交通流动力学模型

交通流流体力学模型交通流流体力学模型是研究交通流动的数学模型，通过对交通流的运动规律和特性进行建模和分析，可以帮助我们更好地理解交通系统的运行机理，并提供科学的决策依据。

在交通流流体力学模型中，我们将交通流看作是一种流体，交通参与者（如车辆、行人等）相当于流体粒子，而道路网络则相当于容器。

通过对流体力学的研究方法和理论的运用，可以对交通流的运动进行建模和仿真，从而揭示交通流的行为模式和规律。

交通流流体力学模型主要包括两个方面的内容：宏观模型和微观模型。

宏观模型主要关注整体交通流的运动特性和性能，通过对交通流的密度、速度和流量等宏观指标的研究，来描述交通流的整体行为。

而微观模型则更加注重个体交通参与者的行为和决策过程，通过对车辆运动的微观规则和交互行为的建模，来模拟交通流的微观行为。

在交通流流体力学模型中，我们可以使用诸如流量-密度关系、速度-密度关系和流量-速度关系等基本规律来描述交通流的运动特性。

例如，根据流量-密度关系，当道路上的车辆密度增加时，流量也会增加，但当密度达到一定程度时，流量会出现饱和现象，即流量不再增加。

这种关系可以通过实测数据和统计分析得到，并用数学模型进行描述。

交通流流体力学模型还可以考虑一些特殊情况和因素的影响，如交通信号灯、交叉口的影响等。

通过对这些因素的建模和分析，可以预测交通流的运动状态，并为交通管理和规划提供科学依据。

例如，可以通过模型来优化信号灯的配时方案，以减少交通拥堵和提高交通效率。

交通流流体力学模型的研究对于交通管理和规划具有重要的意义。

通过对交通流动的建模和分析，可以帮助我们更好地理解交通系统的运行机理，为交通管理者提供科学的决策依据。

同时，交通流流体力学模型也可以用来评估交通政策和措施的效果，从而指导交通规划的制定和实施。

交通流流体力学模型是研究交通流动的重要工具和方法，通过对交通流的运动规律和特性进行建模和分析，可以帮助我们更好地理解交通系统的运行机理，并提供科学的决策依据。

交通流模型及其应用研究交通是现代社会的重要组成部分，它关系到人们的出行、货物的运输以及城市的发展。

而交通流模型作为研究交通现象和规律的重要工具，对于优化交通管理、提高交通效率、保障交通安全具有重要意义。

交通流模型的类型多种多样，每种模型都有其特点和适用范围。

其中，宏观交通流模型主要从整体上描述交通流的特性，例如流量、速度和密度之间的关系。

常见的宏观模型有 LighthillWhithamRichards （LWR）模型，它基于流体动力学的原理，将交通流类比为流体的流动。

这种模型对于研究大规模交通网络的整体性能较为有效，能够帮助交通规划者了解整个区域的交通流量分布和变化趋势。

微观交通流模型则更加关注单个车辆的行为和相互作用。

比如，元胞自动机模型将道路划分为一个个小单元格，车辆在单元格中根据特定的规则移动。

这种模型能够较为直观地模拟车辆的加减速、换道等行为，对于分析局部交通现象，如路口的交通冲突、拥堵的形成和消散等具有很大的帮助。

还有一种中观交通流模型，它介于宏观和微观之间，既能反映交通流的总体特征，又能一定程度上考虑车辆的个体差异。

交通流模型在实际应用中发挥着重要作用。

在交通规划方面，通过建立交通流模型，可以预测未来交通需求的增长趋势，从而合理规划道路网络的布局和建设。

例如，在新城区的开发中，可以利用模型评估不同道路设计方案下的交通运行状况，选择最优的方案，以避免出现交通拥堵等问题。

在交通管理中，交通流模型可以为信号灯控制提供依据。

根据实时的交通流量和速度数据，结合模型的预测结果，动态调整信号灯的时长，优化路口的通行能力，减少车辆的等待时间和排队长度。

在智能交通系统（ITS）中，交通流模型也是不可或缺的一部分。

例如，在交通诱导系统中，模型可以预测不同路径上的交通状况，为出行者提供最优的出行路线建议，从而实现交通流在道路网络中的合理分配。

此外，交通流模型对于交通安全的研究也具有重要意义。

通过分析交通流的变化规律，可以识别出容易发生事故的路段和时段，从而采取相应的措施，如增设警示标志、加强巡逻等，降低事故发生的概率。

动态交通流模型及其应用随着城市化进程的加速，道路交通变得越来越复杂。

交通流问题成为了影响城市交通发展和交通系统运营的重要问题。

针对这一问题，动态交通流模型被应用于交通规划和交通管理中，成为研究交通问题的重要工具。

一、动态交通流模型的概念动态交通流模型是一个数学模型，用于描述道路交通系统中的交通流。

它考虑了交通流的时间、空间和速度变化，在实时的交通管理和交通规划中得到了广泛的应用。

在动态交通流模型中，流的概念是最基本的。

交通流中的车辆可以被认为是一组类似粒子的实体，每辆车都有自己的位置和速度。

二、动态交通流模型的分类根据交通流的属性和特性，动态交通流模型可以分为微观模型和宏观模型。

1. 微观模型微观模型又称为个体交通流模型，主要用于研究单个车辆的动态变化。

它考虑了个体车辆行驶的变化、加速和减速，通过模拟单位时间内车辆的位置、速度、加速度等物理量的变化，来描述车辆的行驶状态和行驶过程。

常见的微观模型有追随模型、蛇形运动模型、交通规则模型等。

2. 宏观模型宏观模型主要用于研究道路交通流的宏观特性，如道路负荷、流量和密度的变化。

它采用统计学方法研究交通流的总体变化规律，并通过对交通流的总体运动状态进行宏观描述。

宏观模型的研究对象是交通流，而不是单个车辆；宏观模型仅仅关心交通流的总体规律，并没有考虑交通流中单个车辆的动态变化。

三、动态交通流模型的应用动态交通流模型被广泛应用于城市交通管理和交通规划中。

它可以模拟交通流的变化规律，从而为交通管理和交通规划提供科学依据。

1. 交通管理动态交通流模型对交通管理扮演了重要的角色。

它可以预测交通管制策略的效果，优化路线和信号控制方案。

在城市交通拥堵的情况下，交通管制策略可以通过交通流模拟来评估其效果。

针对交通拥堵的原因，设计适当的信号控制和路线规划将会极大地缓解交通拥堵情况。

2. 交通规划动态交通流模型可以用于交通规划中。

交通规划是将地面交通网络和城市发展战略相结合的过程。

智能驾驶员模型是指采用先进的计算机技术和人工智能算法，使汽车能够像人类驾驶员一样感知和决策，从而实现自动驾驶。

在智能驾驶员模型中，IDM（Intelligent Driver Model）是一种基于交通流动力学理论的模型，用于描述车辆在道路上的运行行为，并在自动驾驶系统中发挥重要作用。

