高中数学复习专题讲座(第3讲)运用向量法解题的思路及方法

高中向量方法和解题技巧向量的定义和表示方法向量是有方向和大小的量。

在数学中，通常用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量通常用两个点表示，一个点表示向量的起点，另一个点表示向量的终点。

向量的起点通常都是原点，所以我们可以用终点的坐标来表示一个向量。

以二维平面为例，一个向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

同样地，在三维空间中，一个向量可以表示为 (x, y, z)。

向量的运算向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

具体来说，对于两个向量 A 和 B，其加法运算的结果是一个新的向量 C，表示为 C = A + B。

向量加法的运算规则如下：- 如果两个向量的方向相同，那么它们的加法结果是两个向量大小的和，并且方向与原来的向量相同。

- 如果两个向量的方向相反，那么它们的加法结果是两个向量大小的差，并且方向与绝对值较大的向量相同。

向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。

具体来说，对于一个向量 A 和一个标量 k，它们的数量乘法运算的结果是一个新的向量 B，表示为 B = kA。

向量数量乘法的运算规则如下：- 如果标量 k 大于 1，那么新向量 B 的大小是向量 A 大小的 k 倍，方向与原向量相同。

- 如果标量 k 等于 1，那么新向量 B 与原向量 A 相等。

- 如果标量 k 在 0 和 1 之间，那么新向量 B 的大小是原向量 A大小的 k 倍，方向与原向量相反。

- 如果标量 k 等于 0，那么新向量 B 的大小为 0，方向没有定义。

向量的解题技巧利用向量相等解方程在解方程的过程中，我们可以利用向量的性质来简化计算。

具体来说，如果两个向量相等，那么它们的分量也相等。

因此，我们可以将方程表示为两个向量相等的形式，然后比较各个分量，从而求解方程。

利用向量平行解问题在解决一些几何问题时，我们可以利用向量的平行性质。

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。

下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。

例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。

解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。

设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。

根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。

由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。

所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。

通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。

然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。

再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。

例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。

解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。

则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。

由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。

直线l的法向量为(1,-2)。

因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。

将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。

综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。

但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。

同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。

合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。

C 1D 1B 1A 1C D B A高中数学复习专题讲座运用向量法解题的思路及方法 高考要求平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐步加大了对这部分内容的考查力度，本节内容要紧是关心考生运用向量法来分析，解决一些相关咨询题 重难点归纳1 解决关于向量咨询题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 二是向量的坐标运算表达了数与形互相转化和紧密结合的思想2 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等咨询题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行咨询题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的咨询题3 用空间向量解决立体几何咨询题一样可按以下过程进行摸索(1)要解决的咨询题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否？假设未知，是否可用条件转化成的向量直截了当表示？(3)所需要的向量假设不能直截了当用条件转化成的向量表示，那么它们分不最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由条件转化的向量有何关系？(4)如何样对差不多表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解例1如图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD (1)求证 C 1C ⊥BD (2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明命题意图 此题要紧考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等咨询题以及对立体几何图形的解读能力知识依靠 解答此题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直咨询题，这就使几何咨询题代数化，使繁琐的论证变得简单错解分析 此题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再确实是要清晰条件中提供的角与向量夹角的区不与联系C 1D 1B 1A 1C DB A 技巧与方法 利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 (1)证明 设CD =a , CB =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ，因此 -==a －b ，CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD(2)解 假设使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC AA C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD 例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分不是A 1B 1、A 1A 的中点 (1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值； (3)求证 A 1B ⊥C 1M 命题意图 此题要紧考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何咨询题知识依靠 解答此题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标错解分析 此题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法 能够先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方一直找出其他的点的坐标 M NC 1B 1A 1CB Ao xz y(1)解 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz 依题意得 B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=)01()10()01(222=-+-+-(2)解 依题意得 A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2) 11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+- 5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB.1030563||||,cos 111111=⋅=⋅>=<∴CB BC CB BA (3)证明 依题意得 C 1(0，0，2)，M (2,21,21) )2,1,1(),0,21,21(11--==A C ∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅ ∴A 1B ⊥C 1M例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求 (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值 解 (1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM 5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++= D 点分的比为2 ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=AD (3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8〕，BC =(2，－5〕1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅⋅=∴BC BA BCBA ABC 学生巩固练习1 设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，那么四边形ABCD 为( )A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形2 △ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,| b |=5,那么a 与b 的夹角是( )A 30°B －150°C 150°D 30°或150°3 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，那么向量a =_________4 等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的两个平面成60°角，假设AB =16 cm,AC =17 cm,那么CD =_________5 如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c6 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标；(2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角 7 两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)假设点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ8 E 、F 、G 、H 分不是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面；P ED A(2)用向量法证明 BD ∥平面EFGH ； (3)设M 是EG 和FH 的交点， 求证 对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++= 参考答案 1 解析 AB =(1，2〕，DC =(1，2〕，∴AB =DC ，∴AB ∥DC ， 又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3〕，|AC |=34， ∴|AB |≠|AC },∴ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1〕，∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，应选D 答案 D 2 解析 ∵21415=·3·5sin α得sin α=21,那么α=30°或α=150° 又∵a ·b ＜0,∴α=150° 答案 C 3 (2,0) 4 13 cm 5 解 ∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m ) a +m μb ①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ),∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n ) b②由①②，得(1－m 〕a +μm b =λn a +(1－n ) b ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③ 解方程组③得 m =λμμλμλ--=--11,11n代入①式得c =(1－m ) a +m μb =πμ-11［λ(1-μ) a +μ(1-λ)b ］ 6 解 (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以通过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系 由，得A (0，0，0〕，B (0，a ,0〕,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a ) (2)取A 1B 1的中点M ，因此有M (0，2,2a a 〕，连AM ，MC 1， 有1MC =(－23a ,0,0〕,且=(0，a ,0〕,1AA =(0,02a ) 由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，因此M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角确实是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角 ∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a a AM a a a =- a a a AC 49240221=++=⋅∴ a a a a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴a a a AC 因此AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30° 7 解 (1)设P (x ,y 〕,由M (－1，0〕，N (1，0〕得，PM =－=(－1－x ,－y 〕,-= =(1－x ,－y ),=－=(2,0), ∴·=2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,⋅ =2(1－x ) 因此，⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 因此，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(2)点P 的坐标为(x 0,y 0)220012,||||(1PM PN x y PM PN⋅=+-=⋅=+ 0(42)(4x =+-=cos ||4PM PN PM PN θ⋅∴==⋅ 010cos 1,0,23x πθθ<≤∴<≤≤< ||3cos sin tan ,411cos 1sin 020202y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8 证明 (1〕连结BG ，那么 +=++=++=+=)(21 由共面向量定理的推论知 E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21=〕 (2〕因为21)(212121=-=-=-= 因此EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH因此BD ∥平面EFGH(3〕连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2〕知21=，同理21=，因此=，EH FG ,因此EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，因此 1111111()[()][()]2222222OM OE OG OE OG OA OB OC OD =+=+=+++ 1().4OA OB OC OD =+++ 课前后备注。

