向量的两重性在解题中的应用

浅谈向量在高中阶段解题的应用[摘要]：向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。

通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。

[关键词]：向量；解题；应用；向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。

通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。

近年来向量更成为高考所考查的内容这一，占分比例也不小。

纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量。

下面浅谈向量在高中阶段解题的应用:(一) 向量对圆锥曲线的应用.圆锥曲线是高考重点考查的内容。

考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质。

但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时也要结合向量的知识来简便解题。

例1：证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项。

证明：设P （x ₀，y ₀）是等轴双曲线x ²-y ²=a ²右支上任一点∴x ₀²-y ₀²=a ²则|PO |²=x ₀²+y ₀²=x ₀²+x ₀²-a ²=2x ₀²-a ² | 1PF |²=2x ₀+a ,| 2PF |=2x ₀-a∴|1PF |·|2PF |=(2x ₀+a )(2x ₀-a )=2x ₀²-a ²∴|PO |²=|1PF |·|2PF |同理,当P (x ₀,y ₀)是左支点上也成立.(二)向量对立体几何题的应用.由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，认为这很抽象，但只要掌握好向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量,那解题便简便得多了.例1：如图,在正方体A BCD --A ₁B ₁C ₁D ₁中，E 、F 、G 、分别是AB ，B B ₁，BC 的中点。

高考热点：向量的两个性质在解题中的应用
柯西不等式在解决高中数学问题中具有较好的效果，而柯西不等式的向量形式在解答过程中具有简洁、明了、给人耳目一新的感觉。

本文给出向量的两条性质，并举例说明这两条性质在解题中的应用。

首先，给出以下性质1
性质１ｍ·ｎ≤｜ｍ｜·｜ｎ｜，当ｍ与ｎ同向时取“ ＝”．
性质２
若｜ｍ｜＝｜ｎ｜，且ｍ·ｎ＝｜ｍ｜·｜ｎ｜，则ｍ＝ｎ．
以上几例说明，要善于观察题目特征，构造恰当的向量并利用向量性质来解题，该解法思考方式新颖并且富有创造性，使解题难点转移，使解题过程优化．
希望对大家有所帮助！。

如何利用向量解决高考数学中的几何问题几何问题在高考数学中占据了相当大的比重，许多同学在几何方面的理解和解题能力都尤为薄弱。

针对这一问题，目前解决的方法有很多，其中较为有效的一种方法是借助向量知识来解决几何问题。

一、向量的基本概念向量可以简单地理解为“有方向的线段”，用字母块表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。

向量有两个基本属性，即大小和方向。

向量的大小表示为模，用$|\vec{a}|$表示，表示一个向量的长度，方向表示向量的朝向。

二、向量的加减向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的过程。

加法满足向量的交换律、结合律和分配律。

具体来说，设$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是三个向量，则：（i）$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（向量加法的交换律）（ii）$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（向量加法的结合律）（iii）$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$（向量加法的分配律）同样，向量的减法是指将两个向量相减得到一个新向量的过程。

三、向量的数量积和向量积向量的数量积是指将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值，用$\vec{a}\cdot\vec{b}$或$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$表示，其中$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$表示$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角余弦值，$\alpha$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。

向量的数量积有如下性质：（i）${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={\vec{b}}\cdot{\vec{a}}$（交换律）（ii）${\vec{a}}\cdot({\vec{b}}+{\vec{c}})={\vec{a}}\cdot{\vec{b}}+{\v ec{a}}\cdot{\vec{c}}$（分配律）（iii）${k}\cdot({\vec{a}}\cdot{\vec{b}})=({k}\cdot{\vec{a}})\cdot{\vec{b }}={\vec{a}}\cdot({k}\cdot{\vec{b}})$（数乘结合律）向量积又叫叉乘，用$\vec{a}\times\vec{b}$或$[\vec{a},\vec{b}]$表示，表示一个新的向量，其模长等于$\vec{a}$和$\vec{b}$所组成的平行四边形的面积，方向垂直于$\vec{a}$、$\vec{b}$构成的平面，其方向顺序由右手定则决定。

