->，又0<x ，2-<∴x m ，故4-<m ；…………………………………………………………7分 ②当211-≤<-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于3)(>x g 恒成立，即3)(min >x g ， 只需(1)31()32g g -≥⎧⎪⎨->⎪⎩即可，即3,9,2m m ≤-⎧⎪⎨<-⎪⎩29-<∴m ， ……………………………………………………9分综上，9(,)2m ∈-∞-．………………………………………………………………10分【说明】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。

深圳市2019届高三第一次调研考试数学文试题2019.02.21一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{1, 2, 3}，则A∩B＝(A) {1} (B) {2} (C) {1,2} (D) {1,2,3}2.设z＝221ii-+，则｜z｜＝（A）2(B) 2(C) 5(D) 33.在平面直角坐标系xoy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，－1)，则sin(π－2α）的值为（A）一45(B)一35（C）35(D)454.设x，y满足约束条件030426xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则z＝3x＋y的最大值为(A) 7 (B）9 (C) 13(D) 155.己知()f x是定义在R上的偶函数，在区间（一∞，0］为增函数，且f（3）＝0，则不等式f (1一2x)＞0的解集为（A）（－l，0）(B) (－1，2)(C) (0，2) (D) (2，+∞)6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) 64(B) 68(C) 80 (D) 1097.52，则该圆锥的外接球表面积为（A）254π（B) 16π(C) 25π(D) 32π8. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并 用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ＝1，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为（参考数据：5≈2.236）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.6189. 己知直线6x π=是函数f （x ）=sin(2)(||)2x πϕϕ+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数 y ＝f （x ）的图象，可把函数y ＝sin2x 的图象（A ）向左平行移动6π个单位长度 （B ）向右平行移动6π个单位长度 （C ）向左平行移动12π个单位长度 （D ）向右平行移动12π个单位长度 10．在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC 2，CC 1＝2，M 为AA 1的 中点，则异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值为(A)66（B ）23 （C ）34（D ）23 11．己知F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过F 2的直线与椭圆交 于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且｜QF 1｜＝2｜PF 1｜，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为（A ）23 （B 2－1 （C 2+l （D ）312.己知函数ln ,0()1,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则｜12x x -｜的最大值为 (A) 1 (B)2 (C) 2 2 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、曲线1x y e x =-在点（1, f(1)）处的切线的斜率为 14.已知平面向量a ，b 满足｜a ｜＝2，｜b ｜＝4，｜2a +b ｜＝43，则a 与b 的夹角为 ．15.己知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交 于A ，B ，C ，D 四个点，若这四个点与F 1，F 2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该 双曲线的离心率为 ．16.在△ABC 中，∠ABC ＝150°，D 是线段AC 上的点，∠DBC ＝30°，若△ABC 的 面积为3，当BD 取到最大值时，AC ＝三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． （本小题满分 12 分）记S n 为等差数列{a n }的前 n 项和．已知a 1 = 4，公差 d > 0 ， a 4 是 a 2 与 a 8 的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列｛1nS ｝前 n 项和为Tn ．18． （本小题满分 12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一 共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标 Y 有关，具体见下表．（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量 指标 Y 的平均值（保留两位小数）；（2） 用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件 产品，求这 2 件产品的指标 Y 都在[9.8, 10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次． 工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次． 将每件产品的购买支出和一年 的维护支出之和称为消费费用． 假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该 服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据， 判断消费者在 购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19． （本小题满分 12 分）已知四棱锥 P －ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， PD =DC ， AD ⊥PC ．（1） 求证： AC =AP ；（2） 若平面 APD ⊥ 平面 ABCD ， ∠ ADC = 120︒ ， AD = DC = 4 ，求点 B 到平面 PAC 的距离．20． （本小题满分 12 分）设抛物线C ：y 2 = 4x ，直线l : x －my －2= 0与C 交于 A ， B 两点．（1）若|AB ｜ 6 ，求直线l 的方程；（2）点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直， 垂足为 N 。

高考数学精品复习资料2019.5深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ） A.φ B 。

}2,0{ C 。

}5,1{ D 。

}5,1,0,2{ 2、已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （ ） A.21i +- B 。

