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现代投资组合理论与投资风险管理――单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。
随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：R代表股票收益。
R m代表市场指数的收益率一一随机变量。
a代表股票i的收益中独立于市场表现的部分一一随机变量。
[i度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
a i项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分：用「表示ai的期望值，e表示q中的随机变量，E（e）= o。
即: a^ :i e一只股票的收益方程现在可以写为：R…i…匚肘ee和R m都是随机变量，分别以 6和b m表示它们的标准差单指数模型的基本方程：R …i …i R m+ e其中E(e)=O,对所有股票i/,|",N二、模型的假设条件1. 指数与特有收益不相关：E[e(R m-R m)] = o i7lll,N2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：E(eej)= 0 i = N及j = N且H j三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是：(1)收益均值：R"i+0j R m(2)证券收益的方差：2 = -1 m v(3)证券i和j收益之间的协方差：j二▼产m 这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算任何组合的期望收益是：_ N _ N N _R p 八X i R 八X i i 、X i ‘龙in in i=N另X i i，i =1R八Rp p p m我们知道一个股票组合的方差的公式是：N N N二：八X i2]2：二X i X jjji丄i丄jVi=j代入前面G2和；「ij的结果，我们得到：N N N N「2 %2：2「2 、\ X X | | 2a x2「2p i i m i j i j m i eiim id j i=1i=j进一步还可简化为：N N N二2二二X i X - 2 ' X2二 2p i j i j m i eiiT jH iHN N Ny x「）c x「j）「m」x i冷i =1 j =1 i =1NR 2 2 丄丁、/ 2 2X i 二ei二-p" m 'iT四、单因素模型的估计和应用1、估计:i与e首先举例说明:i与e的值的得来。
一、多个证券的组合：利用两种证券的收益风险计算模型AB B A B A BB A A P B B A A P x x x x r E x r E x r E ρσσσσσ.2)()()(22222++=+=可得多个证券组合的收益率与风险计算模型。
设有证券N 种，记作A 1、A 2、……A N ，证券组合),,,(21N x x x P =表示将资金以权数N x x x ,,21投资到相应证券A 1，A 2……A N 上。
i x 可以小于0，组1=∑i x ，设A i 的收益率为),2,1(N i r i =，则组合P 的收益率为：)1(...2211NN P r x r x r x r +++=由马可维茨投资组合理论定义，N 个证券的组合P 的预期收益率和方差，分别由下式计算：∑∑∑=≤<≤=+==Ni Nj i jijii i P i Ni i P xx x x x r E x r E 112221),cov(.2.)2()()(σσ∑∑=≤<≤+=Ni Nj i ijjijii i x x x 1122)3(.2.ρσσσ二、单指数模型由（3）式知，若要计算一个有较多种证券构成的组合投资P 的方差或标准差，并由此比较风险，则需计算证券两两间的相关系数。
计算工作量随着N 的增大而快速增加。
比如沪深两地共有股票1600种左右，则需要估算的预期收益率、方差和协方差个数将达130(2)3(+n n )万个之多。
此时用（3）式衡量组合投资的风险就来得困难了。
人们总希望用一些相对简洁、明了的方式来揭示证券市场中收益与风险的关系。
考虑可以有一个指数作为基准参照指标，将证券两两之间关联性的计算转为证券与指数的关联性，最后仍可作出比较。
这样，关联性数据只需计算与证券个数一样多的即可。
如果一个指数说明不了问题，可考虑2个或2个以上（多个），这样就有了单指数模型与多指数模型。
单个证券的单指数模型为：)4(iM i i i r r εβα++=这是一个回归方程，对于随机误差变量i ε,有假设①0)(=i E ε，②j i Cov j i ≠∀=,0),(εε,③0),(,=i M r Cov ε,M r 为市场整体的收益率水平。
现代投资组合理论与投资风险管理
——单指数模型
一、模型概述
单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。
随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：
i i i m R a R β=+
i R 代表股票收益。
m R 代表市场指数的收益率——随机变量。
i a 代表股票i 的收益中独立于市场表现的部分——随机变
量。
i β度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
i a 项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部
分：用i α表示i a 的期望值，i e 表示i a 中的随机变量，()0i E e =。
即：i i i a e α=+
一只股票的收益方程现在可以写为：
i i i m i R R e αβ=++
i e 和m R 都是随机变量，分别以ei σ和m σ表示它们的标准差。
单指数模型的基本方程：
i i i m i R R e αβ=++
其中()0i E e =，对所有股票1,,i N =L 二、模型的假设条件 1. 指数与特有收益不相关：
[()]0i m m E e R R -= 1,,i N =L
2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：
()0i j E e e = 1,,1,,i N j N i j ==≠L L 及且
