专题：平面向量常见题型与解题指导

专题：平面向量常见题型与解题指导平面向量常见题型与解题指导本章主要考察以下内容：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6.掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7.掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8.通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

本章的考查主要分为以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质。

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题。

此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。

3.向量在空间中的应用。

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复过程中，应该抓住源于课本，高于课本的指导方针。

本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本。

因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为研究解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的研究应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

复建议：本章知识分向量与解斜三角形两部分，因此应用本章知识解决的问题也分为两类：1.根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题。

2.运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】 非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。

精选全文完整版（可编辑修改）向量题型归纳(全)平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=?2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？类型（二）：向量的垂直问题1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。

3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。

4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。

5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？类型（三）：向量的夹角问题1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。

6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？类型（四）：求向量的模的问题1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.已知向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=？2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=？3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。

《平面向量》热点题型探究题型一 向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量．两个向量不能比较大小，但它的模可以比较大小． (2)零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有0·a ＝0，0＋a ＝a .(3)单位向量：模为1个长度单位的向量，与a 方向相同的单位向量为a|a |.2．共线向量(1)概念：若两个非零向量a ，b 的方向相同或相反，则称a 与b 共线，也叫a 与b 平行，规定零向量与任意向量共线．两个向量共线，其所在的直线可能重合也可能平行．(2)共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb . (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (4)若A ，B ，C 三点共线且OA →＝λOB →＋μOC →，则λ＋μ＝1. 3．平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理来判断.1．有下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析 对于①，|a|＝|b|，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB →|＝|DC →|，则AB →，DC →的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，所以②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题是①②④，共3个．故选C 项．2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF →＝( )A ．34AB →＋14AD →B ．14AB →＋34AD →C ．12AB →＋AD →D ．34AB →＋12AD →D 解析 根据题意得AF →＝12(AC →＋AE →)，又AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →，所以AF →＝12⎝⎛⎭⎫AB→＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →.故选D 项．3．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________.解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.答案 －944．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2P A →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________.解析 由2P A →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2P A →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，所以2P A →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.所以A ，C ，P 三点共线，且|AP →||PC →|＝45，所以S △P AB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.答案 45题型二 平面向量基本定理平面向量基本定理：若a ，b 是平面内不共线的向量，向量c 是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对x ，y ，使c ＝x a ＋y b .平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础．5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)C 解析 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．故选C 项．6．如图所示，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，设OC →＝xOA →＋yOB →，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1B 解析 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC ，如图所示．由|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →.故x ＝－2，y ＝1.故选B 项．7．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，点Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________.解析 因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，所以2AP→＝PB →，即点P 为AB 的一个三等分点(靠近点A )．又由题意可知A ，M ，Q 三点共线，则可设AM →＝λAQ →，所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC →，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝⎛⎭⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →，故⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎨⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案 34【变式】如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，7AE →＝5AB →，AD →＝4AF →，EF 交AC 于点K ，AK →＝λOA →，则实数λ的值为____________.解析 因为AK →＝λOA →＝－λAO →＝－λ2(AB →＋AD →)，所以AK →＝－λ2⎝⎛⎭⎫75AE →＋4AF →.又E ，F ，K 三点共线，所以－λ2×⎝⎛⎭⎫75＋4＝1，解得λ＝－1027. 答案 －1027题型三 向量的数量积及应用)1．向量的数量积是一个实数，求向量数量积的三种方法：一是利用向量数量积的定义，a·b ＝|a||b|cos θ；二是根据向量数量积的几何意义，a·b 等于a 的模与b 在向量a 方向上的投影的乘积；三是建立坐标系，写出向量坐标a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积运算法则求解．2．向量的投影：|b |cos θ叫向量b 在向量a 方向上的投影，|b |cos θ＝a·b|a|.3．若向量a 与b 的夹角为θ，则θ的范围为[0，π]，cos θ＝a·b|a||b|；若已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．已知非零向量a ，b ，则a ⊥b ⇔a·b ＝0；已知非零向量a ，b ，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.5．向量的模是非负数，|a|2＝a 2＝a·a ；若向量a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.8．已知非零向量a ，b 满足|a|＝2|b|，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6B 解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a·b －b 2＝0，所以a·b ＝b 2，所以cos θ＝a·b|a|·|b|＝|b|22|b|2＝12，所以a 与b 的夹角为π3.故选B 项． 9．已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3C 解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1，所以t ＝3，所以AB →·BC →＝(2,3)·(1，0)＝2.故选C 项．10．已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析 依题意向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，a ⊥b ，则a·b ＝0，即－4×6＋3m ＝0，即m ＝8.答案 811．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________.解析 如图，因为E 在线段CB 的延长线上，所以EB ∥AD ．因为∠DAB ＝30°，所以∠ABE ＝30°.因为AE ＝BE ，所以∠EAB ＝30°.又因为AB ＝23，所以BE ＝2.因为AD ＝5，所以EB →＝25AD →.所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →－25AD →.