习题一：真空中的静电场习题详解

真空中的静电场答案练习一一 填空题1．021εq q + 1q 、2q 、3q 2.不一定 3.06εq 4.304Rqr πε 5.023εσ-=A E ，0023,2εσεσ=-=C B E E 6. 0，rR 0εσ 二 计算题1． 解（1）2004rqQ F πε= 由对称性可知N F F x 71022.3-⨯== 沿x 轴正向（2）θπεcos 4220rqQ F F x == 01.0)01.0(42220++=x x x qQπε 令0=dxdF 可得：m x 071.0202=±=时，Q 受力最大 2.解：为带正电荷闭合圆环在圆心o 点的电场强度为带正电荷空隙在圆心o 点的电场强度由于空隙很小，因此空隙处正电荷可看作点电荷y F =02cos x F F θ=012E E E =-1E 2E 10E =l l R Q R R qE ⋅-==ππεπε241420202 所以C N E E /72.02==，方向指向空隙3解取线元dl ，有：∴∴负号表示场强方向沿y 轴负向4解作半径r 的同心球面，，由高斯定理：① 若r <R 1，则： ∴ E =0② 若R 1<r <R 2 则：∴③ 若r >R 2，则：∴练习二一． 填空题1．J 15108-⨯-，V 4105⨯-2.有源场，无旋场3.电势降低的方向4 . ＝，＝二.计算题1.解电场分布：由高斯定理得当1R r < 01=E当12R r R ≥> 2024r QE πε=当2R r > 03=E电势分布：由叠加原理得当1R r < 2010144R Q R QV πεπε-= 当12R r R ≥> 200244R Q r QV πεπε-= 当2R r > 03=V2.解取同心球面为高斯面得当R r < 3020144RQr r V E πεπερ== 当R r > 2024r QE πε= 当R r < 302020********R Qr R Q dr rQ dr R Qr V R r R πεπεπεπε-=+=⎰⎰∞当R r > rQV 024πε=当R r = RQV R 04πε=3解(1) 设内、外球面所带电荷分别为、∴C(2) 由 有cm4解.取同心圆柱面为高斯面，得：当a r <022επρπhr rhE ⋅= 02ερr E =当a r >22επρπha rhE ⋅=022ερr a E =电势分布当a r <⎰-==002042rr dr r V ερερ 当a r >020200024ln 222ερερερερa r a a dr r dr r a V a a r -=+=⎰⎰静电场中的导体和电介质练习三一.填空题 1.022εS Q 2．r ε，r ε，r ε3．2041U C 4. 3q 5．R qd q0044πεπε-6. 减小，增大，减小，减小二.计算题1.解：（1）.在介质内取同轴圆柱面为高斯面，则有： ∑⎰=⋅内0q S d D S l rl D λπ=⋅2rD πλ2=又E D ε= rE πελ2= （2）.电势差为：⎰==BAR R A B AB R R dr r U ln 22πελπελ （3）.电容为：ABA B AB R R l R R l U Q C ln 2ln 2πεπελ=== 2解：（1）在介质内取同心球面作为高斯面，由高斯定理得： ∑⎰=⋅内0q S d D S Q r D =⋅24π24r Q D π= 24rQ E πε= （2）电势差⎰⎰-==⋅=21211)11(44212R R R R R R Q dr r Q r d E U πεπε （3）由电容定义得：12214R R R R U Q C -==πε （4）2121228)(2R R Q R R C Q W πε-== 3．解：设C 板右表面带电 -q 1 ,A 板左右表面分别带电q 1、q 2，B 板左表面带电- q 2 AC 板间距d 1，AB 板间距d 2（1） 由题意可知，（1） （2）（1）（2）联解得（2）12q qQ +=AC ABV V =1122E d E d =1212o o q q d d S Sεε=1122q d d q =1121Q q d d =+2211Q q d d =+AC A V V V C=-V 0C =1021101111d Sd d Q d S q d E V V AC A εε+==== 4．解：由D 高斯定理有得到即此时两种介质中的D 是相等的。