1. IDM模型的基本原理IDM模型是由D. Helbing和M. Treiber于1999年提出的，它基于微观交通流动力学理论，用于描述车辆与车辆之间的相互作用和影响。

IDM模型的基本原理包括以下几点：- 车辆之间存在相互影响和作用力，主要表现为跟驰效应和交通行为的调整。

- 车辆的加速度受到车辆之间的距离和速度差的影响，根据交通流动力学理论，车辆之间的相互作用可以用力学公式来描述。

- IDM模型将车辆间的相互作用建模为一种加速度函数，通过该函数可以计算车辆的加速度，并据此进行自动驾驶控制。

2. IDM模型的数学表达IDM模型的数学表达主要包括以下几个方面：- 车辆的加速度受到期望速度、车辆当前速度、前车距离以及速度差的影响。

根据IDM模型的描述，加速度函数可以用数学公式来表示。

- IDM模型中的参数包括期望速度、舒适加速度、期望车头距离等，这些参数的选择对于模型的精确度和鲁棒性有重要影响。

- 通过数学推导和理论分析，可以得到IDM模型的具体数学表达式。

这些数学表达式通常以微分方程或差分方程的形式呈现，并包括车辆的位置、速度、加速度等变量。

3. IDM模型的推导过程IDM模型的推导过程包括以下几个步骤：- 基于交通流动力学理论和力学原理，建立车辆之间的相互作用和加速度函数的数学模型。

- 根据车辆之间的相互作用和影响，推导出加速度函数的数学表达式。

- 通过理论分析和模型假设，确定IDM模型中的参数和变量，包括期望速度、舒适加速度、期望车头距离等。

- 将参数和变量代入加速度函数的数学表达式中，得到IDM模型的具体数学表达式。

交通流动力学模型与控制策略研究进展近年来，随着城市化进程的加快和交通拥堵问题的日益突出，交通流动力学模型与控制策略的研究成为了学术界和工程实践的热点。

交通流动力学模型是通过对交通流动规律的研究和建模，以及对交通控制策略的优化，来改善交通拥堵状况和提高道路交通效率的一种方法。

交通流动力学模型的研究主要包括宏观模型、微观模型和混合模型三个方面。

宏观模型主要研究交通流量与道路容量之间的关系，通过对整个道路网络的交通流动进行宏观分析和预测。

微观模型则更加注重对交通流动细节的研究，通过对车辆行驶轨迹和车辆之间的交互作用进行建模，来揭示交通流动的微观机制。

混合模型则是将宏观模型和微观模型相结合，以更好地描述和预测交通流动的特性。

在交通控制策略方面，传统的交通信号控制方法主要基于固定时间间隔或固定周期进行信号配时，无法适应交通流量的变化和道路状况的实时变化。

因此，研究者们提出了基于交通流动力学模型的自适应信号控制方法，通过实时监测交通流量和道路状况，动态调整信号配时策略，以提高交通流动的效率和道路的通行能力。

近年来，随着智能交通技术的发展，交通流动力学模型与控制策略的研究也取得了一系列重要进展。

首先，研究者们提出了基于深度学习和机器学习的交通流预测方法，通过对历史交通数据的分析和建模，可以准确地预测未来交通流量的变化趋势，从而为交通控制策略的制定提供了依据。

