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6.5 异步电动机的动态数学模型和坐标变换本节提要异步电动机动态数学模型的性质三相异步电动机的多变量非线性数学模型坐标变换和变换矩阵三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程一、异步电动机动态数学模型的性质2. 交流电机数学模型的性质1异步电机变压变频调速时需要进行电压或电流和频率的协调控制,有电压电流和频率两种独立的输入变量;在输出变量中,除转速外,磁通也得算一个独立的输出变量;因为电机只有一个三相输入电源,磁通的建立和转速的变化是同时进行的,为了获得良好的动态性能,也希望对磁通施加某种控制,使它在动态过程中尽量保持恒定,才能产生较大的动态转矩;多变量、强耦合的模型结构由于这些原因,异步电机是一个多变量多输入多输出系统,而电压电流、频率、磁通、转速之间又互相都有影响,所以是强耦合的多变量系统,可以先用图来定性地表示;图6-43 异步电机的多变量、强耦合模型结构模型的非线性2在异步电机中,电流乘磁通产生转矩,转速乘磁通得到感应电动势,由于它们都是同时变化的,在数学模型中就含有两个变量的乘积项;这样一来,即使不考虑磁饱和等因素,数学模型也是非线性的;模型的高阶性3三相异步电机定子有三个绕组,转子也可等效为三个绕组,每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性,再算上运动系统的机电惯性,和转速与转角的积分关系,即使不考虑变频装置的滞后因素,也是一个八阶系统;总起来说,异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统;二、三相异步电动机的多变量非线性数学模型假设条件：1忽略空间谐波,设三相绕组对称,在空间互差120°电角度,所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；2忽略磁路饱和,各绕组的自感和互感都是恒定的；3忽略铁心损耗；4不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响;1. 电压方程三相定子绕组的电压平衡方程为：电压方程续与此相应,三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为：电压方程的矩阵形式将电压方程写成矩阵形式,并以微分算子 p 代替微分符号 d /dt或写成6-67b2. 磁链方程每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和,因此,六个绕组的磁链可表达为：或写成6-68b电感矩阵式中,L 是6×6电感矩阵,其中对角线元素 LAA, LBB, LCC,Laa,Lbb,Lcc 是各有关绕组的自感,其余各项则是绕组间的互感;实际上,与电机绕组交链的磁通主要只有两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通,另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通,前者是主要的;电感的种类和计算定子漏感 Lls ——定子各相漏磁通所对应的电感,由于绕组的对称性,各相漏感值均相等；转子漏感 Lk ——转子各相漏磁通所对应的电感;定子互感 Lms——与定子一相绕组交链的最大互感磁通；转子互感 Lmr——与转子一相绕组交链的最大互感磁通;由于折算后定、转子绕组匝数相等,且各绕组间互感磁通都通过气隙,磁阻相同,故可认为：自感表达式对于每一相绕组来说,它所交链的磁通是互感磁通与漏感磁通之和,因此,定子各相自感为：转子各相自感为：互感表达式两相绕组之间只有互感;互感又分为两类：1 定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的,故互感为常值；2 定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的,互感是角位移的函数第一类固定位置绕组的互感三相绕组轴线彼此在空间的相位差是±120°,在假定气隙磁通为正弦分布的条件下,互感值应为,于是,第二类变化位置绕组的互感定、转子绕组间的互感,由于相互间位置的变化见图6-44,可分别表示为：当定、转子两相绕组轴线一致时,两者之间的互感值最大,就是每相最大互感 Lms ;磁链方程将式6-69~式6-75都代入式6-68a,即得完整的磁链方程,显然这个矩阵方程是比较复杂的,为了方便起见,可以将它写成分块矩阵的形式式中值得注意的是,和两个分块矩阵互为转置,且均与转子位置有关,它们的元素都是变参数,这是系统非线性的一个根源;为了把变参数转换成常参数须利用坐标变换,后面将详细讨论这个问题;电压方程的展开形式如果把磁链方程6-68b代入电压方程6-67b中,即得展开后的电压方程：式中,项属于电磁感应电动势中的脉变电动势或称变压器电动势,项属于电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势;3. 