一． 选择题[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋λ(x ＜0)和－λ(x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E为(A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D)()j i a+π04ελ． 【提示】左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a )处产生的场强大小E ＋、E －大小为：E E +-==矢量叠加后，合场强大小为：02E aλπε=合，方向如图。

［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为：【提示】由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面。

据Guass 定理：SE dS=iiq ε∑⎰r R ≤时，有：()22012rL=r E L R λππεπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即：20r =2E R λπε r R >时，有：()012rL=E L πλε ，即：0=2rE λπε ［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A)06εq ． (B) 012εq． (C) 024εq ． (D) 048εq ．【提示】添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。

则大立方体的外表面构成一个闭合的高斯面。

由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为qε。

另一方面，该高斯面可看成由24个面积与侧面abcd 相等的面组成，且具有对称性。

所以，通过侧面abcd 的电场强度通量等于24εq ［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-．【提示】200248P a M M aq qU E dl dr r a πεπε-===⎰⎰［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为：(A)rQ Q 0214επ+． (B) 20210144R Q R Q εεπ+π． (C) 0． (D) 1014R Q επ． 【提示】根据带电球面在球内外所激发电势的公式，以及电势叠加原理即可知结果。

20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：一、日期：真空中的静电场一、 选择题：1．下列几个说法哪一个是正确的？（A ） 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。

（B ） 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。

（C ） 场强方向可由/F E =q 定出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正可负，F 为试验电荷所受的电场力。

（D ） 以上说法都不正确。

[ ]2．关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是：（A ） 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负。

（B ） 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负。

（C ） 电势值的正负取决于电势零点的选取。

（D ） 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。

[ ]3、某电场的电力线分布情况如图所示。

一负电荷从M 点移到N 点。

有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？（A ） 电场强度N M E E <。

（B ）电势N M U U <。

（C ）电势能N M W W <。

（D ）电场力的功A>0。

[ ]4、将一个试验电荷q 0 (正电荷)放在带有负电荷的大导体附近P 点处，测得它所受的力为F ．若考虑到电量q 0不是足够小，则(A)F ／q 0 比P 点处原先的场强数值大．(B)F ／q 0 比P 点处原先的场强数值小．(C)F ／q 0 等于原先P 点处场强的数值．(D)F ／q 0 P 点处场强数值关系无法确定，[ ]5、一电偶极子放在均匀电场中，当电偶极矩的方向与场强方向不一致时，其所受的合力F 和合力矩M 为：(A) F ＝0，M ＝0， (B) F ＝0，M ≠0，(C) F ≠0，M ＝0， (D) F ≠0，M ≠0， [ ]6、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和∑i q =0，则可肯定：（A ） 高斯面上各点场强均为零。

（B ） 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。

第七章 真空中的静电场7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为)41()22(420+=a q F πε＝,2520aqπε方向由q 指向-4q 。

7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。

（1）求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。

解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则2020)(4)(4ξπεξλξπεξλ-=-=x d x d dE则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为)11(4)(40020xL x x d E L--=-=⎰πελξξπελ＝)(40L x x L-πελ方向沿ξ轴正向。

（2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y习题7－1图0 dqξd ξ习题7－2 图a204r dxdE πελ=θπελcos 420rdxdE y =， θπελsin 420r dxdE x =因θθθθcos ,cos ,2yr d y dx ytg x ===， 代入上式，则)cos 1(400θπελ--=y ＝)11(4220Ly y+--πελ，方向沿x 轴负向。

θθπελθd ydE E y y ⎰⎰==000cos 4 00sin 4θπελy =＝2204Ly y L+πελ7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。

解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。

对称分析E y =0。

θπεθλsin 420RRd dE x =⎰⎰==πθπελ00sin 4RdE E x R02πελ= θθπελθd y dE E x x ⎰⎰-=-=0sin 4xdx习题7－2 图byx习题7－3图2022R q επ=，如图，方向沿x 轴正向。