其次，研究者们提出了基于多智能体系统的交通流动力学模型和控制策略。

传统的交通流动力学模型往往将车辆视为单个实体进行建模，忽略了车辆之间的交互作用。

而多智能体系统模型则将车辆视为多个智能体，通过对车辆之间的合作和竞争关系进行建模，可以更准确地描述和预测交通流动的行为。

此外，研究者们还提出了基于强化学习的交通流动力学模型和控制策略。

强化学习是一种通过试错学习来优化决策策略的方法，可以根据交通流动的反馈信息来动态调整控制策略，以实现交通流动的最优化。

综上所述，交通流动力学模型与控制策略的研究在解决交通拥堵问题和提高道路交通效率方面具有重要意义。

第3卷第4期 上海大学学报(自然科学版) V o l.3,N o.4 1997年8月 JOU RNAL O F SHAN GHA IUN I V ER S IT Y(NA TU RAL SC IEN CE) A ug.1997・专题综述・交通流的动力学模型与数值模拟Ξ冯苏苇(上海市应用数学和力学研究所)提　要　随着经济的持续增长,交通问题已成为困扰我国城市发展的瓶颈之一.为了更好地进行城市交通规划与控制,亟待发展一种有效描述国内低速混合交通流动的数学力学模型.本文对国内外交通流理论中动力学研究的发展概况做一综述,详细介绍各流派理论和研究方法.关键词　交通流;动力学研究;运动学模型;动力学模型;动力论模型中图法分类号　TB1260　引 言交通流理论是一门运用物理学和数学工具描述交通特性的科学.与之相关的第一篇论文可追溯到1933年,K inzer首次提出并论述了Po isson分布应用于交通的可能性.早期的交通流研究主要是概率论方法.二战之后的经济复苏和工业发展,推动了交通流理论在50年代的飞跃.这个时期交通流研究除了车辆跟驰理论和排队理论外,最引人注目的是L igh th ill和W h itham(1955年)在名著《论动力波》中提出的交通波理论.七十年代也是交通流理论大发展的时期,以车辆跟驰思想为立足点的交通流动力学模型开始崭露头角,为交通流动力学研究揭开了崭新的一页,其中以1971年Payne提出的动力学模型及应用程序FR EFLO最为有名.目前,交通流理论研究呈现出百家争鸣的局面,细观上为阻塞疏导、交通分配,宏观上为交通控制和规划、交通的动力分析提供理论依据.由于交通现象中集体特征夹杂着个体行为而表现出的随机性和复杂性,加之研究者出发点、兴趣点以及立足点的不一致,使得交通流建模中,至今还没有一种统一的理论,能证明它优越于别的方法.交通流的动力分析模型,可以分为运动学模型、动力学模型和动力论模型.运动学模型是以交通波理论为代表的单方程模型;动力学模型不但考虑了车辆连续的守恒定律,同时考虑了车流加速度和惯性的影响,是双方程模型;动力论模型则将分子运动与Ξ收稿日期:1996210215　上海市科委和上海市教委资助课题　冯苏苇,女,1969年生,博士生;上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海市延长路149号(200072)车流中大量个体车辆做比拟,引入Bo ltz m ann 方程来描述交通流的动力特性.此外,还有交通流的随机模型、网络模型等.进入90年代后,交通研究的新思路、新方法和新策略不断涌现,其主要思想体现为:用由交通特性衍生出的离散模型描述离散问题.动力学模型倾向于在离散的格点上建立方程,朝着实时化、随机化和网络化的方向发展;元胞自动机模型对宏观和微观交通的模拟亦十分引人注目.王明祺(1995年)从交通流的动力分析和交叉口延滞模型两大方面评价了交通流理论的研究进展和现状.本文对交通流理论中动力学研究的发展概况作一综述,详细介绍各流派的理论和方法.1　交通流基本关系描述交通流状态的三个最基本的参量是速度、密度和流量,其中前两者是独立的,流量定义为速度和密度的乘积.人们从直观出发,发现当车数稀少时,车辆可以畅行,随着车数增加,行驶速度受到限制而下降,当车辆密度超过某一个临界值时,交通阻塞发生了.这种车少速高、车多速低的关系,是初期交通流模型研究的主要对象,人们试图通过对大量观测结果的整理和分析,找出速度、密度和流量三者之间的两两关系.当然这种关系是解析的,也是静态的和经验的.在速度2密度关系中,典型的有Green sh ields 线性模型、Greenberg 对数模型、广义单段式速2密模型以及后来的多段式速2密模型.这种交通流模型及研究方法,直到今天,无论是交通流动力学研究,还是交通的控制和规划,仍被广泛应用.但也存在着一些问题,如速2密关系曲线近坐标两轴的值是靠延拓得到的,实测数据散布在曲线两侧,使得至今还没有一套完整的曲线能准确描述交通现象的复杂规律.