下载文档原格式
湖北民族学院理学院毕业论文(设计) 开题报告题目对偶问题在经济活动中的应用专业数学与应用数学班级0209409学号020940907学生姓名谌小洋指导教师时凌2013年5月24日一、选题理由运筹学是近六十年代发展起来的一门学科。
运筹学在生产管理工程技术军事作战科学实验财政经济社会科学以及自然科学和其他学科都已去的很多令人瞩目的成果。
对偶问题是其中一个重要分支。
对偶理论是线性规划最重要的内容之一，其应用范围十分广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的太欧赔和最有利的使用，以便最从分得发挥资源的效能出过去最佳经济效益。
线性规划对偶单纯形法在实际应用中是一种非常有用的算法，线性规划问题是数学的一个重要分支,它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的,以及怎么找出这些最优方案.在现实的生产活动中这类问题普遍存在,例如在生产计划安排中,选择什么样的生产方案才能提高产值利润;在原料配给问题中,怎样确定各种成分的比例,才能使提高质量降低成本的目标得以实现:在城市建设规划中,怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、居民区以及其它单位的合理布局,才能方便群众,有利于城区各行各业的发展;在资源的分配问题中,怎样分配有限的资源,使得分配方案既能满足于各方面的基本要求,又能获得好的经济效益。
通过对偶单纯形法能有效地解决最优化问题。
本文通过对对偶问题及对偶单纯形法的介绍，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，以实例完成一整套方法的应用，展现该方法在经济活动实例分析中的应用价值。
二、国内外研究现状综述在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。
1928年美籍匈牙利数学家J.von诺伊曼在研究对策论时已发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。
两人零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。
对偶问题实例摘要：一、对偶问题的概念和背景1.对偶问题的定义2.对偶问题的历史发展二、对偶问题的实例分析1.初等数学中的对偶问题实例2.高等数学中的对偶问题实例三、对偶问题的解决方法与技巧1.通过已知条件寻找对偶关系2.利用对偶性质解题3.常见对偶问题的解题技巧四、对偶问题在实际生活中的应用1.在科学研究中的应用2.在工程领域中的应用3.在经济管理领域中的应用正文：对偶问题是一种在数学中广泛存在的现象，它涉及到许多不同的数学领域，如代数、几何、拓扑等。
对偶问题研究的是一个数学结构与其对偶结构之间的关系，通过揭示这种关系，可以加深我们对数学结构的理解，为解决实际问题提供有力的工具。
在初等数学中，我们可以找到许多对偶问题的实例。
例如，在解方程时，我们常常需要寻找方程的解集与方程组解的关系。
这就是一个典型的对偶问题。
在高等数学中，对偶问题的实例更加丰富。
例如，在微积分中，我们可以通过对导数与微分的关系进行研究，来理解导数与微分之间的对偶关系。
解决对偶问题的方法与技巧有很多，其中最重要的是要善于发现和利用对偶性质。
对偶性质是指在一个数学结构中，如果两个对象具有某种关系，那么它们的对偶对象也具有相同的关系。
利用这种性质，我们可以将复杂的问题转化为相对简单的问题来解决。
此外，对于一些常见的对偶问题，我们还可以总结出一些解题技巧，以提高解题效率。
对偶问题在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，在科学研究中，对偶问题可以帮助我们理解自然现象背后的数学原理；在工程领域中，对偶问题可以帮助我们优化设计方案，提高工程效率；在经济管理领域中，对偶问题可以帮助我们分析经济现象，制定合理的经济政策。
对偶问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握对偶问题的基本概念，理解线性规划问题与对偶问题之间的关系。
2. 能够运用对偶理论分析实际问题的对偶关系，并正确建立对偶模型。
3. 了解对偶问题的应用领域，如经济学、工程管理等。
技能目标：1. 培养学生运用数学语言描述对偶问题的能力，提高逻辑思维和表达能力。
2. 能够运用对偶方法解决实际问题，提高解决线性规划问题的能力。
3. 培养学生运用数学软件求解对偶问题的能力，提高实际操作技能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情，形成积极的学习态度。
2. 培养学生合作交流的意识，学会倾听、尊重他人意见，形成良好的团队协作精神。
3. 使学生认识到对偶问题在现实生活中的应用价值，提高社会责任感和使命感。
课程性质分析：本课程为数学学科选修课程，旨在让学生掌握对偶问题的基本理论和应用，提高解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生为高中二年级学生，具备一定的数学基础，具有一定的逻辑思维和分析能力，但对对偶问题的了解较少。
教学要求：1. 结合实际案例，激发学生学习兴趣，提高课堂参与度。
2. 采用启发式教学，引导学生主动探索，培养学生的创新意识。
3. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
