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第一章 矢量分析1.1 3ˆ2ˆˆz y x e e eA -+= ，z y e eB ˆ4ˆ+-= ，2ˆ5ˆy x e eC -= 求（1）ˆA e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ⋅；（4）B A ⨯；（5）验证()()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ；（6）验证()()()B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯。
1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢量。
设A 为已知矢量，X A B ⋅=和X A B ⨯=已知，求X 。
1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e el ˆ2ˆ2ˆ-+= 方向上的方向导数。
1.4 计算矢量()()3222224ˆˆˆz y x e xy e x eA z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ⋅∇对此立方体的体积分，以验证散度定理。
1.5 计算矢量z y e x e x eA z y x 22ˆˆˆ-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ⨯∇对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。
1.6 f 为任意一个标量函数，求f ∇⨯∇。
1.7 A 为任意一个矢量函数，求()A ⨯∇⋅∇。
1.8 证明：A f A f A f ⋅∇+∇=∇)(。
1.9 证明：A f A f A f ⨯∇+⨯∇=⨯∇)()()(。
1.10 证明：)()()(B A A B B A ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇。
1.11 证明：A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇。
1.12 ϕρϕρϕρρsin cos ˆ),,(32z e ez A += ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。
1.13 θθθϕθϕθcos 1ˆsin 1ˆsin ˆ),,(2re r e r e r A r ++= ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。
第九 章 光的电磁理论基础1. 一个平面电磁波可以表示为140,2cos[210()],02x y z z E E t E cππ==⨯-+=,求(1)该电磁波的频率、波长、振幅和原点的初相位？（２）拨的传播方向和电矢量的振动方向？（３）相应的磁场Ｂ的表达式？解：（1）平面电磁波cos[2()]zE A t cπνϕ=-+ 对应有1462,10,,3102A Hz m πνϕλ-====⨯。
（2）波传播方向沿z 轴，电矢量振动方向为y 轴。
（3）B E →→与垂直，传播方向相同，∴0By Bz ==814610[210()]2z Bx CEy t c ππ===⨯⨯-+２. 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示2150,0,10cos 10()0.65y z x zE E E t cπ===-，试求（1）光的频率和波长；（2）玻璃的折射率。
解：（1）215cos[2()]10cos[10()]0.65z zE A t t ccπνϕπ=-+=- ∴1514210510v Hz πνπν=⇒=⨯72/2/0.65 3.910n k c m λππ-===⨯（2）8714310 1.543.910510n c c n v λν-⨯====⨯⨯⨯ 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度0.01h mm =,折射率n=1.5,若光波的波长为500nm λ=,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。
解：光程变化为 (1)0.005n h mm ∆=-=相位变化为)(20250010005.026rad πππλδ=⨯⨯=∆= 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度的大小。
假设太阳光发出波长为600nm λ=的单色光。
解：∵22012I cA ε== ∴1322()10/I A v m c ε=5. 写出平面波8100exp{[(234)1610]}E i x y z t =++-⨯的传播方向上的单位矢量0k 。