21i -- C 。

21i + D 。

21i- 3、若函数b a y x+=的部分图象如图1所示，则A.01,10<<-<<b a B 。

10,10<<<<b a C.01,1<<->b a D 。

4、已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（ ）A.3 B 。

4 C 。

6 D 。

95、已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a ⊥”是“βα//”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。

25 C 。

36 D 。

497、在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(πB 。

]3,0(πC 。

],3[ππD 。

),3(ππ图 1图28、如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （ ）A. 83 B 。

82 C 。

39 D 。

37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

绝密★启用前试卷类型：A2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2019.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考结论：若锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A=，，，集合{}2B x x=>，则A B =A．{}2B．{}01 2，，C．{}2x x>D．∅2．复数34i i+()（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线2214yx-=的渐近线方程为A．1x=±B．2y=±C．2y x=±D．2x y=±4．已知:p直线1:10l x y--=与直线2:20l x ay+-=平行，:1q a=-，则p是q的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设数列{}1n-()的前n项和为n S，则对任意正整数n，n S=A．112nn⎡⎤--⎣⎦()B．1 112n--+ ()C．112n-+ ()D．112n--()Q6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO7．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数24f x x π=+()()，sin 23g x x π=+()()，cos 6h x x π=-()()的部分图象（如图），则 A ．a 为f x ()，b 为g x ()，c 为h x () B ．a 为h x ()，b 为f x ()，c 为g x () C ．a 为g x ()，b 为f x ()，c 为h x () D ．a 为h x ()，b 为g x ()，c 为f x ()8．已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ，平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是A ．() 2-∞，B ．(] 2-∞，C ．()() 1 1 2-∞-，，D ．()(] 1 1 2-∞-，， 9．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，，．若P 的坐标为2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ）A ．0 BCD．10．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e xg x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则 A ．0m < B ．0m = C ．01m <<c ba0.00040.00030.00020.0001D ．1m >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500 3000[，)（元）段应抽出 人．12．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是 ． 13．已知y 与100x x ≤()之间的部分对应关系如下表：则x 和y 可能满足的一个关系式是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中， P Q ，是曲线C :4sin ρθ=上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为 ．15．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，垂足为D ，已知2AD =，直观图正视图CB =CD = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1VV 的值．18．（本小题满分14分）MSDCBA已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．（1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率； （2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．20．（本题满分14分） 已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．ABE21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ． （1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．5. 数列{}(1)n -是首项与公比均为1-的等比数列.6. ,a OP OQ =+利用平行四边形法则做出向量OP OQ +，再平移即发现. .a FO = 7．从振幅、最小正周期的大小入手：b 的振幅最大，故b 为()f x ；a 的最小正周期最大，故a 为(),h x 从而c 为()g x .8. 圆面222:()1C x a y a -+≤-的圆心(,0)a 在平面区域:24x y +<内,则210(,1)(1,2).204a a a ⎧->⇔∈-∞-⎨+<⎩ 9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若(2,3,1)P ，则(1,2,3)Q . 10.画图即知:函数ln y x =的图象与直线y x =-有唯一公共点(,),t t -e ln().x x x x x t =-⇔=-⇔=- 故两个函数的所有次不动点之和()0.m t t =+-=或利用函数ln y x =的图象与函数e xy =的图象关于直线y x =对称即得出答案. 二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分． 11．25. 12．. ．(108)2y x -=． 14．4． 15．第13题写或不写100x ≤都可以，写成如2108y x=-等均可.11.每个个体被抽入样的概率均为100110000100=， 在)3000,2500[内的频率为0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×1001＝25人. 12. 画出左(侧)视图如图,其面积为 13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成297,296,295,294,293, 分母成等差数列,可知分母11(11)(1)9711108.n a a n n n =+--=-+=-14. 最长线段PQ 即圆22(2)4x y +-=的直径. 15. 根据射影定理得222(2)6,12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.解: (1)(1,sin )2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥42s i n c o s 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,3sin 4cos ,tan .5cos 3αααα∴==-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,222,b c a +-=222cos 2b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈,π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值． 