车辆流动的物理特性以及经验公式描述的不完备,启发人们转向运用微分方程来处理交通问题.2　运动学(交通波)模型L igh th ill 和W h itham (1955年)在其名篇《论动力波》(O n K inetic W ave )中,描述了适用于公路上交通流动的一维波运动学理论.L igh th ill 和W h itham 推导了交通分布中状态量的变化沿公路的传播规律,论证了交通激波的存在、特性及其在交通分析中的应用.不久,R ichards (1956年)独立地提出了类似的交通流理论.这种描述交通流的一阶连续介质模型,被称为LW R 理论(LW R T heo ry ).它可以简述为:当所考虑的公路段中没有净流量流入时,则交通流量q 对空间x 的变化与车流密度k 对时间t 的变化可用车辆守恒律来联系5q 5x +5k 5t =0(1)此外,流量和密度在时空中所有点上可由一个连续的分段可微的状态方程描述q =S (k ,x ,t )(2)在L igh th ill 和W h itham (1955年)的文中详尽分析了状态方程与时间t 无关的情况.求解LW R 理论的传统方法是特征线法.特征线是这样一种曲线,它由初始条件已知的时空点上出发,如果任意点上对密度k (x ,t )的扰动(初始扰动或其他)不在曲线上,那么沿曲线的交通流密度是不变的.从其定义可知特征线不能相交,如果相遇就中止于该点,该处产生了“激波”.・444・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷为了找到特征线,将守恒律的q 用S (k ,x ,t )代替5k 5t +5k 5x 5S 5k =-5S 5x(3)因为左端项是k 在(x ,t )平面上沿方向(1,S k )的方向导数,特征线的斜率(也定义为波速W ave 2sp eed )为d x d t =S k (4)且密度沿特征线的增长率为d k d t =-S x (5)对于状态量均匀的公路,特征线是等密度和等流量的直线;对于状态量不均匀的公路,S k 和S x 是密度、空间和时间的函数.因此,特征线通过求解上述常微分方程组来找到.交通波理论提出后,一直到80年代都没有较大的进展,人们更关注于它的求解方法.B ick 和N ew ell (1960年)运用特征线法求解了两车道公路上双向交通流的一阶系统.L uke (1972年)针对某一类运动波问题提出了一个简化求解的最小化原则.N ew ell (1993年)再次独立地发现了这个最小化原则,并表明它可运用于一个函数A (x ,t ),其导数分别为q (x ,t )和-k (x ,t ),对于状态方程是三角形或梯形的特例,可采用手解或计算机求解,该法简单准确.在数值方法方面,M ichalopou lo s (1980年,1984年)运用有限差分法对间断交通流的激波解法做了探讨.L eo (1992年)运用M u r m an 格式求解了一阶连续模型.A n so rge (1990年)在LW R 模型中引入熵的概念,指出使用满足熵条件解的数值方法的必要性,并将TVD 格式用于求解LW R 方程.D aganzo (1994年)提出了一种有限差分法,称为单元传递模型(Cell T ran s m issi on M odel ),即使当解含有向任何方向传播的波或激波,它也可在每一个格点上近似于偏微分方程.这个方法已经推广到一般的交通网络中(D agnzo ,1995年).LW R 理论只含有一个连续方程,且有解析解,无论是采用特征线解法,还是数值方法,都简单方便.但对于真实的交通运作,这个解却缺少现实意义.因此,从60年代起,研究者纷图1　车辆跟驰模型纷转向非平衡状态下描述交通流加速度变化的双方程模型.3　动力学模型交通流的动力学模型含有两个方程:一个描述车辆连续性,另一个描述交通流的加速度和惯性影响.动力学模型最早是从车辆跟驰思想出发,P i pes (1953年)提出假设:车队中每辆车须和前车保持一定的跟随距离以免碰撞.这样,在一列行驶着的n 辆车的车队中,前后跟随的两辆车k 和k +1的运动相对距离可写为x k -x k +1=L +h k =1,2,3,…,n -1其中L 为第k 车的车长,h 为两车的车间空距.一般而言,两辆车的相互作用是单向的,即前车对后车有影响,而后车对前车无影响.前・544・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟车速度的改变(加速或减速),后车为了避免碰撞,即要保持一个最小的车间空距,就要调整其速度.