转矩方程根据机电能量转换原理,在多绕组电机中,在线性电感的条件下,磁场的储能和磁共能为：而电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能的变化率电流约束为常值,且机械角位移,于是转矩方程的矩阵形式将式6-81代入式6-82,并考虑到电感的分块矩阵关系式6-77~6-79,得：又由于代入式6-83得：该方程适用变压变频器供电含有电流谐波三相异步电动机转矩方程的三相坐标系形式以式6-79代入式6-84并展开后,舍去负号,意即电磁转矩的正方向为使 q 减小的方向,则4. 电力拖动系统运动方程在一般情况下,电力拖动系统的运动方程式是TL ——负载阻转矩；J ——机组的转动惯量；D ——与转速成正比的阻转矩阻尼系数；K ——扭转弹性转矩系数;运动方程的简化形式对于恒转矩负载,D = 0 , K = 0 ,则5. 三相异步电机的数学模型将式6-76,式6-80,式6-85和式6-87综合起来,再加上,便构成在恒转矩负载下三相异步电机的多变量非线性数学模型,用结构图表示出来如下图所示：异步电机的多变量非线性动态结构图三、坐标变换和变换矩阵上节中虽已推导出异步电机的动态数学模型,但是,要分析和求解这组非线性方程显然是十分困难的;在实际应用中必须设法予以简化,简化的基本方法是坐标变换;1. 交流电机的物理模型直流电机物理模型简单励磁绕组d轴上,电枢绕组在q轴上,如果能将交流电机的物理模型见下图等效地变换成类似直流电机的模式,分析和控制就可以大大简化;坐标变换正是按照这条思路进行的; 在这里,不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致;1交流电机绕组的等效物理模型2等效的两相交流电机绕组3旋转的直流绕组与等效直流电机模型再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组 M 和 T,其中分别通以直流电流和,产生合成磁动势 F ,其位置相对于绕组来说是固定的;如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转,则磁动势 F 自然也随之旋转起来,成为旋转磁动势;把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图 a 和图 b 中的磁动势一样,那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了;当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时,在他看来,M 和 T 是两个通以直流而相互垂直的静止绕组;如果控制磁通的位置在 M 轴上,就和直流电机物理模型没有本质上的区别了;这时,绕组M相当于励磁绕组,T 相当于伪静止的电枢绕组;等效的概念由此可见,以产生同样的旋转磁动势为准则,图a的三相交流绕组、图b的两相交流绕组和图c中整体旋转的直流绕组彼此等效;或者说,在三相坐标系下的,在两相坐标系下的和在旋转两相坐标系下的直流是等效的,它们能产生相同的旋转磁动势;现在的问题是,如何求出与和之间准确的等效关系,这就是坐标变换的任务;2. 三相--两相变换3/2变换现在先考虑上述的第一种坐标变换——在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组之间的变换,或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换,简称 3/2 变换;三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量 :设磁动势波形是正弦分布的,当三相总磁动势与二相总磁动势相等时,两套绕组瞬时磁动势在轴上的投影都应相等,写成矩阵形式,得:考虑变换前后总功率不变,在此前提下,可以证明匝数比应为:为求两项到三项的变换阵将三项到两项的变换阵增广成可逆的方阵,物理意义在两项系统上人为加入零轴磁动势并定义满足功率不变的条件可以求得如下关系：这表明保持坐标变换前后的功率不变,又要维持磁链相同,变换前后两项绕组每相匝数应为原三项绕组匝数的倍于此同时利用上述关系得三项/两项变换方阵：如要从两相坐标系变换到三相坐标系2/3变换可求反变换：N3 /N2 值代入式6-89,得：3. 