第八章 真空中的静电场 1、[D] 2、[C]要使p 点的电场强度为零，有两种可能：1、在p 点的右侧放正电荷；2、在p 点的左侧放负电荷。

根据题意为负电荷，根据点电荷强度的公式：204rQ E πε=。

其中r=1,负电荷产生的电场：2442120210=⇒=r rQ r Q πεπε，该点在原点的左边。

3、[D]1、粒子作曲线运动的条件必须存在向心力。

2、粒子从A 点出发经C 点运动到B 点是速率递增，存在和运动方向一致的切向力。

3、依据粒子带正电荷，作出作用在质点上的静电力后，符合上诉1、2条件的是[D]。

4、[C]5、[B]6、[D]1、点电荷的电场强度：r e rq E204πε=；2、无限长均匀带电直导线：r rq e rq E r20022πεπε==；3、无限大均匀带电平面：r e E2εσ=4、半径为R 的均匀带电球面外的电场强度：r r R r R r e rq E r302230204414εσσππεπε=⋅==7、[C]对高斯定理的理解。

E是高斯面上各处的电场强度，它是由曲面内外所有静止点和产生的。

∑=0q 并不能说明E有任何特定的性质。

8、[A]应用高斯定理有:⎰=⋅sS d E 0,即:⎰⎰⎰⎰=∆Φ+⋅=⋅+⋅=⋅∆ses s s S d E S d E S d E S d E 0⎰∆Φ-=⋅seS d E9、[B]10、[C]依据公式:R r rQ E ≥=,420πε已知:,4,22σπR Q R r ==代入上式可得:2024444εσπεσπ==RR E11、[D]先构建成一个边长为a 的立方体,表面为高斯面,应用高斯定理,一个侧面的磁通量为: 0661εq S d E S d E ss=⋅=⋅⎰⎰12、[D]13、[D]半径为R 的均匀带电球面:R r R Q U <=,40πεR r r Q U >=,40πε半径为R 的均匀带电球体: R r r Q U >=,40πεR r RQ r R RQ U <+-=,4)(802230πεπε正点电荷: ,40rQ U πε=负点电荷: ,40rQ U πε-=14、[C]分析:先求以无限远处为电势的零点.则半径为R 电量为Q 的球面的电势： 0)(,4)(0=∞=U RQ R U πε,4)()(0RQ R U U U R πε-=-∞=∞对15、[B]利用电势的叠加来解。

《大学物理A Ⅰ》真空中的静电场习题、答案与解法一、选择题1、一"无限大"均匀带电平面A 的附近放一与它平行的"无限大"均匀带电平面B,如图1所示。

已知A 上的电荷面密度为σ,B 上的电荷面密度为2σ,如果设向右为正方向,则两平面之间和平面B 外的电场强度分别为 （A ）002εσεσ， 〔B 〕00εσεσ， 〔C 〕00232εσεσ，-〔D 〕002εσεσ，-[ C ]参考答案：()0002222εσεσεσ-=-=AB E ()00023222εσεσεσ=+=BE 2、在边长为b 的正方形中心处放置一电荷为Q 的点电荷,则正方形顶角处的电场强度大小为 （A ）204b Q πε 〔B 〕202b Q πε 〔C 〕203b Q πε 〔D 〕20b Qπε [ C ]参考答案：()202220312241bQ bb QE πεπε=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=3、下面为真空中静电场的场强公式,正确的是［ D ］ 〔Ａ〕点电荷q 的电场0204r r q Ε πε=〔r 为点电荷到场点的距离,0r为电荷到场点的单位矢量〕〔Ｂ〕"无限长"均匀带电直线〔电荷线密度为λ〕的电场302r Επελ=〔r为带电直线到场点的垂直于直线的矢量〕〔Ｃ〕一"无限大"均匀带电平面〔电荷面密度σ〕的电场0εσ=Ε 〔Ｄ〕半径为Ｒ的均匀带电球面〔电荷面密度σ〕外的电场0202r rR Ε εσ=〔0r为球心到场点的单位矢量〕 解：由电场强度的定义计算知：A 错,应为0204r r q Επε=,B 不对应为002r rEπελ=,C 应为02εσ=E σ σ2A B 图D 对,完整表达应为⎪⎩⎪⎨⎧〉≤=R r r r R Rr E 02020εσ0202022002044141r rR r r R r r q Eεσσππεπε=== 4、如图2所示,曲线表示球对称或轴对称静电场的场强大小随径向距离r 变化的关系,请指出该曲线可描述下列哪种关系〔E 为电场强度的大小〕 （A ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱体电场的r E ~关系 （B ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱面电场的r E ~关系（C ）半径为R 的均匀带电球面电场的r E ~关系 （D ）半径为R 的均匀带正电球体电场的r E ~关系 [ C ]参考答案：柱形带电体 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥〈〈=Rr r rR Rr r r E 02000202ερερ柱形带电面 ⎪⎩⎪⎨⎧≥〈=R r r r R R r E 000εσ球形带电面 ⎪⎩⎪⎨⎧≥〈=Rr r r Q R r E 020410πε球形带电体 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥〈〈=Rr r r Q Rr r R r Q E 02003041041πεπε5、如图3所示,曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r 变化的关系,请指出该曲线可描述下列哪方面容〔E 为电场强度的大小,U 为电势〕。

