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3.2.2 直线的两点式方程【课时目标】 1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．2．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ y ＝ ．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点M (x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．直线xa2－y b 2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b4．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )A ．x －3＋y 4＝1B ．x 3＋y－4＝1 C ．x －3－y 4＝1D ．x 4＋y－3＝1 5．直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1在同一坐标系中的图象可能是( )6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空题7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．8．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．9．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是______________．三、解答题10．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．11．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．能力提升12．已知点A (2,5)与点B (4，－7)，点P 在y 轴上，若|PA |＋|PB |的值最小，则点P 的坐标是________．13．已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l 的方程．1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P (x 0，y 0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x 轴和垂直于x 轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题： (1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y ＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距．(2)方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)以及(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．3．2．2 直线的两点式方程答案知识梳理1．x a ＋y b＝1 2．x 1＋x 22 y 1＋y 22作业设计 1．A 2．B3．B [令x ＝0得，y ＝－b 2．] 4．A5．B [两直线的方程分别化为斜截式：y ＝nmx －n ，y ＝mnx －m ，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B 选项的两直线的斜率符号相同．]6．D [当y 轴上截距b ＝0时，方程设为y ＝kx ，将(5,2)代入得，y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当b≠0时，方程设为x 2b ＋y b ＝1，求得b ＝92，∴选D ．]7．y －32＝2(x －2)解析 k AB ＝－12，由k·k AB ＝－1得k ＝2，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 点斜式方程为y －32＝2(x －2)．8．x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 解析 设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y 1＝1，即x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1．9．x 2＋y 6＝1 解析 设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1．10．解 方法一 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b ． ∵k＝6，∴方程为y ＝6x ＋b ．令x ＝0，∴y＝b ，与y 轴的交点为(0，b)；令y ＝0，∴x＝－b 6，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 6，0． 根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 62＋b 2＝37，∴b＝±6．因此直线l 的方程为y ＝6x±6．方法二 设所求直线为x a ＋yb＝1，则与x 轴、y 轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．由勾股定理知a 2＋b 2＝37．又k ＝－ba ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝37，－ba＝6.解此方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.因此所求直线l 的方程为x ＋y －6＝1或－x ＋y6＝1． 11．解 (1)由截距式得x －8＋y4＝1，∴AC 所在直线方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x－2，∴AB 所在直线方程为x ＋y －4＝0．(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)．∴BD 所在直线方程为2x －y ＋10＝0．(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D(－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)， ∴AC 边上的中垂线所在直线方程为2x ＋y ＋6＝0． 12．(0,1)解析 要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A 关于y 轴的对称点A′(－2,5)，连接A′B，直线A′B 与y 轴的交点P 即为所求点．13．解 当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0．当直线l 不过原点时，设其方程x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0．故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0．。
3.2.2 直线的两点式方程学习目标1．掌握直线的两点式方程和截距式方程，以及各自的适用条件．2．会选择适当的方程形式求直线方程．3．能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式．基础知识1．直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝______叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．(2)说明：与坐标轴______的直线没有两点式方程．归纳总结直线的两点式方程应用的前提条件是：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.做一做1 过点A (5,6)和点B (－1,2)的直线方程的两点式是( )A.y －5x －6＝y ＋1x －2B.y －62－6＝x －5－1－5C.2－6y －6＝－1－5x －5D.x －62－6＝y －5－1－52．直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l 与两个坐标轴的交点分别是P 1(a ,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程__________叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x 轴的交点(a ,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．做一做2 在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )A.x －3＋y 4＝1 B.x 3＋y －4＝1 C. x －3－y 4＝1 D.x 4＋y －3＝1 3．中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．重点难点1．理解直线的两点式方程剖析：(1)对于直线方程的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，两点的坐标哪一个为(x 1，y 1)，哪一个为(x 2，y 2)，并不影响最终的结果，但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横纵坐标．(2)要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．理解直线的截距式方程剖析：(1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两个坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为x a ＋y b＝1(ab ≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．(2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为x a ＋y b＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距．如x 3－y 4＝1，x 3＋y 4＝－1等就不是直线的截距式方程． 3．求直线方程时方程形式的选择技巧剖析：一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y 轴上的截距；已知直线在两个坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线．典型例题题型一：利用两点式求直线方程例1 已知三角形的三个顶点A (－4,0)，B (0，－3)，C (－2,1)，求：(1)BC 边所在的直线方程；(2)BC 边上中线所在的直线方程．反思：已知两点求直线的方程，可利用两点式直接写出其方程；求中线所在的直线方程，联想到中点坐标公式即可求出中点．在没有特殊要求的条件下，以后求出的直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，且尽量满足：①A >0；②A ，B ，C 均是整数时，最大公约数为1. 