【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（1） 证明: 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分BM ⊂平面,ABCD.SM BM ∴⊥ …………………2分四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥………………4分SM ⊂平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SM CM M =, BM ∴⊥平面SMC …………………………………………6分（2） 解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等,由( 1 ) 知SM ⊥平面ABCD , 得1113211()32SM BM CMV V SM AB CD AD ⨯⨯=⨯+⨯,……………………………………………9分设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC =得3,,,4,CD a BM CM AD a ====从而13.(3)48V V a a a ⨯==+⨯ ……………………………12分MSDCBA18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．（1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率； （2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1) 当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个：(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，…………………………4分其中事件A “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， …………………………4分故62()93P A ==．…………………………6分 答：事件“(1)0f ≥”发生的概率23.………………7分(2) 31(),3f x x a x b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==………………8分∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-, ………………………9分① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 从而1()(1)3g a f a ==-；……………………11分 ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增， 从而1()(1)3g a f a =-=-+. ……………………13分综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩……………………14分19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(0y ax x =≤≤∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. ……4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<，∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-，…………6分 由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -.∴2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，…8分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则AB E[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为21(02)y ax x =+≤≤∵点C 的坐标为(2,2)， ∴2212a +=，14a = 故边缘线OC 的方程 为211(02)4y x x =+≤≤. ………4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,1)(02)4P t t t +<<，∵12y x '=，∴直线EF 的的方程可表示为2111()42y t t x t --=-，即211124y tx t =-+，…6分 由此可求得21(2,1)4E t t -+，21(0,1)4F t -+.∴21||14AF t =-，21||14BE t t =-++，……………7分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分20．（本题满分14分）已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为2．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1)由点(,0)F ae -，点(0,)A b 及b =得直线FA 的方程为1x ae +=-0ey -+=，…………………2分∵原点O 到直线FA =2e ==………………………………………5分故椭圆C的离心率2e =. …………………………………7分 (2) 解法一：设椭圆C 的左焦点F (,0)2a -关于直线:20l x y +=的对称点为00(,)P x y ，则有0001,22220.22x a y =⎪⎨⎪⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………10分解之，得00,1010x a y a ==. P 在圆224x y +=上∴22()()41010a a +=， ∴22228,(1) 4.a b e a ==-=……………………………………13分故椭圆C 的方程为22184x y +=, 点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分解法二：因为F (,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，又直线:20l x y +=经过 圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ,所以F (,0)2a -也在圆O 上, ………9分从而22()042a -+=，22228,(1) 4.a b e a ==-= ………………………10分 故椭圆C 的方程为22184x y +=. ………………………………………11分 (2,0)F -与00(,)P x y 关于直线l 的对称,001,22220.22y x x y ⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………12分 解之，得0068,55x y ==.…………………………………………13分故点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力. (1) (ⅰ) 解:11,2,a d ==21(1),2nn n dS na n -∴=+=646416,nS n n n +=+≥= 当且仅当64,n n=即8n =时,上式取等号. 故64n S n+的最大值是16.……………………………………………………4分 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知2n S n =，当n ∈N *时,2222211111(2)4(2)n n n n S S n n n n +⎡⎤++==-⎢⎥++⎣⎦，……6分 222222132422311111111114134244(2)n n n S S S S S S n n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2222222111111111412435(1)(2)n n n ⎡⎤⎛⎫=+++-++++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦222211111,412(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦……………………………………8分 22110,(1)(2)n n +>++22132422311115().41216n n n S S S S S S ++∴+++<+<……………………………………9分(2)对n ∀∈N *,关于m 的不等式1(1)m a a m d n =+-≥的最小正整数解为32n c n =-，当1n =时，111(1)1a c d a +-=≥；……………………10分 当2n ≥时，恒有11(1)(2)n n a c d n a c d n+-≥⎧⎨+-<⎩，即11(31)(3)0(31)(4)0d n a d d n a d -+-≥⎧⎨-+-<⎩,从而111310(31)2(3)014,1.31033(31)2(4)0d d a d d a d d a d -≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⇔=≤<⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩……………………12分当114,133d a =≤<时,对n ∀∈N *,且2n ≥时, 当正整数n m c <时,有1111.33n c m a a n --+<+<……………………13分所以存在这样的实数1a ,且1a 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………14分。