经过一个反应时间T 之后,有h =T x αk +1代入上式并两边对时间微分后,可得x βk +1=1T (x αk +x αk +1)(6)当前车速度大于后车时,后车加速,而前车速小于后车时,后车减速,这就是基本的车辆跟驰模型.车辆跟驰模型给出了最基本的车流加速度表达式.随后,P i pes (1969年)提出了交通流加速度的一般表达式为d u d t =5u 5t +u 5u 5x =-k d ue d k 25k 5x (7)式中u e (k )是对应着密度k 的车流的平衡速度.交通流的动力学模型认为,某一密度下的车流,经过一定的时间后,会达到一个平衡速度.根据这一思想,Payne (1971年)构造了平均速度u 与密度k 的关系u (x ,t +T )=u e (k (x +∃x ,t ))左右分别对T 和∃x 作展开后,得d u d t =5u 5t +u 5u 5x =-1T (u -u e (k ))-ΤkT 5k5x (8a )右端第一项为调节项(或松弛项),描述车流速度向平衡速度的调整,第二项为期望项,Τ为期望指数,反映驾驶员对前方交通状态改变的反应过程,T 仍为车辆跟驰理论中的反应时间(也称延滞时间).同样地,车流满足连续方程5k 5t +5q 5x=s (x ,t )(8b )式中s (x ,t )为流量产生率,对于入口匝道,s (x ,t )>0,出口匝道s (x ,t )<0,无进出匝道s (x ,t )=0.上述两式构成了完整的Payne 模型,Payne (1979年)将其离散化,编制了著名的FR E 2FLO 程序.这是第一个交通流动力学模型编制的计算机程序,也是第一次将交通流动力学模型运用于工程实践,但在实际运用中出现了一些问题.Payne (1979年)发现在高密度情况下,模型可能会遇到稳定性问题,其密度过高而不现实,可通过对k 和q 值加上约束来解决这一问题.R ath i (1987年)等人指出,该模型从车流速度到平衡速度的调节过程过于缓慢.后人在Payne 模型的基础上,不断加入新的内容.Papageo rgi ou (1983年,1989年,1990年)考虑了进出匝道流量对主干道交通流的影响d u d t =-1T (u -ue (k ))-ΤkT 5k 5x -∆us k(9)式中s 为进出匝道的流率,∆为参数,0≤∆≤1.Pap ageo rgi ou (1989年)还讨论了非线性、静态或动力学的三种流量与密度表达式.K ühne (1984年)引进交通流的粘性影响・644・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷d u d t =-1T (u -ue (k ))-c 205k 5x +Τ52u 5x 2(10a )式中c 0为等效音速,与车流跟驰的弹性有关,Τ为粘性系数.临界密度为k c =-c 05u e (k ) 5k (10b )当k <k c 时,交通状态是稳定的,当k ≥k c 时,交通则完全瘫痪.该模型可用于超拥挤状态的交通分析.M ichalopou lo s (1984年,1993年)等人在高阶模型中加入摩擦项和道路几何形状变化带来的影响d u d t =ΥT (u f (x )-u )-G -Τk Β5k 5x (11a )第一项是调节项,Υ为一标记,当上游到本路段的自由流速度有变化时为1,否则为0.T 为随密度k 变化的延滞时间T =t 01+rkk jam -rk (11b )式中t 0>0,且0<r <1为常数.方程中第二项是摩擦项G =Λk Εs(11c )描述匝道车流对主道车流的影响.第三项是期望项.方程中的参数由参数辨识过程确定.M ichalopou lo s (1985年)利用有限差分法编制成了计算程序KRONO S .吴正(1994年)针对中国大部分城市以低速混合交通为主的情况,将一维管道流动的动量方程引入交通流模型5(kA )t +5(kuA )x =05(kuA )5t +5(ku 2A )5x +A 5P 5x+ΣΞ=0(12a )并引入交通流压力比拟P =ck n (n ≥1)(12b )其中A 为车道数,ΣΞ为车流经过单位面积时所受的阻力,c 、n 为交通状态参数,调整其值就可使模型适于不同的交通情况.吴正(1991年)建立了相应的实测方法.Ro ss (1988年)认为交通流是一种不能压缩到某一临界密度(即阻塞密度值)之下的可压流体.他指出上述以Payne 为代表的交通流模型由于依赖于速度2密度的平衡关系u e (k ),在求解速度时造成了自锁,且密度过高.