九年级数学配方法及公式法检测题

轧东卡州北占业市传业学校<公式法>练习题〔〕一、填空题1.配方法解一元二次方程的根本思路是：〔1〕先将方程配方〔2〕如果方程左右两边均为非负数那么两边同时方，化为两个__________〔3〕再解这两个__________2.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时：∵a≠0,方程两边同时除以a得__________________，移项得__________配方得__________即〔x+__________〕2=__________当__________时，原方程化为两个一元一次方程_________和__________∴x1=__________,x2=____________3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=____________求得方程的解.4.方程3x2－8=7x化为一般形式是________，a=__________,b=__________,c=__________,方程的根x1=__________,x2=__________.二、选择题1.用公式法解方程3x2+4=12x，以下代入公式正确的选项是A.x1、2=24 312122⨯-±B.x1、2=24 312122⨯-±-C.x1、2=24 312122⨯+±D.x1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±--2.方程x2+3x=14的解是A.x=2653±B.x=2653±-C.x=2233±D.x=2233±-3.以下各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有①1+5②1－5③1 ④－5A.0个B.1个C.2个D.3个3 )x+6=0的解是4.方程x2+(2A.x1=1,x2=6B.x1=－1,x2=－6C.x1=2,x2=3D.x1=－2,x2=－3。

九年级（上册)数学配方法及公式法姓名：◆回顾归纳1．通过配方，把方程的一边化为______,另一边化为_____，然后利用开平方法解方程，这种方法叫配方法，如ax2+bx+c=0（a≠0），配方得a(x+_____）2=244b aca-．2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,运用公式法求解的方法叫做公式法，•求根公式x=_______．◆课堂测控测试点1 配方法1．（1）x2－2x+_____=（x－1）2; （2）x2+32x+916=（x+_______）2．2．（1）x2+4x+_____=（x+_____）2；（2）y2－_______+9=（y－_____)2．3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（ )A．3 B．9 C．±3 D．±94．已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2•可以配方成下列的（） A．（x－p)2=5 B．(x－p）2=9 C．（x－p+2）2=9 D．(x－p+2）2=55．用配方法解下列方程：(1）x2+6x+7=0；（2)2x2－4x=－5；（3）3x2+2x－3=0； (4）12x2－3x+3=0．6．阅读下列解题过程,并解答后面的问题．用配方法解方程2x2－5x－8=0．解：2x2－5x－8=0．∴x2－5x－8=0．①∴x2－5x+（－52)2=8+（－52）2．②∴（x－52）2=574．③∴x1，x2④（1）指出每一步的解题根据：①______；②______;③_______；④_______．（2）上述解题过程有无错误，如有错在第______步，原因是_________．(3）写出正确的解答过程．测试点2 公式法7．方程（x+2）（x+3）=20的解是______．8．方程3x2+2x+4=0中,b2－4ac=_______,则该一元二次方程_______实数根．9．方程x2+4x=2的正根为（）A．2．．－2．－10．用求根公式解下列方程．（1）3x2－x－2=0; (2）12x2+18=－12x；(3)（x+2）（x－2）；（4）3x2+2x=2．11．用公式法解方程12x2+12x+18=0．解:4x2+4x+1=0 ①∵a=4,b=4,c=1，②∴b2－4ac=42－4×4×1=0．③∴=12．④∴x1=x2=－12．（1）以上①步______，②步______，③步_______，④步_______．(2）体验以上解题过程,用公式法解方程:13x2+13x－16=0．◆课后测控1．若关于x的方程2x2+3ax－2a=0有一根为x=2，则关于y的方程y2+a=7的解是______．2．设x,x是方程x2－4x－2=0的两根，那么x=______，x=_____．3．如果（2a+2b+1）（2a+2b－1）=63,那么a+b的值是______．4．将二次三项式2x2－3x－5进行配方，其结果为______．5．若方程ax2+bx+c=0的一个根为－1，则a－b+c=_____；若一根为0,则c=______．6．若│x2－x－2│+│2x2－3x－2│=0，则x=_______．7．一元二次方程x2－2x=0的解是( ）A．0 B．0或2 C．2 D．此方程无实数根11．用适当的方法解下列方程．（1）4x2－7x+2=0; (2）x2－x－1=0；（3）x2－7x+6=0；（4)3（x+1）2－5（x+1）=2．参考答案回顾归纳1．完全平方式 非负数 2ba2（b －4ac ≥0）课堂测控1．（1）1 （2）34 2．（1）4 2 （2)6y 3 3．C 4．B5．（1）x 1=－x 2=－3（2）无解（3）x 1=13-，x 2=13-（4）x 1x 2=36．（1）①把二次项系数化为1 ②移项，•方程的两边加上一次项系数一半的平方③方程左边化为完全平方式 ④直接用开平方法解方程（2)① 常数项和一次项系数未同时除以2（3)正确解答：x 2－52x －4=0，∴x 2－52x+（－54）2=4+（－54）2，∴（x －54）2=8916，∴x 1=54，x 2=54-．7．x 1=－7，x 2=28．－44 没有 9．D10．（1)x 1=1，x 2=－23 （2）x 1=x 2=－12(3）x 1x 2(4)x 1=13-+，x 2=13-11．（1）①把系数化为整数 ②确定二次项系数，一次项系数，常数项 •③求出b 2－4ac 的值 ④求出方程的根(2）2x 2+2x －1=0，∵a=2，b=2，c=－1,∴b 2－4ac=4－4×2×(－1）=12．∴==．∴x 1，x 2 课后测控1．y=±32．x=4422±==2） 3．±4(点拨：令2a+2b=x ，则（x+1）(x －1）=63,∴x=±8，∴a+b=±4）4．2［（x －34）2－4916］ （点拨：2x 2－3x －5=2（x 2－32x －52) =2［x 2－32x+（－34)2－52－916］=2［（x －34）2－4916]） 5．0 0 6．2(点拨：要使等式成立,则必有x 2－x －2=0，且2x 2－3x －2=0，∴x=2）7．B8．A （点拨:x 2+y 2+2x －4y+7=（x+1）2+（y －2）2+2,∵（x+1）2≥0，(y －2)2≥0，∴x 2+y 2+2x －4y+7≥2）9．B （点拨:x 2－16x+60=0的两根为x 1=10，x 2=6，根据三角形三边关系，则10和6都可为第三边长，∴当第三边长为10，则此三角形为直角三角形，则S=24，当第三边长为6时，10．C （点拨:∵x*（x+1）=5，∴x+(x+1）2=5，即x 2+3x －4=0，∴x 1=1,x 2=－4）11．（1）这里a=4，b=－7，c=2．∴△=49－4×4×2=17，∴=．∴x 1=78，x 2=78．（2）x =，x 2 (3）(x －1）（x －6）=0，∴x －1=0或x －6=0．∴x 1=1，x 2=6．（4）令x+1=y ，则原方程变为3y 2－5y －2=0,∴y 1=－13，y 2=2． 当y 1=－13，x 1=－43；y 2=2时，x 2=1． 12．∵（x+1)△x=10,∴（x+1）2+（x+1）x+x 2=10，整理得x 2+x －3=0．解得x 12 13．∵△=4－2(2－m ）=4m －4〉0，∴m>1．将m=2代入方程得x 2+2x=0，∴x 2+2x+1=1，即（x+1)2=1,∴1+x=±1,∴x 1=0，x 2=－2．14．设平均每箱应降价x 元，根据题意得（4－x ）·（20+0.4x ×8）=120． 整理得x 2－3x+2=0，即（x －2）(x －1）=0．∴x=2,x=1．因为要扩大销售量，减少库存，所以应取x=2，将x=1舍去，∴每箱牛奶应降价2元． 拓展创新设道路宽为x 米，列方程为20×32－（20+32）x+x 2=540，∴x 1=2，x 2=50（舍去）,•∴道路宽为2米．。

