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高中数学如何利用向量解决平面几何问题在高中数学的学习过程中，平面几何是一个重要的内容，而向量则是解决平面几何问题的有力工具。
本文将从向量的定义和性质入手，通过具体的例题分析，探讨如何利用向量解决平面几何问题，并给出一些解题技巧和指导。
一、向量的定义和性质在平面几何中，向量是一个有大小和方向的量。
我们可以用有向线段来表示一个向量，其中线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
设有向线段AB表示向量a，则向量a的大小记作|a|，方向记作→AB。
向量的定义和性质如下：1. 向量的相等：两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相等。
2. 向量的加法：设有向线段AB和CD分别表示向量a和b，则向量a+b的定义为以线段AC为起点，以线段BD为终点的有向线段。
3. 向量的数乘：设有向线段AB表示向量a，k为实数，则向量ka的定义为以线段AB的延长线上一点C为起点，以线段AC的长度为|ka|的有向线段。
4. 向量的共线：若有向线段AB和CD分别表示向量a和b，且存在实数k，使得CD=kAB，则向量a和b共线。
二、利用向量解决平面几何问题2.1 平面几何中的向量运算在解决平面几何问题时，我们可以利用向量的加法和数乘运算来简化计算，从而得到更加简洁的解题方法。
例如，已知三角形ABC的顶点坐标A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，求向量AB和向量AC的和。
解法：根据向量的定义，向量AB的坐标表示为向量(3-1, 4-2)=(2, 2)，向量AC的坐标表示为向量(5-1, 6-2)=(4, 4)。
因此，向量AB+AC的坐标表示为向量(2+4,2+4)=(6, 6)。
所以，向量AB和向量AC的和为向量(6, 6)。
2.2 平面几何中的向量共线性在解决平面几何问题时，我们可以利用向量的共线性来判断点、线、向量的位置关系，从而得到更加准确的结论。
例如，已知三角形ABC的顶点坐标A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，判断向量AB和向量AC是否共线。
向量在平面几何中的应用
【关键词】高中数学向量平面几何运用
向量是高中数学不可缺少的内容，它是沟通代数、几何与三角函数的工具。
在平面几何中，向量可以将很多问题代数化、程序化，体现出数与形的完美结合，新课标对向量知识的考查也充分体现了综合运用的特色。
在几何中，平面向量在处理长度、距离、垂直、平行等问题时占有绝对的优势，运用向量与数形的转化，可以大大简化计算，降低某些题目的难度，向量方法在几何中得到了广泛的运用。
本文从证明直线平行、求夹角、证明直线垂直三个放面论述向量在平面几何中的运用。
一、用向量证明直线平行
直线平行的证明是平面几何中经常遇到的问题之一，也是高中数学中的重点和难点。
如果我们直接用平面几何的知识来证明直线平行，思路繁杂，步骤繁琐，向量却可以帮助我们轻松快速地解决问题。
通过以上几个例子我们可以得到用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：
1．建立平面几何与向量之间的关系，将平面几何问题转化为向量问题。
2．理清所要解答的几何问题与向量之间有什么联系。
3．运用向量进行运算。
4．把运算结果“翻译”成几何关系。
以上所论述的三个方面是向量在平面几何中的主要应用，广大教师应
关注学生对这一知识及其应用的掌握程度，多加练习，提高解题速度和解题能力。
向量法在平面几何问题中的应用向量法在二维几何里占有重要地位，它可以用于解决各种几何问题，如点、线、圆、折线，以及更复杂的问题，如一般三角形、平面图形、多面体等各种几何问题。
其中，向量法在平面几何中的应用最为常用，下面介绍它的几个典型应用场景。
（1）由两点求出直线方程用向量法来求一般单调直线方程的优点在于，把直线上的两点表示成两个方向向量，通过向量的点积运算得出直线方程，简单明了。
一般单调直线方程(Ax +By +C=0 )的向量表示为：A = (A,B)B = (x1,y1)根据向量点积运算法则Ax1 +By1 = -C，可以计算出C的值，即可将该直线方程表示出来。
（2）由两条线段求出其夹角在空间几何中，有一个重要的定理――向量点积公式：AB*CD = |AB|* |CD|*cos α，其中AB与CD均为向量，|AB| 表示AB的大小，α 表示AB 与 CD的夹角，而AB*CD 为向量 AB 与CD的点积。
假设有两条(AB)与(CD)的线段，则有：AB*CD = |AB|* |CD|*cos α，由此可以将其余两条线段的参数代入公式，解出α的值，即可求出夹角的大小。
（3）求出线段的垂直平分线垂直平分线是以AB 向AB上任意点P分割AB ，使其分割线与AB 成垂直。
任意点P = A+t(B-A)，将两个向量A(PA)、B(PB)代入向量点积公司t(B-A)*(B-A) = 0 得到 t=1/2，即P点在AB上的垂足位于AB中点，由此可以求出垂直平分线的方程。
（4）求出空间直线的垂线假设有一条直线(AB)，垂线为(PQ)，任意点Q = A+t(B-A)，记向量：AB = (B-A) = a，PQ = (Q-P) = b，则有：a*b = |a|*|b|*cos γ，当γ=π/2时，又有b*a = − |a|* |b|，从而我们可以获得：t = - 1/|a|，即理出来可以得到垂线的表达式。
以上就是向量法在平面几何中最常用的几种应用场景，它对解决许多几何问题都有较大的便利性。
向量与平面几何的应用引言：向量与平面几何是数学中重要且广泛应用的概念和工具。
它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍向量与平面几何在实际问题中的应用，并探讨其重要性和优势。
一、平面几何中的向量应用1. 向量的平移与旋转在平面几何中，向量可以表示位移和转动。
通过向量的加法和减法操作，我们可以实现平面上的平移。
而通过向量的数乘和点积操作，我们可以实现平面上的旋转。
2. 向量的投影与垂直向量在平面几何中也常用于计算投影和判断垂直关系。
通过向量的投影可以求解物体在某个方向上的分量，而通过向量的垂直判断可以帮助我们确定平面的垂直性质。
3. 向量的长度与方向向量的长度和方向也是平面几何中的重要概念。
向量的长度可以表示物体运动的距离或力的大小，而向量的方向可以表示物体运动的方向或力的作用方向。
通过向量的长度和方向，我们可以更好地描述平面上的运动和力的作用。
二、向量在物理学中的应用1. 力的合成与分解在物理学中，力的合成与分解是一个常见的问题。
通过将力的大小和方向表示为向量，可以方便地进行力的合成与分解操作。
这对于解决物体在平面上受到多个力的作用时的平衡问题非常有用。
2. 动量与速度矢量向量在描述动量和速度等物理量时也有广泛的应用。
通过将速度和方向表示为向量，我们可以方便地计算物体的动量、速度和加速度，从而更好地理解和描述物体在平面上的运动状态。
三、向量在计算机图形学中的应用1. 三维空间的点和向量表示在计算机图形学中，三维空间中的点和向量常常用于表示物体的位置、方向和形状等信息。
通过将点和向量表示为向量，我们可以方便地进行图形的变换和计算，从而实现图像的渲染和处理。
2. 相交检测与碰撞检测在计算机图形学中，相交检测和碰撞检测是常见的问题。
通过将物体的位置和形状表示为向量，我们可以方便地进行相交检测和碰撞检测，从而实现物体之间的交互和碰撞效果。
结论：向量与平面几何在实际问题中有着广泛的应用。