又因为BD →＝AD →－AB →，所以BD →·AE →＝(AD →－AB →)·⎝⎛⎭⎫AB →－25AD →＝AD →·AB →－25AD →2－AB →2＋25AD →·AB →＝75|AD →|·|AB →|·cos 30°－25×52－(23)2＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1.答案 －1 【规范演练】1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 B 解析 A 项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B 项．2．设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“|a ＋b |＝3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D 解析 因为a ，b 均为单位向量，若a 与b 夹角为2π3，则|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝1＋1＋2×1×1×cos 2π3＝1，所以由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“|a ＋b |＝3”；若|a ＋b |＝3，则|a ＋b |＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝1＋1＋2×1×1×cos 〈a ，b 〉＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝12，即a 与b 夹角为π3，所以由“|a ＋b |＝3”不能推出“a 与b 夹角为2π3”．因此“a 与b 夹角为2π3”是“|a ＋b |＝3”的既不充分也不必要条件．故选D 项．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( ) A ．－12B ．12C ．－2D ．2C 解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，所以a ＋λb ＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a ＋λb )⊥c ，所以(a ＋λb )·c ＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C 项．4．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，13 B ．⎝⎛⎭⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎫－13，0 D ．⎝⎛⎭⎫－12，0 C 解析 由题意得AO →＝AC →＋CO →，O 在线段CD 上且不与端点重合，所以存在k (0<k <1)，使CO →＝kCD →，又BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →＝13(AC →－AB →)，所以AO →＝AC →＋k 3(AC →－AB →)＝－k 3AB→＋⎝⎛⎭⎫1＋k 3AC →，又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－k 3，所以－13<x <0.故选C 项． 5．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝2.若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM →·MN →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1C 解析 由题意作出图形，如图所示．由图及题意，可得AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →，MN →＝CN →－CM →＝12CB →－12CD →＝－12BC →＋12DC →＝－12AD →＋12AB →.所以AM →·MN →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·⎝⎛⎭⎫－12AD →＋12AB →＝－12·|AD →|2＋14·|AB →|2＝－12×4＋14×16＝2.故选C 项． 【跟踪检测】 基础热身1．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A 解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A 项．2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D 解析 由题中所给图象可得2a ＋b ＝c ，又c ＝λa ＋b ，所以λ＝2.故选D 项． 3．已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(－1,7) B ．(－1,2) C ．(1,2)D ．(1，－2)D 解析 因为a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，所以－1×y －2×2＝0，解得y ＝－4，故可得3a ＋2b ＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．故选D 项．4．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5A 解析 由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a·b ＝4，则a·b ＝1.故选A 项．5．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b|＝( ) A ．9 B ．3 C ．109D ．310 D 解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9，则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D 项．6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC →＝( )A ．34AD →＋12BE →B ．34AB →＋BE →C ．54AD →＋12BE →D ．54AD →＋BE →C 解析 由题意和图可知，AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12BD →，BD →＝BE →＋ED →，ED →＝12AD →，所以AC →＝54AD →＋12BE →.故选C 项．7．如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，tan ∠AOB ＝－43，∠BOC ＝45°，OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝( )A ．57B ．75C ．37D ．73A 解析 以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．因为|OA →|＝|OB →|＝1，且tan ∠AOB ＝－43，所以cos ∠AOB ＝－35，sin ∠AOB ＝45，所以A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－35，45，又令∠AOC ＝θ，则θ＝∠AOB －∠BOC ，所以tan θ＝tan(∠AOB －∠BOC )＝－43－11－43＝7，又因为点C 在∠AOB 内，所以cos θ＝210，sin θ＝7210，又|OC →|＝2，所以C ⎝⎛⎭⎫15，75，因为OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以⎝⎛⎭⎫15，75＝(m,0)＋⎝⎛⎭⎫－35n ，45n ＝⎝⎛⎭⎫m －35n ，45n ，即⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧n ＝74，m ＝54，所以m n ＝57.故选A 项．8．已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案339．已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4，则b 在a 方向上的投影等于________.解析 因为a·b ＝2×4cos 120°＝－4，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－42＝－2.答案 －210．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由条件知M 是△ABC 的重心，设D 是BC 边的中点，则AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →，所以2AD →＝m ·23AD →，所以m ＝3.答案 311．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________.解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.因为CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，所以O 在边AB 上，所以当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.答案 1212．平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则P A →·PC →的取值范围是________.解析 设|PD →|＝x ，x ∈[0,4]，则P A →·PC →＝(PD →＋DA →)·PC →＝⎝⎛⎭⎫－x 4AB →－AD →·4－x 4AB →＝－x 4×4－x 4AB →2－4－x 4AD →·AB →＝－x 4×4－x 4×16－4－x 4×4＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，所以当x ＝32时，取最小值－254，当x ＝4时，取最大值0，即P A →·PC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－254，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－254，0 能力提升13．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________.解析 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，且a 与b 不平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ<0，－2λ≠1，即λ<2且λ≠－12，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2 14．已知A B →与A C →的夹角为90°，|A B →|＝2，|A C →|＝1，AM →＝λA B →＋μA C →(λ，μ∈R )，且AM →·B C →＝0，则λμ的值为________．解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB→＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14. 答案 1415．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________.解析 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CP →2－CP →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝CP →2－2CD →·CP →＋CA →·CB →＝1－2×3×1×cos CD →，CP→＋(23)2cos π3＝7－6cos CD →，CP →，所以当cos CD →，CP →＝1时，AP →·BP →取得最小值为1；当cos CD →，CP →＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13.因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．答案 [1,13]16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求向量a 在b 上的投影；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a －b |＝2－2cos (α－β)＝2，所以cos(α－β)＝0，而0＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π，所以α－β＝π2.所以向量a 在b 上的投影为|a |cos a ，b ＝a ·b |b |＝cos(α－β)＝0. (2)由a ＋b ＝c 得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②①2＋②2得cos(α－β)＝－12，而0＜α－β＜π，故α－β＝2π3，而由①得α＋β＝π，解得α＝5π6，β＝π6.。

