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向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。
o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。
这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。
需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。
具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。
向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。
例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。
向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。
二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。
例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。
2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。
例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。
三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。
标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。
2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。
向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。
五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。
2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用和许多重要的性质。
接下来，我将结合向量的定义、基本运算、向量积、应用与公式等方面，进行一篇总结文章。
一、向量的定义与表示向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对或列矩阵表示。
通常记作：A = (a1, a2, ..., an) 或 A = [a1, a2, ..., an]向量的大小和方向分别由模和方向角表示，其中模表示向量的长度，方向角表示向量与某一坐标轴的夹角。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，结果仍为一个向量。
表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，结果仍为一个向量。
表示为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，结果仍为一个向量。
表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k为实数。
4. 内积向量的内积也叫点乘，表示为A·B，定义为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作 ||A||，定义为：||A|| = √(a1² + a2² + ... + an²)三、向量积向量积又叫叉乘，是在三维空间中定义的二元运算。
向量积的结果是一个新的向量，其大小为原向量所构成的平行四边形的面积，并且垂直于原向量所在的平面。
表示为A × B，定义为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)四、向量的应用1. 物理学中的力和速度在物理学中，力和速度常常用向量表示。
力是有大小和方向的，所以可以看作是一个向量。
向量的概念与运算向量是数学中一种重要的数学对象，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍向量的概念和基本运算方法，以及在实际问题中的应用。
一、向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量。
向量通常用有序数对或有序数组表示，如(a, b)或[a, b]。
二、向量表示与性质1. 行向量与列向量向量可以表示为一行或一列数据，分别称为行向量和列向量。
行向量通常写作[a, b, c]，列向量通常写作(a, b, c)。
2. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用|v|表示，计算公式为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)，其中a、b、c为向量的坐标。
3. 向量的方向角向量的方向角表示向量与某一坐标轴之间的夹角。
一般用α、β、γ分别表示向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。
4. 向量的相等向量相等表示两个向量在大小和方向上完全相同。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量对应坐标分别相加得到一个新的向量。
即：v + w = (a + x, b + y, c + z)。
2. 向量的减法向量的减法表示将两个向量对应坐标分别相减得到一个新的向量。
即：v - w = (a - x, b - y, c - z)。
3. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量的每个坐标乘以一个常数得到一个新的向量。
即：k * v = (ka, kb, kc)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，表示将两个向量对应坐标分别相乘后相加得到一个数值。
即：v · w = a * x + b * y + c * z。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，表示将两个向量进行叉乘得到一个新的向量。
即：v × w = (b * z - c * y, c * x - a * z, a * y - b * x)。
四、向量的应用向量广泛应用于各个领域，如以下几个示例：1. 物理学中的力学在物理学中，向量常用于描述力的大小和方向。
向量的定义与基本运算向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。
本文将介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相关知识。
一、向量的定义在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。
通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。
向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。
大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
二、向量的表示形式向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。
2. 分量表示向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。
在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。
三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。
2. 向量的减法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。
向量公式汇总一、向量的基本运算1.向量的加法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的和可以表示为a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)。
2.向量的减法：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的差可以表示为a-b=(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃)。
3.向量的数量积（点积）：若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则向量a和b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
