直线方程的点斜式、斜截式 、两点式和截距式

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1．(二)斜截式已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为b ，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y -b=k(x-0)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．(三)两点式已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程．当y 1≠y 2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x 1=x 2或y 1=y 2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用x 代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a ≠0，b ≠0)，求直线l 的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l 过A(a ，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB 的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB 的方程．BC 的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC 的方程．由截距式方程得AC 的方程是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6即 2x+5y+10=0．这就是直线AC 的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢73．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y 轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：(图略)六、板书设计。

直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线.(二)能力训练点通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力.(三)学科渗透点通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识.二、教材分析1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上.2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上.得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)点斜式已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程.这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式.当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1.当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1.(二)斜截式已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程.这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得:y-b=k(x-0)也就就是上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得.当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距.(三)两点式已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程.当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式.对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样.(四)截距式例1 已知直线l在x轴与y轴上得截距分别就是a与b(a≠0,b≠0),求直线l 得方程.此题由老师归纳成已知两点求直线得方程问题,由学生自己完成.解:因为直线l过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得就就是学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名:这个方程就是由直线在x轴与y轴上得截距确定得,叫做直线方程得截距式.对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上得截距,可以直接代入截距式求直线得方程;(2)将直线得方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴与y轴上得截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行与过原点得直线不能用截距式表示.(五)例题例2 三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线得方程.本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解:直线AB得方程可由两点式得:即 3x+8y+15=0这就就是直线AB得方程.BC得方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:由斜截式得:即 5x+3y-6=0.这就就是直线BC得方程.由截距式方程得AC得方程就是即 2x+5y+10=0.这就就是直线AC得方程.(六)课后小结(1)直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式得命名都就是可以顾名思义得,要会加以区别.(2)四种形式得方程要在熟记得基础上灵活运用.(3)要注意四种形式方程得不适用范围.五、布置作业1.(1、5练习第1题)写出下列直线得点斜式方程,并画出图形:(1)经过点A(2,5),斜率就是4;(4)经过点D(0,3),倾斜角就是0°;(5)经过点E(4,-2),倾斜角就是120°.解:2.(1、5练习第2题)已知下列直线得点斜方程,试根据方程确定各直线经过得已知点、直线得斜率与倾斜角:解:(1)(1,2),k=1,α=45°;(3)(1,-3),k=-1,α=135°;3.(1、5练习第3题)写出下列直线得斜截式方程:(2)倾斜角就是135°,y轴上得截距就是3.4.(1、5练习第4题)求过下列两点得直线得两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图.(1)P1(2,1)、P2(0,-3);(2)A(0,5)、B(5,0);(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).解:(图略)六、板书设计。