平面向量重难点题型训练摘要：一、平面向量的基本概念二、平面向量的重难点题型三、平面向量的解题技巧四、总结与展望正文：一、平面向量的基本概念平面向量是平面内的有序线段，可以用来表示平面内的物理量，如速度、加速度、力等。

平面向量具有大小和方向两个属性，通常用有序实数对(a,b) 来表示，其中a 和b 分别表示向量的水平和垂直分量。

平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和向量积等。

二、平面向量的重难点题型1.向量加法与减法向量加法和减法是平面向量的基本运算之一，其难点在于处理不同方向的向量。

解决这类问题时，需要将向量分解为水平和垂直分量，然后进行相应的加减运算。

2.向量数乘向量数乘是平面向量的另一个基本运算，其难点在于理解数乘的物理意义和计算方法。

向量数乘的结果是一个向量，其大小等于原向量的大小与数乘因子的乘积，方向与原向量相同或相反。

3.向量积向量积是平面向量的高级运算，其难点在于理解向量积的物理意义和计算方法。

向量积的结果是一个向量，其大小等于原向量之积与夹角的余弦值的乘积，方向垂直于原向量所在的平面。

三、平面向量的解题技巧1.图形法图形法是解决平面向量问题的一种直观方法，通过画图可以直观地表示向量的大小和方向，以及向量之间的运算关系。

2.分解法分解法是解决平面向量问题的一种常用方法，通过将向量分解为水平和垂直分量，可以简化向量运算，尤其是处理不同方向的向量时。

3.数学建模法数学建模法是解决平面向量问题的一种高级方法，通过将实际问题抽象为数学模型，可以更好地理解向量的物理意义和计算方法。

四、总结与展望平面向量是物理学、工程学等领域中的重要概念，掌握平面向量的基本概念和解题技巧对于解决实际问题具有重要意义。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