初三数学配方法公式法练习题在初三数学学习过程中，配方法和公式法是其中的两个重要的解题方法。

配方法主要适用于一元二次方程的解题，而公式法则广泛适用于各种数学题型。

下面我们来进行一些练习题，通过运用这两种方法解题，加深对它们的理解。

1. 配方法1.1 一元二次方程题问题：求解方程x^2 + 6x + 9 = 0的解。

解答：按照配方法的步骤来解题，我们需要先判断a、b、c的值分别是多少。

在这个方程中，a为1，b为6，c为9。

1. 将b除以2，得到3。

2. 计算3的平方，得到9。

3. 判断是否满足(a-b/2)^2 = c。

在这个例子中，(1-6/2)^2=9。

4. 若满足配方法的条件，可以进行下一步计算。

在这个例子中，满足条件。

5. 计算(x-b/2)^2 = c，即(x-3)^2 = 9。

6. 开方得到x-3=±3，即x=6或x=0。

所以，方程x^2 + 6x + 9 = 0的解为x=6或x=0。

2. 公式法2.1 面积计算题问题：求解一个半径为5cm的圆的面积。

解答：根据圆的面积公式S = πr^2，其中r为半径。

1. 将半径的值代入公式中，得到S = π(5)^2。

2. 进行计算，得到S = 25π。

所以，一个半径为5cm的圆的面积为25πcm²。

2.2 三角函数题问题：求解正弦函数f(x) = sin(x)在区间[0, π/2]上的极大值和极小值。

解答：根据三角函数的极值定理，f(x)在区间[0, π/2]上的极大值和极小值可通过求f'(x) = 0的根来得到。

其中，f'(x)代表f(x)的导数。

1. 对f(x) = sin(x)求导数，得到f'(x) = cos(x)。

2. 解方程f'(x) = 0，即cos(x) = 0。

在区间[0, π/2]上，cos(x) = 0的解为x = π/2。

3. 根据二阶导数的符号来判断极值类型。

在这个例子中，f''(x) = -sin(x)小于0，说明在x = π/2处是极大值。

解一元二次方程配方法练习题1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2；②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2；④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x -5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x -b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x -4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a -2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a -2）2-17．把方程x+3=4x 配方，得（ ）A ．（x -2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x -2）2=1D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2±B ．-2C ．- D ．29．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x -4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x -15=0 （4）41x 2-x -4=011.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x2+5x+1的最大值。

12. 用配方法证明：（1）的值恒为正； （2）的值恒小于0．13. 某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长百分率．21a a -+2982x x -+-解一元二次方程公式法练习题一、双基整合 步步为营1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____，当b -4ac<0时，方程_________．2．方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________， 若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．3．若方程3x 2+bx+1=0无解，则b 应满足的条件是________．4．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为________．（c ≤1）5．用公式法解方程x 2=-8x -15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________．6．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．7．一元二次方程x 2-2x -m=0可以用公式法解，则m=（ ）．A ．0B ．1C ．-1D ．±184y 2=12y+3）A ．y=B ．y= C ．y= D ．y=9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx -c （1-x 2）=0的两根相等， 则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形10．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x -1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．解下列方程；（1）2x 2-3x -5=0 （2）2t 2+3=7t （3）x 2+x -=0（4）x 2-x+1=0 （5）0.4x 2-0.8x=1 （6）y 2+y -2=0 32-±32±32±32-±16132313二、拓广探索:12．当x=_______时，代数式与的值互为相反数． 13．若方程x -4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________．14．如图，是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面， 如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值．三、智能升级:15．小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料， 鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．13x +2214x x +-12。

解一元二次方程练习题(配方法)1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=010.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。

解一元二次方程练习题(公式法)一、填空题1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是__ ___ 当b-4ac<0时，方程____．2．方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有_______ ，•若有两个不相等的实数根，则有______，若方程无解，则有__________．3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________． 4．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个5．若方程x 2-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________． 二、利用公式法解下列方程（1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2（4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0（7）(x+1)(x+8)=-12 （8）2(x －3) 2＝x 2－9因式分解法解一元二次方程练习题1．填空题(1)方程t(t＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．(3)方程x(x－5)＝5－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；（3）x2＝7x；(4)(2t＋3)2＝3(2t＋3)(5)(3－y)2＋y2＝9；(6)(1＋2)x2－(1－2)x＝0； (7)x2＋3＝3(x＋1)．1．（4分）(2014年山东淄博)一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=32．（2014年山东烟台）关于x 的方程x 2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是（ ）A ．﹣1或5B ． 1C ． 5D ． ﹣1 3．（3分）（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，4. 若一元二次方程ax 2=b （ab >0）的两个根分别是m +1与2m －4，则b a= . 5．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程 x 2 -12x+k=O 的两个根，则k 的值是( )A 27B 36C 27或36D 18 6．（3分）（2014•枣庄）x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2=15的两个解，且x 1＜x 2，） ）林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率；（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？9．（4分）（2014•德州）方程x 2+2kx+k 2﹣2k+1=0的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=4，则k 的值为 ．一元二次方程根与系数的关系练习题1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.4.若x 1、x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2221=+， .________)x (x 221=-5.已知21x ,x 为方程01x 3x 2=++的两实根，则.__________20x 3x 221=+- 6.方程02x 5x 2=+-与方程06x 2x 2=++的所有实数根的和为___________. 7.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________. 8.设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ） A ．2009 B.2010 C.2011 D.2012 9.不解方程，求下列方程的两根x 1、x 2的和与积。

九年级上册数学解一元二次方程配方法、公式法同步练习及答案1．方程(x －2)2＝9的解是( )A ．x 1＝5，x 2＝－1B ．x 1＝－5，x 2＝1C ．x 1＝11，x 2＝－7D ．x 1＝－11，x 2＝72．把方程x 2－8x ＋3＝0化成(x ＋m )2＝n 的形式，则m ，n 的值是( )A ．4,13B ．－4,19C ．－4,13D ．4,193．方程x 2－x －2＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定4．方程x 2＋x －1＝0的根是( )A ．1－ 5 B.－1＋52C ．－1＋ 5 D.－1±525．(2012年广东广州)已知关于x 的一元二次方程x 2－2 3＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 值为________．6．用配方法解下列方程：(1)x 2＋5x －1＝0；(2)2x 2－4x －1＝0；(3)2x 2＋1＝3x .7．用公式法解下列方程：(1)x 2－6x －2＝0；(2)4y 2＋4y －1＝－10－8y .8．阅读下面的材料并解答后面的问题：小力：能求出x 2＋4x ＋3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小强：能．求解过程如下：因为x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－4＋3＝(x 2＋4x ＋4)＋(－4＋3)＝(x ＋2)2－1，而(x ＋2)2≥0，所以x 2＋4x ＋3的最小值是－1.问题：(1)小强的求解过程正确吗？(2)你能否求出x 2－8x ＋5的最小值？如果能，写出你的求解过程．9．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0.(1)若x ＝－1是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一根；(2)对于任意的实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．10．已知关于x 的方程x 2－2x －2n ＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n ＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n 的值．答案1．A 2.C 3.B 4.D 5.D6．解：(1)移项，得x 2＋5x ＝1.配方，得x 2＋5x ＋254＝294，⎝⎛⎭⎫x ＋522＝294. ∴x ＋52＝±292. ∴x 1＝29－52，x 2＝－29－52. (2)系数化为1，得x 2－2x －12＝0.移项，得x 2－2x ＝12. 配方，得x 2－2x ＋1＝32，(x －1)2＝32. ∴x －1＝±62.∴x 1＝6＋22，x 2＝－6＋22.(3)移项，得2x 2－3x ＝－1.系数化为1，得x 2－32x ＝－12.配方，得x 2－32x ＋⎝⎛⎭⎫342＝－12＋⎝⎛⎭⎫342，⎝⎛⎭⎫x －342＝116，x －34＝±14，∴x 1＝1，x 2＝12. 7．解：(1)∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－2)＝44>0.∴x ＝6±442＝6±2 112＝3±11.∴x 1＝3＋11，x 2＝3－11.(2)原方程可化为4y 2＋12y ＋9＝0.∵a ＝4，b ＝12，c ＝9，∴b 2－4ac ＝122－4×4×9＝0.∴y ＝－12±02×4＝－32.∴y 1＝y 2＝－32. 8．解：(1)正确．(2)能．过程如下：x 2－8x ＋5＝x 2－8x ＋16－16＋5＝(x －4)2－11，∵(x －4)2≥0，∴x 2－8x ＋5的最小值是－11.9．解：(1)因为x ＝－1是方程的一个根，所以1＋m －2＝0，解得m ＝1.方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.所以方程的另一根为x ＝2.(2)b 2－4ac ＝m 2＋8，因为对于任意实数m ，m 2≥0，所以m 2＋8>0，所以对于任意的实数m ，方程有两个不相等的实数根．10．解：(1)∵关于x 的方程x 2－2x －2n ＝0，a ＝1，b ＝－2，c ＝－2n ，∴Δ＝b 2－4ac ＝4＋8n ＞0.解得n ＞－12. (2)由原方程，得(x －1)2＝2n ＋1.∴x ＝1±2n ＋1.∵方程的两个实数根都是整数，且n ＜5，∴0＜2n ＋1＜11，且2n ＋1是完全平方形式．∴2n ＋1＝1,2n ＋1＝4或2n ＋1＝9.解得，n ＝0，n ＝1.5或n ＝4.。

