直线的两点式与截距式方程

直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程2．(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．3．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程．(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【类题通法】1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0(或A1C2－A2C1=0)．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【练习反馈】1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．参考答案【例1】由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【对点训练】1．答案：(1)x ＝2 (2)－2【例2】[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.【对点训练】2．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1. ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y 1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 【例3】[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【对点训练】3．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)法一：设直线l 的斜率为k .∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12. 又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0.∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 3．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0. 答案：x －y ＋3＝04．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0. 整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0.又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y －5＝1， 整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。

2．2.2直线的两点式方程知识梳理知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点题型探究题型一、直线的两点式方程1．已知点(1,2)A 、(1,2)B --，则直线AB 的两点式方程是______．【答案】2142y x --=--【详解】直线的两点式方程为：112121y y x x y y x x --=--，将点(1,2)A 、(1,2)B --代入得：2142y x --=--.故答案为：2142y x --=--.2．已知ABC 的三个顶点分别为)(7,4A ，)(3,1B -，)(5,2C -．(1)求ABC 的三边所在直线的方程；(2)求ABC 的三条中线所在直线的方程．【答案】(1):54190AB x y --=；:3810BC x y +-=；:6170AC x y -+=；(2)BC 边上的中线716150x y -+=；AB 边上的中线20350x y +-=；AC 边上的中线250x y +-=【详解】(1)由)(7,4A ，)(3,1B -，)(5,2C -知直线AB 的方程为471437y x --=---，整理得54190x y --=直线BC 的方程为(1)32(1)53y x ---=----整理得3810x y +-=直线AC 的方程为472457y x --=---，整理得6170x y -+=(2)BC 的中点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又)(7,4A 所以BC 边上的中线所在的直线方程为1(1)217(1)42y x ---=---，整理得716150x y -+=AB 的中点坐标为35,2⎛⎫⎪⎝⎭，又)(5,2C -所以AB 边上的中线所在的直线方程为35235522y x --=---，整理得20350.x y +-=AC 的中点坐标为()1,3，又)(3,1B -所以AC 边上的中线所在的直线方程为311331y x --=---，整理得250x y +-=．3．已知直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，求这条直线的方程．【详解】由直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．(1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m －1)y －1＝0.综上可得，当m ＝1时，直线方程为x ＝1；当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0.题型二、直线的截距式方程1．回答下列问题：(1)任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？(3)如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？(4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗？【答案】(1)不是都有；(2)不可能相同；(3)不可能相同；(4)不都可以.【详解】(1)直线10x -=在x 轴上的截距为1，在y 轴上无截距.则任一条直线不是都有x 轴上的截距和y 轴上的截距.(2)如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，则这两条直线互相平行，那么它们在y 轴上的截距不相同.(3)假设两条直线在x 轴上的截距相同，又两条直线在y 轴上的截距相同，则这两条直线斜率相同，这与已知中两直线斜率不同矛盾.故如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距不可能相同.(4)直线10x -=在x 轴上的截距为1，在y 轴上无截距，不能用截距式方程表示.故任一条直线不都可以用截距式方程表示2．已知直线经过点)(2,5M -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，求该直线的方程．【答案】520x y +=或280x y ++=【详解】若直线经过原点()0,0，满足题意要求，此时直线方程为52y x =-，整理得520x y +=.若直线不经过原点，不妨设直线方程为12x ya a+=，又其过点()2,5M -，故可得151a a -=，解得4a =-，故此时直线方程为184x y -=-，整理得280x y ++=；综上所述，所求直线方程为：520x y +=或280x y ++=.3．