高二数学 1、112四种命题及其相互关系同步练习 新人教A版选修11

人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.1.2 四种命题同步练习题【基础演练】题型一：四种命题的概念及表示形式一般的，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式是：原命题：若p ，则q （q p ⇒）；逆命题：若q ，则p （p q ⇒）；否命题：若┐p ，则┐q （┐p ⇒┐q ）；逆否命题：若┐q ，则┐p （┐q ⇒┐p ）。

请根据以上知识解决以下1-3题。

1. 命题“若B B A =⋃，则A B ⊆”的否命题是________________________，逆否命题是________________________。

2. 下列说法中，不正确的是A. “若p ，则q ”与“若q ，则p ”是互逆的命题B. “若非p ，则非q ”与“若q ，则p ”是互否的命题C. “若非p ，则非q ”与“若p ，则q ”是互否的命题D. “若非p ，则非q ”与“若q ，则p ”是互为逆否的命题3. 命题“若0a >，则43a 4a 3=”的相关命题如下，在题后括号内注明它是这一命题的什么命题。

（1）若0a ≤，则43a 4a 3≠；（ ）（2）若43a 4a 3=，则0a >；（ ） （3）若43a 4a 3≠，则0a ≤。

（ ）题型二：四种命题的相互转化如果已知一种命题形式，可以根据四种命题间的关系，写出其余三种命题，注意分清题设、结论，按其形式写出即可，请用以上知识解决4-7题。

4. 命题“a ，b 都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是A. a ，b 都不是偶数，则b a +不是偶数B. a ，b 不都是偶数，则b a +不是偶数C. b a +不是偶数，则a ，b 都不是偶数D. b a +不是偶数，则a ，b 不都是偶数5. 命题“若0a >，则0a 2>”的否命题是A. 若0a 2>，则0a >B. 若0a <，则0a 2<C. 若0a ≤，则0a 2≤D. 若0a ≤，则0a 2≥6. 命题“若b a >，则22bc ac >”的逆命题是A. 若22bc ac >，则b a >B. 若22bc ac >，则b a ≥C. 若22bc ac <，则b a <D. 若b a ≤，则22bc ac ≤7. 分别写出命题“若=+22y x ，则x 、y 全为零”的逆命题、否命题与逆否命题。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.1.3 四种命题的关系及判断同步练习题【基础演练】题型一：四种命题间的相互关系原命题、逆命题、否命题、逆否命题间有如下关系：由此，我们可以对其进行相互转化，关键是注意条件、结论，请用以上知识解决以下1-3题。

1. 若命题p 的逆命题是q ，命题p 的逆否命题是r ，则q 是r 的A. 逆命题B. 否命题C. 逆否命题D. 以上都不正确2. 若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题的A. 逆否命题B. 逆命题C. 否命题D. 原命题3. 若命题A 的逆命题为B ，命题A 的否命题为C ，则B 是C 的A. 逆命题B. 否命题C. 逆否命题D. 以上都不正确题型二：关于四种命题间真假性的关系及判断一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下四种关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真；④逆命题为真，否命题一定为真。

特别要注意原命题的逆命题与否命题：原命题与逆否命题的等价关系，请用以上知识解决4-7题。

4. 与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是A. 能被2整除的整数，一定能被6整除B. 不能被6整除的整数，一定不能被2整除C. 不能被6整除的整数，不一定能被2整除D. 不能被2整除的整数，一定不能被6整除5. 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中A. 真命题的个数一定是奇数B. 真命题的个数一定是偶数C. 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D. 以上判断均不正确6. 有下列四个命题，其中真命题是①“若1xy =，则x 、y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若1b -≤，则方程0b b bx 2x 22=++-有实根”的逆否命题；④“若B B A =⋃，则B A ⊇”的逆否命题。

A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④7. 若a 、b 、c R ∈，写出命题“若0ac <，则0c bx ax 2=++有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假。