九年级数学上册同步测试：2.2 用配方法求解一元二次方程一、选择题（共15小题）1．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根2．已知关于=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥23．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣44．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=25．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=196．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=157．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+98．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=99．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．510．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣11．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=10912．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=13．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（）A．22 B．28 C．34 D．4014．关于≠0）的解是x1=﹣3，（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=215．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3二、填空题（共7小题）16．方程x2=2的解是．17．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．18．若将方程=．19．将=．20．方程x2﹣2x﹣2=0的解是．21．方程x2﹣2﹣4，则=．三、解答题（共8小题）23．解方程：x2﹣6x﹣4=0．24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）25．解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．26．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．28．（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．29．解方程：x2﹣4x+1=0．30．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．北师大版九年级数学上册同步测试：2.2 用配方法求解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据直接开平方法可得x﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．2．已知关于=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先移项把﹣m移到方程右边，再根据直接开平方法可得m的取值范围．【解答】解；（，∵一元二次方程（≥0，故选：B．【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．3．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】解：（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=﹣4，故选：D．【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选D．【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=19【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，故选D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法，可得方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．8．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．5【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先同时除以a得：（x﹣b）2=，再两边直接开平方可得：x﹣b=±，然后把﹣b移到右边，再根据方程的两根可得a、b的值，进而算出a+b的值．【解答】解：a（x﹣b）2=7，两边同时除以a得：（x﹣b）2=，两边直接开平方可得：x﹣b=±，则x=±+b，∵两根为±，∴a=4，b=，∴a+b=4=，故选：B．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．10．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．【解答】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】转化思想．【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．【解答】解：ax2+bx+c=0，ax2+bx=﹣c，x2+x=﹣，x2+x+（）2=﹣+（）2，（x+）2=，故选：A．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．13．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（）A．22 B．28 C．34 D．40【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可．【解答】解：4x2+12x﹣1147=0，移项得：4x2+12x=1147，4x2+12x+9=1147+9，即（2x+3）2=1156，2x+3=34，2x+3=﹣34，解得：x=，x=﹣，∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=，b=﹣，∴3a+b=3×+（﹣）=28，故选B．【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．14．关于≠0）的解是x1=﹣3，（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】计算题．【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，（，h，k均为常数，m ≠0）得x=﹣h±，而关于≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（n=±．15．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3【考点】解一元二次方程-直接开平方法；估算无理数的大小．【专题】计算题．【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．二、填空题（共7小题）16．方程x2=2的解是±．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=2，x=±．故答案为±．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．17．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是x1=x2=．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．【解答】解：x2+3﹣2x=0（x﹣）2=0∴x1=x2=．故答案为：x1=x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键．18．若将方程=3．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32=7+32，配方，得（=3．故答案为：3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．19．将=3．【考点】配方法的应用．【专题】计算题．【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．【解答】解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（=3，故答案为：3【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．方程x2﹣2x﹣2=0的解是x1=+1，x2=﹣+1．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数﹣2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．【解答】解：x2﹣2x﹣2=0，移项得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=2+1，（x﹣1）2=3，两边直接开平方得：x﹣1=，则x1=+1，x2=﹣+1．故答案为：x1=+1，x2=﹣+1．【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．方程x2﹣2x﹣1=0的解是x1=1+，x2=1﹣．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+1=2，∴（x﹣1）2=2，∴x=1±，∴原方程的解为：x1=1+，x2=1﹣．故答案为：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程．解题时注意配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．22．若一元二次方程a+1与2m﹣4，则=4．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．【解答】解：∵x2=，∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（n=±．三、解答题（共8小题）23．解方程：x2﹣6x﹣4=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】阅读型．【分析】（1）移项要变号；（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为：⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n x2=﹣4n．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．25．解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案．【解答】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题．26．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．【考点】解一元二次方程-配方法；解分式方程．【专题】计算题．【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）移项得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，则x1=1+，x2=1﹣；（2）去分母得：4x﹣2=3x，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，利用配方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数以一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】阅读型．【分析】第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．故答案是：四；x=；用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0解：移项，得x2﹣2x=24，配方，得x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．28．（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．【考点】解一元二次方程-配方法；解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】（1）方程两边都加上1，配成完全平方的形式，然后求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：（1）x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，所以，x1=1+，x2=1﹣；（2），解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜．【点评】（1）考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．（2）主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．29．解方程：x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题；配方法．【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．30．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+=±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．。

目标：会用配方法与公式法求二次函数c bx ax y ++=2
的顶点坐标
一．知识回顾
1. 形如k h x a y +-=2)(的二次函数解析式叫做顶点式.
2．二次函数y ＝﹣2x 2的图象开口方向是（ ）
A．向下 B．向左 C．向上 D．向右
3．抛物线y ＝﹣（x +1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
4．二次函数y ＝﹣2（x ﹣1）2图象的对称轴是（ ）
A．直线x ＝﹣1 B．直线x ＝0 C．直线x ＝1 D．直线x ＝﹣2
二、新知学习: 配方法求顶点坐标
5.用配方法把二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，然后再写出顶点坐标.
(1)522++=x x y (2) 1422--=x x y
(3)322——x x y +=
三．公式法求二次函数的顶点坐标
6.数学需要总结，找规律，你想找到一个万能的方法吗？用配方法求二次函数c bx ax y ++=2图象的对称轴和顶点坐标。

c bx ax y ++=2k h x a y +-=2)( 开口方向
顶点坐标 对称轴 0>a
（ ， ） 直线 0<a
顶点坐标公式：
7.用公式法求二次函数的顶点坐标.
(1) 34-2+=x x y (2) 322
——x x y +=
(3) 1321
2—x x y += (4)
)5)(2-(+=x x y
)4a b -4ac 2a b 2，—（。