考试大纲1光的电磁理论（各向同性介质）知识要点：1）光波的电磁特性（波长或频率范围，光波区别于其它电磁波的产生、传播、探测方式，光波能量密度、能流密度矢量、光强）2）光学介质的电磁特性（折射率，透明、线性、非色散）、3）光在各向同性介质中和各向同性介质界面上的传播特性波动方程与时谐均匀平面波函数（实数，复数）及其特征量（波矢、振动矢量、复振幅、时空周期、波速、矢量性、偏振态）反射定律和折射定律、菲涅耳公式（正入射）、反射率与透射率、半波损失、附加光程差、全反射、布儒特性定律、4）光波场的频率谱（时间频谱与空间频谱、实际光波与时谐均匀平面波的关联）5）时谐均匀球面波（波函数，球面波简化为平面波的条件）选择题：1. 自然光正入射，其反射光为 。
A ．椭圆偏振光B ．线偏振光C ．部分偏振光D ．自然光2. 自然光在界面发生反射和折射，当反射光为线偏振光时，折射光与反射光的夹角必为 。
A ．B θ B ．C θC ．3πD ．2π3．全反射时，在折射率小的介质中的电场 。
A ．等于零B ．随离界面距离的增加按指数规律衰减C ．等于常数D ．随离界面距离的增加按指数规律增加4. 当光波在两种不同介质中的振幅相等时， 。
A. 其强度相等B. 其强度不相等C. 不确定D. 其强度比等于两种介质的折射率之比5. 光从折射率小介质中正入射到折射率大的介质表面时，相对于入射光的电场和磁场，反射光的 。
A ．电场和磁场都无相位变化B. 电场和磁场都有π相位突变C. 电场有π相位突变，磁场无相位变化D. 电场无相位变化，磁场有π相位突变6．在相同时间内，同一单色光在空气和在玻璃中 。
A. 传播的路程相等，走过的光程相等。
B. 传播的路程相等，走过的光程不相等。
C. 传播的路程不相等，走过的光程相等。
D. 传播的路程不相等，走过的光程不相等。
7．光在界面发生反射和透射，对于入射光、反射光和透射光，不变的量是 。
A ．波长B ．波矢C ．强度D ．频率8. 同一介质中，圆偏振光的电场为E ，线偏振光的电场振幅为E ，两光的光强之间的关系为 。
“应用光学习题”、“物理光学习题”、“工程光学+练习题”一、选择题1、几何光学有三大基本定律，它们是是：（ D ）A、折射与反射定律，费马原理，马吕斯定律；B、直线传播定律，折射与反射定律，费马原理；C、独立传播定律，折射与反射定律，马吕斯定律；D、直线传播定律，独立传播定律，折射与反射定律。
2、对理想光学系统，下列表述正确的是：（ C ）A、位于光轴上的物点的共轭像点不在光轴上；B、物方焦点与像方焦点共轭；C、基点与基面为：焦点、主点、节点，焦平面、主平面、节平面；D、牛顿物像位置关系，它是以主点为坐标原点。
3、关于光阑，下列表述正确的是：（ B ）A、孔径光阑经其前面的光学系统所成的像称为入窗；B、若孔径光阑在光学系统的最前面，则孔径光阑本身就是入瞳；C、孔径光阑、入窗、出窗三者是物像关系；D、视场光阑是限制轴上物点孔径角的大小，或者说限制轴上物点成像光束宽度、并有选择轴外物点成像光束位置作用的光阑。
4、关于人眼，下列描述正确的是：（ A ）A、眼睛自动改变焦距的过程称为眼睛的视度调节；B、近视眼是将其近点矫正到明视距离，可以用负透镜进行校正；C、眼睛可视为由水晶体、视网膜和视神经构成的照相系统。
；D、人眼分辨率与极限分辨角成正比关系。
5、关于典型光学系统，下列表述正确的是：（ B ）A、增大波长可以提高光学系统的分辨率；B、显微镜的有效放大率，放大率高于1000NA时，称作无效放大率，不能使被观察的物体细节更清晰；C、目视光学仪器，其放大作用可以由横向放大率来表示；D、减小孔径可以提高光学系统的分辨率。
6、关于光的电磁理论，下列表述正确的是：（ D ）A、两列光波相遇后又分开，每列光波不再保持原有的特性；B、两列光波叠加后其光强为两列光波的强度之和；C、等振幅面传播的速度称为相速度；D、两个振幅相同、振动方向相同、传播方向相同，但频率接近的单色光波叠加形成拍现象。
7、关于光的干涉，下列表述正确的是：（ A ）A、平行平板的多光束干涉中，随平板反射率的增加，透射光的干涉条纹变得越明锐；B、楔形平板形成的干涉为等倾干涉；C、等倾干涉条纹为同心圆环状条纹，中央条纹级次最低；D、迈克耳逊干涉仪只能产生等厚干涉条纹。
光的电磁理论习题第四章 光的电磁波理论4－1计算由8(223)exp (3610)i x y t ⎡⎤=-+++⨯⎢⎥⎣⎦E i 表示的平面波电矢量的振动方向、传播方向、相位速度、振幅、频率、波长。
解：由题意：)81063(2t y x i eE x⨯++-= )81063(32t y x i eE y ⨯++=∴3-=xy EE∴振动方向为：ji 3+-由平面波电矢量的表达式： 3=x k1=yk∴传播方向为： ji +3平面电磁波的相位速度为光速：8103⨯=c m/s振幅：4)32()2(222200=+-=+=oy x E E E V/m频率：8810321062⨯=⨯==πππωf Hz波长：πλ==fcm 4－2 一列平面光波从A 点传到B 点，今在AB 之间插入一透明薄片，薄片的厚度mm h 2.0=，折射率n ＝1.5。
假定光波的波长为550=λnm ，试计算插入薄片前后B 点光程和相位的变化。