已知不过原点的直线l 过点()3,2-且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程是______．【答案】50x y -+=【详解】l 不过原点且在两个坐标轴上的截距互为相反数，∴可设其方程为1x ya a-=，又l 过点()3,2-，321a a ∴--=，解得：5a =-，:155x yl ∴-+=，即l 方程为：50x y -+=.故答案为：50x y -+=.4．若直线1,(0,0)x ya b a b+=>>过点()2,4，则2a b +的最小值为___________.【答案】16【详解】因为直线1(00)x y a b a b +=>>，过点()2,4，所以241a b+=，因为0,0a b >>所以()24821622448216a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82a bb a=，即4,8a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为16故答案为：165．求经过点()1,4P ，且分别满足下列条件的直线方程：(1)在两坐标轴上的截距相等；(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．【答案】(1)5x y +=或4y x =；(2)260x y +-=【详解】(1)①当过(0,0)O 时，两坐标轴上截距为0，40410k -==-，所以直线方程为:4l y x =；②当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，即x y a +=，过点(1,4)A ，14a ∴+=，5a =，∴直线方程:5l x y +=.综上：直线方程:5l x y +=或4y x =(2)设直线的方程为1(0,0)x ya b a b +=>>，则有141a b+=，144()1()()5549b aa b a b a b a b a b∴+=+⨯=+⨯+=+++= ，当且仅当4b aa b=，即3a =，6b =时取“=”．∴直线方程为260x y +-=．跟踪训练1．已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3),(0,2)A B C --，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【答案】5360x y +-=；1350x y ++=．【详解】过(3,3),(0,2)B C -的两点式方程为203230y x --=---，整理得5360x y +-=．即BC 边所在直线的方程为5360x y +-=，BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为3032,22+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．过(5,0)A -，31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线的方程为05130522y x -+=--+，即11350222x y ++=．整理得1350x y ++=．所以BC 边上中线所在直线的方程为1350x y ++=．2．（1）已知直线l 经过点()()2,1,2,7A B -，求直线l 的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点()()2,1,3,4A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是()()()1,0,3,1,1,3A B C --，求三角形三边所在直线的方程.【答案】（1）2x =；（2）2m =-；（3）AB ：410x y ++=；BC ：250x y +-=；AC ：3230x y -+=.【详解】（1）因为点A 与点B 的横坐标相等，故直线的斜率不存在，故所求直线方程为2x =.（2）由两点式方程，得过A ，B 两点的直线方程为(1)24(1)32y x ---=----，即10x y +-=.又因为点(3,)P m 在直线AB 上，所以310m +-=，得2m =-.（3）由两点式，得边AB 所在直线的方程为(1)30(1)13y x ---=----，即410x y ++=.同理，边BC 所在直线的方程为311331y x --=---，即250x y +-=.边AC 所在直线的方程为310311y x --=---，即3230x y -+=.3．判断命题“如果直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，则l 的斜率是ba”的真假．()【答案】错误【详解】由直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，可得直线过点()(),0,0,a b ，∴直线的斜率为00b bk a a-==--.∴命题“如果直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 且0a ≠，则l 的斜率是ba”为假命题.故答案为：错误.4．求下列直线的方程：(1)通过(2,3),(1,2)A B --的直线；(2)通过(4,5),(0,0)M B 的直线；(3)在x 轴上的截距是2-，在y 轴上的截距是5-的直线；(4)在x 轴与y 轴上的截距都是12-的直线．【答案】(1)5310x y --=；(2)540x y -=；(3)52100x y ++=；(4)2210x y ++=【详解】(1)(2,3),(1,2)A B --,235123k --∴==--,∴直线方程为53(2)3y x -=-，即5310x y --=.(2)(4,5),(0,0)M B ,505404k -∴==-,∴直线方程为54y x =，即540x y -=.(3)在x 轴上的截距是2-，在y 轴上的截距是5-的直线,∴直线的方程为125x y +=--，即52100x y ++=.(4)在x 轴与y 轴上的截距都是12-∴直线的方程为11122x y +=--，即2210x y ++=.5．已知直线l 过点()2,1，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的两倍，则直线l 的方程为___________.【答案】20x y -=或240x y +-=【详解】当截距为0时，设直线方程为y kx =，直线l 过点()2,1，所以12k =，解得12k =，直线方程为12y x =，即20x y -=；当截距不为0时，设直线方程为12x ya a +=，直线l 过点()2,1，所以2112a a+=，解得2a =，直线方程为142x y+=，即240x y +-=；故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=.故答案为：20x y -=或240x y +-=.6．求过点(1,2)且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为92的直线方程．【答案】30x y +-=或460x y +-=.