进而他提出了一个不依赖于速密平衡关系的极为简单的高阶连续介质模型d u d t =5u 5t +u 5u 5x =-u -u f T k <k jam 5q 5x=0 k =k jam (13a )约束条件为u ≤c k(13b )其中u f 为畅行速度,k jam 为阻塞密度,c 为道路的通行能力.・744・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟高阶模型是一族含两个偏微分方程的方程组,没有解析解,依靠数值手段求解.N ew ell (1989年)针对Ro ss 的评价指出,对偏微分方程作不恰当的数值化是造成自锁的原因.Leo图2　两车道路段(1992年)认为对于交通流高阶模型构造有限差分格式,必须满足三个条件:(1)能正确捕获弱解,即当∃x ,∃t →0时,能满足跳跃条件,使得激波出现且以正确速度传播;(2)能捕获物理相关解,即满足熵条件;(3)能捕获激波阵面,而不至于过度抹平.满足上述三个条件的有A n so rge (1990年)的二阶TVD 格式,满足前两个条件的一阶迎风格式可参见O sher (1982年),H uang (1981年)和M u r m an (1974年)…….图3　参数辨识过程计算流程为了使高阶模型能够刻画真实的交通现象,符合实际的交通流动情况,高阶模型中一般含有数个待定常数,如畅行速度、阻塞密度、反应时间、期望指数等效音速、摩擦系数等.这些常数的大小变化反映了交通的不同状态和特性,依靠一个与实测数据相关的参数辨识过程来确定.C rem er (1981年)概括了交通流模型的参数辨识思想.图2是所考察路段,在路头、尾及路段中各布置三台传感器采集实时数据,设状态矢量X T =[k 1Τ1…k n Τn ],输入矢量U T =[q 0w 0q n w n ],输出矢量Y T =[q j w j ],其中w j 为第j 段上时间nT 至(n +1)T 的车辆调和平均速度,Τj 为时间段nT 的平均速度,未知参数矢量ΒT =[Τf ,k m ax …].设U δ(n ),Yδ(n ),n =1,…,N 是一系列由传感器测得的真实流动数据.按时间离散化后的差分方程可写为X (n +1)=f [X (n ),U (n ),Β]Y (n )=g [X (n ),Β](14)找到一组Β,使得判据I (Β)=∑Nn =1[Y 1(n )-Y δ(n )]T Q [Y (n )-Yδ(n )](15)最小.Q 是一个2×2的正矩阵Q =Χ001其中Χ是权因子Χ=Ρ2w Ρ2qΡ2w ,Ρ2q 为实测变量中确定性方程无法描述的随机分量的变差.计算流程如图3.・844・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷4　动力论模型交通在低密度的情况下是个别车辆的流动,在高密度时则以车队形式流动,这一事实启示了交通与分子运动论描述的气体相似.P rigogine (1971年)引入速度分布函数f (x ,u ,t ),它满足一定区域的连续性方程d f d t =5f t +u 5f x=0(16) P rigogine 的分子运动方程描述了多车道交通的三种主要特征:逐次近似过程或加速过程,表示驾驶员试图达到想要的速度;相互影响过程或减速过程,它引起快慢车之间的冲突;以及调整过程,它围绕平均速度减少方差:d f d t =5f 5t +u 5f 5x=5f 5t 逐次近似+5f 5t 相互影响+5f 5t 调整=-(f -f 0) T +(1-P )k (u -u θ)f +Κ(1-P )k [∆(u -u θ)-f ](17)f 0(x ,u ,t )d x d t 表示在(t ,d x )内速度在u 与u +d u 之间的车辆数,当分布f 不同于f 0时,就要随时间常数T 向f 0逐次接近.P 为超车的概率,Κ为参数,∆为关于(u -u θ)的∆函数.Ph illi p s (1978年)从对Bo ltz m ann 方程取矩的运动方程出发,将车辆的相互作用类比于气体动力论中分子的相互作用,推导出下列动量方程d u d t =Κ(k )[u -ue (k )]-1k 5P 5k 5k 5x(18)式中P =P (k ,u )称为交通压力,为密度与交通速度分布的方差之积.该模型有严格的理论基础,能考虑多车道公路上的超车因素和车道改变因素,但要确定压力函数以及其中的各参数却非常复杂.P rigogine 和Ph illi p s 提出各自的动力论模型之后的很长一段时间,动力论模型对交通流的模拟没有大的进展.