第3讲立体几何中的向量方法[真题再现]1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解］(1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。

（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由（1)得，PH⊥平面ABFD。

以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.由（1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝错误!，EH＝错误!.则H（0，0,0），P错误!，D错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!.又错误!为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明:PO⊥平面ABC；(2）若点M在棱BC上，且二面角M。

P A-C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值[解］(1）证明：因为P A＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.如图，连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB ⊥AC,OB＝错误!AC＝2。

由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。

xyz。

由已知得O（0，0,0）,B（2，0，0)，A（0,－2，0）,C(0,2,0)，P(0,0，2错误!），错误!＝（0,2,2错误!)．取平面P AC的一个法向量错误!＝(2，0，0）．设M (a ，2－a,0）（0≤a ≤2)，则错误!＝(a ，4－a,0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ,y ,z ）．由AP ，→·n ＝0，错误!·n ＝0得错误!可取y ＝错误!a ,得平面P AM 的一个法向量为n ＝(错误!（a －4），错误!a ，－a ）,所以cos 错误!，n ＝错误!。

高中数学向量坐标题解题方法高中数学向量坐标解题方法在高中数学学习中，向量坐标是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还与代数和物理等学科有密切的联系。

掌握向量坐标的解题方法，对于提高数学成绩和解决实际问题非常有帮助。

本文将从基础概念、解题步骤和应用举例三个方面，详细介绍高中数学向量坐标解题方法。

一、基础概念在解题前，首先需要了解向量坐标的基础概念。

向量坐标通常表示为(x, y)，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

通过这种表示方法，我们可以将向量的运算转化为代数运算，方便求解。

二、解题步骤解题时，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定向量的起点和终点：根据题目给出的信息，确定向量的起点和终点，并将其表示为坐标点。