向量法在解题中的应用我们知道，向量具有一套良好的运算性质，通过向量可以把空间图形的性质转化为向量的运算，这样我们就能较容易得研究空间图形和平面图形的各种有关问题；此外向量的坐标表示法，使得向量与坐标之间建立了一一对应的关系，这样就为数的运算处理“形”的问题搭起了桥梁．本文将通过例题演示向量法在解题的妙用．题型一 判断几个点的位置关系例1、判断下列各点的位置关系．)2,1(A )4,3(--B )5.3,2(C ．解析：∵)6,4()24,13(--=----= ，)5.1,1()25.3,12(=--=； ∴AC AB 4-=．∴向量,共线．∴A 、B 、C 三点共线．析：本题也可用函数法或斜率法，但向量法更为简洁易懂．题型二 求点的坐标例2、已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ，求另一定点D 的坐标．解：设顶点D 坐标为),(y x ，则 )2,1())2(),1((++=----=y x y x AD ， )7,2())1(6,35(=---=．由 =， 得 )7,2()2,1(=++y x ； ∴⎩⎨⎧=+=+7221y x ，∴⎩⎨⎧==51y x ．∴顶点D 的坐标为)5,1(． 析:本题也可用斜率法、两点距离公式等．题型三 求轨迹问题例3、已知两点)0,1(-M ，)0,1(N ，且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列；试求点P 的轨迹是什么曲线？解：记),(y x P ，由 ),0,1(-M )0,1(N 得 ),1(y x MP PM ---=-=，),1(y x --=-= ，)0,2(=-=，∴)1(2x +=⋅， 122-+=⋅y x ， )1(2x -=⋅．于是，“⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列”等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x ，即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x ． 所以点P 的轨迹是以坐标原点为圆心，3为半径的圆的右半圆． 注：点的轨迹问题几乎出现在每一年的高考试卷中，是高考的必考内容．向量法是解决这类问题的一种好方法．题型四 解决圆锥曲线的问题例4、 如图1，过点)0,1(-A ，斜率为k 的直线l 与抛物线C :x y 42=交于P 、Q 两点．（1）若曲线C 的焦点F 与P 、Q 、R 三点按如图顺序构成平行四边形，求点R 的轨迹方 程；（2）设P 、Q 两点只在第一象限运动，点)8,0(E 与线段PQ 中点的连线交x 轴于点N ，当点N 在点A 右侧时，求直线PQ 的斜率k 的取值范围．解：（1）),(),4(),4(222121y x 、R y y 、Q y y P 设，则),14(),,14(222121y y AQ y y AP +=+=， ),4(),,14(222121y y y x y y --=-=；由A 、P 、Q 三点共线，知AP ∥AQ ， ∴)14()14(221221+=+y y y y ，即212121)(4y y y y y y -=-；又∵21y y ≠，∴421=y y ； 由PFQR 为平行四边形，知 QP FP = ∴),4(),14(222121y y y x y y --=-即 34)(142)(14221212212221-+=--+=-+=y y y y y y y y x ，∵21y y y +=， ∴1242+=x y ．又∵ 114214212221=->-+=y y y y x ．∴ 点R 的轨迹方程为)1(1242>+=x x y ．（2）设)1)(0,(->a a N ，P 、Q 中点为)2,8(212221y y y y G ++，即)2,18(2y y G -， )82,18(2--=y y ， )8,(-=a EN ． 由E 、G 、N 三点共线，知∥EN ， ∴)82()18(82-=--y a y ，即162162--=y y a ．由1->a ，得 1621<<y 或0<y ． 又∵P 、Q 两点在第一象限， ∴0,021>>y y ，∴021>+=y y y ，∵161242>+=x y ，∴4>y ，故164<<y ．∴)1,41(44421212212∈=+=--=y y y y y y y k ． 评注：本题若不用向量方法，则须采用联立方程、考虑判别式、结合韦达定理的传统方法，不但计算繁琐，而且技巧性强，掌握起来较为困难，而利用向量方法则简单明快、易于接受．。

高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。

在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。

本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。

一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。

向量可以表示位移、速度、力等概念。

向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。

在几何中，常用向量表示线段。

例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。

二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。

3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。

三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。

利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。

设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。

2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。

利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。

3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。

对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。

对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。

向量方法在高中数学解题中的应用王贤举摘要：向量具有丰富的物理背景。

它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。

通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，表现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。