4.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(k·a)·b=k·(a·b)，其中k为常数-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c5.向量的向量积（叉积）：若有向量a=(a₁,a₂,a₃)和b=(b₁,b₂,b₃)，则向量a和b的向量积可以表示为a×b=(a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁)。
6.向量的向量积的性质：-反交换律：a×b=-b×a-结合律：(k·a)×b=k·(a×b)，其中k为常数-分配律：(a+b)×c=a×c+b×c二、向量的模和方向7.向量的模：向量a=(a₁,a₂,a₃)的模可以表示为，a，=√(a₁²+a₂²+a₃²)。
8.单位向量：向量的模为1的向量称为单位向量。
对于向量a，若其模为1，则该向量为单位向量。
9.方向余弦：若有向量a=(a₁, a₂, a₃)，则它的方向余弦可以表示为cosα=a₁/，a，, cosβ=a₂/，a，, cosγ=a₃/，a。
三、向量的坐标表示10.点P的坐标表示：若P(x,y)为平面直角坐标系中的一点，则点P的坐标向量可以表示为P=(x,y)。
向量及向量的基本运算一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．三、教学过程：（一）主要知识： 1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。
向量的大小即向量的模（长度），记作||。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。
记作-a。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b BC a AB==,，则a +b =BC AB +=AC 。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。
记作a-,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a-+=-。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μa )=(λμ) a②(λ+μ) a =λa +μa③λ(a +b )=λa+λb 5)两个向量共线定理向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
6)平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
（二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全． （三）例题分析：例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a=； (7)若b a //，c b //，则c a// (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A(9)已知A （3，7），B （5，2），将AB 按向量a =（1，2）平移后得到的向量B A '的坐标为（3，－3）(10）b a =的充要条件是||||b a=且b a //；解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量ca ,也有//a，//。
(8) 不正确, 如图≠=,A （9）不正确，∵a =（1，2），∴平移公式是⎩⎨⎧+='+='21y y x x ，将A （3，7），B （5，2）分别代入可求得)4,6(),9,4(B A ''，故B A ''=（6,4）－（4,9）=（2,－5）。
（10）不正确，当b a //，且方向相反时，即使||||b a=，也不能得到b a =；[点评]正确理解向量的有关概念例2、如图平行四边形ABCD 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设MN ON OM b a b OB a OA ,,,,,表示试用==解：()()BA BC BM -=-==∴==616161,6131 BM OM 6561+=+=∴ . OD CD ON CD CN 3234,31==∴=()()+=+==∴323232 OM ON 6121-=-=∴[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示练习: △ABC中,.,//,32N DE BC AM E AC BC DE 于边上中线交是于交=,,b AC a AB ==设用AN AM DN DE BC AE b a ,,,,,,分别表示向量.如图 解：()()-=-=-==31,32,,32 ()()AM +=+=31,21例3、一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速．解：设表示垂直于对岸的速度,表示水流速度,则为实际速度航行时间为4km ÷2km/h=2h 在△ABC3242===所以, 河水的流速为h km /32[点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运用平行四边形和三角形法则例4、在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，用向量的方法证明： DE 平行且等于0.5BC分析:要证明DE 平行且等于0.5BC,只要21= 解：如图-=-=, 又D,E 为中点21,21==∴ 即()2121=-=-= 所以DE 平行且等于210.5BC[点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了 练习: 已知G 是△ABC 的重心，求证：0=++证明：以向量,为邻边作平行四边形GBEC ，则2==+，又由G 为△ABC 的重心知GD AG 2=，从而GD GA 2-=，∴022=+-=++GD GD GC GB GA 。
例5、设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值 分析:使BD AB λ=解：214e e CB CD BD -=-=, 使BD AB λ=)4(22121e e e k e -=+∴λ 得84,2-=⇒-==k k λλ[点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决例3． 经过OAB ∆重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB ==，,m n R ∈，求11n m+的值。
解：设,OA a OB b ==，则1()3OG a b =+，PQ nb ma =-G ∙Q O BPA11()33PG OG OP m a b =-=-+由,,P G Q 共线，得存在实数λ，使得PQ PG λ=，即11()33nb ma m a b λλ-=-+从而1()313m m n λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去λ得：113n m +=（四）巩固练习：1．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．解：（1）1122eDC AB ==（2）211122BC BA AC AB AC AD DC AB AD AB e e =+=-+=+-=-=- （3）1211114244MN MD DA AN AB AD AB AB AD e e =++=--+=-=-2． （1）设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果12121223,623,48AB e e BC e e CD e e =+=+=-, 求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知12122,3,2A B e k e C B e e C D e e =+=+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值.（1）证明：因为1212623,48BC e e CD e e =+=- 所以121015BD e e =+ 又因为1223AB e e =+ 得5BD AB =即//BD AB又因为公共点B所以,,A B D 三点共线；（2）解：121221324DB CB CD e e e e e e =-=+-+=-122AB e ke =+ 因为,,A B D 共线所以//AB DB 设DB AB λ=AM D CNB所以212kλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩即12k=-；四、小结：1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量2）向量加法减法:3)实数与向量的积4)两个向量共线定理5)平面向量的基本定理, 基底五、作业：。