题型二：利用截距式求直线方程例2 已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．反思：在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时，常把直线方程设为截距式，由已知条件建立关于两截距的方程，解得截距的值，从而确定方程．题型三：易错辨析易错点 忽视截距为0的情形例3 已知直线l 过点P (2，－1)，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．错解：由题意，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a＝1， ∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0.错因分析：错解忽略了过原点时的情况．反思：截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两个坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．随堂练习1．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN 所在直线方程为()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 2．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是__________．3．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则线l的方程为__________．4．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且经过点A(2,2)．求直线l的方程．参考答案基础知识1．(1)x－x1x2－x1(2)垂直做一做1 【答案】B2．(1)xa＋yb＝1做一做2 【答案】A3. x1＋x22y1＋y22例1 解：(1)直线BC 过点B (0，－3)，C (－2,1)，由两点式方程得y ＋31＋3＝x －0－2－0，化简得2x ＋y ＋3＝0.(2)由中点坐标公式，得BC 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0－22，－3＋12，即D (－1，－1)．又直线AD过点A (－4,0)，由两点式方程得y ＋10＋1＝x ＋1－4＋1，化简得x ＋3y ＋4＝0. 例2 解：由题意，可设A (a,0)，B (0，b )，由中点坐标公式，可得⎩⎨⎧ a ＋02＝4，0＋b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2，故A (8,0)，B (0,2)． 由直线方程的截距式得直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0. 例3 正解：设直线l 在两个坐标轴上的截距都为a .若a ＝0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y ＝0；若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a＝1， ∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y －1＝0.随堂练习1．【答案】A2. 【答案】3x ＋2y －6＝03. 【答案】2x －y ＋4＝04．解：(1)若直线l 在两个坐标轴上的截距都为0，则l 经过O (0,0)和A (2,2)两点，其方程为x －y ＝0.(2)若截距不为0，可设截距为a ，则直线l 的方程为x y a a+＝1. ∵l 过点A (2,2)，∴22a a+＝1，解得a ＝4. ∴直线l 的方程为44x y +＝1，即x ＋y －4＝0.由(1)(2)知，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－4＝0.。
3.2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一 直线的两点式方程 名称已知条件示意图方程使用范围两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二 直线的截距式方程 名称已知条件 示意图 方程 使用范围截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.1.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示.( × )2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )3.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( √ )4.直线y ＝x 在x 轴和y 轴上的截距均为0.( √ )题型一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边所在的直线方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程. 解 k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标.跟踪训练1 (1)过点A (－2,1)，B (3，－3)的直线方程为( )A.4x －5y ＋13＝0B.4x ＋5y ＋3＝0C.5x ＋4y ＋5＝0D.5x －4y ＋8＝0考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以y －1－3－1＝x －(－2)3－(－2)，所以y －1－4＝x ＋25，化简得4x ＋5y ＋3＝0.(2)如图，已知A (1,2)，B (－1,4)，C (5,2).①求线段AB 中点D 的坐标；②求△ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 解 ①因为A (1,2)，B (－1,4)， 所以线段AB 中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋(－1)2，2＋42，即D (0,3).②△ABC 的边AB 上的中线即线段CD ， 因为C (5,2)，D (0,3).所以线段CD 所在的直线方程为y －32－3＝x －05－0，化简可得x ＋5y －15＝0. 题型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3，∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.反思感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 跟踪训练2 (1)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( ) A.y ＝32xB.x ＋y ＝5C.y ＝32x 和x ＋y ＝5D.y ＝－32x 和x ＋y ＝5考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 C解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a ，b . 当a ＝b ≠0时，直线方程为x a ＋ya ＝1，∴2a ＋3a ＝1，∴a ＝5，∴x ＋y ＝5， 当a ＝b ＝0时，k ＝32，∴y ＝32x ，综上所述，y ＝32x 和x ＋y ＝5.(2)直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． 解 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 所以a 2＋b 2＝12－a －b .两边平方整理得ab －12(a ＋b )＋72＝0.① 又因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2.所以43a ＋2b＝1，整理得3ab ＝6a ＋4b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝4，或⎩⎨⎧b ＝92，a ＝125，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.直线方程的灵活应用典例 已知△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x .(1)求直线BC 的方程； (2)求直线AB 的方程. 解 如图.(1)因为∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ， 所以AB 与BC 关于x ＝0对称，AC 与BC 关于y ＝x 对称. A (3，－1)关于x ＝0的对称点A ′(－3，－1)在直线BC 上， A 关于y ＝x 的对称点A ″(－1,3)也在直线BC 上. 由两点式求得直线BC 的方程为y ＝2x ＋5. (2)因为直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称， 所以直线AB 与BC 的斜率互为相反数， 由(1)知直线BC 的斜率为2， 所以直线AB 的斜率为－2， 又因为点A 的坐标为(3，－1)，所以直线AB 的方程为y －(－1)＝－2(x －3)， 即2x ＋y －5＝0.[素养评析] (1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称.(2)画出图形，借助图形分析A 关于直线x ＝0的对称点A ′在BC 上，A 关于y ＝x 的对称点A ″也在BC 上，体现了直观想象的数学核心素养.(3)分别求出A ′，A ″两点的坐标，再根据两点式求出BC 边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养.1.在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y4＝1 B.x 3＋y－4＝1C.x －3－y4＝1 D.x 4＋y－3＝1 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 A2.经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A.x ＝2 B.y ＝2 C.x ＝3 D.x ＝6 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3.过坐标平面内两点P 1(2,0)，P 2(0,3)的直线方程是( ) A.x 3＋y2＝1 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y 3＝1 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 C4.过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1， 得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.5.已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.1.当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式.2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.。