关键词：高中数学；向量法；解题；应用Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, ormake some geometry problems into algebra problems, ormake algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and geometry problems in senior high school mathematics.Key word:Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application1、向量与高中数学教学向量是既有大小，又有方向的量【1】，是数学中的重要概念之一。

向量具有丰富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。

在高中数学新课程中设置向量的内容，是基于以下几方面原因：物体的位置和外形是几何学的根本研究对象。

向量的应用向量是近代数学中最基本、最重要的概念之一，就来源而言，向量的概念来自对物理学中的力、速度以及加速度这一类矢量的研究。

由于向量具有大小和方向，而我们的学生对数及其运算较为熟悉，而在学了向量后，思维得以开阔，可使学生增长知识，对数及其运算的认识加深了一步，更重要的是由于向量具有的几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。

向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。

是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。

为学习三角、复数、几何等作了准备。

1、向量在三角中的应用当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。

利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。

由于用向量解决问题时常常是以三角形为载体的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。

2、向量在代数中的应用向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。

用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。

但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。

根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。

这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。

因而变选学内容也就不难理解了。

另外我们在求一元函数的取值范围时，往往利用重要不等式或一元二次函数的性质，而当函数中含有根式时，问题就要复杂得多，这时巧妙运用“向量数量积小于等于向量的积”这一性质，可得到求解的新方法。

在不等式的证明、求解无理函数的最值中运用向量性4、向量在平面解析几何中的应用由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。

【摘要】向量具有几何形式和代数形式“双重身份”，兼具几何知识的直观性和代数知识的抽象性，通过向量这一实用工具，我们可以将高中数学中的许多知识有机串联起来，系统的理解高中数学知识。

因此，在高中数学解题中向量具有广泛的应用，占据着不可替代的重要作用。

本文简单对向量的具体内涵进行了介绍，并举例说明了向量在函数、几何和不等式等方面的实际应用。

【关键词】高中数学；向量；内涵；实际应用一、引言目前，向量已经被列为了高中教科书的必修内容，虽然向量内容对于学生和教师都比较陌生的，然而学生一旦掌握了向量知识，对高中其他知识的学习将会有很大帮助。

首先，向量是高中数学解题中的一个有效工具，向量的使用不仅可以帮助学生解决在三角函数、应用几何等方面的难题，还能够加深学生们对于平面几何和立体几何定理及性质、三角函数公式及性质等方面内容的理解，使同学们的知识系统化。

其次，向量也是一个提高学生思维能力和空间想象能力的工具。

向量具有几何和代数的双重身份，同学们在使用向量过程中不断地进行着形象思维与抽象思维的转化，因此，向量的使用可以很好地培养学生的空间想象能力。

可见，研究向量在高中数学解题中的应用具有重要的意义。

本文主要阐述了向量的内涵，并通过具体实例说明了向量在三角函数、不等式证明、平面几何、空间几何等四方面的应用。

二、向量的内涵早在十九世纪物理学家和数学家就开始了对向量的应用，二十世纪向量正式进入了数学领域，我国于二十世纪九十年代将向量知识纳入了高中教课书内容，从此开始了对于向量知识的学习，近年来，我国更是将向量知识纳入了高中必修内容。

向量也称矢量，与线性代数不同，它是具有大小和方向的量，具有可移动性。

向量的集合用Ｖ表示，向量的长度叫做数量积，在具体应用中具有重要的作用。

向量作为几何知识和代数知识的重要交叉点，它可以解决三角函数、几何等多方面的数学难题，将抽象的问题直观化，将复杂的问题简单化，在现代高中数学中具有非常重要的作用。

高中数学中的向量法可以用来解决一些复杂的问题，比如空间几何、动力学和物理等。

1. 空间几何：在三角形、四边形、正多边形和立方体等平面或立体几何图形中，可以使
用向量法来求得其周长、表面积或者体积。

例如：已知两个向量a=(2,3)和b=(4,5)，则
它们的夹角θ=arctan(5/4)=53.13°。

2. 动力学：在运动学中也可以使用向量法来求得物体运动的速度、加速度和作用力大小。

例如：已知一个物体有一个分速度v1=(3,4)m/s和v2=(-6,-8)m/s （即x方向上有3m/s
的速度而y方向上有4m/s的速度),则它们之间的相对速度Vr=v1-v2=(9,12) m/s 。