绝密★启用前试卷种类：（A）深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试数学（文科）2019． 2本试卷共 6 页， 23 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的署名笔在答题卡指定地点填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向正确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整齐、不污损．2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的地点上．3．非选择题一定用0.5 毫米黑色笔迹的署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；禁止使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．5．考生一定保持答题卡的整齐，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知会合A { x |1x 2} ， B{1,2,3} ，则A I B（A ）{1}（ B）{2}（ C）{1,2}（D ）{1,2,3}2．设z22i，则 | z |1i（A ）2（ B）2（ C）5（D ）3 3．在平面直角坐标系xOy 中，设角的极点与原点 O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角终边过点 P(2,1) ，则 sin(π 2 ) 的值为4 （ B ）3 3 4（A ）5（ C ）（D ）5550 x 34．设 x ， y 知足拘束条件0 y 4 ，则 z 3x y 的最大值为2xy 6（A ） 7 （ B ） 9 （ C ） 13 （ D ） 155．已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，在区间 ( ,0] 为增函数，且f (3) 0 ，则不等式f (12x)的解集为（ A ） ( 1,0) （ B ） ( 1,2)（ C ） (0, 2) （ D ） (2,)6．以下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ） 64 （B ） 68 （C ） 80（D ） 1097．已知圆锥的母线长为5 ，底面半径为2 ，则该圆锥的外接球表面积为（ A ）25π（ B ） 16π（ C ） 25π（ D ） 32π48．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金切割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金切割点，详细方法以下：（ 1）取线段AB 2 ，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC1AB 1，连结 AC ；（ 2）以 C 为圆心， BC 为半径画弧，2C交 AC 于点 D ； （ 3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交AB 于点 E ．点 E 即为线段 AB 的黄金切割点．若在线段 AB 上D随机取一点 F ，则使得 BEAFAE 的概率约为AEB（参照数据： 5 2.236 ）第（ 8）题图（ A ） 0.236（ B ）0.382（ C ） 0.472（ D ） 0.6189．已知直线 xπf ( x) sin(2 x) (| π 是函数| ) 图象的一条对称轴，为了获得函数62y f (x) 的图象，可把函数y sin 2x 的图象（ A ）向左平行挪动π个单位长度（B ）向右平行挪动π个单位长度66（ C ）向左平行挪动π个单位长度（D ）向右平行挪动π个单位长度121210．在长方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， AB2 ，BC2 ，CC 12 2 ， M 为 AA 1 的中点，则异面直线 AC 与 B 1M 所成角的余弦值为（ A ）6 （ B ）2（C ）3（ D ）2 2634311．已知 F 1 ， F 2 是椭圆x 2y 2 1（ a b0 ）的左，右焦点，过 F 2 的直线与椭圆交于a 2b 2P ， Q 两点，若 PQPF 1 且 QF 12 PF 1 ，则PF 1F 2 与 QF 1F 2 的面积之比为（ A ） 23（ B ）2 1（ C ）2+1（ D ） 2+ 3f ( x)x ln x, x 0,x 2 且 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，则 | x 1 x 2 |的最大值为12．已知函数x若 x 11, x 0,（ A ）1（B ） 2（ C ） 2（ D ） 2 2第 Ⅱ 卷本卷包含必考题和选考题两部分． 第 13～ 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答． 第 22～ 23 题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题： 本大题共 4 小题，每题 5 分．13 ．曲线 y ex1 在点 1，f (1) 处的切线的斜率为 ． x14 ．已知平面向量 a ,b 知足 | a | 2 ，| b | 4 ， b | 4 3 ，则 a 与 b 的夹角为 ．| 2a15 ．已知 F 1 ， F 2 是双曲线的两个焦点， 以线段 F 1 F 2 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A, B,C , D 四个点，若这四个点与F 1 ， F 2 两点恰巧是一个正六边形的极点，则该双曲线的离心率为．16．在 ABC 中， ABC 150 ， D 是线段 AC 上的点，DBC 30 ，若ABC 的面积为 3 ，当 BD 取到最大值时，AC．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）记 S n为等差数列 { a n } 的前n项和．