解：设AB 两点间的距离为d ，未插入薄片时光束经过的光程为：dd n l==01插入薄片后光束经过的光程为：h n d nh h d n l )1()(02-+=+-=∴光程差为：mmh n l l1.02.05.0)1(12=⨯=-=-=∆则相位差为：ππλπδ6.3631.010550226=⨯⨯=∆=-4－3 试确定下列各组光波表示式所代表的偏振态： （1）)sin(0kz t E E x-=ω，)cos(0kz t E E y-=ω（2）)cos(0kz t E E x-=ω，)4/cos(0πω+-=kz t E Ey（3）)sin(0kz t E Ex -=ω，)sin(0kz t E Ex--=ω解：（1）∵)2cos()sin(00πωω--=-=kz t E kz t E Ex∴2πϕϕϕ=-=x y∴ 为右旋圆偏振光。
（2）4πϕϕϕ=-=x y∴ 为右旋椭圆偏振光，椭圆长轴沿y ＝x（3）0=-=x yϕϕϕ∴ 为线偏振光，振动方向沿y ＝－x4－4 光束以30°角入射到空气和火石玻璃（n 2＝1.7）界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系数sr 和pr 。
解：入射角︒=301θ，由折射定律：294.0sin sin 212==n θθ∴︒=1.172θ∴305.01.47sin 9.12sin )sin()sin(2121-=︒︒-=+--=θθθθsr213.01.47tan 9.12tan )tan()tan(2121=︒︒=+-=θθθθp r4－5 一束振动方位角为45°的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n 1＝1和n 2＝1.5。
当入射角为50°时，试求反射光的振动方位角。
解：︒=501θ，由折射定律：51.0sin sin 212==n θθ∴︒=7.301θ∴335.07.80sin 3.19sin )sin()sin(2121-=︒︒-=+--=θθθθsr057.07.80tan 3.19tan )tan()tan(2121=︒︒=+-=θθθθp r∴877.545tan 057.0335.0tan tan -=︒-==i p s rr r αα∴反射光的振动方位角为：︒-=34.80rα4－6 光波在折射率分别为n 1和n 2的二介质界面上反射和折射，当入射角为1θ时（折射角为2θ），s 波和p 波的反射系数分别为sr 和pr ，透射系数分别为st 和pt 。
若光波反过来从n 2介质入射到n 1介质，且当入射角为2θ时（折射角为1θ），s 波和p波的反射系数分别为'sr 和'p r ，透射系数分别为'st 和'pt 。
试利用菲涅耳公式证明：（1）'-=ssr r；（2）'-=ppr r ；（3）sss T t t ='；（4）ppp T t t =' 证明： （1）)sin()sin(2121θθθθ+--=srss r r -=+-=+--=')sin()sin()sin()sin(21211212θθθθθθθθ（2）)tan()tan(2121θθθθ+-=prpp r r -=+--=+-=')tan()tan()tan()tan(21211212θθθθθθθθ（3）)sin(cos sin 22112θθθθ+=s t)sin(cos sin 22121θθθθ+='s t∴)(sin cos sin 4cos sin cos sin )sin(cos sin 2)sin(cos sin 22121222122*********θθθθθθθθθθθθθθθθ+⋅=+⋅+='s s t t sT n n =+⋅=)(sin cos sin 4cos cos 21212221122θθθθθθ（4）)cos()sin(cos sin 2212112θθθθθθ-+=p t)cos()sin(cos sin 2121221θθθθθθ-+='p t∴)cos()sin(cos sin 2)cos()sin(cos sin 2121221212112θθθθθθθθθθθθ-+⋅-+='pp t t)(cos )(sin cos sin 4cos sin cos sin 12212212221221θθθθθθθθθθ-+⋅=)(cos )(sin cos sin 4cos cos 12212212221122θθθθθθθθ-+⋅=n npT =4－7 如图，M 1、M 2是两块平行放置的玻璃片（n ＝1.5），背面涂黑。
一束自然光以布儒斯特角Bθ入射到M 1上的A 反射至M 2上的B 点，再出射。
试确定M 2以AB 为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。
解：由于M 1、M 2是两块平行放置的玻璃片，因此两镜的入射角均为Bθ，且有： ︒===31.565.112arctg n n arctgBθ︒=-︒=69.33902B θθ由于两镜背面涂黑，所以不必考虑折射光的影响。
对于M 1：0=pR1479.0)sin()sin(221212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==θθθθs s r R2I I 1I BθθBBA M 1因为是自然光入射，p 、s 分量光强相等。