二、教学内容1. 对偶问题基本概念：介绍线性规划问题的对偶问题，解释对偶问题的定义及性质，包括对偶问题的构造方法、对偶问题的基本定理等。
教材章节：第三章第三节《线性规划的对偶问题》2. 对偶问题的建立：通过实例分析，让学生学会如何从原问题建立对偶问题，掌握对偶问题的建模方法。
教材章节：第三章第四节《对偶问题的建立与应用》3. 对偶问题的求解：介绍对偶问题的求解方法，包括单纯形法、对偶单纯形法等，并运用数学软件进行求解。
教材章节：第三章第五节《对偶问题的求解方法》4. 对偶问题的应用：分析对偶问题在实际问题中的应用，如经济学、工程管理等领域的案例。
教材章节：第三章第六节《对偶问题的应用案例分析》5. 对偶问题的拓展：探讨对偶问题的拓展知识，如对偶问题的灵敏度分析、多目标规划的对偶问题等。
对偶理论与经济模型的关系对偶理论是数学中的一个重要概念，它在经济学领域也有着广泛的应用。
对偶理论提供了一种全新的视角，帮助经济学家更好地理解和分析经济现象。
本文将探讨对偶理论与经济模型之间的关系，以及对偶理论在经济学中的应用。
### 对偶理论简介对偶理论最早起源于数学领域，是线性规划理论的重要组成部分。
在数学中，对偶理论是指对一个优化问题的原始形式和对偶形式之间的关系。
通过对偶理论，我们可以将原始问题转化为对偶问题，从而更容易求解原始问题。
对偶理论在数学优化、凸分析等领域有着广泛的应用。
### 对偶理论与经济模型在经济学中，经济模型是经济学家用来描述和解释经济现象的简化形式。
经济模型通常包括假设、变量、参数和方程等要素，通过这些要素构建出一个描述经济关系的框架。
经济模型可以帮助我们理解经济现象背后的规律，并进行政策分析和预测。
对偶理论与经济模型之间的关系在于，对偶理论为经济学家提供了一种新的思维方式和分析工具。
通过对偶理论，经济学家可以将一个经济模型转化为对偶形式，从而更好地理解模型中的经济关系。
对偶理论可以帮助经济学家简化复杂的经济模型，找到模型中隐藏的规律，并提出更有效的政策建议。
### 对偶理论在经济学中的应用对偶理论在经济学中有着广泛的应用，特别是在微观经济学和宏观经济学领域。
在微观经济学中，对偶理论常常用于分析生产函数、成本函数等经济关系。
通过对偶理论，经济学家可以推导出企业的最优生产方案、最优成本结构等决策结果，为企业经营提供理论支持。
在宏观经济学中，对偶理论常常用于分析经济增长、通货膨胀等宏观经济现象。
通过对偶理论，经济学家可以建立宏观经济模型，分析经济政策对经济增长和通货膨胀的影响，为政府决策提供参考依据。
### 结语对偶理论作为数学中的重要概念，在经济学中也有着重要的应用。
通过对偶理论，经济学家可以更好地理解和分析经济现象，提出更有效的政策建议。
对偶理论为经济学研究提供了新的思维方式和分析工具，推动了经济学理论的发展。
对偶定理是运筹学中最基本的概念之一，它在线性规划中起着非常重要的作用。
在线性规划问题中，存在原始问题和对偶问题两种形式，它们之间通过对偶定理建立了密切的联系。
对偶定理的核心思想是将原始线性规划问题转化为对偶问题，并且通过对偶问题来分析原始问题，从而得到有关原始问题的有效信息。
具体来说，对偶定理可以帮助我们在求解原始问题时，通过求解对偶问题来获得额外的信息和优化结果。
在运筹学中，对偶定理的应用主要体现在以下几个方面：
1. 最优性分析：对偶定理可以帮助我们分析原始问题的最优解以及对应的对偶问题，从而验证原始问题的最优性和对偶问题的最优性，并且可以相互印证，增强了问题解的可靠性。
2. 敏感度分析：对偶定理也可以用于进行敏感度分析，通过对对偶问题的解进行改变，可以评估原始问题解对参数变化的敏感程度，从而指导决策者进行风险评估和决策制定。
3. 经济学解释：对偶问题的解可以提供经济学上的解释和意义，比如对偶问题中的对偶变量可以表示资源的单位价值，对偶问题的约束条件可以反映出资源的受限性，这些信息可以为管理决策提供重要参
考。
总之，对偶定理在运筹学中具有重要的作用，通过对原始问题和对偶问题的分析，可以为决策者提供更全面的信息，帮助其做出更加合理的决策。
因此，对偶定理是线性规划理论中不可或缺的重要内容。
湖北民族学院理学院毕业论文(设计) 开题报告题目对偶问题在经济活动中的应用专业数学与应用数学班级0209409学号*********学生姓名谌小洋指导教师时凌2013年5月24日三、设计（论文）方案通过对偶理论以及社会生产生活中相关现象的探究，发现对偶单纯形法能有效的解决最优化问题，是生产生活更方便。
本文通过对对偶问题及对偶单纯形法的介绍，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，以实例完成一整套方法的应用，展现该方法在经济活动实例分析中的应用价值。
四、重点难点及创新之处本文的重点在于对偶理论以及对偶理论在社会经济到横祸中的应用，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，从而完成一整套的方法应用，体现对偶单纯形法在经济活动实例中的应用价值。