平面向量【1 】罕有题型与解题指点一、考点回想1.本章框图2.高考请求1.懂得向量的概念,控制向量的几何暗示,懂得共线向量的概念.2.控制向量的加法和减法的运算轨则及运算律.3.控制实数与向量的积的运算轨则及运算律,懂得两个向量共线的充要前提.4.懂得平面向量根本定理,懂得平面向量的坐标的概念,控制平面向量的坐标运算.5.控制平面向量的数目积及其几何意义,懂得用平面向量的数目积可以处理有关长度.角度和垂直的问题,控制向量垂直的前提.6.控制线段的定比分点和中点坐标公式,并且能闇练应用;控制平移公式.7.控制正.余弦定理,并能初步应用它们解斜三角形.8.经由过程解三角形的应用的教授教养,持续进步应用所学常识解决现实问题的才能.3.热门剖析对本章内容的考核重要分以下三类：1.以选择.填空题型考核本章的根本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度.夹角.垂直.断定多边形外形等问题.2.以解答题考核圆锥曲线中的典范问题.此类题分解性比较强,难度大,以解析几何中的通例题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下,经由过程向量的坐标的暗示,应用盘算的办法研讨三维空间几何图形的性质.在温习进程中,抓住源于教材,高于教材的指点方针.本章考题大多半是教材的变式题,即源于教材.是以,控制双基.精晓教材是本章症结.剖析近几年来的高测验题,有关平面向量部分凸起考核了向量的根本运算.对于息争析几何相干的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为进修解析几何的根本对象,在相干内容中会进行考核.本章的另一部分是解斜三角形,它是考核的重点.总而言之,平面向量这一章的进修应容身基本,强化运算,看重应用.考核的重点是基本常识和根本技巧.4.温习建议因为本章常识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章常识解决的问题也分为两类：一类是依据向量的概念.定理.轨则.公式对向量进交运算,并能应用向量常识解决平面几何中的一些盘算和证实问题;另一类是应用正.余弦定理精确地解斜三角形,并能应用解斜三角形常识解决测量不成到达的两点间的距离问题.在解决关于向量问题时,一是要擅长应用向量的平移.伸缩.合成.分化等变换,精确地进行向量的各类运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的熟悉,并领会用向量处理问题的优胜性.二是向量的坐标运算表现了数与形互相转化和亲密联合的思惟,所以要经由过程向量法和坐标法的应用,进一步领会数形联合思惟在解决数学问题上的感化.在解决解斜三角形问题时,一方面要领会向量办法在解三角形方面的应用,另一方面要领会解斜三角形是重要的测量手腕,经由过程进修进步解决现实问题的才能.二.罕有题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出如今选择题与填空题中,在温习中要充分懂得平面向量的相干概念,闇练控制向量的坐标运算.数目积运算,控制两向量共线.垂直的充要前提.例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点,且与向量b = (－3,4)平行的单位向量,则向量a 的终点坐标是.思绪剖析：与a 平行的单位向量e =±||a a办法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1),则题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229y x 1y x 13)()(或　解得）＋（）－（y x y x ,故填 (512,-51)或(518,-59) 办法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4),故可得a ＝±(-53,54),从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),即可得成果. 点评：向量的概念较多,且轻易混杂,在进修中要分清.懂得各概念的本质,留意区分共线向量.平行向量.同向向量.反向向量.单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1,a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ,y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是若干？思绪剖析：要盘算x 与y 的夹角θ,需求出|x |,|y |,x ·y 的值.盘算时要留意盘算的精确性.解：由已知|a |=|b |=1,a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=21. 要盘算x 与y 的夹角θ,需求出|x |,|y |,x ·y 的值.∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3, |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b=7a ·b －2a 2－3b 2 =7×21－2－3=－23, 又∵x ·y =|x ||y |cosθ,即－23=3×7cosθ, ∴cosθ=－1421 点评：①本题应用模的性质|a |2=a 2,②在盘算x ,y 的模时,还可以借助向量加法.