大学物理 稳恒电流场

大学物理 恒定电流稳恒磁场知识点总结1. 电流强度和电流密度 电流强度：单位时间内通过导体截面的电荷量 （电流强度是标量，可正可负）；电流密度：电流密度是矢量，其方向决定于该点的场强E 的方向（正电荷流动的方向），其大小等于通过该点并垂直于电流的单位截面的电流强度dQ I dt =， dIj e dS= ， S I j dS =⎰⎰ 2. 电流的连续性方程和恒定电流条件 电流的连续性方程：流出闭合曲面的电流等于单位时间闭合曲面内电量增量的负值（其实质是电荷守恒定律）dqj dS dt=-⎰⎰ ， （ j tρ∂∇=-∂ ）； 恒定电流条件： 0j dS =⎰⎰ ， （ 0j ∇= ） 3. 欧姆定律及其微分形式： UI R=， j E σ=， ，焦耳定律及其微分形式： 2Q A I Rt == 2p E σ= 4. 电动势的定义：单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功AK dl q ε+-==⎰ ， K dl ε=⎰5. 磁感应强度：是描述磁场的物理量，是矢量，其大小为0sin FB q v θ=，式中F 是运动电荷0q 所受洛伦兹力，其方向由 0F q v B =⨯决定 磁感应线：为了形象地表示磁场在空间的分布，引入一族曲线，曲线的切向表示磁场的方向，密度是磁感应强度的大小；磁通量：sB dS φ=⎰⎰ （可形象地看成是穿过曲面磁感应线的条数）6．毕奥一萨伐尔定律： 034Idl r dB r μπ⨯=34L Idl rB r μπ⨯=⎰7．磁场的高斯定理和安培环路定理磁场的高斯定理： 0SB dS =⎰⎰、 （ 0B ∇= ） （表明磁场是无源场）安培环路定理：0i LiB dl I μ=∑⎰、LSB dl j dS =⎰⎰⎰ 、(0B j μ∇⨯=)（安培环路定理表明磁场是有旋场）8．安培定律： dF Idl B =⨯ 、L F Idl B =⨯⎰磁场对载流线圈的作用: M m B =⨯ (m 是载流线圈的磁矩m IS =)9．洛伦兹力：运动电荷所受磁场的作用力称为洛伦兹力f qv B =⨯带电粒子在匀强磁场中的运动：运动电荷在匀强磁场中作螺旋运动，运动半径为mv R qB⊥=、周期为 2m T qB π= 、螺距为 2mv h v T qB π==霍尔效应 ： 12HIBV V K h-= 式中H K 称为霍尔系数，可正可负，为正时表明正电荷导电，为负时表明负电荷导电 1H K nq=10．磁化强度 磁场强度 磁化电流 磁介质中的安培环路定理mM τ∑=∆ 、 LL M dl I =∑⎰，内、n i M e =⨯， 0BH M μ=- 、m M H χ= 、 00m r B H H μχμμμ==（1+）H=、 0i LiH dl I =∑⎰、LSH dl j dS =⎰⎰⎰。

第12章稳恒电流与稳恒电场本章学时：2学时课程名称：大学物理（上册）主讲教师：谭毅电流密度电流的连续性方程电阻欧姆定律电动势1. 电流：大量电荷的定向运动。

电荷的携带者：自由电子、质子、正负离子——载流子。

电流的方向：正电荷从高电势向低电势移动的方向规定为电流的方向。

注意：导体中自由电子由低电势向高电势方向运动，即与电流方向相反。

电流I ：通过截面S 的电荷随时间的变化率，d d q I t=单位：安（培）A111−⋅=s C A 常用辅助单位有mA 和μA361μA 10mA 10A−−==当导体中电流不随时间变化时，这种电流叫恒定电流。