课下能力提升(二)[学业水平达标练]题组1四种命题的概念1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A解析：选B命题“若p，则q”的否命题是“若┐p，则┐q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是__________，逆否命题是__________．答案：若x>0，则x>1若x≤0，则x≤13．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．答案：②和③①和③①和②题组2四种命题的真假判断4．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：选A对A，即判断：“若x>|y|，则x>y”的真假，显然是真命题．5．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题解析：选C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．6．判断命题“当向量a和向量b共线时，必有b＝λa(λ∈R)”的逆否命题的真假．解：原命题：若向量a和向量b共线，则b＝λa(λ∈R)．因为当b≠0，a＝0时，b＝λa(λ∈R)不成立，所以原命题是假命题，所以这个命题的逆否命题是假命题．题组3等价命题的应用7．证明“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”时，可以转化为证明()A．若x＋y≤2，则x2＋y2＝2B．若x＋y>2，则x2＋y2≠2C．若x2＋y2≠2，则x＋y>2D．若x＋y≤2，则x2＋y2≤2解析：选B由于原命题与逆否命题的真假性相同，所以可以转化为证明“若x＋y>2，则x2＋y2≠2”，故选B.8．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．9．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为：“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”，当a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b －2＋1＝0，故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．[能力提升综合练]1．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：选A设p为“若A，则B”，那么q为“若┐A，则┐B”，r为“若┐B，则┐A”．故q与r为互逆命题．2．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m() A．0 B．1C．2 D．3解析：选B命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④解析：选C命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．4．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中所有正确叙述的序号是________．解析：原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．答案：①②5．已知：A 表示点，a ，b ，c 表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：①a ⊥α，b ⊄α，若b ∥α，则b ⊥a;②a ⊥α，若a ⊥β，则α∥β；③a ⊂α，b ∩α＝A ，c 为b 在α上的射影，若a ⊥c ，则a ⊥b ；④a ⊥α，若b ∥α，c ∥a ，则a ⊥b ，c ⊥b .其中逆命题为真的是________．解析：④的逆命题：“a ⊥α，若a ⊥b ，c ⊥b ，则b ∥α，c ∥a ”，而b ，c 可以在α内，故不正确．答案：①②③6．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]7．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有解，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有解．为真命题．否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0无解，则a 2<4b .为真命题． 逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0无解．为真命题．8．求证：若空间四点不共面，则这四点中任意三点都不共线．证明：逆否命题：若四点中有三点共线，则这四点共面．证明逆否命题是真命题，证明如下：假设A，B，C，D四点中，点A，B，C都在直线l上，点D在直线l外．又点D与直线l一定共面，所以A，B，C，D四点共面，所以逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，即若空间四点不共面，则这四点中任意三点都不共线．。

1.1.2四种命题及其相互关系一、选择题1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”[答案] B[解析] 考查命题与它的逆命题之间的关系．原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是( )A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析] ∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案] A[解析] 否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A.4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( ) A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[答案] C[解析] 特例：p：若∠A＝∠B，则a＝br：若∠A≠∠B，则a≠bs：若a≠b，则∠A≠∠Bt：若a＝b，则∠A＝∠B.5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是( )A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案] D[解析] 原命题为真，故逆否命题为真．6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A．4 B．3C．2 D．0[答案] C[解析] 当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．7．设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则a⊥bC．b⊂β，则b⊥α，则β⊥αD．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c[答案] C[解析] C选项的逆命题为“设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，b⊂β，若β⊥α，则b⊥α”，这个命题是假命题，b与α的位置关系除垂直外，还可能b与α相交或b∥α.8．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是( )A．若m∈M，则n∉MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M[答案] D[解析] 原命题与逆否命题等价．9．有下列四个命题：(1)“若x－y＝0，则x，y为相等的实数”的逆命题；(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；(3)“若x>5，则x2－3x－10>0”的否命题；(4)“若a b是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] (1)逆命题“x，y为相等实数，则x－y＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假．(3)否命题“若x≤5，则x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.为假命题．(4)逆命题“若a、b是无理数，则a b也是无理数”，假如a＝(2)2，b＝2，则a b＝2是有理数．10．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案] A[解析] 因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.二、填空题11．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．[答案] 真12．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案] 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.13．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．[答案] 假[解析] 如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．14．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”．(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．[答案] (1)偶数一定是末位是2的整数．(2)不是整数的数就不是有理数．(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．三、解答题15．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．[解析] (1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．16．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析] 逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理，故逆否命题为假．17．写出下列命题的否定和否命题．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.[解析] (1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.18．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析] 直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析] 原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．。