【详解】依题意，设直线在x ，y 轴上的截距分别为,a b (0,0a b >>)，则此直线的方程为1x ya b+=，因直线过点(1,2)，则121a b +=，又1922ab =，解得33a b =⎧⎨=⎩或326a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，于是有133x y +=或1362x y+=，即30x y +-=或460x y +-=，所以所求直线方程为30x y +-=或460x y +-=.高分突破1．已知0a b >>0，，直线x y b a+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．10【答案】B【详解】因为直线x y b a+=在x 轴上的截距为1，所以10b a+=，即1ab =，因为0a b >>0，，所以9296a b ab +≥=，当且仅当9a b =，即13,3a b ==时取等号，所以9a b +的最小值为6，故选：B2．直线221x ya b-=在y 轴上的截距是()A ．||b B ．2b -C ．2b D ．b±【答案】B【详解】根据直线的截距式可知直线咋y 轴上的截距为-b 2故选：B3．（多选）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=【答案】AB【详解】若直线l 过原点，则直线的方程为y kx =，将点(2,3)P 代入得32k =，所以直线方程为32y x =，即320x y -=；若直线l 不过原点，根据题意，设直线方程为1x ya a-=，将点(2,3)P 代入得1a =-，故直线l 的方程为10x y -+=；所以直线l 的方程为：320x y -=或10x y -+=．故选：AB ．4．(多选)下列说法中不正确的是()A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式【答案】ABC5．已知直线l 过点()1,3G -，()2,1H -，则直线l 的方程为__________．【答案】4350x y ++=【详解】由直线方程的两点式可得123112y x -+=--+,化简得4350x y ++=,故答案为：4350x y ++=.6．设m 为实数，若直线:210l x y m -+-=在y 轴上的截距为12，则m 的值为______．【答案】2【详解】直线:210l x y m -+-=,令x =0,则12m y -=，根据题意可知11,222m m -==，故答案为：27．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．【答案】3【详解】直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为32，2时，xy 取得最大值3.8．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求AB 边的高所在直线方程.【答案】(1)6110x y -+=；(2)6220x y +-=【详解】(1)因为A （-1，5）、B （-2，-1），所以由两点式方程可得511521y x -+=---+，化为一般式可得：6110x y -+=；(2)直线AB 的斜率为51612+=-+.所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=.9．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l 的方程．解∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a (a ≠0)，则直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为－a (a ≠0)，故直线方程为xa ＋y －a ＝1，即x －y －a ＝0.∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.10．已知直线l 过点()2,1P .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点且斜率为负，O 为坐标原点，求OA OB +的最小值.【答案】(1)12y x =或3x y +=；(2)223+【详解】(1)当直线l 过原点时，则直线l 的方程为12y x =在两坐标轴上的截距相等；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=，将点()2,1P 代入得211a a+=，解得3a =，所以直线l 的方程为3x y +=，综上所述直线l 的方程为12y x =或3x y +=；(2)设直线l 的方程为()12,0y k x k -=-<，当0x =时，21y k =-+，当0y =时，12x k=-+，故()()1123223223OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+-+≥-⋅-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当()12k k⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即22k =-时取等号，所以OA OB +的最小值为223+.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的截距式方程．【详解】(1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M 0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y －52＝1.12．已知直线l 过点()1,2P ，与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若OAB 的面积为254，求直线l 的方程；(2)求OAB 的面积的最小值．【答案】(1):250l x y +-=或8100x y +-=；(2)4【详解】(1)法一：（1）设直线():1,0x y l a b a b +=>，则12112524a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得552a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或5410a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．法二：设直线():21l y k x -=-，0k <，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -．则()21225122178024S k k k k ⎛⎫=--=⇒++= ⎪⎝⎭，∴12k =-或﹣8所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．(2)法一：∵121212a b a b =+≥⋅，∴8ab ≥，∴142S ab =≥，此时2a =，4b =．∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．法二：∵0k <，∴()()()121414124424222S k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+-+-≥+-⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，此时2k =-，∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．。