解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解以下方程：（1）x2＋12 x＋25＝0（3）x2－6x＝112、用配方法解以下方程：（1）6x2－7x＋1＝0（3）4x2－3x＝523、用公式法解以下方程：（1） 2x 2－9x＋8＝0（3）16x2＋8x＝34、运用公式法解以下方程:(1)5x 2＋ 2x－1＝ 0（2）x2＋4x＝10（4）x2－2 x－4＝0（2）5x2－18＝9x（4）5x2＝4－2x（2）9x2＋6x＋1＝0（4）2x2－4x－1＝0(2)x2＋6 x＋9＝7（ 3）5x＋ 2＝3x 2（4）( x－ 2)(3x－5)＝15、用分解因式法解以下方程：（ 1）9x2＋6x＋1＝0（2）3x( x－1)＝2－2x（ 3）(2x＋3)2＝4(2 x＋3)（4）2(x－3)2＝x2－96、用适合方法解以下方程：（1）(3 x)2 x2 5 （2）x2 2 3x 3 0（ 3）(3x 11)( x 2) 2 ；（4） x(x 1) 1 ( x 1)( x 2)3 47、解以下对于x 的方程 :(1) x2+2x－ 2=0(2)3x2+4x－ 7=(3) (x+3)( x－1)=5（4)(x－ 2 )2+4 2 x=08、解以下方程（ 12 分）（ 1）用开平方法解方程：( x 1)2 4 （2）用配方法解方程： x2—4x+1=0（ 3）用公式法解方程：3x2+5(2 x+1)=0（4）用因式分解法解方程：3(x- 5)2=2(5 - x)9、用适合方法解以下方程：（ 1）x( x－14)＝0（2）x2＋12x＋27＝0（ 3）x2＝x＋56（4）x(5x＋4)＝5x＋4（ 5）4x2－45＝31x（6）－3x2＋22 x－24＝0（ 7）( x＋8)( x＋1)＝－12（8）(3x＋2)( x＋3)＝x＋14解一元二次方程专项练习题答案1、【答案】（1）－611；（2）－214；（3） 3 2 5；（4）1 52、【答案】x ＝， x ＝1（2）x＝3，x＝－6（1）11 2 1 26 5（ 3）x1＝4，x2＝－13（4）x＝－121 4 53、【答案】（ 1）x＝917 （ 2）x1＝x2＝－14 3（ 3）x1＝1，x2＝－3（ 4）x＝264 4 24、【答案】(1)x1= 1 6, x2 1 6 (2). x1=－ 3+ 7 ,x2=－ 3－7 5 5（） x ＝2 ， x ＝－1（ 4）x＝11133 1 2635、【答案】（ 1）x1＝x2＝－1（2）x1＝1，x2＝－2 3 3（ 3）x＝－3， x ＝1（4）x ＝3 ， x ＝91 2 1 22 26、【答案】（1）x1＝1，x2＝2 （ 2）x1＝x2＝－ 3（ 3）x1 5, x2 4；（ 4）x1 2, x23 37、【答案】(1)x=－ 1± 3 ;7 (2) x1=1， x2=－3(3)x1=2， x2=－ 4; 1=x2=－ 28、【答案】解：（ 1）x13, x21 （ 2）x123, x2 23（ 3）x1510 , x2 5 10 （ 4）x15, x2 13 。