1-1 第2课时四种命题及其相互关系一、选择题1．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析] 原命题是x≥0，y≥0⇒xy≥0，所以原命题正确则它的逆否命题也是正确的．逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，因为xy≥0时也可能x≤0，y≤0故逆命题为假命题，而否命题与逆命题是等价命题，所以否命题也为假命题．故正确命题有两个．2．如果x2＝1，则x＝1的否命题为( )A．如果x2≠1，则x＝1B．如果x2＝1，则x≠1C．如果x2≠1，则x≠1D．如果x≠－1，则x2≠1[答案] C[解析] “若p则q”的否命题形式为“若綈p则綈q”．3．下列说法正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真[答案] D[解析] 原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，同真或同假．4．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤1，则x2≥1[答案] D[解析] “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，－1<x<1的否定为x≤－1或x≥1，x2<1的否定为x2≥1.5．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的否命题是( )A．若ab≠0，则a≠0或b≠0B．若a≠0或b≠0，则ab≠0C．若ab≠0，则a≠0且b≠0D．若a≠0且b≠0，则ab≠0[答案] C[解析] a＝0或b＝0的否定是a≠0且b≠0.6．给出以下4个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC 中，若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A．①B．②C．③D．④[答案] C[解析] 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．7．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案] A[解析] 否命题对命题的条件和结论都否定．8．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；(4)“若a b是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] (1)逆命题“x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假．(3)否命题“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，例如x＝4>－3，但x2＋x－6＝14>0，故为假．(4)逆命题“若a、b是无理数，则a b也是无理数”，例如a＝(2)2，b＝2，而a b＝2是有理数，故为假．9．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，p 的逆命题为t ，则s 是t 的( )A ．逆否命题B ．逆命题C ．否命题D ．原命题[答案] C[解析] 特例： p ：若∠A ＝∠B ，则a ＝br ：若∠A ≠∠B ，则a ≠bs ：若a ≠b ，则∠A ≠∠Bt ：若a ＝b ，则∠A ＝∠B .10．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1”，则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] C二、填空题11．已知下列四个命题：①a 是正数； ②b 是负数；③a ＋b 是负数； ④ab 是非正数．选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是____________________________．[答案] 若a 是正数且a ＋b 是负数，则b 是负数[解析] 逆否命题为真命题，即该命题为真，a 是正数，且a ＋b 是负数，则b 一定是负数，故填a 是正数且a ＋b 是负数，则b 一定是负数．12．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________________________．[答案] 圆的切线到圆心的距离等于圆的半径13．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案] 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.14．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．[答案] 假[解析] 如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．三、解答题15．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．[解析] (1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．16．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析] 逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．17．写出下列命题的否定和否命题．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.[解析] (1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.18．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析] 直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析] 原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．。