设入射自然光光强为I 0，沿AB 的反射光强为I 1，则M 1的反射率为：01074.0)(21I I R R Rp s n==+=对于M 2，假设在绕AB 旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为θ，则将沿AB 的入射光分解为p 分量和s 分量，其振幅分别为：θsin 1I E p= θcos 1I E s =∵入射角为Bθ∴0=pr3846.0)sin()sin(2121-=+--=θθθθs r∴出射光的振幅为：='p Eθcos 3846.01I E r E s s s -=='∴最后的出射光强为：θ2022cos 011.0)(I E I s ='=4－8 望远镜之物镜为一双胶合透镜，其单透镜的折射率分别为1.52和1.68，采用折射率为1.60的树脂胶合。
问物镜胶合前后的反射光能损失分别为多少？（假设光束通过各反射面时接近正入射）解：系统包括4个反射面，由于假设光束通过各反射面时接近正入射，则未胶合时，各面的反射率为：1.681.601.52043.0152.1152.11122111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R 043.0152.11152.111122222=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n R064.0168.1168.11122333=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R064.0168.11168.111122444=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R设入射到系统的光能为W ，则通过该系统后的光能为：WW W8.0)064.01)(064.01)(043.01)(043.01(1=----=∴光能损失为20％同理，胶合后各面的反射率为： 043.01=R00066.0152.16.1152.16.11122222=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R0006.016.168.116.168.11122333=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R064.04=R通过该系统后的光能为：W W W 895.0)064.01)(0006.01)(00066.01)(043.01(1=----=∴光能损失为10.5％4－9 如图，光束垂直入射到45°直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。
若入射光强为I 0，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为 1.52，并且不考虑棱镜的吸收。
解：光束经过三个反射面，通过第一个反射面和第三个反射面时均为垂直入射，其反射率为：043.0152.1152.11122111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n R043.0152.11152.111122333=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n R在第二个反射面即棱镜的斜面上，入射角为45°。
全反射的临界角为：︒==14.4152.11arcsin cθ ∴在棱镜斜面上发生全反射，反射光强等于入射光强。
∴从棱镜透出的光束的强度为：021916.0)1)(1(I R R I I =--='I 0450454－10 如图，玻璃块周围介质的折射率为1.4。
若光束射向玻璃块的入射角为60°，问玻璃块的折射率至少应为多大才能使透入光束发生全发射？解：设玻璃的折射率为n 2，则发生全发射的临界角为：24.1arcsinn c=θ∴224.11cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n c θ由图中几何关系，折射角cθθ-︒=902由折射定律：2211sin sin θθn n =∴22224.11)90sin(60sin 4.1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-︒=︒⨯n n n c θ∴85.12=n4－11 产生圆偏振光的穆尼菱体如图所示，若菱体的折射率为1.65，求顶角A 。
解：光束经过两次全反射，每次反射后s 波和p 波之间的位相差为：122121sin sin cos arctan2θθθϕn -=∆其中1θ是入射角，n 为相对折=1.41n n 2θc60Aβ1θ射率：606.065.11==n 出射后产生圆偏振光，则需要：22πϕ=∆ ∴8tansin 606.0sin cos 122121πθθθ=- 解得：︒=7.591θ或 ︒=6.401θ∵要发生两次全反射，则：A ≤β 由图中几何关系可知：1θ=A190θβ-︒=∴︒≥451θ ∴︒=6.401θ不合题意∴顶角A 为︒7.594－12 线偏振光在玻璃－空气界面上全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成一非零或π/2的角度。