已知a1 4 ，公差d0 ，a4是a2与a8的等比中项．（ 1）求数列{ a n}的通项公式；1（ 2）求数列{} 前 n 项和为 T n．18．（本小题满分12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48 件产品，并获得以下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的保护次数与指标Y相关，详细见下表．质量指标 Y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6频数82416一年内所需保护次数201（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据预计该厂产品的质量指标 Y 的均匀值（保存两位小数）；（ 2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标Y 都在9.8, 10.2 内的概率；（ 3）已知该厂产品的保护花费为300 元 /次．工厂现推出一项服务：若花费者在购置该厂产品时每件多加100 元，该产品即可一年内免费保护一次．将每件产品的购置支出和一年的保护支出之和称为花费花费．假定这48 件产品每件都购置该服务，或许每件都不购置该服务，就这两种状况分别计算每件产品的均匀花费花费，并以此为决议依照，判断花费者在购置每件产品时能否值得购置这项保护服务？19．（本小题满分12 分）已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，PD DC ， AD PC ．（ 1）求证：AC AP ；（ 2）若平面APD平面ABCD，ADC 120 ， AD DC 4 ，求点 B 到平面PAC 的距离．20．（本小题满分12分）设抛物线 C ：y24x ，直线l : x my 20与 C 交于A，B两点．（ 1）若AB4 6 ，求直线 l 的方程；（ 2）点M为AB的中点，过点M作直线MN与y轴垂直，垂足为N，求证：以MN为直径的圆必经过必定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) ax 2 e x x 2，此中 a 2 ．（ 1）当a0 时，求函数 f (x) 在1,0 上的最大值和最小值；（ 2）若函数 f ( x) 为R上的单一函数，务实数 a 的取值范围．请考生在第 22、 23 两题中任选一题做答．注意：只好做所选定的题目．假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分 10 分）选修 4－ 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x 2 t cos ,y t sin（ t 为参数），以坐标原,点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos ，直线 l与曲线 C 交于 A ， B 两个不一样的点．（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，求1122 的取值范围．PA PB23．（本小题满分 10 分）选修 4－ 5：不等式选讲设函数 f ( x)x 1 x 2 ， g( x)x 2 mx 1 ．（ 1）当 m4 时，求不等式 f (x)g( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x)g( x) 在［ 2,1］上恒 成立，求 m 的取值范围．2深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试文科数学试题参照答案及评分标准第Ⅰ 卷一．选择题（ 1） C（2） B（ 3） A（ 4） C（ 5） B（ 6） A （ 7） C（ 8） A（9） C（ 10）B（ 11） D（ 12） C12【分析】不如设x2x1，由 f ( x1 ) f ( x2 ) ，要使| x1x2|最大，即转变为求x1x2max，问题可转变为（以下图）A( x1 , y1 ) 到 y x1(x0)距离的最大值问题．此时需过 A点的切线与 y x 1 平行．当 x0时， f ( x)ln x 1 ，令 f( x)1，则 x1 1 ，A(1,0) ， x21因此 | x1x2 | 的最大值为2．二．填空题：13．e 114．6015．216．2716SABC1ac sin1501 3 ，得 ac43 ．设BD x，则【分析】由题意可知2ac4SBCD SABD1ax3cx4 3 ，可得x43，当且仅当 a3c 时 x 取到最大44a3c值，因此 a 2 3 ， c 2，由余弦定理可得 b27 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）记 S n为等差数列 { a n } 的前n项和．已知 a1 4 ，公差d0 ，a4是a2与a8的等比中项．（ 1）求数列{a n}的通项公式；1（ 2）求数列{} 前 n 项和为 T n．【分析】（ 1）∵a2，a4，a8成等比数列，∴ a42a2 a8，∴ (a13d ) 2(a1d)( a17d) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∴ (43d )2(4 d )(47d ) ，解得 d4或 d0，∵ d0 ，∴ d 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴数列{ a n } 的通公式a n a1( n1)d4n(n N ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2n(a1a n )22n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（）∵ S n22n12n21 1 ( 11) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分∴S n2n2n n1∴ T n11......1S1S2S n11111)L1111) ．⋯⋯⋯⋯⋯12分()(()(12 1 2 2 3n n 12n 1【命意】本主要考等差数列的通公式、前n 和公式、等比中、裂相消乞降法等知与技术，要点考方程思想，考数学运算、推理等数学中心修养．