用稳恒电流场模拟静电场
1、知识介绍
在科学研究及实际生产中，常常需要确定带电体周围的静电场分布，这些任意形状的带电体在空间的电场分布（即电场强度和电势的分布）比较复杂，一般很难写出它们的数学表达式，理论计算非常困难。例如在电子管、示波管、电子显微镜以及各种显示器部电极形状的设计和研究制造中，都需要了解各电极或导体间的电场分布情况，采用数学方法进行计算十分复杂，一般通过实验的手段来确定。
但直接对静电场进行测量也是相当困难，对于静电场，测量仪器只能采用静电式仪表，而实验中一般采用磁电式仪表，有电流才有反应。静电场中无电流，磁电式仪表不会起作用，且一旦将仪器放入静电场中，探针上会产生感应电荷。这些电荷所产生的电场将叠加到原来的待测静电场中，即测量仪器的介入会导致原静电场分布发生畸变。
为避免数学方法的复杂性以及直接测量的不现实性，实验中采取模拟法测绘静电场。模拟法就是采用一个与待测对象有相似的数学形式或物理规律的模型或装置来代替实际的待测对象，且该模型或装置在实验室条件下较容易实现。相似模型中各个变量与原型中相应变量有相似关系，既包括几何形状相似，也包括质量、时间、力、温度、电流、电场等的相似。
图7-1 垂直风洞模拟空中跳伞图7-2 汽车模拟风洞实验
模拟法一般分为物理模拟和数学模拟两大类。物理模拟具有生动形象的直观性，并可使观察的现象反复出现，尤其是对于那些难以用数学表达式准确描述的对象进行研究时，常常采用物理模拟方法。数学模拟是指模型和原型遵循相同的数学规律，满足相似的数学方程和边界条件。
本实验模拟构造了一个与原静电场完全一样的稳恒电流场，当用探针去测模拟场时，原场不受干扰，因此可间接地测出模拟场中各点的电势，连接各等电势的点作出等势线。根据
电场线与等势线的垂直关系，描绘出电场线，这样就可以由等势线的间距确定电场线的疏密和指向，即可形象地了解电场情况。理论和实验都能证明，只要电极的形状和大小，相对位置和边界条件一致，这两个场的分布应该是一样的。即，静电场的电场线和等势线与稳恒电流场的具有相似的分布，所以测定出稳恒电流场的电势分布也就求得了与它相似的静电场的电场分布。
2、实验目的
1、学习用稳恒电流场模拟法测绘静电场的原理和方法。
2、加深对电场强度概念的理解。
3、描绘实验所提供的不同电极的静电场等势线及电场线。
3、实验原理
本实验将稳恒电流场作为静电场的相似模型，用稳恒电流场中的电流线代替静电场中的电场线，用稳恒电流场中的电势分布模拟静电场的电势分布。
稳恒电流场中，电流是大量电荷定向运动的结果，运动电荷产生的电场不可能是静电场，那么为什么稳恒电流场可以模拟静电场呢？这是由于静电场的基本规律如高斯定理、环路定理等对稳恒电流场同样适用。但是，静电场要求的条件比稳恒电场的条件更高。静电平衡条件要求电荷不流动，即没有电流，静电场中导体部的电场强度为零。而稳恒电流只要求电荷分布不随时间变化，即稳恒条件下的导体部的电场强度可以不为零。
当电流场中的电极与静电场中的导体有相同的形状和位置，并且有相同的电势差时，这两种电场具有相同边界条件的相同方程，有相同的解，即有相同的电场分布。下面以无限长同轴柱面的静电场与稳恒电流场为例进行证明。
1)无限长同轴柱面的静电场分布
（a ） （b ）
图7-3 无限长同轴圆柱面的静电场分布 圆柱形导体和圆柱壳导体同心放置，分别带有等值异号电荷。其间为真空，由高斯定理可知，其电场线沿径向由A 向B 辐射分布。下面以任一垂直于轴的横截面M 上的电场分布为例进行分析。
如图7-3（b ）所示，设横截面小圆的电势为Rx ，半径为a ，大圆的电势为b V ，半径为b ，则电场中距离轴心半径为r 处的各点电场强度为
r
E 02πελ= 式中，λ为A （或B ）的电荷线密度，其电势r V 可表示为：
a r r V r d E V V a r a a r ln 20πελ-=⋅-
=⎰ （7-1） 令b r =时，0=b V ，则
a
b V a ln 20=πελ （7-2）
代入式（7-1） 得
a b r b
V V a r ln ln
= （7-3）
图7-4 无限长通电同轴圆柱面的稳恒电流场分布 若A 、B 间不是真空，而是充满电阻率为ρ的一种不良导体，且A 和B 分别与直流
电源的正极和负极连接，如图7- 4所示，A 、B 间形成径向电流，建立了一个稳恒电流场。同样分析垂直于轴的横截面，取厚度为δ的同轴圆柱片来研究。半径为dr r r +-之间的圆柱片的径向电阻为
r dr dR πδρ2=
（7-4）
则半径r 到b 之间的圆柱片的电阻为
r
b R rb ln 2πδρ= （7-5） 若0=b V ，则径向电流为
a
b V R V I a ab a ln 2ρπδ== （7-6） 距中心r 处的电势为
a b r b
V IR V a rb r ln ln
'== （7-7） 上式与式（7-3）具有相同的形式，说明稳恒电流场与静电场的电势分布是相同的，而
E dr
dV dr dV E =-=-='' 因此，稳恒电流的电场与静电场的分布也相同。
由于实际工作中所遇到的带电体情形比较复杂，因此并不是每种带电体的静电场及模拟
场的电势分布函数都能计算出来，如本实验中点条状电极电场、聚焦电极电场的电势分布就不能得出具体的解析解，只有在电导率分布均匀、几何形状对称规则的特殊带电体的场分布，
才能用理论严格计算。上面只是通过一个特例，证明了用稳恒电流场模拟静电场的可行性与等效性。
2)模拟静电场的实验条件
在实验室中，电流场很容易实现，但在用稳恒电流场模拟静电场时，必须注意相似模型满足的相似性条件，即在搭建实验装置和进行模拟实验时应注意以下几点：
●稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同；
●静电场中带电导体的表面是等势面，电流场的电极表面也应是等势面。所以，稳恒电流
场中的导电介质应是不良导体且电导率分布均匀，并满足σ电极>>σ导电质才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等势面。
●模拟所用电极系统与被模拟静电场的边界条件相同。
利用稳恒电流场与相应的静电场在空间形式上的一致性，在确保电极形状一定，电极电势不变，空间介质均匀的情况下，在任何一个考察点，均应有“U稳恒=U静电”或“E稳恒=E静电”。
3)其他类型电极静电场的模拟
✧无限长通电平行直导线的电场模拟
✧平行板电容器的电场模拟