1.1 命题及其关系同步练测一、选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分）1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A.若一个数是负数，则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数，则它是负数C.若一个数不是负数，则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数，则它不是负数2.命题“若,则△是等边三角形”的否命题是( )A.假命题B.与原命题同真同假C.与原命题的逆否命题同真同假D.与原命题的逆命题同真同假3.原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的是( )A.原命题是真命题B.逆命题是假命题C.否命题是真命题D.逆否命题是真命题4.与命题“若,则”等价的命题是（）A.若,则B.若，则C.若，则D.若，则5.命题：“若x、y、z都大于0，则xyz＞0”的逆否命题是（）A．若xyz＜0，则x、y、z都不大于0B．若xyz＜0，则x、y、z不都大于0C．若xyz≤0，则x、y、z都不大于0D．若xyz≤0，则x、y、z不都大于06.以下说法错误的是( )A.如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题7.在命题“若a＞b，则22ac bc＞”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A.4个B.3个C.2个D.1个8.有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则方程220x x q++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号有（ ） A.①②③ B.①③④ C.①③ D.①④ 二、填空题（本题共3小题，共18分）9.命题：“已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a=b ，c=d ，则a+c=b+d ”的逆否命题是：______________________. 10.给出下列命题：①原命题为真,它的否命题为假； ②原命题为真,它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真； ④若命题的逆否命题为真,则它的否命题一定为真；⑤“若 ，则 的解集为R ”的逆命题.其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 11.有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题“若m ≤1，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A ∪B =B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题是________．（填上你认为正确的命题的序号）三、解答题（本题共2小题，共34分）12.（本小题满分20分）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）若，则方程有实根；（2）若,则实数,全为零. 13.（本小题满分14分）将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．（1）正数a的平方根不等于0；（2）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形．1.1 命题及其关系同步练测答题纸得分：一、选择题二、填空题9． 10． ___ 11.三、解答题12.13.1.1 命题及其关系 同步练测答案一、选择题1.B 解析：一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2.D 解析：“若∠ ,则△ 是等边三角形”的否命题是真命题，且否命题与逆命题同真同假.3.C 解析：圆内接四边形也可能是矩形，故原命题不正确；逆命题：“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题也是真命题，故选C.4.D 解析：因为原命题与逆否命题是等价命题，所以只需找出原命题的逆否命题即可．5.D 解析：“若x 、y 、z 都大于0，则xyz ＞0”的逆否命题是“若xyz ≤0，则x 、y 、z 不都大于0”,故选D.6.B 解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B 错误.7.C 解析：命题“若a ＞b ，则22ac bc ＞”为假命题； 其逆命题为“若22ac bc ＞，则a ＞b ”为真命题； 其否命题为“若a ≤b ，则22ac bc ≤”为真命题； 其逆否命题为“若22ac bc ≤，则a ≤b ”为假命题.故选C.8.C 解析：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题是：若x ，y 互为相反数，则x+y=0．它是真命题． ②“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．③若q ≤1，则440q ∆=-≥，故命题“若q ≤1，则方程220x x q ++=有实根”是真命题，它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故③是真命题． ④原命题为假，其逆否命题也为假．故选C ．二、填空题9.已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a+c ≠b+d ，则a ≠b 或c ≠d 解析：命题的逆否命题是条件与结论交换并且否定.10.②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两个命题同真同假，故 ①④错误，②③正确．因为不等式 的解集为R ， 所以由， ，解得 .故⑤正确．11.①②③④解析：①命题“若xy=1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是真命题，因为两数互为倒数，其乘积必为1； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题，因为面积不相等的三角形一定不全等；③命题“若m ≤1，则220x x m -+=有实根”的逆否命题是真命题，因为原命题中，由m ≤1可得出∆≥0，故原命题真，故其逆否命题也是真命题；④命题“若A ∪B =B ，则A ⊆B ”的逆否命题是真命题，因为命题“若A ∪B =B ，则A ⊆B ”是真命题，故其逆否命题也是真命题.综上，①②③④是真命题. 三、解答题12.解：（1）逆命题：若方程 有实根，则 ，假命题.否命题：若，则方程无实根，假命题.逆否命题：若方程无实根，则，真命题.（2）逆命题：若实数,全为零，则，真命题.否命题：若，则实数,不全为零，真命题.逆否命题：若实数,不全为零，则，真命题．13.解：（1）“若p则q”的形式：若一个数a是正数，则它的平方根不等于0；逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数a不是正数，则它的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．（2）“若p则q”的形式：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆命题：若一个四边形不是矩形，则这个四边形的两条对角线不相等；否命题：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；逆否命题：若一个四边形是矩形，则这个四边形的两条对角线相等．。

第一章常用逻辑用语课后篇巩固提升基础巩固A.若a n ≠2n -1,则数列{a n }不是等差数列B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n -1C.若a n =2n-1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n }是等差数列,则a n ≠2n -1A.若sin x<12,则x<π6B.若x≥π6,则sin x≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x≤12,则x≤π6A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.能被6整除的整数,一定不能被3整除A.0B.1C.2D.3{a n}中没有为零的项,则数列{a n}为等比数列.ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠010.已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.p+q>2,则q>2-p,根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3,即q3>8-12p+6p2-p3,]≥2,p3+q3>8-12p+6p2=6[(p-1)2+13故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立.故p+q≤2成立.能力提升A.0B.1C.2D.38.求证:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1.因为a+b=1,所以a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a+b)2+2(a+b)-3=12+2-3=0.。