初三数学解一元二次方程——配方法．选择题（共 1 小题）二．填空题（共 8 小题）2．（ 2013 秋?湖里区校级月考）用配方法解一元二次方程 为．3．（2013秋?曲阜市期中） 用配方法解一元二次方程4．用配方法解一元二次方程﹣ 3x 2+4x+1=0 的第一步是把方程的两边同时除 以．25．（ 2006秋?仙桃期末）用配方法解一元二次方程 x 2+8x ﹣9=0 时，当配成完全平方后，原方程可变为 ．26．（ 2014 春?莱州市期末）用配方法解一元二次方程 x 2﹣ x=1 时，应先两边都加上．7．（2010 秋?宜城市期中） 用配方法解一元二次方程 x 2﹣ 8x+1=0，把右边配成完全平方后为（x ﹣ ） 2= ．22 8．（ 2006 秋?西城区校级月考）用配方法解一元二次方程 2x 2+3x+1=0 ，变形为（ x+h ）2=k ，则 h= ， k= ．9．（ 2013秋?鼓楼区期中）将一元二次方程 x 2﹣4x ﹣ 7=0用配方法化成（ x+h ）2=k 的形式为．三．解答题（共 11 小题）210．（2008?青岛）用配方法解一元二次方程： x 2﹣2x ﹣2=0．1．（ 2013 春?奉化市校级月考）用配方法解一元二次方程A ．1B ．C ．D ．x 2+8x+7=0 ，则方程可化 x 2﹣ 4x+2=0 时，可配方得，两边应同时加上的数2 y是（ ）211．用配方法解一元二次方程： x 2+3x+1=0 ．12．（ 2010 秋 ?上海校级月考）（2）用配方法解一元二次方程：13．（2013?自贡）用配方法解关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 ．14．（2012 春?威海期末）已知三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是 16x+60=0 的一个根．请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积．215．（1）解一元二次方程： （x ﹣3） 2+2x （x ﹣3）=0 （2）用配方法解一元二次方程： 2x 2+1=3x ．16．（2013 秋?大理市校级月考）解一元二次方程： （1）4x 2﹣1=12x （用配方法解）； （2） 2x 2﹣ 2=3x （用公式法解） ．217．用公式法解一元二次方程： 3x 2+5x ﹣2=0．x 2﹣2x ﹣2=0次方程 x 2﹣1）化简：2 18．（2010 秋?岳池县期末）已知关于x 的一元二次方程x2+kx ﹣5=0 （1）求证：不论k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=4 时，用配方法解此一元二次方程．19．用配方法解下列关于x 的一元二次方程：9x2﹣12x=1 ．20．（2012 春?兰溪市校级期中）解下列一元二次方程：（1）用配方法解方程：x2+4x ﹣12=0（2）3（x﹣5）2=2（x﹣5）二．填空题（共 8 小题）2．（2013 秋?湖里区校级月考） 用配方法解一元二次方程 x 2+8x+7=0 ，则方程可化为 （x+4）2=9 ．考 解一元二次方程 - 配方法． 点： 专 计算题． 题：分 方程常数项移到右边，两边加上 16 变形即可得到结果． 析：解 解：方程移项得： x 2+8x=﹣ 7，答： 配方得： x 2+8x+16=9 ，即（ x+4 ） 2=9．故答案为：（ x+4） 2=9．点 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 评：初三数学解一元二次方程——配方法参考答案与试题解析．选择题（共 1 小题）1．（ 2013 春?奉化市校级月考）用配方法解一元二次方程A ．1B ．C ．D ．考 点： 专 题： 分 析： 解 答：配方法．等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解： ∵y 2﹣ y=1 ，，，∴ 用配方法解一元二次方程 y 2 ﹣ y=1 ，两边应同时加上的数是 点评： 故选 C ．此题考查了学生应用配方法的熟练程度．，两边应同时加上的数是（）2 y解一元二次方程 -配方法． =1+∴ y225．（ 2006秋?仙桃期末）用配方法解一元二次方程 x 2+8x ﹣9=0 时，当配成完全平方后，原 方程可变为 （x+4 ）2=25 ．考 解一元二次方程 - 配方法． 点： 专 配方法．题：分 首先移项变形成 x 2+8x=9 的形式， 然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即 析： 可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式． 解 解： ∵x 2+8x ﹣9=0 答： ∴ x 2+8x=9∴ x +8x+16=9+1623．（ 2013 秋?曲阜市期中）用配方法解一元二次方程 2=2 ．x 2﹣ 4x+2=0 时，可配方得x ﹣2)考点专题分解一元二次方程 -配方法． 计算题．方程移项后，两边加上 4 变形即可得到结果．解 解：方程移项得： x 2﹣ 4x= ﹣ 2， 答： 配方得： x 2﹣ 4x+4=2 ，即（ x ﹣2）2=2，故答案为：（x ﹣2）2=2．点 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 评：24．用配方法解一元二次方程﹣ 3x 2+4x+1=0 的第一步是把方程的两边同时除以 ﹣ 3考 点： 专 题： 分析： 解答：解一元二次方程 -配方法． 计算题．点评：利用配方法解一元二次方程时，首先将方程二次项系数化为 ﹣ 3，故解方程第一步在方程两边同时除以﹣3． 2 解：﹣ 3x 2+4x+1=0 ， 方程两边同时除以﹣ 3 得： x 2﹣ x ﹣ =0， 则此方程用配方法解时的第一步是把方程的两边同时除以﹣ 故答案为：﹣ 3 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时， 化为 1，常数项移到方程右边，然后在方程左右两边都加上一次项系数一半的平方， 左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求 解．1，此方程二次项系数为3．首先将方程二次项系数2∴ （x+4）2=25．点配方法的一般步骤：评：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．6．（2014春?莱州市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣x=1 时，应先两边都加上（）2．考解一元二次方程-配方法．点：专计算题．题：分两边加上一次项系数一半的平方即可析：解解：x2﹣x+（）2=1+（）2，答（x﹣）2= ．故答案为（）2．点本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再评：利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．（2010 秋?宜城市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1=0，把右边配成完全平方后为（x﹣ 4 ）2= 15 ．考解一元二次方程- 配方法．点：专计算题．题：分在本题中，把常数项 1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣8 的一半的平析：方．解解：把方程x2﹣8x+1=0 的常数项移到等号的右边，得到x2﹣8x= ﹣1答：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣8x+16= ﹣1+16配方得（x﹣4）2=15．故答案为4，15．点配方法的一般步骤：评：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；配方，得本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方 程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．9．（ 2013秋?鼓楼区期中）将一元二次方程 x 2﹣4x ﹣7=0用配方法化成（ x+h ）2=k 的形式为2（x ﹣ 2） 2=11 ．考 解一元二次方程 - 配方法． 点：分 根据配方法的步骤把常数项移到等号的右边， 再在等式两边同时加上一次项系数一半 析： 的平方，然后进行配方即可求出答案． 解 解： x 2﹣4x ﹣ 7=0，（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 2 的倍数．1，一次项的系数是8．（ 2006 秋?西城区校级月考）用配方法解一元二次方程 2x 2+3x+1=0 ，变形为（ x+h ）2=k ，，k=考 点： 分析： 解一元二次方程 -配方法． 解 答：配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为 1 ；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解：原方程可以化为： 移项，得x= ﹣ ，x= ﹣ ，x 2+ 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x 2+ x+x+）2比较对应系数，有：故答案是： 、．、．点评： 则 h=，2，答：x2﹣4x=7，x2﹣4x+4=7+4 ，（x﹣2）2=11；故答案为：（x﹣2）2=11．点此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的不好走是本题的关键；评：般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为同时加上一次项系数一半的平方．配方法的一1；（3）等式两边三．解答题（共11 小题）10．（2008?青岛）用配方法解一元二次方程：x2﹣2x ﹣2=0．考解一元二次方程- 配方法．点：专配方法．题：分把常数项﹣ 2 移项后，在左右两边同时加上 1 配方求解．析：解解：x2﹣2x+1=3答：（x﹣1）2=3∴ x﹣1= 或x﹣1= ﹣∴，点配方法的一般步骤：评：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为2 的倍数．1，一次项的系数是11．用配方法解一元二次方程：x2+3x+1=0 ．考点：分析：解答：解一元二次方程-配方法．利用配方法把左边配成完全平方式，右边化为常数．解：移项得x2+3x=﹣1，配方得x2+3x+ （）2=﹣1+（）点评：此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．22（2）形如ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0 ，然后配方．12．（2010 秋?上海校级月考）（ 1 ）化简：2）用配方法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2=0考点解一元二次方程-配方法；分式的乘除法．专题：计算题．分析（1）先将x2﹣1 分解因式，再根据分式的除法法则，进行计算即可；（2）先移项，再把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：（1）原式= = ；（2）移项得，x2﹣2x=2 ，配方得，x2﹣2x+1=2+1 ，即（x﹣1）2=3，（3 分）开方得，x﹣1= ，∴ x1=1+ ，x2=1﹣．（6 分）点评本题考查了分式的乘除法及用配方法解一元二次方程．13．（2013?自贡）用配方法解关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 ．考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：∵关于x 的方程ax2+bx+c=0 是一元二次方程，∴ a≠0．∴ 由原方程，得2x + x= ﹣，等式的两边都加上，得2x + x+ = ﹣+ ，配方，得（x+ ）2=﹣，当b2﹣4ac>0 时，开方，得：x+ =±，解得x1= ，x2= ，当b2﹣4ac=0 时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac<0 时，原方程无实数根．点本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：评：（1）形如x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．22（2）形如ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0 ，然后配方．2 14．（2012春?威海期末）已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0 的一个根．请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积．考点：解一元二次方程-配方法；三角形三边关系．专题：应用题；配方法．分析：首先从方程中，确定第三边的边长，其次考查三边长能否构成三角形，依据三角形三边关系，不难判定两组数均能构成三角形，从而求出三角形的面积．解答：解：首先解方程x2﹣16x+60=0 得，原方程可化为：（x﹣8）2=4，解得x1=6 或x 2=10；如图（1）根据勾股定理的逆定理，△ ABC 为直角三角形，S△ABC = ×6×8=24；如图（2）AD= = ，S△ABC = ×8×2 =8 ．点 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形 评： 的好习惯，不符合题意的应坚决弃之．215．（ 1）解一元二次方程： （x ﹣ 3） +2x （ x ﹣ 3）=0（2）用配方法解一元二次方程： 2x 2+1=3x ． 考点：解一元二次方程 -因式分解法；解一元二次方程 -配方法．分 析： （ 1）方程的左边可以利用提公因式法分解因式，因而可以利用分解因式法解方程；（ 2）首先把方程移项、二次项系数化成 1，然后配方变形成（ x+a ） 2=b 的形式，即可转化成一元一次方程，从而求解．解答： 解：（ 1）原方程即：（ x ﹣3）（ x ﹣3+2x ）=0， 则（ x ﹣3）（ 3x ﹣3） =0， 则方程的解是： x 1=3 ， x 2=1； 2）移项，得： 2x 2﹣ 3x=﹣1，则 x ﹣ = ± ，则方程的解是： x 1=1 ， x 2= ．点 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方 评： 法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．（2013 秋?大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x 2﹣1=12x （用配方法解）；（2） 2x 2﹣ 2=3x （用公式法解） ．考点解一元二次方程 -公式法；解一元二次方程 -配方法． 点：分 （ 1）根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的右边，再在 两边同时加上一次项系数的一半，配成完全平方的形式，然后开方即可；）2=即（ x﹣ 即： x 2﹣ x=﹣配方： x 2﹣ x+ （ ）点 此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般 评： 形式，找出 a ，b 及 c 的值，当根的判别式的值大于等于 0时，代入求根公式即可求2）首先找出公式中的 a ，b ， c 的值，再代入求根公式解 答： 可．解：（ 1） 4x 2﹣1=12x ， 4x 2﹣12x=1，﹣ 3x= ，﹣ 3x+ = + ，（ x ﹣ ）2x ﹣ =± ，+= ， x 2= ﹣ + = ， x 2= ﹣ （ 2）2x 2﹣ 2=3x ，2 2x 2﹣3x ﹣2=0， x 1== = ∵ a=2， b=﹣3， c=﹣ 2， ==x 1=2 ， x 2=﹣ ． 点 此题考查了配方法和公式法解一元二次方程， 关键是熟练掌握配方法的步骤和公式法 评： 的步骤，公式法解题时要注意将方程化为一般形式，确定a ，b ，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．2 17．用公式法解一元二次方程： 3x 2+5x ﹣2=0．考 解一元二次方程 - 公式法．点：分析： 先找出 a ，b 及 c 的值，再代入求根公式解解： 3x 2+5x ﹣2=0， 答： ∵ a=3， b=5， c= ﹣ 2，∴ x=x= 进行计算即可．出解．2 18．（2010 秋?岳池县期末）已知关于 x 的一元二次方程 x 2+kx ﹣5=0 （1）求证：不论 k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当 k=4 时，用配方法解此一元二次方程．考 根的判别式；解一元二次方程 - 配方法．点： 专 证明题．题：分 （ 1）由根的判别式可得 △=k 2+20，再由 k 2 的非负性即可得到 k 2+20>0，证得不论 k 析： 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）此题用配方法，注意按配方法的步骤求解即可．解 解：（ 1） ∵ a=1，b=k ， c=﹣5，答： ∴ △=b 2﹣ 4ac=k 2﹣4×1×（﹣ 5） =k 2+20 ，∵ k 2 ≥0，2∴ k 2+20≥20> 0，∴ 不论 k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）∵当 k=4 时，方程为： x 2+4x ﹣5=0，∴ x 2+4x=5 ，2∴ x +4x+4=5+4 ，2∴ （ x+2） 2=9，∴ x+2= ±3，解得： x 1=﹣ 5， x 2=1 ．∴ 原方程的解为： x 1=﹣ 5，x 2=1．点 此题考查了根的判别式与配方法解一元二次方程．题目比较基础，解答时要注意配方 评： 法的应用．219．用配方法解下列关于 x 的一元二次方程： 9x 2﹣12x=1 ．方程变形后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解．点 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 评： x= 解：方程变形得： x 2 考点： 专题： 分 析： 解答： 解一元二次方程 -配方法． 计算题． 配方得： x 2 开方得： x ﹣ x+ = =± ，±，，即（ x ﹣ ） 2解得： x 1= ，x 2=20．（2012 春?兰溪市校级期中）解下列一元二次方程：（1）用配方法解方程：x2+4x ﹣12=0（2）3（x﹣5）2=2（x﹣5）考解一元二次方程- 因式分解法；解一元二次方程-配方法．点：专计算题．题：分（1）根据一般配方法的要求将方程配方，再解方程即可；析：（2）先移项，再提取公因式即可．解解：（1）∵原方程可化为（x+2 ）2=16答：解得x1=2，x2=﹣6；（2）∵移项得，3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，∴ （x﹣5）（3x﹣17）=0，∴ x﹣5=0 或3x﹣17=0 ，解得x1=5，x2= ．点本题考查的是因式分解法和配方法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的基本方法评：是解答此题的关键．。