《大学物理》练习题及详细解答-—真空中的静电场 1. 1. 电荷为电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。

一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以，所以200200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq e e 故 223+=x2. 2. 电量都是电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。

试问：的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。

试问：(1)(1)(1)在这三角形的中心放在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡((即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零为零)?(2))?(2))?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系这种平衡与三角形的边长有无关系这种平衡与三角形的边长有无关系? ?解：解：(1) (1) (1) 以以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q ¢为负电荷，所以为负电荷，所以2220)33(π4130cos π412a q q a q ¢=°e e故 qq33-=¢ (2)(2)与三角形边长无关。

与三角形边长无关。

与三角形边长无关。

3. 3. 如图所示，半径为如图所示，半径为R 、电荷线密度为1l 的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2l 的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。

求该直线段受到的电场力。

的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。

求该直线段受到的电场力。

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。

在带电圆环上取dl dq1l =，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为处产生的场强大小为)(4220R x dqdE +=p e根据电荷分布的对称性知，0==z y E E23220)(41cosR x xdqdE dEx+==p e q式中：q 为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。

第12章 真空中的静电场 参考答案一、选择题1(D)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题(1). 电场强度和电势，0/q F E =，l E q W U aa⎰⋅==00d /(U 0=0).(2). ()042ε/q q +， q 1、q 2、q 3、q 4 ；(3). 0，λ / (2ε0) ； (4). σR / (2ε0) ；(5). 0 ； (6).⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π00114r r qε ；(7). －2×103 V ； (8).⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πa br r q q 11400ε(9). 0，pE sin α ； (10). ()i a x A2+-.三、计算题1. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L xq -+π=ε 总场强为⎰+π=Lx d L xL q E 020)(d 4－ε()d L d q +π=04ε方向沿x 轴，即杆的延长线方向．2．一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，LPd E O沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π 它在O 处产生场强θεεd 24d d 20220RQRq E π=π= 按θ 角变化，将d E 分解成二个分量：θθεθd sin 2sin d d 202RQE E x π== θθεθd cos 2cos d d 202RQE E y π-=-=对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=⎰⎰πππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R QE x ＝0 2022/2/0202d cos d cos 2R QR Q E y εθθθθεππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰所以 j RQ j E i E E y x202επ-=+=3. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为λ，试求轴线上一点的电场强度．解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．d l 宽的窄条的电荷线密度为θλλλd d d π=π=l R取θ位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为θελελd 22d d 020RRE π=π=如图所示. 它在x 、y 轴上的二个分量为：d E x=d E sin θ , d E y=－d E cos θ对各分量分别积分RRE x 02002d sin 2ελθθελππ=π=⎰0d cos 2002=π-=⎰πθθελRE y场强 i Rj E i E E y x02ελπ=+=4.实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100 N/C ；在离地面1.5 km 高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ．(1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0ε＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2)解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ面如图(1)(侧面垂直底面，底面∆S 平行地面)底面处的场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：⎰⎰E·S d ＝E 2∆S -E 1∆S ＝(E 2-E 1) ∆S 高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h ∆S ρ 由高斯定理(E 2－E 1) ∆S ＝h ∆S ρ /ε 0∴ () E E h1201-=ερ＝4.43×10-13 C/m 3(1)(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2)由高斯定理 ⎰⎰E·S d =∑i 01q ε-E ∆S =S ∆σε01∴ σ =－ε 0 E ＝－8.9×10-10 C/m35. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R )， A 为一常量．试求球体内外的场强分布．解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为r r Ar V q d 4d d 2π⋅==ρ在半径为r 的球面内包含的总电荷为403d 4Ar r Ar dV q rV π=π==⎰⎰ρ (r ≤R) 以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π⋅得到 ()0214/εAr E =， (r ≤R )方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π⋅得到 ()20424/r AR E ε=， (r >R ) 方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里．6. 如图所示，一厚为b 的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为ρ＝kx (0≤x ≤b )，式中k 为一正的常量．求：(2)(1) 平板外两侧任一点P 1和P 2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ． 作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示．按高斯定理∑⎰=⋅0ε/d q S E S，即 022d d 12εερεkSbx x kSx S SE bb===⎰⎰得到 E = kb 2 / (4ε0) (板外两侧)(2) 过P 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S ．设该处场强为E '，如图所示．按高斯定理有()022εεkSb xdx kSS E E x==+'⎰得到 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='22220b x k E ε (0≤x ≤b )(3) E '=0，必须是0222=-b x ， 可得2/b x =7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ．如图所示，试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O 点的电势为零)．'解：将题中的电荷分布看作为面密度为σ的大平面和面密度为－σ的圆盘叠加的结果．选x 轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x 处产生的场强为i xx E012εσ=圆盘在该处的场强为 i x R x x E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=2202112εσ∴ix R x E E E 220212+=+=εσ该点电势为 ()220222d 2x R R xR x x U x +-=+=⎰εσεσ8. 一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为ρ =Ar (r ≤R )，式中A 为常量．试求： (1) 圆柱体内、外各点场强大小分布； (2) 选与圆柱轴线的距离为l (l ＞R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．解：(1) 取半径为r 、高为h 的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E 并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：⎰π=⋅S rhE S E 2d为求高斯面内的电荷，r ＜R 时，取一半径为r '，厚d r '、高h 的圆筒，其电荷为 r r Ah V ''π=d 2d 2ρOxP则包围在高斯面内的总电荷为3/2d 2d 302Ahr r r Ah V rVπ=''π=⎰⎰ρ由高斯定理得 ()033/22εAhr rhE π=π 解出 ()023/εAr E = (r ≤R )r ＞R 时，包围在高斯面内总电荷为：3/2d 2d 302AhR r r Ah V RV π=''π=⎰⎰ρ 由高斯定理 ()033/22εAhR rhE π=π解出 ()r AR E 033/ε= (r >R )(2) 计算电势分布 r ≤R 时⎰⎰⎰⋅+==l R R rlr rrAR r r A r E U d 3d 3d 0320εε ()Rl AR r R A ln 3903330εε+-=r ＞R 时 rlAR r r AR r E U l rlrln 3d 3d 0303εε=⋅==⎰⎰9．一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1＝5×10-4 m 的圆柱形阴极A 和一个套在阴极外的半径R 2＝4.5×10-3m的同轴圆筒形阳极B ，如图所示．阳极电势比阴极高300 V ，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e ＝1.6×10-19 C)解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为λ．按高斯定理有 2πrE = λ/ ε0得到 E = λ / (2πε0r ) (R 1＜r ＜R 2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差⎰⎰π-=⋅=-21d 2d 0R R B AB A rrr E U U ελ 120ln 2R R ελπ-=得到()120/ln 2R R U U A B -=πελ， 所以()rR R U U E A B 1/ln 12⋅-=在阴极表面处电子受电场力的大小为()()11211/c R R R U U eR eE F A B ⋅-==＝4.37×10-14 N 方向沿半径指向阳极．四 研讨题1. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为 2041rq E πε=式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用． 若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E 就有确定值．2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场．参考解答：证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda ．在ab 和cd 段场强方向与路径方向垂直．在bc 和da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等．因而0d d d ≠⋅'-⋅=⋅⎰⎰⎰c b a d l E l E l E按静电场环路定理应有0d =⋅⎰l E，此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？参考解答：由电势的定义： ⎰⋅=零势点场点l E U d式中E为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。