减法的几何意义获得：如图所示,设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义,得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3,即|x |=3,同理可得|y |=7.题型二：向量共线与垂直前提的考核例1．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3, 1),B(－1, 3), 若点C 知足OC OA OB =α+β,个中α,β∈R 且α+β=1,求点C 的轨迹方程..解：（法一）设C (x ,y ),则OC =(x ,y ),由OC =(x ,y )= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)∴⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x , （可从中解出α.β）又∵α+β＝1 消去α.β得x +2y -5=0（法二） 应用向量的几何运算,斟酌定比分点公式的向量情势,联合前提知：A,B,C 三点共线,故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程x ＋2y －5=0,例2．已知平面向量a ＝(3,－1),b ＝(21, 23).(1) 若消失实数k 和t ,便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k ＝f(t);(2) 依据(1)的结论,肯定k ＝f(t)的单调区间.思绪剖析：①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k 与t 之间的等量关系,k 与t 之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些办法？（导数法.界说法）导数法是求单调区间的简捷有用的办法？解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,223232--t ), y ＝(21t －3k,23t ＋k),又x ⊥y 故x ·y ＝23322--t ×（21t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0. 整顿得：t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t. 法二：∵a ＝(3,－1),b ＝(21, 23), ∴.a ＝2,b ＝1且a ⊥b ∵x ⊥y ,∴x ·y ＝0,即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0,∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t (2)由(1)知：k ＝f(t) ＝41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－43, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1;令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1,1 ),单调递增区间是（－∞,－1）和（1,＋∞）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种罕有的办法：一是先应用向量的坐标运算分离求得两个向量的坐标,再应用向量垂直的充要前提;二是直接应用向量垂直的充要前提,其进程要用到向量的数目积公式及求模公式,达到同样的求解目标（但运算进程大大简化,值得留意）.第（2）问中求函数的极值应用的是求导的办法,这是新旧常识交汇点处的分解应用.例3： 已知平面向量a ＝(3,－1),b ＝(21,23),若消失不为零的实数k 和角α,使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d ,试求实数k 的取值规模.解：由前提可得：k ＝41( sin α－23)2－169,而－1≤sin α≤1, ∴当sin α＝－1时,k 取最大值1; sin α＝1时,k 取最小值－21. 又∵k ≠0 ∴k 的取值规模为 1[,0)(0,1]2-.点拨与提醒：将例题中的t 略加修改,旧题新掘,消失了意想不到的后果,很好地考核了向量与三角函数.不等式分解应用才能.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ,若正数k 和t 使得向量b ta k yb t a x 1)1(2+-=++=与垂直,求k 的最小值. 解：0)1(])1([02=+-•++=⋅⇔⊥b ta kb t a y x y x 即 0)1(112222=⋅+-⋅+++-⇔b a t k b a tb t t a k ∵)1,2(),2,1(-==b a ,∴|a |=3,|b |=3b a ⋅＝－2＋2 , 代入上式 －3k ＋32112≥+=+tt t t 当且仅当t=t 1,即t=1时,取“＝”号,即k 的最小值是2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考核向量与三角函数联合,标题新鲜而又精致,既相符在常识的“交汇处”构题,又增强了对双基的考核.