直线方程直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 （一）点斜式：已知点A ),(00y x ，斜率k ，则k=),(0x xy x x y ≠--直线方程为)(00x yx k y -=-（二）斜截式：已知斜率k ，直线经过点A （0，b ）即y 轴上的截距为b ， 直线方程为y=kx+b（三）两点式：已知两个点),(),,(2211y x y x B A 且xx 21≠，)(112121x yy yx y ---=-，直线方程为x x x yy y x y 121121--=--（四）截距式：过（a ，0），（0，b ）即直线在x 、y 轴的截距分别为a ，b （a ≠0，b ≠0），直线方程为1bya x =+（五）一般式：Ax+By+C=0(A ，B 不全为0) k=BA-点斜式例1求过点（2,1）的倾斜角α满足54cos =α的直线方程练习 1.直线经过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，求直线方程2.直线经过点（-1,1）且斜率是直线222-=x y 的斜率的2倍，求直线方程3.已知一条直线与y 轴交于点（0,2），它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的直线方程例2已知过一点（-4,3）的直线，与两坐标轴围城的三角形的面积为3，求这条直线的直线方程练习1.已知直线的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线的方程2.直线的倾斜角为45度，且过点（4，-1），则这条直线被坐标轴所截得的线段长是例3求过点（2，-1）且倾斜角为直线x-3y+4=0的倾斜角的2倍的直线方程练习1.求过点（2，-1）且倾斜角是直线4x-3y+4=0的倾斜角的一半的直线方程斜截式例4已知直线0322=++y x ，求直线的斜率及直线在y 轴的截距练习1.方程aax y 1+=表示的直线可能为下图中的（ ）A ． B. C.例5求经过点P（3,2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程练习1. 直线2x-3y+6=0在x，y两轴的截距分别为2.求经过（2，-1），在坐标轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b的直线方程3.经过点A（1,4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有多少条？4.直线经过（-2,3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线方程两点式例6已知直线经过（1,1）和（m，2）两点，求直线方程练习1.已知三角形三个顶点的坐标为A（-3,0）B(2,1)C(-2,3)（1）求BC边所在的直线方程（2）求BC边上的中线AD所在的直线方程（3）求BC边上的垂直平分线DE的方程例7（1）当a为何值时，直线x+2ay+1=0和直线（3a-1）x-ay+1=0平行？（2）当a为何值时，直线l1：（a+2）x+(1-a)y-1=0与直线l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？例8已知直线kx-y+1+2k=0（k为实数）（1）求证直线恒过定点（2）若直线与x轴负半轴交于点A，交于y轴正半轴于点B，三角形AOB 的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线的方程练习1.直线x+2ay-1=0与直线（a-1）x-ay+1=0平行，则a的值为2.已知直线l1的倾斜角为43 ，直线l1经过点A（3,2）和B（a，-1），且直线l1与直线l垂直，直线l2：2x+by+1=0有直线l1平行，则a+b的值为3.直线x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是4.已知直线的方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0（1）求证直线过定点（2）若直线分别与x，y轴的负半轴交于A，B两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程平行直线系和垂直直线系与Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+c1=0(C≠c1)与Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+c1=0A.y=-2x+4B.y=x+4C.y=-2x-D.y=x-A.2B.C.-2D.--2 D.( ) A.- B.1 C.1- D.-1一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解，熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.。

课时28 直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式【学习要求】1、在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；2、给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；3、能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．【课前预习】一次函数解析式的求法【课堂活动】一、情境引入二、知识建构1.点斜式2．斜截式3．两点式4．截距式三、例题探究例1 一条直线经过点)3,2(1-P ，倾斜角︒=45α，求这条直线方程，并画出图形.例2已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和)0,0(≠≠b a b ，求直线l 的方程．例3三角形的顶点是)2,0(),3,3(),0,5(C B A --，求这个三角形三边所在直线的方程．例4已知直线m 的倾斜角θ的余弦值等于54，在y 轴上的截距为2-，求直线方程．四、课堂练习 1．写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1) 经过点)5,2(A ，斜率是4；（2）经过点)2,4(-E ，倾斜角是120°．2．已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：(1)12-=-x y (2))4(33-=-x y(3) )1(3--=+x y (4))1(332+-=+x y3．求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1))3,0(),1,2(21-P P ；(2))0,5(),5,0(B A ；(3))1,2(),3,4(----D C ．4．写出过点)1,3(P , 且分别满足下面的条件的直线l 的方程(1)直线l 垂直于x 轴；(2)直线l 垂直于y 轴；(3)直线l 过原点；(4)直线l 倾斜角为135°．五、回顾反思六、课后作业1．直线3)2(+-=x k y 必过定点，则定点的坐标为_____________．2．已知两点)12,8(),2,3(B A ．（1）直线AB 的方程为___________；（2）若点),2(a C -在直线AB 上，则a 为__________．3．直线经过点)2,1(P ，且斜率与直线32+-=x y 的斜率相等，则该直线的方程是_______．4．直线052=+y 的斜率和在y 轴上的截距分别为 ( ) A ． 0 , 25- B ．2 , －5 C ．0 , －5 D ．25- , 不存在 5．直线)0,(1≠=+b a by ax 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A ． ab 21 B ． ab 21 C ．ab 21 D ．ab21 6．过点)2,1(P 且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程为________________．7．.已知直线012=++by ax 在x 轴,y 轴上的截距分别是－3和4 , 求b a ,的值．8．已知直线l 的斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程． 9．直线过点)0,5(P ，在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求此直线方程． 〖能力提高〗10.直线l 经过点)1,3(-，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程．。