五、应收集资料及参考文献（不低于15篇）［1 ］黄培青．运筹学：管理中的定量方法［M］．上海 :上海交通大学出版社，2000．［2 ］胡运权．运筹学基础及运用［M］．第四版 .北京 :高等教育出版社，2004．［3 ］程理民．运筹学模型与方法教程［M］．北京: 清华大学出版社，2003．［4 ］刘满凤．运筹学模型与方法教程例题分析与题解［M］．北京：清华大学出版社，2004．［5 ］郭耀煌．运筹学原理与方法［M］．西安 :西南交通大学出版社，1998.［6 ］刁在钧. 运筹学.[M].第三版.北京: 高等教育出版社 2007 ［7 ］邓成梁. 运筹学的原理和方法［M］.第二版.武汉：华中科技大学出版社，2001.［8 ］胡运权.运筹学教程［M］.北京：清华大学出版社，1998. ［9 ］耿吉第.影子价格的经济含义及其应用［J］.数量经济技术研究，1994，（06）：46-47.［10］林丰岩.影子价格在企业管理中的应用［J］.价值工程，2006，（7）：15-17.［11］邓成梁.经济管理数学［M］.第二版.华中理工大学出版社，2003.［12］徐光辉.运筹学与基础手册［M］.北京：科学出版社，1993. ［13］陶树人.技术经济学［M］.北京：经济管理出版社，1992. ［14］甘应爱.运筹学［M］.北京：清华大学出版社，1990. ［15］J.富兰克林著，俞建，顾悦译.数理经济学方法［M］.贵州人民出版社，1985［16］何建坤.实用线性规划及其计算机程序［M］.清华大学出版社，1985.六、进度安排（1）四月上旬完成相关资料的查阅立即准备工作。
（2）四月中旬通过推相关知识的理解，确定研究的课题以及完成开题报告。
（3）四月下旬到五月上旬完成论文初稿。
（4）之后对论文进行不断的修改。
七、指导教师意见指导教师签名：年月日八、专业负责人意见（或开题审查小组意见）签名：年月日湖北民族学院理学院数学与应用数学专业毕业论文(设计) 题目对偶问题在经济活动中的应用设计人谌小洋教学基层组织名称教学基层组织负责人设计指导教师时凌评阅人2013年5月15日摘要线性规划对偶单纯形法在实际应用中是一种非常有用的算法，线性规划问题是数学的一个重要分支,它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的,以及怎么找出这些最优方案.在现实的生产活动中这类问题普遍存在.关键词线性规划对偶单纯形法最优方案AbstractDual simple method for linear programming is a very useful method in the practical application.the linear programming is an important branch of mathematics.the question is discussed in a large number of projects what kind of program is optimal .And how to find the optimal solution.These problems exist in practical production activities.Keywords:method for linear dual simple method the optimal scheme第一章对偶问题以及原理1.1 对偶问题对偶问题每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称为对偶问题。
原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。
对偶问题有许多重要的特征，它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解和分析。
对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：①目标函数对原始问题是极大化，而对偶问题则是极小化。
②原始问题目标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，而原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中目标函数的收益系数。
③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号方向相反。
④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。
⑤原始问题的约束方程数对应于对偶问题的变量数，而原始问题的变量数对应于对偶问题的约束方程数。
⑥对偶问题的对偶问题是原始问题，这一性质被称为原始和对偶问题的对称性。
1.2 对偶模型原始问题 对偶问题max ..z cxs t Ax b =≤ min ..z yb s t yA c =≥ (0,)x y o ≥≥式中max 表示求极大值,min 表示求极小值,s.t.表示“约束条件为”；z 为原始问题的目标函数，w 为对偶问题的目标函数；x 为原始问题的决策变量列向量(n 1)⨯，y 为对偶问题的决策变量行向量(1m)⨯;A 为原始问题的系数矩阵(m )n ⨯,b 为原始问题的右端常数列向量(m 1)⨯，c 为原始问题的目标函数系数行向量(1n)⨯。
1.3对偶问题的基本定理弱对偶定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解0x 和0y ,则00y b cx ≥。
这个定理表明极大化问题任一可行解的目标函数值总是不大于它的对偶问题的任一可行解的目标函数值。
强对偶定理 若上述原始问题和对偶问题都可行，则它们分别有最优解x*和y*，且**cx y b =。
最优准则定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解0x 和0y ,且两者的目标函数值相等，即00y b cx =,则两个可行解分别为对应线性规划的最优解。