18．（本小分12 分）工厂从生上每半个小抽取一件品并其某个量指Y 行，一共抽取了48 件品，并获得以下表．厂生的品在一年内所需的次数与指Y相关，详细下表．量指 Y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6数82416一年内所需次数201（1）以每个区的中点作每指的代表，用上述本数据估厂品的量指 Y 的均匀（保存两位小数）；（ 2）用分抽的方法从上述本中先抽取 6 件品，再从 6 件品中随机抽取 2 件品，求 2 件品的指Y 都在9.8, 10.2 内的概率；（ 3）已知厂品的用300 元 /次．工厂推出一服：若消者在厂品每件多加100 元，品即可一年内免一次．将每件品的支出和一年的支出之和称消用．假48 件品每件都服，或许每件都不服，就两种状况分算每件品的均匀消用，并以此决议依照，判断消者在每件品能否得服？【分析】（ 1） 指 Y 的均匀 =9.61+103+10.4210.07．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分666（ 2）由分 抽 法知，先抽取的 6 件 品中，指Y 在9.8,10.2 内的有 3 件，A 1、 A 2、 A 3 ；指 Y 在 10.2,10.6 内的有 2 件，B 1、 B 2 ；指 Y 在 9.4,9.8内的有1 件， C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分从 6 件 品中随机抽取2 件 品，共有基本领件 15 个： A 1, A 2 、A 1, A 3、A 1, B 1 、A 1,B 2 、A 1,C 、 A 2 , A 3 、A 2 , B 1 、A 2 , B 2 、 A 2 ,C 、 A 3 , B 1 、 A 3 , B 2 、A 3 ,C 、 B 1, B 2 、B 1 ,C 、B 2 , C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分此中，指 Y 都在9.8,10.2 内的基本领件有 3 个： A 1, A 2、A 1, A 3 、 A 2 , A 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分因此由古典概型可知，2 件 品的指Y 都在9.8,10.2 内的概率 P3115．5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）不如 每件 品的售价x 元，假 48 件 品每件都不 服 ，支出48x 元．此中有 16 件 品一年内的 用 300 元/件，有8 件 品一年内的 用 600 元/件，此 均匀每件 品的消 用=148x 16 300+8 600 =x200 元；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分48假 48 件 品每件 品都 服 ， 支出48 x 100 元，一年内只 有 8 件 品 要 花， 需 支 出 8300=2400 元 ， 平 均 每 件 品 的 消用=148 x 100 +8 300x 150 元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分48因此 服 得消 者 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分【命 意 】本 主要考 通 用 本估 体（均匀数）、古典概型、概率决议等知 点，要点体 数学运算、数据剖析等数学中心修养．19．（本小 分12 分）已知四棱 PABCD 的底面 ABCD 平行四 形， PD DC ， AD PC ．（ 1）求 ：AC AP ；（ 2）若平面APD平面 ABCD ，ADC 120 ， AD DC 4 ，求点 B 到平面PAC 的距离．【分析】（ 1）明：取PC 中点M，接AM，DM，⋯⋯1分QPD DC ，且M PC 中点，DM PC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分Q AD PC ， AD I DM D ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分PC平面 ADM QAM平面ADM ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分，PC AM ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分QM PC中点，AC PA ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ 2）点P作PH垂直AD延于点H，接CH，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分Q 平面 APD平面 ABCD ，平面 APD I 平面 ABCD AD ，PH平面 APD ， PH AD ，PH平面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分Q CH平面 ABCD ，PH CH ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分Q PD DC ，AD AD ，AC AP，ADP ADC ，ADC ADP120 ，PD CD AD 4 ，AC AP 4 3 ，PH CH2 3 ， PC 2 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分h B点 B 到平面PAC的距离，因为 V P ABC V B1SABC1ACP ，可得3PH S ACP h B，3SABC 14433 24，2SACP12642 67 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分2因此h B47 ．7即点 B 到平面 PAC 的距离4 7．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分7【命 意 】本 主要考 了 面垂直的判断定理、 面垂直的定 、 面面垂直的性 、等体 法求点到面的距离等知 ，要点考 等价 思想，体 了直 想象、数学运算、 推理等中心修养．