例7．设函数f(x )＝a·b ,个中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π,3π],求x ;（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n)(m ﹤2π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象,求实数m.n 的值. 思绪剖析：本题重要考核平面向量的概念和盘算.平移公式以及三角函数的恒等变换等根本技巧,解： (1)依题设,f(x )＝（2cos x ,1）·(cos x ,3sin2x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π) 由1＋2sin(2x ＋6π)=1－3,得sin(2x ＋6π)＝－23. ∵－3π≤x ≤3π , ∴－2π≤2x ＋6π≤65π, ∴2x ＋6π=－3π, 即x ＝－4π. （2）函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝（m,n ）平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)+n 的图象,即函数y ＝f(x )的图象.由(1)得f (x )＝1)12(2sin 2++πx ∵m ＜2π, ∴m ＝－12π,n ＝1. 点评： ①把函数的图像按向量平移,可以算作是C 上任一点按向量平移,由这些点平移后的对应点所构成的图象是C ˊ,明白了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,也就找到了此问题的解题门路.②一般地,函数y ＝f(x )的图象按向量a ＝(h , k)平移后的函数解析式为y －k ＝f （x －h ）.例8：已知a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π),（1）求证：a +b 与a -b 互相垂直; （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0),求β－α解：（1）证法一：∵a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ）∴a +b ＝（cosα+cosβ,sin α+ sinβ）, a -b ＝（cosα-cosβ,sin α- sinβ）∴(a +b )·(a -b )=（cosα+cosβ,sin α+ sinβ）·（cosα-cosβ,sin α- sinβ）=cos 2α-cos 2β+sin 2α- sin 2β=0∴(a +b )⊥(a -b )证法二：∵a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ） ∴|a |＝1,|b |＝1∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0∴(a +b )⊥(a -b )证法三：∵a =（cos α,sin α）,b =（cos β,sin β）∴|a |＝1,|b |＝1, 记OA ＝a ,OB ＝b ,则|OA |＝|OB |=1,又α≠β,∴O .A .B 三点不共线.由向量加.减法的几何意义,可知以OA .OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形,个中OC ＝a +b ,BA ＝a -b ,由菱形对角线互相垂直,知(a +b )⊥(a -b )（2）解：由已知得|k a +b |与|a -k b |,又∵|k a +b |2＝(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k 2+1+2kcos (β－α),|k a +b |2＝(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=k 2+1-2kcos (β－α),∴2kcos (β－α)= -2kcos (β－α)又∵k ≠0∴cos (β－α)＝0∵0<α<β<π∴0<β－α<π, ∴β－α=2π 注：本题是以平面向量的常识为平台,考核了三角函数的有关运算,同时也表现了向量垂直问题的多种证实办法,经常应用的办法有三种,一是依据数目积的界说证实,二是应用数目积的坐标运算来证实,三是应用向量运算的几何意义来证实.题型四：向量运算的几何意义与解析几何因为向量既能表现“形”的直不雅地位特点,又具有“数”的优胜运算性质,是数形联合与转换的桥梁和纽带,文科应看重由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程.例9：设G .H 分离为非等边三角形ABC 的重心与外心,A(0,2),B （0,－2）且AB GM λ=(λ∈R).（Ⅰ）求点C(x ,y )的轨迹E 的方程;（Ⅱ）过点(2,0)作直线L 与曲线E 交于点M.N 两点,设ON OM OP +=,是否消失如许的直线L,使四边形OMPN 是矩形？若消失,求出直线的方程;若不消失,试解释来由.思绪剖析：（1）经由过程向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）依据矩形应当具备的充要前提,得到向量垂直关系,联合韦达定理,求得k 的值.