最近,N elson (1995年)指出,动力论在空间和与时间相关的速度上生成了车辆的统计分布,在一定意义上,这种理论在个别车辆状态(位置和速度)的描述理论(如车辆跟驰模型)和以统计分布作平均的宏观模型之间起媒介作用,因而运用动力论手段建立交通流模型更适当,而且更有用.5　元胞自动机模型交通问题中的研究对象,如车辆和人,都是不连续的,车流运动有很大的随机性和不确定性.元胞自动机(Cellu lar A u tom ata )在模拟各种自然现象方面的应用非常广泛,启发人们用它来模拟交通问题.B iham (1992年)等人首次运用元胞自动机模型在二维点阵上模拟了城市交通,被称为BM L 模型.其思想是,在一个N ×N 方阵上,每个格点可有三种状态:没有车辆,有一辆由南向北行驶的车辆,或有一辆由东向西行驶的车辆.开始随机地设置车辆分布,然后按一定的规则运转系统:在每一步上,只允许某个方向的车辆运动,以此模拟交通灯对交通系统的控制;在运行中,如果车辆前面的格点被其他车辆占据,那么只能在原格点上等候,不能向前运动,这一规划反映本向或对向的交通干扰.BM L 模型揭示,当模拟系统・944・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟中车辆密度超过一个临界值时,系统就会发生堵塞以至瘫痪,称为运动相到阻塞相的相变.这与交通工程的研究结果是一致的.许多理论工作者在BM L 模型的基础上,做了大量的工作,每年都有元胞自动机模拟宏观和微观交通问题的论文发表.N agatan i (1993年)研究了由于交通事故造成的阻塞对二维系统相变的影响.顾国庆(1995年)采用二维非均匀点阵的元胞自动机模型,指出车辆抛锚、道路中断、收费站、立交桥、道路等级差异等多种因素对交通系统的宏观性质有相当复杂的影响.Chung (1995年)在研究了交通灯失灵对系统的影响时发现,当车辆密度较低时,无交通灯能加速全局交通,但车辆相变密度随着坏灯浓度的增加而降低.在元胞自动机模拟微观交通方面,N agatan i (1993年)利用一维确定论的元胞自动机模型模拟了车辆改变车道的效应.Cuesta 等(1993年)引入转向指数,研究了能够改变车辆运动方向的元胞自动机模型.F reund 等(1995年)则在元胞自动机模型中加入了实际的交通规则,在微观上模拟了十字路口的交通运行情况.元胞自动机模型对交通系统的模拟实践了一种用离散化模型描述离散化问题的思想,避免了流动比拟下,确定论方程的严格假设以及求解离散化对真实信息的损失.如何将元胞自动机模型与交通实际结合起来,还需要做进一步的工作.6　其它模型针对交通现象的随机性、车辆流动的离散性等特点,最近一些学者提出了随机模型和离散模型,并试图将单一公路上的车流模型推广至具有广泛应用价值的交通网络上.W eits (1992年)将随机理论引入到交通流建模中.一般地,稳态的高密度多车道高速公路(无进出匝道)的交通流宏观模型包含双方程5k 5t =-5(kv )5x 5v 5t =f k ,v ,5k 5x ,5v 5x,…(19)其中f 是非线性函数,构造f 使模型具有平衡解k =k 0,v =v 0,k 0和v 0是常数.在平衡点(k 0,v 0)附近将方程线性化(称为稳定假设),再引入稳定假设未考虑的随机扰动,有5R 5t =k 52R 5x2-C 05R 5x +Ρd B (t )d t (20a )其中R 是k 对k 0的偏差,即R =k -k 0,K 和C 0为与k 0有关的正常数,B (t ,x )为扰动过程,Ρ为其系数.假定B (t ,x )为一稳定的高斯过程,根据随机理论,R (t ,x )可由其协方差函数r (∃,Z )确定Χ(∃,Z )=A ∫∞11L 2exp (-Β ∃ L 2)co s 2ΠL Z -C 0∃sd L (20b )其中A =Ρ2s (4Π2K ),Β=4Π2K s 2.s 为干扰的最大范围,∃=t -s ,Z =x -y ,(t ,x )和(s ,y )分别为时空平面上的两点.H illiges (1995年)介绍了一种宏观的现象学模型(Phenom eno logicalM odel ),用来实时模拟具有多个源汇的公路大系统.模型构造于离散的单元上,每个单元代表着长度为∃x 的公路路段,公路上车流的动力行为由第i 个单元上车辆数N (i ,t )以及平均速度v (i ,t )变化・054・ 上海大学学报(自然科学版) 第3卷的平衡方程描述d N (i ,t )d t =∃x 5k (i ,t )5t =k (i -1,t )v (i ,t )-k (i ,t )v (i +1,t )5v (i ,t )5t =1Σ[v k (i ,t )-v (i ,t )]+Ε[v (i -1,t )v (i ,t )-v (i ,t )v (i +1,t )](21a )这里N (i ,t )=∃x k (i ,t ),Ε=12∃x,Σ为延滞时间,v k (i ,t )由每个单元独立确定.