§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．( √ )(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．( √ )(4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)(理)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为19.( √ )(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0,10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0. ( √ )2．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( ) A. 5B ．2 5C ．5D ．10答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析 由m ⊥n 得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， ∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．答案 y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2， 又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．答案 226 m/s解析 如图所示小船在静水中的速度为102＋22＝226 m/s.题型一 平面向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .思维启迪 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ(0<λ<2)，则A (0,1)，P (22λ，22λ)，E (1，22λ)，F (22λ，0)，∴P A →＝(－22λ，1－22λ)，EF →＝(22λ－1，－22λ)，∴|P A →|＝ (－22λ)2＋(1－22λ)2＝λ2－2λ＋1， |EF →|＝(22λ－1)2＋(－22λ)2＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，即P A ＝EF .思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．(1)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 (2)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为 ( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形答案 (1)C (2)A解析 (1)∵cos ∠BOA ＝a ·b|a ||b |，则sin ∠BOA ＝ 1－(a ·b )2|a |2|b |2，∴S △OAB ＝12|a ||b | 1－(a ·b )2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. (2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形． 题型二 平面向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．思维启迪 向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单． 解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案 5π6解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，又∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ，则化简得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，∵0<B <π，∴B ＝5π6.题型三 平面向量在解析几何中的应用例3 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值． 思维启迪 (1)直接利用数量积的坐标运算代入；(2)将PE →·PF →转化为关于y 的函数，求函数的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2 ＝x 2＋(y －1)2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上：PE →·PF →的最大值为19； PE →·PF →的最小值为12－4 3.思维升华 平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)， AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．题型四 平面向量在物理中的应用例4 在长江南岸渡口处，江水以252 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．思维启迪 题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心． 答案 北偏西30°解析 如图所示，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知|OA →|＝252，|OB →|＝25.∵OD →＝OB →＋OA →，∴OD →·OA →＝OB →·OA →＋OA →2， ∵OD →⊥OA →，∴OD →·OA →＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋(252)2＝0，∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.思维升华 在使用向量解决物理问题时要注意：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系； (2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题； (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________． 答案 27解析 方法一 由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. 因此，|F 3|＝27.方法二 如图，|F 1F 2→|2＝|F 1|2＋ |F2|2－2|F 1||F 2|cos 60°＝12，则|OF 1→|2＋|F 1F 2→|2＝|OF 2→|2， 即∠OF 1F 2为直角，|F 3|＝2 F 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|F 1F 2→|22＝27.高考中以向量为背景的创新题典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12思维启迪 先根据定义表示出a ∘b 和b ∘a ，利用其属于集合{n2|n ∈Z }，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈(π4，π2)确定cos θ的取值范围，结合集合中n ∈Z 的限制条件即可确定n 的值，从而求出a ∘b 的值．解析 根据新定义，得a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ∘b 和b ∘a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈(π4，π2)，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1.故a ∘b ＝n 12＝12.答案 D(2)(5分)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．思维启迪 根据定义先写出m ⊗OP →，进而求出OP →，确定函数y ＝f (x )的解析式． 