解：（１）由已知得(,)33x yG , 又GH AB λ=,∴(,0)3x H∵CH=HA ∴222()()433x x x y -+=+即221(124x y x +=≠± （2）设l 方程为y =k(x -2),代入曲线E 得（3k 2+1）x 2-12k 2x +12(k 2-1)=0设N (x 1,y 1),M (x 2,y 2),则x 1 +x 2=221231k k +,x 1x 2=2212(1)31k k -+ ∵OP ON OM =+ ,∴ 四边形OMPN 是平行四边形.若四边形OMPN 是矩形,则ON OM ⊥∴x 1x 2+y 1y 2=0 ∴222222212(1)12(1)24(4)0313131k k k k k k k --+-+=+++得k=∴ 直线l 为：y = 2)y x =-点评：这是一道平面几何.解析几何.向量三者之间奇妙联合的问题.例10：已知椭圆方程1422=+y x ,过B （－1,0）的直线l 交随圆于C.D 两点,交直线x ＝－4于E 点,B.E 分CD 的比分λ1.λ2．求证：λ1＋λ2＝0解：设l 的方程为y ＝k(x ＋1),代入椭圆方程整顿得（4k 2＋1）x 2＋8k 2x ＋4(k 2－1)＝0. 设C （x 1,y 2）,D(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－1444,148222122+-=+k k x x k k . 由BD CB 1λ=得 ),1(),1(2211y x y x +=---λ 所以11),1(1211211++-=+=--x x x x λλ.同理,记E ED CE y E 2),,4(λ=- 得44),4(4212221++-=+=--x x x x λλ4411212121++-++-=+∴x x x x λλ )4)(1(8)(52222121+++++-=x x x x x x 个中 ,081485144428)(5222222121=++⋅-+-⋅=+++k k k kx x x x 021=+∴λλ.例11：给定抛物线C:y 2＝4x ,F 是C 的核心,过点F 的直线l 与C 订交于A.B l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的余弦.解：C 的核心为F （1,0）,直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y ＝x －1,将y ＝x －1代入方程y 2=4x ,并整顿得x 2－6x ＋1＝0设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则有x 1＋x 2＝6, x 1x 2＝1, 从而OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－(x 1+x 2)+1＝－3 ︱OA ︱·︱OB ︱＝2121y x +·2222y x +＝41,OB OA ＝41413-例12．已知点G 是△ABC 的重心,A(0, －1),B(0, 1),在x 轴上有一点M,知足|MA |=|MC |,GM AB =λ (λ∈R)．⑴求点C 的轨迹方程;⑵若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不合两点P,Q,且知足|AP |=|AQ |,试求k 的取值规模．[剖析] 本题依托向量给出等量关系,既考核向量的模.共线等基本常识,又考核动点的轨迹,直线与椭圆的地位关系.经由过程向量息争析几何间的接洽,陈题新组,考核基本常识和根本办法.按照求轨迹方程的办法步调,把向量问题坐标化,几何问题代数化.解： ⑴设C(x , y ),则G(x 3,y 3)．∵GM AB =λ(λ∈R),∴GM//AB, 又M 是x 轴上一点,则M(x 3, 0)．又|MA |=|MC |,=整顿得22x y 1(x 0)3+=≠,即为曲线C 的方程． ⑵①当k =0时,l 和椭圆C 有不合两交点P,Q,依据椭圆对称性有|AP |=|AQ |．②当k ≠0时,可设l 的方程为y =k x ＋m,联立方程组 2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ,整顿行(1＋3k 2)x 2＋6k m x ＋3(m 2－1)=0（*） ∵直线l 和椭圆C 交于不合两点,∴△=(6k m)2－4(1＋3k 2)×( m 2－1)＞0,即1＋3k 2－m 2＞0． (1)设P(x 1, y 1),Q(x 2, y 2),则x 1, x 2是方程（*）的两相异实根,∴x 1＋x 2=－26km 13k + 则PQ 的中点N(x 0, y 0)的坐标是x 0=12x x 2+=－23km 13k +,y 0= kx 0＋m=2m 13k+, 即N(－23km 13k +, 2m 13k+),又|AP |=|AQ |,∴AN ⊥PQ ,∴k ·k AN =k ·22m 113k 3km 13k ++-+=－1,∴m=213k 2+. 将m=213k 2+代入(1)式,得 1＋3k 2－(213k 2+)2＞0（k ≠0）, 即k 2＜1,∴k ∈(－1, 0)∪(0, 1)．分解①②得,k 的取值规模是(－1, 1)．对标题标请求：有较大的难度,有特此外解题思绪.演化角度,要有必定的梯度.。

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。