交通流研究对象与流体的颗粒不同之处,在于驾驶员表现出一个期望行为,这样对于相邻的单元,引入一个特殊的非流体力学假设:j k (i →i +1,t )=k (i ,t )v (i +1,t )j v (i →i +1,t )=Εv (i ,t )v (i +1,t )(21b )即i 单元中的驾驶员不会对本单元的车辆速度产生反应,而只对前方i +1单元的车速起反应.H illiges 将上述思想推广至一般网络中,得到交通流的网络模型.7　结 语国外成熟的交通流理论,是建立在车辆相互紧随、车辆间不能相互超越的假定上,适合于行车条件极佳的高速公路或公路干道情况.不论是交通流的运动学理论,还是动力学和动力论理论,都是从宏观角度采用连续介质模型来描述交通状态,在方程中包含了时间和空间变量,兼顾了交通流的流动特性.实际的交通并不是真正的连续流体介质,个体车辆的相互作用、驾驶员的反应、判断的随机性等因素对交通流的运动特性都有很大的影响.因此,在连续模型的基础上,还原交通流离散化、随机化的流动特点,使交通流模型能更好地描述交通的真实流动,是今后交通流动力学研究的主旨.目前,交通问题已成为困扰我国大中城市发展的瓶颈之一.与国外交通情况不同的是,国内交通由于大多数情况下是机动车与非机动车的混合运行,呈现车速偏低的状态.城市交通控制和规划需要一种或多或少精确描述交通流动的数学模型,因此进一步工作可结合我国国情,在参考国外研究结果的基础上,研究一种适合国内城市低速混合流态的数学模型以及进行相应的数值模拟.参　考　文　献1　A nso rge R .T ranspn R es ,1990,24B ∶133-1432　B ick J H ,N ew ell G F .Q A pp M ath ,1960,18(2)∶191-2043　B iham O ,M iddleton A A ,L evine O .Phys R ev ,1992,A 46∶6124-61274　Chung K H ,H ui P M ,Gu G Q .Physical R ev E ,1995,51(1)∶772-7745　C rem er M ,Papageo rgi ou M .A utom atica ,1981,17∶837-8436　Cuesta J A ,et al .Phys R ev ,1993,E 48∶4175-41787　D aganzo C F .T ranspn R es ,1994,28B ∶269-2878　D aganzo C F .T ranspn R es ,1995,29B ∶79-939　D aganzo C F .T ranspn R es ,1995,29B ∶261-276・154・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟10　F reund J ,Po schel T .Phyca A 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ttleneck s to ob struct the developm en t of civil cities .In the cases of civil traffic w here veh icles run at low speed and together w ith b icycles ,an effective m athem atical and m echan ical m odel is u rgen tly needed fo r traffic con tro lling and p rogramm ing .T h is paper gives a su rvey of the p rogress on traffic dynam ics in and ou tside the coun try and in troduces vari ou s k inds of traffic dynam ical theo ryand m ethodo logy in detail.Key words :traffic flow ;dynam ical study ;k inetic w ave m odels ;dynam ical m odels ;k inetic m odels ・354・第4期 冯苏苇等:交通流的动力学模型与数值模拟。