互补松弛定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解0x 和0y ，且0u 和0v 分别为它们的松弛变量,则当且仅当000o v x u y +时，0x和0y 分别为它们的最优解。
松弛定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解0x 和0y 且0u 和0v 分别为它们的松弛变量，则当且仅当000v x = 和000u y =时, 0x 和0y 分别为它们的最优解。
000v x =和000u y =这两个等式称为互补松弛条件。
对称对偶线性规划 具有对称形式的线性规划的特点是：①全部约束条件均为不等式，对极大化问题为≤，对极小化问题为≥。
②全部变量均为非负。
列出对称对偶线性规划的步骤是：①规定非负的对偶变量，变量数等于原始问题的约束方程数。
②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。
③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。
④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。
⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等号。
⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。
非对称对偶线性规划 有时线性规划并不以对称方式出现，如约束条件并不都是同向不等式，变量可以是非正的或没有符号约束。
列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表（见表）按下列步骤进行：①规定对偶变量，变量个数等于原始问题约束不等式数。
②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。
③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。
④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。
⑤根据原始问题的约束不等式情况，确定对偶变量的符号约束。
⑥根据原始问题决策变量的符号约束，确定对偶问题约束不等式的符号方向。
对偶问题的最优解 从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。
原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。
在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解0x 和对偶问题的补充解0y ,且00y b cx =,若0x 不是原始问题的最优解，0y 就不是对偶问题的可行解。
最后一步迭代得到原始问题的最优解*x 和对偶问题的补充最优解*y ，且**cx y b =。
*y 是原始问题的影子价格。
1.4对偶单纯行法解题步骤单纯形法求解一般线性规划问题的基本方法，在应用对偶理论时，需要用到对偶单纯行法，就是将单纯行法应用于对偶问题的计算，基本思想是保持对偶问题为可行解（这时一般问题为非可行解）的基础上，通过迭代减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即得到了目标函数的最优值，对偶单纯形法的解题步骤如下：（1） 建立初始单纯形表，设表中检验数行的值j j c z -全部小于等于0，既是对偶问题的一个可行解；（2） 判断最优。
检查b 列的数字，若均为非负，则已得到最优解，停止计算。
若b 列有负分量则转（3)(3)换基迭代。
确定换出变量。
在单纯形表基解列中从上到下选负量所对应的基变量 r x 出基。
确定换入变量。
在单纯形表中若r x 所在的行各系数rj a （j=1,2，…,n ）即所有0rj a ≥则无可行解，停止计算：否则在单纯形表中按最小值原则从到右变量进基解，返回（2）。
1.5对偶单纯形法的优点及用途（1）初始解可以是非可行解，当检验数都是小于等于零时，就可以经行基变换，这样就避免了增加人工变量，使运算简化。
（2）对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题可先将其变为对偶问题，再用对偶单纯形法求解，简化计算。
（3）用于灵敏度分析。
1.6对偶问题的经济解释对偶问题的产生不是凭空的，往往有其实际的经济来源，从对偶问题的基本性质看出，当达到最优解时，原问题与对偶问题的目标函数值相等，即***1122m m z y b y b y b =+++现考虑最优解处，约束方程组右则常数i b 变动对目标函数的影响。
求目标函数z 对i b 的偏导数，可得***1212,,.m mz zzy y y b b b ∂∂∂===∂∂∂这说明，若原问题的某一约束条件的约束条件的右则常数i b 增加了一个单位，则由此引起最优目标函数值的增加量，就等于与改约束条件相对应的对偶变量的最优值，这样一开，在有限资条件下使受益最大话这一问题中，即可把对偶变量的最优值看成是相应资源，每一单位对于目标函数的贡献，也就是这些资源被y的值就相当于对单位这种资源从分利用时所能带来的利益。