2. 求取向量的坐标差：将终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标差。

3. 根据题目要求进行运算：根据题目要求，进行向量的加减、数乘、模长计算等运算。

4. 结合几何意义进行分析：根据向量的几何意义，分析题目中的问题，得出结论。

三、应用举例下面通过具体的题目来说明向量坐标解题方法。

例1：已知点A(1, 2)和点B(4, 5)，求向量AB的坐标。

解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A(1, 2)和B(4, 5)。

然后求取向量的坐标差，即(4-1, 5-2)，得到向量AB的坐标为(3, 3)。

例2：已知向量AB的坐标为(2, 3)，求向量BA的坐标。

解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A和B。

由于向量BA 与向量AB的坐标相反，所以向量BA的坐标为(-2, -3)。

例3：已知向量AB的坐标为(3, 4)，求向量AB的模长。

解析：根据解题步骤，首先确定向量的起点和终点，即A和B。

然后求取向量的坐标差，即(3, 4)，得到向量AB的坐标。

根据向量的模长公式，模长等于坐标差的平方和的平方根。

所以向量AB的模长为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧数学中的向量与平面解析几何是高中数学中的重要内容，也是学生们常常感到困惑的部分。

在本文中，我将重点介绍向量与平面解析几何的应用及解题技巧，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、向量的应用1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是向量的基本运算，也是解决向量问题的基础。

在解题过程中，我们常常需要将问题转化为向量问题，并利用向量的加法与减法进行求解。

例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量c = 2a - 3b的分量表示。

解题思路：首先，根据向量的加法与减法，我们可以得到c = 2a - 3b = 2(3i + 4j) - 3(2i - 5j) = (6i + 8j) - (6i - 15j) = 21j。

因此，向量c的分量表示为0i + 21j。

2. 向量的数量积与向量的夹角向量的数量积与向量的夹角是向量的重要性质，也是解决向量问题的关键。

在解题过程中，我们常常需要利用向量的数量积与向量的夹角进行计算。

例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量a与向量b的数量积及夹角。

解题思路：首先，根据向量的数量积的定义，我们可以得到a·b = 3*2 + 4*(-5)= -14。

然后，根据向量的数量积与向量的夹角的关系，我们可以得到cosθ = (a·b)/(|a|*|b|) = -14/(√(3^2+4^2)*√(2^2+(-5)^2)) = -14/(√25*√29) = -14/(5*√29)。

因此，向量a与向量b的数量积为-14，夹角θ的cos值为-14/(5*√29)。

二、平面解析几何的应用1. 平面直线的方程平面直线的方程是平面解析几何的基本内容，也是解决平面直线问题的关键。

在解题过程中，我们常常需要根据已知条件建立平面直线的方程，并利用方程进行求解。

例如，已知平面直线l过点A(1, 2, 3)且与向量a = i + 2j + 3k垂直，求平面直线l的方程。

1题目高中数学复习专题讲座运用向量法解题高考要求平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题重难点归纳1解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解例1如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD(1)求证C1C⊥BD(2)当1CCCD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明命题意图本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力知识依托解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单错解分析本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法利用a⊥ba·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可(1)证明 设C B =a , C D =b ,1C C c = ,依题意，|a|=|b |，C D 、C B 、1C C中两两所成夹角为θ，于是DB =a －b ，1CC BD =c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c|·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD(2)解 若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由1111()()CA C D CA AA CD CC ⋅=+⋅-=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c|2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c|·cos θ=0,得 当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c|时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点(1)求B N的长；(2)求cos<11,BA CB>的值；(3)求证 A 1B ⊥C 1M 命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题知识依托 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标错解分析 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法 可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标(1)解 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz 依题意得 B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|B N|=)01()10()01(222=-+-+-(2)解 依题意得 A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) ∴1BA =1(1,1,2),CB -=(0，1，2)11BA CB ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3 |1BA|=6)02()10()01(222=-+-+-1||CB == 111111cos ,10||||BA CB BA CB BC CB ⋅∴<>===⋅(3)证明 依题意得 C 1(0，0，2)，M (2,21,21)1111(,,0),(1,1,2)22C M A B ==--∴111111(1)1(2)00,,22A B C M A B C M ⋅=-⨯+⨯+-⨯=∴⊥∴A 1B ⊥C 1M例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求 (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值解 (1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+-||2AM ∴==(2)||10,||5AB AC ====D 点分BC 的比为2∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y||AD ==(3)∠ABC 是BA 与B C 的夹角，而BA=(6，8），B C =(2，－5）2629cos 145||||BA BC ABC BA BC ⋅∴====⋅学生巩固练习1 设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形2 已知△ABC 中， AB =a ，A C =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a|=3,|b |=5,则a与b 的夹角是( )A 30°B －150°C 150°D 30°或150°3 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________4 等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的两个平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________5 如图，在△ABC 中，设AB =a ，A C =b ，AP =c , AD =λa,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c6 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角7 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使,,M P M N PM PN N M N P⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与P N的夹角，求tan θ8 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的 中点(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明 BD ∥平面EFGH ； (3)设M 是EG 和FH 的交点，求证 对空间任一点O ，有1(4O M O A O B O C O D =+++参考答案1 解析 AB =(1，2），D C =(1，2），∴AB =D C ，∴AB∥D C ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB|=5，A C =(5，3），|A C |=34，∴|AB|≠|A C },∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形； 又B C =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于B C ，∴ABCD 也不是矩形，故选D 答案 D2 解析 ∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°又∵a·b ＜0,∴α=150°答案 C3 (2,0)4 13 cm5 解 ∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb－a ),∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m ) a+m μb ①又C P 与C D 共线，∴C P =n C D =n (AD －A C )=n (λa－b ), ∴AP =A C +C P =b +n (λa －b )=n λa+(1－n ) b ② 由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a+(1－n ) b∵a与b 不共线，∴110110m a n m m n n m λλμμ-=+-=⎧⎧⎨⎨=-+-=⎩⎩即 ③解方程组③得 m =λμμλμλ--=--11,11n代入①式得c =(1－m ) a+m μb =πμ-11［λ(1-μ) a+μ(1-λ)b ］6 解 (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a )(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1M C =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1M C ·AB=0，1M C ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角∵1AC=(,),(0,,),222a a a A M -=22190244a AC AM a a ∴⋅=++=13||,||2AC AM a ====而2194cos ,322aAC AM a∴<>==⨯所以1AC AM与所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°7 解 (1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， PM =－M P=(－1－x ,－y ）,PN N P =-=(1－x ,－y ), M N =－N M=(2,0),∴M P ·M N =2(1+x ), PM ·P N=x 2+y 2－1,N M N P ⋅ =2(1－x )于是，,,M P M N PM PN N M N P ⋅⋅⋅是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(2)点P 的坐标为(x 0,y 0)220012,||||PM PN x y PM PN ⋅=+-=⋅===cos ||PM PN PM PNθ⋅∴==⋅010cos 1,0,23x πθθ<≤∴<≤≤<||3cos sin tan ,411cos 1sin 0222y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ8 证明 (1）连结BG ，则 1()2EG EB BG EB BC BD EB BF EH EF EH =+=++=++=+由共面向量定理的推论知 E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD=EH ）(2）因为1111()2222EH AH AE AD AB AD AB BD =-=-=-=所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知12EH BD =，同理12FG BD = ，所以EH FG = ，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以 1111111()[()][()]2222222OM OE OG OE OG OA OB OC OD =+=+=+++ 1().4O A O B O C O D=+++课前后备注。