两相—两相旋转变换2s/2r变换从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型的图 b 和图 c 中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系 M、T 变换称作两相—两相旋转变换,简称 2s/2r 变换,其中 s 表示静止,r 表示旋转;把两个坐标系画在一起,即得下图;两相静止和旋转坐标系与磁动势电流空间矢量2s/2r变换公式两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵写成矩阵形式,得：式中是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵;对式6-96两边都左乘以变换阵的逆矩阵,即得：两相静止—两相旋转坐标系的变换矩阵则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是：电压和磁链的旋转变换阵也与电流磁动势旋转变换阵相同;四、三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型前已指出,异步电机的数学模型比较复杂,坐标变换的目的就是要简化数学模型;第6.6.2节的异步电机数学模型是建立在三相静止的ABC坐标系上的,如果把它变换到两相坐标系上,由于两相坐标轴互相垂直,两相绕组之间没有磁的耦合,仅此一点,就会使数学模型简单了许多;1.异步电机在两相任意旋转坐标系dq坐标系上的数学模型两相坐标系可以是静止的,也可以是旋转的,其中以任意转速旋转的坐标系为最一般的情况,有了这种情况下的数学模型,要求出某一具体两相坐标系上的模型就比较容易了;变换关系设两相坐标轴与三相坐标轴的夹角为, 而为坐标系相对于定子的角转速,为坐标系相对于转子的角转速;变换过程具体的变换运算比较复杂,根据式6-98另0轴为假想轴d轴和A轴夹角为θ 可得：写成矩阵形式：合并以上两个方程式得三相静止ABC坐标系到两项旋转dq0坐标系的变换式1磁链方程利用变换将定子的三项磁链和转子的三项磁链变换到dqo坐标系中去,定子磁链的变换阵是其中d轴与A轴的夹角为,转子磁链的变换阵是是旋转三相坐标系变换到不同转速的旋转两相坐标系;其中 d 轴与α 轴的夹角为 ;则磁链的变换式为：把定子和转子的磁链表达成电感阵和电流向量乘积,在用和的反变换阵把电流变换到dq0坐标上：磁链的零轴分量为它们各自独立对dq轴磁链没有影响,可以不考虑则可以简化;控制有关;代入参数计算,并去掉零轴分量则dq坐标系磁链方程为或写成式中—— dq坐标系定子与转子同轴等效绕组间的互感；—— dq坐标系定子等效两相绕组的自感；——dq坐标系转子等效两相绕组的自感;异步电机在两相旋转坐标系dq上的物理模型图6-50 异步电动机在两相旋转坐标系dq上的物理模型 2电压方程利用上式A得定子电压变换的关系为先讨论A相的关系同理在ABC坐标系下A相的电压方程,代入得为dq0旋转坐标系对于定子的角速度由于为任意值因此下式三式成立同理转子电压方程为式中为dq0旋转坐标系相对于转子的角速度同理利用B相和C相的电压方程求出的结果与上面一致; 2电压方程上面的方程整理有定子和转子的电压方程令旋转电动势向量则式6-106a变成这就是异步电机非线性动态电压方程式;与第6.6.2节中ABC坐标系方程不同的是：此处电感矩阵 L 变成 4 4 常参数线性矩阵,而整个电压方程也降低为4维方程;3转矩和运动方程dq坐标系上的转矩方程为运动方程与坐标变换无关,仍为其中——电机转子角速度;阶数下降,但非线性、强耦合、多变量性质未变;异步电机在dq坐标系上的动态等效电路2. 异步电机在坐标系上的数学模型在静止坐标系上的数学模型是任意旋转坐标系数学模型当坐标转速等于零时的特例;当时,,即转子角转速的负值,并将下角标改成,则式6-105的电压矩阵方程变成而式6-103a的磁链方程改为利用两相旋转变换阵,可得代入式6-107并整理后,即得到坐标上的电磁转矩式6-108~式6-110再加上运动方程式便成为坐标系上的异步电机数学模型;这种在两相静止坐标系上的数学模型又称作Kron的异步电机方程式或双轴原型电机Two Axis Primitive Machine基本方程式;3. 