三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算 在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是： （1） 收益均值：i m i i R R αβ=+
（2） 证券收益的方差：2222i i m ei σβσσ=+
（3） 证券i 和j 收益之间的协方差：2
ij i j m ββσσ=
这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。
任何组合的期望收益是：
1
1
1
N N N
p i i i i i i m i i i R X R X X R αβ=====+∑∑∑
另1
N i i i p X ββ==∑，1
N
p i i i X αα==∑，则：
p p m p R R αβ=+
我们知道一个股票组合的方差的公式是：
2221
11
N
N
N
p
i
i
i j ij i i j i j
X X X σσσ===≠=+∑∑∑
代入前面2i σ和ij σ的结果，我们得到：
2222222
1
11
1
N
N
N
N
p
i
i
m
i j i j m
i ei
i i j i i j
X X X X βσββσσσ====≠=++∑∑∑∑ 进一步还可简化为：
2222
11
1
222
1
22221
11()()N
N
N
p
i j i j m
i ei i j i N
m i ei
i N
p m i ei
i N N
i i j j i j X X X X X X X ββσσσσβσσσββ========+=+=+∑∑∑∑∑∑∑
四、 单因素模型的估计和应用 1、估计i α与i e
首先举例说明i α与i e 的值的得来。
表1是投资者在过去5个月可能观察到的某只股票的股票收益及市场收益，暂且假定
1.5i β=，如何求i α与i e 的值。
表1 单指数模型收益分解
月 股票收益 市场收益 i R = i α + i m R β + i e
2、估计贝塔 （1）估计历史贝塔
一只股票的收益方程可以写为：
i i i m i R R e αβ=++
如果假设i α、i β和2
ei σ是固定的，不随时间而变化，那么同样
的方程在任何时点都成立。
这样完全可以最小二乘法来估计
i β以及i α。
（2）度量贝塔向1回归的趋势——布卢姆技术
研究发现预测期的贝塔比根据历史数据得到的估计值更接近于1，下一步要修正历史贝塔，以体现出这一趋势。
布卢姆通过直接度量向1进行的这种调整，并假设在一个时期进行的调整是对下一时期调整的良好估计来修正历史贝塔。
具体操作举例说明如下：计算出1948~1954年所有股票的贝塔，然后对同样的股票计算出1955~1961年的贝塔。
再将后一期的贝塔对之前的贝塔进行回归，得到估计方程：
210.3430.677i i ββ=+
它度量了预测的贝塔比根据历史数据更接近于1的趋势。
优点在于这一方程式降低了较高的贝塔值，而提高了较低的贝塔值。
（3）度量贝塔向1回归的趋势——瓦希切克技术
预测期的实际贝塔一般比根据历史数据得到的估计值更接近于平均贝塔。
调整这一趋势的一种直接办法就是将每一个贝塔向平均贝塔调整。
理想的情况是向平均值进行调整的量对所有的股票不是相等的，而是按照贝塔不确定性（抽样误差）的大小来调整。
抽样误差越大，与平均值相差悬殊的可能性就越大，出于抽样误差所需的调整就越大。
1β表示历史时期所有样本股票的平均贝塔，将1β和证券
i 的历
史贝塔进行加权平均。
权重如下：
11
1
2
22i βββ
σσσ+，对1i β
1
1
1
2
22i i β
ββ
σσσ+，对1β
这些权重之和为1，并且贝塔估计的不确定性越多，它的权重就越低。
证券i 的预测贝塔是：
1
11
1
1
1
22
2112222
i i i i i β
β
ββ
ββ
σσβββσσσσ=
+++
这样的加权方法将标准误差高的观察值向均值调整的幅度要大于标准误差低的观察值。
（4） 基本面贝塔
贝塔是源自股票收益与市场收益之间关系的风险指标。
但是我们知道一个公司的风险是由某些公司的基本面和公司股票的市场特性共同决定的。
首先确定公司基本面变量，然后将相关的基本面变量同时纳入分析中。
通常的做法是通过多元回归分析将贝塔与几个基本面变量联系起来。
估计以下形式的方程式：
01122i N N i X X X e βαααα=+++++L
五、单指数模型条件下最有投资组合的估计和求解 在接受单指数模型的标准形式作为描述证券之间共同波动的模型的条件下，可以用一个单一数字来度量是否将一个股票纳入最优组合，大大便利了最优组合的计算。
由于超额收益与贝塔的比率度量的是一个证券每单位不可分散风险的超额收益，因此任何股票的可取性直接与它的超额收益与贝塔的比率相关。
一只股票是否被包括在最优组合中只取决于它的超额收益
对贝塔的比率大小。
选择多少只股票取决于一个特定的截止率。
决定最优组合中应该包括哪些股票的规则如下：
（1） 求出每只备选股票的“超额收益与贝塔的比率”，并
按照从高到低的顺序排列。
（2） 最优组合是由所有的“超额收益与贝塔的比率”高于
一个特定的截止率*C 的股票构成。
1、 计算截止率
按照超额收益与风险的比率从高到低对股票进行了排列。
对一个包含i 个股票的组合来说，i C 由下式给出：
2
21
2221()1i
j F j
m
j ej i i
j m
j ej
R R C β
σ
σ
β
σσ
==-=
+∑
∑
2、确定截止率
*
C的值是根据属于最优组合的所有证券的特性计算出来的。
为了确定*C，有必要在假设最优组合包含不同数目的证券情况下计算截止率的值。
令
C为*C的一个可能。
假设i个证券
i
属于最优组合时计算
C的值。
i
因为证券已按照超额收益与贝塔的比率从高到低进行了排列，我们知道如果某一证券属于最优组合，所有排位更高的股票也将属于最优组合。
我们这样计算变量
C的值（程序如
i
下）：假设排位第一的证券是在最优组合中（i=1），然后再假设排位第一和第二的证券是在最优组合中（i=2），接下来再假设排位第一、第二和第三的证券是在最优组合中（i=3），以此类推。
这些
C都是*C可能值。
当用于计算i C的证券的超
i
额收益与贝塔的比率大于i C ，而所有没有用于计算i C 的证券的超额收益与贝塔的比率小于i C 时，我们知道此时找到了最优解i C （也就是*C ）。
3、 构建最优组合
确定了哪些证券应该包括在最优组合中，然后就是计算投资于每个证券的比例。
投资于每个证券的比例是
i
i j Z Z
X =
∑被包括
其中，*
2
=()i i ei
i i R R C Z βσβ--。