20．（本小 分 12 分）抛物 C ： y 2 4x ，直 l : xmy20 与 C 交于 A ， B 两点．（ 1）若 AB4 6 ，求直 l 的方程；（ 2）点 MAB 的中点， 点 M 作直 MN 与 y垂直，垂足 N ，求 ：以 MN直径的 必 必定点，并求出 定点坐 ．x my 2,4my 8 0 【分析】（ 1）由2消去 x 并整理，得 y 2，⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分y 4x,然16m 2 32 0 ， A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，由 达定理可得，y 1y 2 4m ， y 1 y 2 8， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分Q ABm 2 1 y 1 y 2 m 2 1 ( y 1 +y 2 ) 2 4 y 1 y 2 ，AB4 m 2 1m 2 2 46 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分m 24 （舍去）或 m 21，m 1，直 方程 x y 2 0 或 x y 2 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（ 2） AB 的中点 M 的坐 (x M , y M )， y My 1 y 22m ，2又Q x 1x 2 m( y 1 y 2 ) 4 4m 2 4 ，x Mx 1 x 2 2m 22 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2M (2 m 2 2, 2m) ，由 意可得N (0,2 m) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分以 MN 直径的 点P( x 0 , y 0 )uuuur2uuurPM2 x 0,2 m y 0 ) ，PN ( x 0 ,2 my 0 ) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分(2m由 意可得， PM PN 0 ，即 (42 x 0 )m 2 4 y 0m x 02 y 02 2x 0 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分4 2 x 0 0，由 意可知4 y 00，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10x 02 y 02 2x 00，x 0 2 ， y 00 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分11定点 (2,0) 即 所求．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分12【命 意 】本 主要考 抛物 方程、直 与抛物 地点关系、弦 公式、定点 等知 ，要点考 数形 合思想，体 了数学运算、数学建模、 推理等数学中心修养．21．（本小 分 12 分）已知函数 f ( x)ax 2 e xx 2，此中 a2 ．1 a 0，求函数f (x) 在1,0上的最大 和最小 ；（ ）当（ 2）若函数 f ( x) R 上的 函数，求 数 a 的取 范 ．【分析】（ 1）当 a 0 ， f ( x )=2e x x 2 ， f( x)=2e x1． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分由 f ( x)0 解得 x ln 2 ，由 f ( x) 0 解得 xln 2 ．故函数 f ( x) 在区1, ln 2 上 减，在区 ln 2,0 上 增．⋯⋯⋯⋯2 分∴f ( x)min fln 2ln 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∵ f ( 1)=21 0 ， f (0)=0 ，e∴ f ( x)max f (0)0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 （ 2）法一：令 g( x)f (x) ax a2e x 1， g ( x) ax 2a 2 e x．（ i ）当 a=0，由（ 1）知，与 意不符；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（ ii ）当 a 0，由 g ( x)22∴ g( x) min =g2=ae2a ∵ g(0)= a+10 ，x2 2 2， g ( x) 0x2．aa1 0 ，∴ 此 函数 f ( x) 存在异号零点，与 意不符．（ iii ）当2 a 0 ，由 g ( x)0 ，可得2x2a由 g ( x)0 2 ．可得 x2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分，∴ g (x)在 , 22上 增，在22 ， 上 减．a a +22 2故g (x) max =g2 =aea．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分a1由 意知，2 2 10 恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分aea令 22 t ， 上述不等式等价于 e tt 1 ，此中 t1． ⋯⋯⋯⋯⋯9 分a2易 ，当 t0 ， e tt1 t1，2又由（ 1）的 知，当 t10， ， e tt 1成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分2由1 22 0 ，解得2 a1 ．a上，当2 a1 ，函数 f ( x) R 上的 函数，且 减．⋯12 分（ 2）法二： 因 f (20 ，因此函数f (x) 不行能在 R 上 增． ⋯6分1)1e因此，若函数 f (x) R 上 函数， 必是 减函数，即f ( x) 0 恒成立．