12.1 电流密度电流的连续性方程一、电流电流密度2. 电流密度（1）电流线：在大块的导体中，电流一般不均匀，可用电流线来描述各处电流的方向和大小。

（2）电流密度：导体中任意点的电流密度的方向为该点正电荷的运动方向，的大小等于单位时间内，通过该点附近且垂直于正电荷运动方向的单位面积内的电荷。

j KjK QΔ+PαsK Δn e K jK 在P 点选面元其法线为s KΔne K （即电流密度的方向）夹角αj K△t 时间内通过的电荷为+△Q ，则s KΔααcos cos ⋅ΔΔ=⋅Δ⋅ΔΔ=S I S t Qjαcos ⋅ΔS 为面元在垂直于的方向上的投影，可得s KΔj K 通过截面S 的总电流：sj S j I KK Δ⋅=⋅Δ⋅=Δαcos ∫⋅=Ssd j IK K 3．电流密度、自由电子数密度及电子漂移速度之间的关系漂移速度：自由电子在电场力作用下产生定向移动的平均速度，dv K漂移速率：漂移速度的大小。

dv K设导体中自由电子数密度（单位体积内的电子数）为n ，电子的漂移速度为在导体中取面元△S ，与垂直在△t 时间内，长为截面积为△S 的d v Kt v d ΔK 柱面内电子全部通过△S, 电子数为，每个电子电量为e ，则：S t v n d ΔΔKSΔtv l Δ⋅=K KSe nv tq I d Δ=ΔΔ=Δdnev SI j =ΔΔ=金属导体中的电流和电流密度均与自由电子数密度、电子的漂移速率成正比。

第八章稳恒电流导体中的电流不随时间改变，则称稳恒电流；相应导体内的电场称稳恒电场。

8.1电流密度一、电流强度单位时间通过导体任一截面的电量。

t q I ∆∆=I = 常数称稳恒电流二、电流密度矢量体电流密度J∆ l∆S∆ I数值→SIJ ∆∆=（垂直通过单位横截面电流强度）方向→该点正电荷运动方向矢量式→vρ=J ρ为该点载流子电荷体密度I 和的关系为：J 面电流密度σJ⎰⋅=S Sd J I数值→lIJ ∆∆σ=（垂直通过单位横截线电流强度）方向→该点正电荷运动方向矢量式→vσσ=J 线电流用I 表示vλ=I λ→载流子电荷线密度8.2 稳恒电场的基本方程一、电流连续方程)108(--=⋅⎰Sdt dq S d J ⎰=ττρd q →-)108(τ∂∂ρττd td J ⎰⎰-=⋅∇ 或)118(0)(-=+⋅∇⎰τ∂∂ρd t J 上式称电流连续性方程积分形式，其微分形式为：)128(0-=+⋅∇tJ ∂∂ρ一、电源的电动势e8.3导电媒质中的传导电流电源恒定电势差稳恒电场恒定电流AB+++---E E →'E 非静电场，→E静电场。

电荷q 从B 出发绕行一周，场力的功为：⎰⎰⋅+'+=B A AB ld E q E E q A)( ⎰⎰⋅+⋅'=L AB ld E q l d E q ⎰⎰⋅'=⋅'=L A B ld E q l d E q)188(-⋅'==⎰L l d E qA e Aq ==e ，当1故e 是在非静电场作用下，使单位正电荷绕行一周时，非静电场所做的功。

若积分回路不通过电源内部：0=⋅⎰L l d E 在导体内：E Jγ=（本构关系）→γ电导率二、电流的功率密度电场对单位体积电荷的功率密度：EJ E P⋅==ργ三、导体内净电荷密度恒等于零=∇=⋅∇E J γ0=⋅∇E 02=∇U 或四、导体表面边界条件nq 1J 1J 2q 2γ1γ2nU n U J J n n ∂∂γ∂∂γ221121=→=2121U U t E t E =→=由上式可得：2121tg tg γγq q =8.4稳恒电场与静电场关系稳恒电场静电场0=⋅⎰Ll d E 0=⋅⎰Ll d EJ dS S⋅=⎰0 D dS S ⋅=⎰0∇⨯= E 0∇⨯= E 0∇⋅= J 0∇⋅= D 0I J dSS=⋅⎰ q D dSS=⋅⎰ EJ γ= D E=e对应关系：E E↔ J D ↔eγ↔I q↔静电场边值问题的解稳恒电场边值问题的解称静电比拟法。