轧东卡州北占业市传业学校<配方法公式法解一元二次方程>◆根底过关1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得〔 〕 A ．〔x-2〕2+3 B ．〔x-2〕2-3 C ．〔x+2〕2+3 D ．〔x+2〕2-3 2、x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的选项是〔 〕 A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-11 3、用配方法解方程x 2+x=2，应把方程的两边同时〔 〕 A 、加41 B 、加21 C 、减 41 D 、减21 4、一元二次方程x 2－2x －m =0，用配方法解该方程，配方后的方程为〔 〕A.(x －1)2=m 2+1B.(x －1)2=m －1C.(x －1)2=1－mD.(x －1)2=m +1 5、填写适当的数使下式成立.①x 2+6x +______=(x +3)2 ②x 2－______x +1=(x －1)2③x 2+4x +______=(x +______)2 ④ x 2-3x+________=〔x-_______〕2⑤ a 〔x 2+x+_______〕=a 〔x+_______〕2 6、假设代数式322--x x为()k m x +-2的形式，其中k m ,为常数，那么m+k= 。

7、假设方程()01342=+--x m x 的左边是一个完全平方式，那么m 的值为 。

8、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值．9、解以下方程：〔1〕x 2+6x+5=0； 〔2〕2x 2+6x-2=0； 〔3〕2420x x ++= ●拓展提高1、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为〔 〕A 、〔x - 13〕2 =89B 、〔x - 23〕2 =0C 、〔x - 13〕2 =89D 、〔x - 13〕2 =109 2、用配方法解方程x 2 - 23x+1=0正确的解法是〔 〕 A 、〔x - 13〕2 =89，x=13B 、〔x - 13〕2 = -89，原方程无解C 、〔x - 23〕2 =59，x 1=23x 2D 、〔x - 23〕2 =1，x 1 =53，x 2 = -13 3、不管x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值〔 〕A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数4、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 5、如果16〔x-y 〕2+40〔x-y 〕+25=0，那么x 与y 的关系是________． 6、三角形的两边长分别是3和4，第三边的长是方程035122=+-x x的一个根，那么该三角形的周长是 7、用配方法解以下方程：〔1〕x 2+4x+1=0； 〔2〕〔1+x 〕2+2〔1+x 〕-4=0. 〔3〕9y 2-18y-4=0 〔4〕x 2x.8、如果a 、b2-12b+36=0，求ab 的值． 9、用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得215x =，配方，得2211()1524x +=+， 即2161()24x -=，解得12x -=，即12x x ==．●中考链接1、 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为〔 〕A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2、 方程2(2)9x -=的解是〔 〕 A ．125,1x x ==- B ．125,1x x =-= C ．1211,7x x ==- D ．1211,7x x =-=3、〔2021年，〕x 是一元二次方程0122=+-x x 的根，求代数式)252(6332--+÷--x x x x x 的值。

解一元二次方程计算题专项训练（50道）目录【训练一、配方法】 (1)【训练二、公式法】 (8)【训练三、因式分解法】 (15)【训练一、配方法】1．用配方法解下列方程：(1)2230x x -++=；(2)2118022x x -+=．(1)214240x x ++=；(2)21130x x -=-；(3)228=0x x --；(4)210110--=．x x()2536x -=56x -=±，∴1211,1x x ==-．3．用配方法解方程：()()23616x x +-=．5．用配方法解方程245=0x x --．【答案】12=5=1x x -，【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可．【详解】解：方程移项得：245x x -=，配方得：2449x x -+=，即()229x -=，开方得：23x -=或23x -=-，解得：12=5,=1x x -．6．用配方法解方程：2220x mx m +-=．(1)2440x x ++=；(2)22320x x -+=．8．解方程：2340+-=（用配方法）x x【答案】12=5=1x x -，【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握配方法解方程是关键．【详解】解：方程变形得：245x x -=，即2449x x -+=，变形得：()229x -=，开方得：23x -=或23x -=-，解得：12=5,=1x x -．14．用配方法解方程：23210x x --=．【训练二、公式法】16(1)()()2121x x +-=；(2)()223220x x x -+=+．(1)231y +=；(2)23210x x ++=；(3)()()()33211x x x x -=-+．(1)2120--=；x x(2)2x x+-=；2530 (3)2x x-+=；2770(4)210x--=．21．（用公式法）解一元二次方程：2x x--=．2630(1)2120--=；x x(2)2+-=；x x2530(3)2-+=．x x277024．用公式法解方程：．--=460 x x--=x x2029．解方程：2290x x --=（用公式法）410x x -+=【训练三、因式分解法】31．（1）用公式法解方程：2470x x --=；（2）用因式分解法解方程：()220x x x -+-=．(1) ()4312x x x +=+；(2) ()24220x x ---=；(3)()()2291250x x -+-=．33．解方程：2323230x x ----= 【答案】10x =，22x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，将原方程化成一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．先将原方程化成一元二次方程的一般形式，然后再用因式分解法解答即可．【详解】解：()()22323230x x ----=241296430x x x -+-+-=2480x x -=()420x x -=40x =或20x -=\10x =，22x =．34．解方程：(1)2(3)3x x x -=-；(2)(1)(2)1x x +-=．(1)22350x x --=；(2)2(5)3(5)x x x -=-．【答案】126,1x x ==-【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程整理为2560x x --=，再运用因式分解法求解即可．【详解】解：22(2)+6x x x x -=+，22246x x x x -=++，222460x x x x ----=,2560x x --=，()()610x x -+=，60,10x x -=+=，∴126,1x x ==-．37．解方程 ()()252552+60x x ---=(1)(3)30x x x -+-=(2)2410x x -+=(1)263x x -= ；(2)()25410x x x -=-．(1)2410x x -+=；(2)2(4)5(4)x x +=+；(3)26061x x -=-；(4)2230x x +-=．41．解方程：()()2131x x x +=+．42．解方程：2121x x -=-．(1)()()2(31)23x x x -+=-．(2)(1)(2)2(2)0x x x +-+-=(3)3(1)22x x x-=-(1)22410x x --=．(2)()()2312y y --=（2）解：∵()()2312y y --=，∴223612y y y --+=，∴2560y y --=，∴()()610y y -+=，∴60y -=或10y +=．解得16y =，21y =-．45．解方程：(1)()2116x +=；(2)()()215140x x ---+=.(1)2450x x --=；(2)3(1)2(1)x x x -=-．(1)()()3239x x x +-=--(2)22980x x -+=(1)2316x x =．(2)22740x x +-=．(1)()234x x x -=-．(2)()22239x x -=-．()()()223330,x x x --+-=()()()32330x x x ---+=éùëû，()()390x x --=，30,90,x x -=-=解得，123,9x x ==50．解方程432625122560x x x x -+++=．。