异步电机在两相同步旋转坐标系上的数学模型另一种很有用的坐标系是两相同步旋转坐标系,其坐标轴仍用d,q表示,只是坐标轴的旋转速度等于定子频率的同步角转速;而转子的转速为,因此 dq 轴相对于转子的角转速,即转差;代入式6-105,即得同步旋转坐标系上的电压方程在二相同步旋转坐标系上的电压方程磁链方程、转矩方程和运动方程均不变;两相同步旋转坐标系的突出特点是,当三相ABC坐标系中的电压和电流是交流正弦波时,变换到dq坐标系上就成为直流;4、按转子磁场定向下的数学模型在dq坐标系放在同步旋转磁场下使d轴与转子磁场的方向重合此时转子的d轴的磁通分量为0,既有下式;带入式6-111三四行出现零元素,减少了耦合,简化了模型上式中解得,带入dq坐标系中的转矩方程有如下结果,这个关系和直流电机的转矩方程非常接近了,如果是鼠笼电机结果会更加简单;五、三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程作为异步电机控制系统研究和分析基础的数学模型,过去经常使用矩阵方程,近来越来越多地采用状态方程的形式,因此有必要再介绍一下状态方程;为了简单起见,这里只讨论两相同步旋转dq 坐标系上的状态方程,如果需要其它类型的两相坐标,只须稍加变换,就可以得到;第6.6.4节的分析结果告诉我们,在两相坐标系上的电压源型变频器—异步电机具有4阶电压方程和1阶运动方程,因此其状态方程也应该是5阶的,须选取5个状态变量,而可选的变量共有9个,即转速、4个电流变量和4个磁链变量;状态变量的选择转子电流是不可测的,不宜用作状态变量,因此只能选定子电流和转子磁链；定子电流和定子磁链;也就是说,可以有下列两组状态方程;1.状态方程由前节式6-103b表示dq坐标系上的磁链方程式6-104为任意旋转坐标系上的电压方程对于同步旋转坐标系,,又考虑到笼型转子内部是短路的,则,于是,电压方程可写成由式6-103b中第3,4两式可解出代入式6-107的转矩公式,得状态方程标准形式将式6-103b代入式6-112,消去,同时将6-113代入运动方程式6-87,经整理后即得状态方程如下：——电机漏磁系数,——转子电磁时间常数;状态变量与输入变量在6-114~6-118的状态方程中,状态变量为输入变量为式中,状态变量为输入变量为。
三相异步电动机数学模型的特点三相异步电动机数学模型是描述电机运动及其性能的理论模型，是电机工程中的基础知识。
其特点如下：
1.建立在定子和转子的磁场之间相互作用的基础上，将动态方程转换为矩阵形式求解。
这种模型主要考虑了电动机内部磁场与电流的关系，对电动机的运动和性能具有高度的预测准确性。
2.可分为同步电机模型和异步电机模型两种。
同步电机模型是指电机运转时旋转磁场与传递轴同步运动的模型，而异步电机模型则是指电机运转时旋转磁场与传递轴不同步的模型。
由于三相异步电动机更常见，因此它的数学模型最为完善和广泛使用。
3.三相异步电动机数学模型主要包括了电机的磁通方程、电流方程和转矩方程。
通过这些方程的联立，可以求解电机内部的磁通、电流和转矩等重要参数，从而预测电机运转的效率和性能。
4.该模型中，转子电阻的影响可以被忽略，只考虑了定子电容以及电阻对电机性能的影响。
这种假设的合理性取决于电机的工作条件
和实际情况。
同样，该模型也忽略了转子的转动惯量和摩擦阻力等因素，这些因素对电机性能的影响在实际应用中也需要考虑。
5.三相异步电动机数学模型是电机控制和设计过程中必不可少的
工具。
它可以用来分析电机的运行特点、计算电机的效率和负载能力、优化电机的控制策略等，具有重要的理论和实际意义。
总之，三相异步电动机数学模型是电机工程中的重要理论基础之一。
它具有高度的预测准确性，可以用来分析电机运行特性以及优化
电机控制策略等。
同时，在实际应用中也需要结合具体情况对模型进
行修正和改进，以获得更为准确的预测结果。
6.5 异步电动机的动态数学模型和坐标变换本节提要异步电动机动态数学模型的性质三相异步电动机的多变量非线性数学模型坐标变换和变换矩阵三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程一、异步电动机动态数学模型的性质2. 交流电机数学模型的性质（1）异步电机变压变频调速时需要进行电压（或电流）和频率的协调控制，有电压（电流）和频率两种独立的输入变量。