第14章 稳恒电流的磁场 参考答案一、选择题1(B)，2(A)，3(D)，4(C)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题(1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). πR 2c ； (3). )4/(0a I μ； (4).RIπ40μ ；(5). μ0i ，沿轴线方向朝右. ； (6). )2/(210R rI πμ， 0 ; (7). 4 ; (8).B I R2，沿y 轴正向； (9). ωλB R 3π，在图面中向上； (10). 正，负.三 计算题1. 将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B的大小．解：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ=AB 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([02⋅π=b I B μBC 段在D 处的磁感强度)221()]4/([03⋅π=b I B μ1B、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为)223(40baI B +ππ=μ2. 半径为R 的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通过垂直于电流方向的每单位长度的电流为K ．求球心处的磁感强度大小．解：如图θd d d KR s K I ==2/32220])cos ()sin [(2)sin (d d θθθμR R R I B +=32302d sin R KR θθμ=θθμd sin 2120K =⎰π=020d sin 21θθμK B ⎰π-=00d )2cos 1(41θθμK π=K 041μ3. 如图两共轴线圈，半径分别为R 1、R 2，电流为I 1、I 2．电流的方向相反，求轴线上相距中点O 为x 处的P 点的磁感强度． 解：取x 轴向右，那么有2/322112101])([2x b R I R B ++=μ 沿x 轴正方向 2/322222202])([2x b R I R B -+=μ 沿x 轴负方向21B B B -=[2μ=2/32211210])([x b R I R ++μ]])([2/32222220x b R I R -+-μ若B > 0，则B方向为沿x 轴正方向．若B < 0，则B的方向为沿x 轴负方向．4．一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定 律可得： )(220R r rRIB ≤π=μ因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为⎰⎰⋅==S B S B d d 1 Φr r RI Rd 2020⎰π=μπ=40Iμ在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为)(20R r rIB >π=μ因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为⎰⋅=S Bd 2Φr r I R Rd 220⎰π=μ2ln 20π=I μ穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π+I μ5. 一半径为 4.0 cm 的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对称发散的，如图所示．圆环所在处的磁感强度的大小为0.10 T ，磁场的方向与环面法向成60°角．求当圆环中通有电流I =15.8 A 时，圆环所受磁力的大小和方向．1 m解：将电流元I d l 处的B分解为平行线圈平面的B 1和垂直线圈平面的B 2两分量，则 ︒=60sin 1B B ； ︒=60cos 2B B分别讨论线圈在B 1磁场和B 2磁场中所受的合力F 1与F 2．电流元受B 1的作用力l IB lB I F d 60sin 90sin d d 11︒=︒=方向平行圆环轴线．因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力⎰=11d F F ⎰π︒=Rl IB 20d 60sin R IB π⋅︒=260sin = 0.34 N ，方向垂直环面向上．电流元受B 2的作用力l IB lB I F d 60cos 90sin d d 22︒=︒= 方向指向线圈平面中心． 由于轴对称，d F 2对整个线圈的合力为零，即02=F ． 所以圆环所受合力 34.01==F FN ， 方向垂直环面向上．6. 如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B中，B 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103 kg/m 3，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB段和CD 段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B的大小．解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)． 重力矩 αραρs i n s i n 2121gSa a a gS a M +⋅=αρsin 22g Sa =B 2d l磁力矩ααcos )21sin(222B Ia BIa M =-π=平衡时 21M M = 所以 αρsin 22g Sa αcos 2B Ia = 31035.9/tg 2-⨯≈=I g S B αρT7. 半径为R 的半圆线圈ACD 通有电流I 2，置于电流为I 1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I 1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I 1的磁力．解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 )2/(10r I B π=μ取xOy 坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：θμsin 210R I B π=， 方向垂直纸面向里，式中θ 为场点至圆心的联线与y 轴的夹角．半圆线圈上d l 段线电流所受的力为：l B I B l I F d d d 22=⨯= θθμd sin 2210R R I I π=θsin d d F F y =． 根据对称性知： F y =0d =⎰y F θcos d d F F x = ，⎰π=0x x dF F ππ=2210I I μ2210I I μ=∴半圆线圈受I 1的磁力的大小为： 2210I I F μ=，方向：垂直I 1向右．I 2I 1A DC8. 如图所示．一块半导体样品的体积为a ×b ×c ．沿c 方向有电流I ，沿厚度a 边方向加有均匀外磁场B (B的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a ＝0.10 cm 、b ＝0.35 cm 、c ＝1.0 cm 、I ＝1.0 mA 、B ＝3.0×10-1 T ，沿b 边两侧的电势差U ＝6.65 mV ，上表面电势高．(1) 问这半导体是p 型(正电荷导电)还是n 型(负电荷导电)？(2) 求载流子浓度n 0 (即单位体积内参加导电的带电粒子数)．解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由上指向下，故上表面电势高，可知是p 型半导体。