学生仿做
例题1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解： x2 6x 7
x2 6x 9 7 9
x 32 16
练习1. 用配方法解下列 方程
x 3 4 1. y2-5y-1=0 .
x1 1
x2 7 2. y2-3y= 3
3. x2-4x+3=0
4. x2-4x+5=0
课堂练习
例题讲解
例题1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0
解： x 2 6x 7 把常数项移到方程右边.
x 2 6x 9 7 9 两边都加上一次项系数一半的平方
x 32 16 用直接开
x 3 4 平方法解 x1 1 x2 7 方程
用配方法解一元二次方程的步骤
1、 常数项 移到方程右边. 2、将方程左边配成一个 完全平方 式。 (两边都加上 一次项系数一半的平方 ) 3、用 直接开平方法 解出原方程的解。
项系数一 x 2 3 x _____ (x _____) 2 半的平方。 2
x2 bx ______ (x _____)2
注意
x2 ±8 x 16 xห้องสมุดไป่ตู้4 2
新知讲解
你能把下列方程转化成可以 用直接开平方法的形式吗？
x2＋6x－７＝０
风怒吼， 【变天】ｂｉàｎ∥ｔｉāｎ动①天气发生变化，唐宋时极盛。 【砭骨】ｂｉāｎɡǔ动刺入骨髓，【别】（彆）ｂｉè〈方〉动改变别人坚持的意见或习 性（多用于“别不过”）：我想不依他，【辩才】ｂｉàｎｃáｉ名辩论的才能：在法庭上， 。想个办法，③跳动：脉～。 敬请～。②花椰菜的通称。③〈方
用配方法 解一元二次方程
关于x的完全平方公式：
试一试：把下列各式配成完全平方公式：

九年级上册第二十一章?配方法解一元二次方程?同步练习题一、选择题〔每题只有一个正确答案〕1．用配方法解方程x2−4x−2=0变形后为()A．(x−2)2=6B．(x−4)2=6C．(x−2)2=2D．(x+2)2=62．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是〔〕A．(x+4)2=7B．(x+4)2=25C．(x+4)2=−9D．(x+4)2=−7 3．假设方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成〔x﹣n﹣2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成〔〕A．﹣x﹣n+5﹣2=1B．﹣x+n﹣2=1C．﹣x﹣n+5﹣2=11D．﹣x+n﹣2=11 4．对二次三项式x2－10x＋36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错B．小聪错，小颖对C．他们两人都对D．他们两人都错5．假如一元二次方程x2-ax+6=0经配方后，得〔x+3﹣2=3，那么a的值为〔〕A．3 B．-3 C．6 D．-6二、填空题6．方程x2﹣2x﹣2﹣0的解是____________.7．总结配方法解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为__________；(2)移项，使方程左边只有__________项；(3)在方程两边都加上__________平方；(4)用直接开平方法求出方程的根.8．〔1〕x2+6x+9=(x+____)2，〔2〕x2-_______+p24=(x−p2)2.9．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；假设多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，那么a=_________.10．x²-3x+____=(x-___)².三、解答题11．解方程：x2−2x=4﹣12．用配方法解方程：2x2−3x+1=0﹣13．用配方法说明：不管x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大，并求出两代数式的差最小时x的值．14．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，第 1 页〔1〕求k的取值范围；〔2〕当k=2时，请用配方法解此方程．15．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进展配方．现请你先阅读如下方程〔1〕的解答过程，并按照此方法解方程〔2〕．方程〔1〕2x2−2√2x−3=0．解：2x2−2√2x−3=0，(√2x)2−2√2x+1=3+1，(√2x−1)2=4，√2x−1=±2，x1=−√22，x2=3√22．方程〔2〕3x2−2√6x=2．参考答案1．A【解析】【分析】在此题中，把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方．【详解】把方程x2-4x-2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=2,方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=2+4,配方得〔x-2〕2=6．应选：A【点睛】配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．A【解析】【详解】﹣x2+8x+9=0﹣﹣x2+8x=−9﹣﹣x2+8x+16=−9+16﹣﹣(x+4)2=7.应选A.【点睛】配方法的一般步骤：〔1〕将常数项移到等号右边；〔2〕将二次项系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方.3．D【解析】分析：方程x2﹣8x+m=0可以配方成〔x﹣n〕2=6的形式，把x2﹣8x+m=0配方即可第 1 页得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定x2+8x+m=5配方后的形式．详解：∵x2﹣8x+m=0，∴x2﹣8x=﹣m，∴x2﹣8x+16=﹣m+16，∴〔x﹣4〕2=﹣m+16，依题意有：n=4，﹣m+16=6，∴n=4，m=10，∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，∴x2+8x+16=﹣5+16，∴〔x+4〕2=11，即〔x+n〕2=11．应选D．点睛：考察理解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．D【解析】【分析】通过配方写成完全平方的形式，用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．再说明他的说法错误．【详解】当x2-10x+36=11时；x2-10x+25=0﹣﹣x-5﹣2=0﹣x1=x2=5﹣所以他们两人的说法都是错误的，应选D.【点睛】此题考察了配方法解一元二次方程，纯熟掌握配方法的一般步骤是解题的关键.配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1﹣﹣3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．D【解析】【分析】可把〔x+3〕2=3按完全平方式展开，比照即可知a的值．【详解】根据题意，〔x+3〕2=3可变为：x2+6x+6=0，和一元二次方程x2-ax+6=0比拟知a=-6．应选：D【点睛】此题考核知识点：此题考察了配方法解一元二次方程，是根底题．6．x1﹣1﹣√3﹣x2﹣1﹣√3【解析】分析: 首先把常数-2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可.详解:x2-2x-2=0，移项得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，〔x-1〕2=3，两边直接开平方得：x-1=±√3，那么x1=√3+1，x2=-√3+1．故答案为：x1＝1＋√3，x2＝1－√3.点睛: 此题主要考察了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数. 7．1二次项及一次一次项系数一半的【解析】分析：根据配方法的步骤解方程即可．详解：总结配方法解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)用直接开平方法求出方程的根.点睛：此题考察了配方法，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第 3 页8．3 px【解析】【详解】根据完全平方公式得，x 2+6x +9=(x +3)2﹣x 2-px +p 24=(x −p 2)2. 故答案为3﹣px .9．3(x −13)2=103﹣2或6.【解析】【分析】首先把一元二次方程3x 2-2x -3=0提出3,然后再配方即可;【详解】根据题意,一元二次方程3x 2-2x -3=0化成,括号里面配方得,,即; ∵多项式x 2-ax+2a -3是一个完全平方式,,∴解得a=2或6.故答案为﹣(1). 3(x −13)2=103﹣ (2). 2或6.【点睛】此题考察了配方法解一元二次方程,解题的关键是纯熟掌握用配方法解一元二次方程的步骤.10． 94, 32 【解析】分析：根据配方法可以解答此题．详解：∵x 2﹣3x +94=〔x ﹣32〕2， 故答案为：94，32．点睛：此题考察了配方法的应用，解题的关键是纯熟掌握配方法．11．x 1=1+√5，x 2=1−√5．【解析】【分析】第 5 页两边都加1，运用配方法解方程.【详解】解：x 2−2x +1=5，(x −1)2=5，x −1=±√5，所以x 1=1+√5，x 2=1−√5．【点睛】此题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：掌握配方法.12．x 1=12，x 2=1．【解析】【分析】利用配方法得到〔x ﹣34〕2=116，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】x 2﹣32x =﹣12， x 2﹣32x +916=﹣12+916， 〔x ﹣34〕2=116x ﹣34=±14， 所以x 1=12，x 2=1． 【点睛】此题考察理解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成〔x +m 〕2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．13．详见解析.【解析】【分析】用求差法比拟代数式2x 2+5x-1的值总与代数式x 2+7x-4的大小，即2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=〔x-1〕2+2；当x=1时，两代数式的差最小为2．【详解】解：2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=〔x-1〕2+2，∵〔x-1〕2≥0，∴〔x-1〕2+2＞0，即2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕＞0，∴不管x 取任何值，代数式2x 2+5y-1的值总比代数式x 2+7x-4的值大，当x=1时，两代数式的差最小为2．【点睛】此题考核知识点：配方.解题关键点：用求差法和配方法比拟代数式的大小.14．〔1〕k ≥﹣1且k ≠0；〔2〕x 1=√3−12，x 2=−√3−12． 【解析】试题分析：﹣1〕当k =0时，是一元一次方程，有解；当k ≠0时，方程是一元二次方程，因为方程有实数根，所以先根据根的判别式﹣≥0，求出k 的取值范围；﹣2〕当k =2时，把k 值代入方程，用配方法解方程即可．解：〔1〕∵一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，∴22+4k ≥0，k ≠0，解得，k ≥﹣1且k ≠0；〔2〕当k=2时，原方程变形为2x 2+2x ﹣1=0，2〔x 2+x 〕=1，2〔x 2+x +〕=1+，2〔x +〕2=，〔x +〕2=x +=±， x 1=，x 2=． 15．x 1=√6+2√33 ，x 1=√6−2√33. 【解析】【分析】参照范例的步骤和方法进展分析解答即可.【详解】原方程可化为：(√3x)2−2×√3×√2x +(√2)2=2+(√2)2，﹣ (√3x −√2)2=4，∴ √3x−√2=±2，∴x1=√6+2√33，x2=√6−2√33.【点睛】读懂范例中的解题方法和步骤是解答此题的关键.第 7 页。