高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。

（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。

例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ）:A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0=B. a ⊙b = b ⊙aC.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)bD. (a ⊙b )2222()a b a b +⋅= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性)二、与平面向量数量积有关的问题解题技巧：与平面向量数量积有关的问题1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥⇔=⇔+=其中、均为非零向量。

这一条件不能忽视。

2．求长度问题：2||a a a =，特别地2211221212(,),(,),||()()A x y B x y AB x x y y =-+-则。

高中数学空间向量解题技巧在高中数学中，空间向量是一个重要的概念，也是解题中常常遇到的题型之一。

掌握好空间向量的解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以提高解题的效率和准确性。

本文将介绍一些高中数学空间向量解题的技巧，希望能对高中学生和他们的父母有所帮助。

一、向量的表示和运算在解空间向量的题目时，首先要学会向量的表示和运算。

向量通常用有序数组表示，例如向量a可以表示为a=(a1,a2,a3)。

向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。

以题目为例，假设有两个向量a=(1,2,3)和b=(4,5,6)，求它们的和向量c=a+b。

解题思路：根据向量的加法规则，将两个向量的对应分量相加即可得到和向量。

所以c=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)。

通过这个例子，我们可以看到向量的加法运算是将两个向量的对应分量相加，这是解题中常见的一种运算方式。

二、向量的模和方向在解题过程中，我们还需要了解向量的模和方向。

向量的模表示向量的长度，用数值表示，通常用符号表示，例如|a|表示向量a的模。

向量的方向表示向量的指向，可以用角度或方向向量表示。

以题目为例，假设有一个向量a=(3,4,5)，求它的模和方向。

解题思路：根据向量的模的定义，向量的模等于向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。

所以|a| = √(3^2+4^2+5^2) = √(9+16+25) = √50。

向量的方向可以通过计算向量的方向向量得到，即方向向量=(a1/|a|,a2/|a|,a3/|a|)。

所以方向向量=(3/√50,4/√50,5/√50)。

通过这个例子，我们可以看到向量的模和方向是解题中常常涉及的内容。

在解题时，我们可以利用勾股定理计算向量的模，利用向量的分量除以模来计算方向向量。

三、向量的共线和垂直在解题过程中，我们还需要了解向量的共线和垂直的概念。

向量a和向量b共线表示它们的方向相同或相反，可以用向量的比例关系表示。