解析 设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，由⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)， 所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 温馨提醒 解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a ·b >0不等价.A 组 专项基础训练一、选择题1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案 B解析 由题意知：CB →－PB →＝λP A →， 即CB →＋BP →＝λP A →，∴CP →＝λP A →，即CP →与P A →共线，∴点P 在AC 边所在直线上．2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．3．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π3答案 D解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0，即4|b |2＋4·2|b |·|b |cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 D解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.5. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)， 则A 等于( ) A.π6 B.712πC.76πD.73π答案 B解析 由题意知M (π12，A )，N (712π，－A )，又OM →·ON →＝π12×712π－A 2＝0，∴A ＝712π.二、填空题6．(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝________. 答案 (1,2)解析 由物理知识知：f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， 故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．答案 3解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三、解答题9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )．∵D 是BC 的中点，∴D (0，a 2)． 又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a . ∵AD →＝(0，a 2)－(a,0)＝(－a ，a 2)， OE →＝CE →＝(a 3，23a )， ∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13a 2＝0. ∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其α∈(π2，3π2)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值．(2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值． 解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α ＝10－6cos α，|BC →|＝10－6sin α.由|AC →|＝|BC →|得sin α＝cos α，又α∈(π2，3π2)，∴α＝54π. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23，∴sin(α＋π4)＝23>0. 由于π2<α<3π2， ∴3π4<α＋π4<π，∴cos(α＋π4)＝－73. 故tan(α＋π4)＝－147. B 组 专项能力提升1．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则 ( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2， 同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2， ∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立．即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ， 则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.2．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________. 答案 150°解析 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角，又S △ABC ＝12|a||b |sin ∠BAC ＝154. ∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°. 3．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．答案 5解析 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →.∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.4．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)，且0<α<π.(1)若|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角；(2)若AC →⊥BC →，求tan α的值．解 (1)因为|OA →＋OC →|＝7，所以(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，所以cos α＝12.又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC ＝π3.又因为∠AOB ＝π2，所以OB →与OC →的夹角为π6.(2)AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)．因为AC →⊥BC →，所以AC →·BC →＝0，所以cos α＋sin α＝12，①所以(cos α＋sin α)2＝14，所以2sin αcos α＝－34.又因为α∈(0，π)，所以α∈(π2，π)．因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝74，cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－72.②由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，所以tan α＝－4＋73.5. 如图所示，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M (－1，－2m)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得 y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得 λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2， 所以λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2)＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m －4＝0.。