在输出变量中，除转速外，磁通也得算一个独立的输出变量。
因为电机只有一个三相输入电源，磁通的建立和转速的变化是同时进行的，为了获得良好的动态性能，也希望对磁通施加某种控制，使它在动态过程中尽量保持恒定，才能产生较大的动态转矩。
多变量、强耦合的模型结构由于这些原因，异步电机是一个多变量（多输入多输出）系统，而电压（电流）、频率、磁通、转速之间又互相都有影响，所以是强耦合的多变量系统，可以先用图来定性地表示。
图6-43 异步电机的多变量、强耦合模型结构模型的非线性（2）在异步电机中，电流乘磁通产生转矩，转速乘磁通得到感应电动势，由于它们都是同时变化的，在数学模型中就含有两个变量的乘积项。
这样一来，即使不考虑磁饱和等因素，数学模型也是非线性的。
模型的高阶性（3）三相异步电机定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕组，每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再算上运动系统的机电惯性，和转速与转角的积分关系，即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系统。
总起来说，异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。
二、三相异步电动机的多变量非线性数学模型假设条件：（1）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差120°电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；（2）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的；（3）忽略铁心损耗；（4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。
1. 电压方程三相定子绕组的电压平衡方程为：电压方程（续）与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为：电压方程的矩阵形式将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子 p 代替微分符号 d /dt或写成（6-67b）2. 磁链方程每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表达为：或写成（6-68b）电感矩阵式中，L 是6×6电感矩阵，其中对角线元素 LAA， LBB， LCC，Laa，Lbb，Lcc 是各有关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。
异步电动机动态数学模型
异步电动机是目前应用最广泛的电机之一，它在各种工业和民用
领域中扮演着重要角色。
为了更好地控制异步电动机的运转，需要对
其进行动态数学模型建立。
异步电动机动态数学模型主要有两种，分别为转子定子“dq”坐
标模型和矢量控制模型。
下面针对这两种模型来进行详细介绍。
转子定子“dq”坐标模型是一种传统的动态数学模型，它通过转
子电流和定子电压的之间的相互作用来描述异步电动机的运转。
该模
型采用dq坐标系来描述电机转子和定子磁电量的动态变化规律。
在该
模型中，异步电动机的动态方程由Vdq、Idq、ω、ψd、ψq等变量的
微分方程组成，其中Vdq为定子dq坐标系瞬时电压，Idq为定子dq坐标系电流，ω为转子机械角速度，ψd和ψq分别为定子dq坐标系磁链。
矢量控制模型是一种比较新的动态数学模型，它采用磁场定向原
理来描述异步电动机的运转。
该模型通过电机磁链的矢量控制来实现
对电机的动态控制。
在该模型中，磁链矢量控制可以通过控制电机空
间矢量波的角度和大小来实现。
该模型可以使用Park变换和Clarke
变换将电机三相坐标系转换为dq坐标系，进而通过PI控制算法实现
对电机的动态控制。
总体来说，异步电动机动态数学模型可以帮助我们更好地掌握异
步电动机的运转规律，为实际控制提供指导意义。
无论采用哪种模型，
都需要进行模型参数的识别和校正，并根据具体情况确定控制策略，才能更好地实现对异步电动机的控制。
异步电机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统［1］。
