力学竞赛辅导讲义——虚位移原理
一、内容要点精讲
1、约束与约束方程
(1)约束。限制非自由质点或质点系运动的各种条件称为约束。
(2)约束方程。约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质点的坐标和速度以及时间的数学关系式或方程来表示。这种方程通常称为约束方程。
2、约束分类
(1) 几何约束与运动约束。只限制质点或质点系几何位置的约束称为几何约束；对于不仅限制质点系的位置，而且还限制质点系中质点的速度的这类约束称为运动约束。
(2) 定常约束(稳定约束)与非定常约束(不稳定约束)。约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束(或稳定约束)；约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束(或不稳定约束)。
(3) 完整约束与非完整约束：约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束；约束方程中包含坐标对时间的导数，而且方程中的微分项不能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。
(4) 单侧约束(可离约束)与双侧约束(不可离约束)。由不等式表示的约束称为单侧约束(或可离约束)；由等式表示的约束称为双侧约束(或不可离约束)
3、虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的无限小位移称为虚位
移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。在定常约束条件下，微小实位移是虚位移之一。
4、虚位移与实位移的差别和联系
(1) 差别。虚位移是纯粹的几何概念，它与质点或质点系是否实际发生运动无关。它不涉及运动时间、运动的初始条件和作用力等，只是约束许可的想像中的微小位移。而实位移除与约束有关外，还与运动时间、运动初始条件和作用力、质量等有关；虚位移是微小的位移，而实位移可能是微小的，也可能是有限的；虚位移可以有多种不同的方向，而实位移只有惟一确定的方向，指向真实运动的一边。
(2) 联系。在定常约束条件下，微小的实位移是虚位移中的一种情形。在非定常约束条件下，微小的实位移一般不是虚位移中的一种情形。
为区别起见，虚位移用变分符δ表示，如rδ (投影为xδ，y
δ，zδ)，sδ，δϕ等，而微小的实位移用微分符号d表示，如d r (投影为d x，d y，d z)，d s，dϕ等。
5、虚功与理想约束
力在虚位移上所做的元功称为虚功，即W F r
δδ
=⋅。
在质点系的任何虚位移中，所有约束力的虚功之代数和恒等于零的约束．称为理想约束，即
6、虚位移原理
具有双面、定常、理想约束的静止质点系，维持平衡的必要和充分条件是，作用在该质点系上所有主动力在质点系的任何虚位移上的元功代数和等于零，即
或写为解析表达式
式中，ix F ，iy F ，iz F 分别表示主动力i F 在固定直角坐标轴x ，y ，z 上的投影，而i x δ，i y δ，i z δ分别表示虚位移i r δ在上述各轴上相应的投影，它们都是代数值。
7、广义坐标形式的虚位移原理
(1) 广义坐标
广义坐标是用以确定质点系位置的独立参数。对于完整系统，独立的广义坐标变分的数目等于系统的独立虚位移的组数，因而也等于系统的自由度的数目。
(2) 广义力
1) 对应于广义坐标j q 的广义力为
2) 为了求对应于广义坐标l q 的广义力l Q ，不妨只令l q 变化，而其余的广义
坐标都保持不变，得
3）当系统的主动力均为有势力(即保守系统)时，对应于广义坐标j q 的广义
力j Q 可表示为势能函数V 对广义坐标j q 的负偏导数，即
(3) 广义力形式的虚位移原理。具有双面、定常、完整、理想约束的静止质点系维持平衡的必要和充分条件是，系统的各个广义力都分别等于零，即
其中k是质点系的广义坐标的数目。
二、知识结构图解
三、习题分类．解题步骤
1、习题分类
一般可分为如下3类：
(1) 根据给定的系统平衡位置，求某些主动力之间的关系。
(2) 已知作用在系统上的主动力，求系统的平衡位置。
(3) 已知作用在系统给定平衡位置上的主动力，求某些约束力。
2、解题步骤和方法
(1) 根据题意，选取研究对象。判断系统的约束是否是双面、定常、理想、几何约束；判断系统具有几个自由度，由此断定可给系统几组独立的虚位移，以及应用虚位移原理能够建立几个独立的平衡方程。由于理想约束时约束力的虚功之和等于零，一般取整个系统为研究对象。
(2) 受力分析。在研究对象上只须画出主动力。如果要求某个约束力时，则应解除该约束，并把相应的约束力看为主动力。如果有摩擦时，可把摩擦力看为主动力。
(3) 给系统一组虚位移，并找出各主动力作用处虚位移之间的关系。通常采用下面两种方法求虚位移或虚位移之间的关系。
1)几何法。对于定常约束，用求微小实位移的方法求虚位移，根据约束的几何关系，直接求得各点虚位移之间的关系。例如，刚体上任意两点的位移在这两点连线上的投影相等，也可利用运动学中求各点速度的方法(如速度瞬心法，速度投影定理等)求各点虚位移之间的关系，即用运动学知识求有关虚位移。若有力偶作用时，宜用几何法。
2)解析法。将系统放在任意位置、把作虚功的主动力作用点的固定直角坐
标(,,)x y z 表示为某些独立参变数的函数。然后进行变分运算，可得各点虚位移的投影x δ，y δ，z δ不须在图中画出虚位移。
(4) 根据虚位移原理，建立虚功方程并求解。建立虚功方程时，应特别注意虚功的正负值。当用几何法时，应先将一组协调的虚位移画在图上，然后根据主动力和虚位移的方向可确定虚功的正负值。当用解析法时，因坐标及其变分都是代数值，可直接代入解析式进行计算。如果采用广义力法，可以根据式0(1,2,,)j Q j k ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅建立平衡方程。
四、重点与难点
1、重点
(1) 虚位移的概念和计算。
(2) 虚位移原理及其应用。
(3) 广义坐标和自由度的概念，广义力的概念和计算。
2、难点
(1) 正确给质点系一组约束所许可的和协调的虚位移，并找出有关虚位移之间的关系。
(2) 广义力的计算。