3. 物理: 在物理学中也可以使用向量法来求得不同物理量之间关系。

例如: 已给定重力
g=-10N/(kg·m^2), 气流F_w = (0,-20N), 飞行时间t=30min ,飞行总距离S = (20000, -10000). 这时就可以根据 S = F_w t + 1 / 2 g t^2 条件推导出飞行者所施加地心引力
F_g = (-100000,-50000).。

向量在解决高中数学问题中的应用高中数学问题相对于其他阶段的数学问题而言具有一定的复杂性，并且高中数学知识也有着相应的连贯性特点，所以针对一个题目会存在着多种解答方法。

“向量”也可以用来解决数学中的许多问题，因此教师在进行教学、学生在进行题目解答时要发挥“向量”的作用价值，应用到各类数学问题中去。

一、教学策略中体现“向量”的价值意义向量在许多数学问题上能够作为有效的手段进行问题解决，因此向量在数学教学中是一个非常重要的环节，教师进行向量基础知识的教学中就应该重视对向量的价值意义进行解释，使得学生对向量的学习保持着一定的热情，从而能够重视向量知识的应用。

例如在学习“向量的加法”时，设a=（x，y），b=（x1，y1），向量满足着平行四边形法则和三角形法则，所以便可以得出AB+BC=AC，由此满足向量公式：a+b=（x+x1，y+y1），并且a+0=0+a=a。

这个知识点就是一个关于向量在平面图形中的应用问题，所以教师便可以让学生进行猜想：平面问题的解决是否可以用向量知识来解答呢。

这个问题就是“向量”价值意义的体现，促进学生在学习向量这个知识时能够结合其他知识来进行思考，推动知识的结合应用，充分把向量的价值意义能够从其他类型的知识体系中体现出来。

这也是教师教学策略的体现，让学生巩固数学知识，寻找解决途径。

又比如“数乘向量”的学习，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?Oλa=λ?a?O。

当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

需要追的是：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

这种数乘向量的知识也有着其重要的价值意义，规律中对λ的讨论就是一种严谨性的数学意识，这在高中数学学习中非常重要，因此向量知识也将此体现出来。

而向量特殊的方向性，对整个数学问题的讨论有着指导性作用，引导着学生更加注意到数学问题中的正负问题，这在其他类别的数学问题上也有着体现，所以向量的价值意义还在于对其他知识体系的映射，学生能够通过向量的学习类比其他数学问题，这便是非常重要的数学经验。

向量的两重性在解题中的应用
作者：李会玲
来源：《中学课程辅导·教学研究（下）》 2017年第1期
摘要：向量具有代数和几何的双重属性，是数形结合思想的高度体现，在解题过程中有灵活地运用，通过对几道题目的分析，希望能够为中学数学教师提供一些帮助。

关键词：向量；数形结合；几何法；坐标法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2017)01-0102
向量既有大小又有方向，可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

具有代数和几何的双重属性，引入高中课程，对课程结构以及解决问题的方式和方法产生了很大的冲击和影响，是数形结合思想的高度体现。

近几年，高考对向量的关注度也越来越高。

通过自己这几年对本章内容的教学实践和对相关试题的分析，越发感受到向量的两重性在解题中的巧妙应用。

下面，笔者通过几道题目的分析，希望能够为一线的中学数学教师提供一些帮助。

在解决有关向量的问题时，我们应该充分考虑到向量的特性，根据数形结合的思想，或利用向量定义，或利用向量的坐标运算，或利用数量积的几何意义，从不同角度创造性地解题，提升自己的思想。

(作者单位：陕西省西安市第十九中学710025)。

了解知识本质巧用向量解题——空间向量的应用易错点扫描郭喜红
【期刊名称】《中学生数理化（高二数学、高考数学）》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】在空间向量的学习中,有些同学不能正确地理解空间向量的基础知识,或在某些概念及公式的理解与应用上认识模糊,常常使解题思路走入误区,现举例分析如下。

【总页数】2页(P24-25)
【作者】郭喜红
【作者单位】江苏省江安高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.回归向量知识本质用非坐标形式向量解题
2.巧用空间直线向量的参数形式解题
3.空间向量的解题利器——平面法向量的性质应用
4.回归向量知识本质用坐标形式向量解题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。