在研究异步电机的多变量数学模型时，常作如下假设：（1）三相绕组在空间对称互差 120，磁势在空间按正弦分布； (2)忽略铁芯损耗;(3)不考虑磁路饱和，即认为各绕组间互感和自感都是线性的； (4)不考虑温度和频率变化对电机参数的影响.异步电机在两相静止坐标系上的数学模型：仿真的基本思想是利用物理的或数学的模型来类比模仿现实过程，以寻求过程和规律。
在实际过程中，系统可能太复杂,无法求得其解析解,可以通过仿真求得其数值解.计算机仿真是利用计算机对所研究系统的结构、功能和行为以及参与系统控制的主动者——人的思维过程和行为,进行动态性的比较和模仿,利用建立的仿真模型对系统进行研究和分析,并可将系统过程演示出来。
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当模型构造之后，用户可以进行仿真，等待结果，或者改变参数，再进行仿真。
异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统,其动态和静态特性都相当复杂。
以下将介绍用SIMULINK 如何来建立三相异步电机的计算机仿真模型,为以后的系统仿真做好准备。
经过三相静止/两相静止坐标变换及两相旋转/两相静止坐标变换，可得异步电机在两相静止坐标系上的数学模型。
电压方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡βαβαβαβαωωωωr r s s r r r m m r r r r m r m m S m S r r s s i i i i P L R L P L L L P L R L P L P L P L R P L P L R u u u u 22110000磁链方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡βαβαβαβαψψψψr r s s r mr m m sm s r r s s i i i i L L L L L L L L 00000000转矩方程：[])(0110βααββαβαr s r s m p r r s s m p e i i i i L n i i i i L n T -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅= 转速方程:L e rp T T dt d n J -=ω式中:m m L L 123=—οβα、、静止坐标系上定子与转子绕组间的互感，m s s L L L 123+=σ-οβα、、静止坐标系上两相定子绕组的自感,m r r L L L 123+=σ—οβα、、静止坐标系上两相转子绕组的自感，1R 、2R -定、转子电阻，L T 为负载阻转矩，J 为机组的转动惯量,p n 极对数，r ω为电机转子的旋转角速度。
异步电动机的数学模型和电压空间矢量
异步电动机的数学模型
异步电动机的数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。
在建立其数学模型时作如下假定。
（1）电动机定、转子三相绕组完全对称，所产生的磁势在气隙空间中呈正弦分布。
（2）忽略铁芯涡流、饱和及磁滞损耗的影响，各绕组的自感和互感都是线性的。
（3）暂不考虑频率和温度变化对电机参数的影响。
异步电机的数学模型一般包括电压方程、磁链方程、电磁转矩方程和机电运动方程。
对异步电机进行分析和控制时，均需对三相进行分析和控制，若引入Park 矢量变换，会带来很多方便。
Park 矢量变换将三个标量（三维）变换为一个矢量（二维）。
如图2.1所示，选三相定子坐标系中的a 轴与Park 矢量复平面的实轴α轴重合可得α、β坐标系。
图2.1 a 、b 、c 坐标系与α、β坐标系的关系
三相静止坐标系(a 、b 、c)到两相静止坐标系(α、β)的3/2变换矩阵为：
1112223022C ⎡⎤
--
⎢⎥
⎢
=⎢-⎢⎣⎦ （2.1） 可得到异步电机在两相静止坐标系(α、β)中的电压方程：
00
00s s s s m s s s s m r r m r m
r r r r r r r m
m r r
r r U i R L p L p U i R L p
L p U i L p L R L p L U i L L p
L R L p ααββααββωωωω+⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2.2） 式中：