由 f (0)a 1 0可得 a1，故 f( x)0 恒成立的必需条件 2 a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分令 g (x) f ( x)ax a2 e x1 ， g ( x)ax 2a 2 e x ．当2 a 1 ，由 g ( x)由 g ( x)2可得 x2a，可得 x2 2 ，a，∴ g (x) 在, 22 上 增，在2 ， a 2+ 上 减．a22 2故 g (x)max =ga2a= ae1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分令h(a)=2 21，下 ：当2 a1 ，h(a)=2 21 0．aeaaea2121t即 e2．令2t ，此中 t1,0 ，1 ．a2aa原式等价于 明：当t1,0 ， e tt1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分2由（ 1）的 知， 然成立．上，当 2 a 1，函数 f ( x) R 上的 函数，且 减．⋯⋯⋯ 12 分【命 意 】 本 主要考 利用 数研究函数的 性和最 ，以及不等式恒成立，要点考 分 、化 化等数学思想，体 了数学运算、 推理等中心修养．考生在第22、 23 两 中任 一 作答．注意：只好做所 定的 目．假如多做，按所做的第一 分，作答 用2B 笔在答 卡大将所 号后的方框涂黑．22．（本小 分10 分） 修4－ 4：坐 系与参数方程xOy 中，直 l 的参数方程x2 t cos ,在直角坐 系y t sin（ t 参数），以坐 原,点 极点， x 的正半 极 成立极坐 系， 曲 C 的极坐 方程2 cos ，直 l与曲 C 交于 A ， B 两个不一样的点．（ 1）求曲 C 的直角坐 方程；（ 2）若点 P 直 l 与 x 的交点，求11的取 范 ．22PAPB【分析】（ 1 ）∵2 cos∴ 22 cos ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∵2x 2 y 2 ，cos x ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴ 曲 C 的直角坐 方程 x 2y 2 2x0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（ 2）将x2 t cos ,y t sin,代入曲 C 的直角坐 方程，可得t 2 6 cos t 80 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由 意知= 36cos232，故 cos 28 ，又 cos 21，9cos28,1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分9个方程的两个 数根分t 1 ， t 2 ，t 1 t 26 cos ， t 1 t 28 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分t 1 与 t 2 同号，由参数t 的几何意可得：PA PB t1t2t1 t 2 6 cos， PA PB t1 t2 8 ，11( PA PB )2 2 PA PB2222PA PB PA PB(t1 t2 )22t1t 29cos24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分(t1 t2 )216，cos28 ,1 ，99 cos24 1 , 5，1641611的取范 1 , 5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分22PA PB 4 16【命意】本主要考极坐方程与直角坐方程互化、直的参数方程、直与的地点关系、函数的最等知点，要点考数形合思想，体了数学运算、推理等中心修养．23．（本小分10 分）修4－ 5：不等式函数（ 1）当f ( x) x 1 x 2 ，g( x)x2mx 1 ．m 4 ，求不等式 f (x) g( x) 的解集；（ 2）若不等式f ( x)g( x) 在2,1上恒成立，求 m 的取范．2【分析】（1） f ( x) x1x 2 ，2x1, x1,f ( x)3, 1x2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2x1, x2,当 m 4 ，g( x)x24x 1 ，①当 x1，原不等式等价于x22x 0 ，解得， 2 x 0 ，2 x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分．② 当1x 2 ，原不等式等价于x24x 2 0 ，解得，2 2 x2 2，1 x22．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分③ 当 x2 ， g( x)g(2)11，而 f (x) f (2) 3 ，不等式 f ( x) g( x) 解集 空集．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分上所述，不等式 f ( x)g(x) 的解集 ( 2, 2 2 ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（ 2）① 当2 x1 ， f ( x) g( x) 恒成立等价于 mxx 22x ，又 x0 ，m x 2 ，故 m4 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分② 当1x 1 g( x) 恒成立等价于g ( x) 3 恒成立，即 g( x)min3 ，， f ( x)2g ( 1)3m 3,只要g ( 1 ) 即可，由此可得m923,2m 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分，2上所述， m, 9 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2【命 意 】 本 主要考 不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知点，要点考 分 思想，体 了数学运算、 推理等中心修养．。