平方差与完全平方公式教案与答案15.2.1 平方差公式
知识导学
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1. 平方差公式：(a+b) (a-b)=a -b
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为
符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公
式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。典例解悟
例1. 计算：( 1 ) (2x+3y)(2x-3y) (2)
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(-4m2-1)(-4m 2+1)
解：(1) (2x+3y)(2x-3y)=(2x) 2-(3y) 2=4x2-9y 2
(2)
2 2 2 2 2 4
(-4m2-1)(-4m 2+1)=(-4m2) 2-1 2=16m4-1
感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第( 2)题中的相同项是 -4m2, 不能误以为含有负号的项一定是相反项。
例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y), 其中 x=8,y=-8.
解：原式 =(x 2-4y2)-(y 2-4x2)=5x2-5y 2.
当 x=8, y=-8 时，原式=5X 82-5 x (-8) 2=0.
感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相
乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y) 中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交
换律，将此式转化为(-y+2x)(-y-2x)。阶梯训练
A级
1. 下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的
是()
A. (-a-b)(a+b)
B.(-a-b)(a-b)
C.(-a+b)(a-b)
D.(a+b)(a+b)
2. 在下列各式中，计算结果是a2 -16b2的是
()
A. (-4b+a) ( -4b-a)
B.(-4b+a)(4b-a)
C・(a+2b) (a-8b) D.(-4b-a)(4b-a)
3. 下列各式计算正确的是( )
2
A. (x+3) (x-3 ) =x -3
B. (2x+3) (2x-3 ) =2x2 -9
C. (2x+3) (x-3 ) =2x2 -9
D. (2x+3) (2x-3 ) =4x2 -9
4. (0.3X-0.1 ) (0.3X+0.1 ) = _____
5. (ix+^4y) (Ix-^y) = ______
6. (-3m-5n) (3m-5n) = ______
8.
(b 3+3a 2
)
9.( |m+l n)(|m-1 n)
10. |
(-3x -4 )
7. 计算
i i
i i
(-2X+ 3 )(- 2X-3)
(3a 2
-b 3)；
(3X 2
-4 )
11.计算(a+3b) (a-3b) - (2b+5a) (-5a+2b)
12.先化简下面的代数式，再求值:
(a+2) (a-2)+a(4-a), 其中 a= 2+1
B 级
1.
下列式子可用平方差公式计算的是（
）
A. （ a-b ） （ b-a ）
B. （ -x+1 ） （x-1 ）
C. （ -a-b ）（ -a+b）
D. （ -x-1 ）（x+1）
2. 4x2- (2x-3y ) (2x+3y)的计算结果是( )
A. 9y 2
B. -9y
C. 3y
D. 2x 2+3y2
3. (x+2)(x-2)(x 2+4)的计算结果是( )
A. x 4+16
B. — x4-16
4
4. (-a+1) (a+1);
5.( 2x+3y)( iy-ix)
C. x -16
D. 16-x
6.(a- 1)(a+2)(a2+1)(a4+£)
7.化简：(x-y ) (x+y) + (x-y ) + (x+y)
8. 解方程：(-4x- …4x)=2x(8x-5)
2 2 5
C级
求 (3+1)(3 2+1)(3 4+1)(3 8+1)(3 16+1) 的值
15.2.2 完全平方公式知识导学：
1. 完全平方公式：
2 2 2
(a+b)2=a2+ab+b2(a-b)
2=a2-2ab+b2 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍．
2. 公式中的a和b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。利用完全平方公式运算，把握公式结构特征，正确找出公式中的 a、b 是解题的关键。
3. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
典例解悟
例 1．（1）（1+x）2
-12xy-9y
(2) ( 1a-b );
⑶(-5x-^y)2
⑷(2x+3y)(-2x-3y).
2
2
解：⑴(1+x) =x +2x+1.
(2) ( 2a-b ) 2
=(1a)2
-2 x *a.b+b 2
=4a 2
-ab+b 2
⑶C 5 * £ y)2
=H 1 x+ 紬)]2
=( 5 x)2
+2 x £ x x
10
y+(
細2
=討+
帥+
訝
2
(4) (2x+3y) (-2x-3y ) =- (2x+3y) =-[ (2x) 2
+2 ・ 2x ・ 3y+(3y) ]=-4x 感悟：本题是套用完全平方公式的乘法运算， 其 中第(3)小题有两种解法，法一如解答所示， 法二是直接运用公式，将-1
x 作为整体，运用两
5
数差的完全平方公式计算；第(4)小题必须添 上括号后，转化为完全平方的形式后再完全平方 公式运算。 例2•计算： (1)(a-2b-3c )2
;
(2)(a+b-2c((a+b+2c)
解：1. (a-2b-3c )2=[a- (2b+3c) ]2
=a 2
-2a (2b+3c) + (2b+3c) 2
=a 2
-4ab-6ac+[ (2b ) 2
+2X 2b x 3c+ (3c ) 2
]
2 2 2
=a 2 +4b 2 +9c 2
-4ab-6ac+12bc ；