s R 、r R ――分别为定子电阻和转子电阻；
s L 、r L 、m L ――分别为定子自感、转子自感和定、转子互感；
r ω――电机转子角速度（电角速度）；
s U α、s U β――分别为定子电压的α、β分量；
r U α、r U β――分别为转子电压的α、β分量,在鼠笼机中r U α＝r U β＝0； s i α、s i β――分别为定子电流的α、β分量； r i α、r i β――分别为转子电流的α、β分量；
p ――微分算子，d
p dt
=。
电机的磁链方程为：
0000000
s s s m s s s m r r m r r r m
r i L L i L L i L L i L L ααββααββψψψψ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（2.3） 式中：
s αψ、s βψ――分别为定子磁链的α、β分量；
r αψ、r βψ――分别为转子磁链的α、β分量。
电机的电磁转矩方程为：
()3
2e n m r s s r T P L i i i i αβαβ=- （2.4）
或利用式（2.3）改写成：
()3
2e n s s s s T P i i αββαψψ=- （2.5）
式中：
e T ――电机的电磁转矩； n P ――电机的极对数。
电机的机电运动方程为：
r
e L n d J T T P dt
ω-=
（2.6）
式中：
L T ――负载转矩；
J ――电机及拖动系统的转动惯量。
式（2.6）即构成了异步电机在α、β坐标系下完整的动态数学模型。
为了便于综合分析，上述电机方程有时采用矢量方程的形式。
以α轴为实轴，β轴为虚轴，可以得到矢量形式的异步电动机数学模型[12]、[27]。
s s s s r r r r r
d U R I dt
d
U R I j dt ψψωψ=+
=+- （2.7）
s s s m r r m s r r
L I L I L I L I ψψ=+=+ （2.8）
()()33
22
e n m r s n s s T P L I I P I ψ=
⨯=⨯ （2.9） r
e L d J T T ω-=
（2.10）
两点式逆变器各开关元件的通断可以组成8个开关状态，见表 2.1。
Sa=1时，表示逆变器的a 桥臂的上开关闭合，下开关断开；Sa=0时，情况相反，另外两个桥臂与此同。
如图 2.3所示以定子绕组轴线为空间坐标系，建立静止三相坐标系a 、b 、c ，同时建立正交两相坐标系α、β，这样8个开关状态对应8个电压空间矢量U0～U7，其中U0和U7为零电压空间矢量。
电压空间矢量如图2.3所示。
表2.1 逆变器的8种开关组合状态
(001)
(101)
12u 3u β
图2.3 电压空间矢量
根据逆变器的开关状态，其输出的三相相电压由下式得到：
2111213112a a d b b c c u S U u S u S --⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
（2.11） 若用s u 代表定子三相电压的合成作用在定子坐标系中的位置，则称s u 为定子电压的空间矢量。
设a u 与α轴重合，则其Park 变换式为：
24332
()3
j j s a b c u u u e u e ππ=++ （2.12）
并用0u ，1u ，2u …7u 表示八种开关组合状态下的电压矢量。
例如011abc S =时，得： 23d a U u =-，3
d b c U
u u ==。
可知：
24331222211()()((3333333223222222
33333
j j d d d d d d j d d d d U U U U U U u e e j j U U U U e ππ
π⎡⎤
=-++=-+-++--⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
上式说明，开关组合（011）状态下电压矢量1u 的幅值等于2/3d U ，与α轴夹角为180︒，用相同的方法可以导出其他矢量的幅值和位置，如图 2.3所示。
六个电压矢量分别为：()()()()()()123456011,001,101,100,110,010u u u u u u ，称之为有效电压矢量，其幅值均为2/3E ，它们在坐标系中的位置相差60︒。
开关组合（000）和（111）状态下电动机电压均等于0，所以称之为零电压矢量，用
0u 代表组合（000），用7u 代表组合（111）。