2022-2023学年九年级上数学第21章一元二次方程21.2.1配方法和公式法解一元二次方程一、选择题1．一元二次方程210x -=的根是()A ．121x x ==B ．121x x ==-C ．11x =-，21x =D ．1x =2．方程24x =的根为()A ．2x =B ．2x =-C ．0x =D ．2x =±3．用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是()A ．2(2)2x +=B ．2(1)2x +=C ．2(2)3x +=D ．2(1)3x +=4．若将一元二次方程2890x x --=化成2()x n d +=的形式，则n ，d 的值分别是()A ．4，25B ．4-，25C ．2-，5D ．8-，735．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是()A ．2b x a -=B ．2b x a =C ．x =D ．x 6．用公式法解方程2263t t =+时，a ，b ，c 的值分别为()A ．2，6，3B ．2，6-，3-C ．2-，6，3-D ．2，6，3-7．方程210x x +-=的根是()A ．1-BC ．1-D 二、填空题8．若2280x -=，则x =．9．一元二次方程2(1)4x +=的解为．10．方程2220x x +-=配方得到2()3x m +=，则m =．11．方程2250x x --=配方后可化为．12．一元二次方程210x x +-=的解是．13．用公式法解一元二次方程，得y =，则该一元二次方程为．三、解答题14．解方程：（1）2(1)16x -=；（2）22310x x +-=．15．解方程：（1）(2)3x x -=；（2）210x x +-=．一、选择题1．下列配方中，变形正确的是()A ．222(1)x x x +=+B ．2243(2)1x x x --=-+C ．222432(1)1x x x ++=++D ．222(1)1x x x -+=-+-2．用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是()A ．225x x -=B ．2245x x -=C ．245x x +=D ．225x x +=3．利用配方法解方程22103x x --=时，应先将其变形为()A ．2110()39x +=B ．2110()39x -=C ．218()39x -=D ．218(39x +=4．方程(1)2x x -=的两根为()A ．10x =，21x =B ．10x =，21x =-C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x =5．已知等腰ABC ∆中的三边长a ，b ，c 满足22248180a b a b +--+=，则ABC ∆的周长是()A ．6B ．9C ．6或9D ．无法确定6．已知方程264x x -+=□，等号右侧的数字印刷不清楚．若可以将其配方成2()7x p -=的形式，则印刷不清的数字是()A ．6B ．9C ．2D ．2-7．若方程2230x mx +-=的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，则该方程的解为()A ．1x =，2x =B ．11x =，23x =-C ．11x =-，23x =D ．11x =-，22x =-二、填空题8．已知x ，y 是有理数，且2226100x x y y ++-+=，则y x =．9．方程(4)(5)1x x +-=的根为．三、解答题10．解下列方程：（1）2(2)240x x --+=；（2）2410x x --=．11．解下列方程：（1）(4)3x x -=；（2）2215x x +-=．一、选择题1．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为2()x a b +=的形式，则a b +的值为()A ．103B ．73C ．2D ．432．（2022•雅安）若关于x 的一元二次方程260x x c ++=配方后得到方程2(3)2x c +=，则c 的值为()A ．3-B ．0C ．3D ．93．（2022•甘肃）用配方法解方程222x x -=时，配方后正确的是()A ．2(1)3x +=B ．2(1)6x +=C ．2(1)3x -=D ．2(1)6x -=4．（2021•赤峰）一元二次方程2820x x --=，配方后可变形为()A ．2(4)18x -=B ．2(4)14x -=C ．2(8)64x -=D ．2(4)1x -=5．（2021•丽水）用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是()A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)3x +=6．（2021•海南）用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是()A ．2(3)4x +=-B ．2(3)4x -=-C ．2(3)4x +=D ．2(3)4x -=7．（2020•泰安）将一元二次方程2850x x --=化成2()(x a b a +=，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是()A ．4-，21B ．4-，11C ．4，21D ．8-，698．（2020•聊城）用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是()A ．2317()416x -=B ．231(42x -=C ．2313(24x -=D ．2311()24x -=9．（2022•郴州）一元二次方程2210x x +-=的根的情况是()A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根10．（2022•贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是()A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，011．（2022•营口）关于x 的一元二次方程240x x m +-=有两个实数根，则实数m 的取值范围为()A ．4m <B ．4m >-C ．4m D ．4m - 12．（2022•北京）若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为()A ．4-B ．14-C ．14D ．413．（2022•辽宁）下列一元二次方程无实数根的是()A ．220x x +-=B ．220x x -=C ．250x x ++=D ．2210x x -+=14．（2022•湖北）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且1212(2)(2)217x x x x ++-=，则(m =)A ．2或6B ．2或8C ．2D ．615．（2022•宜宾）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a - 且0a ≠D ．1a >-16．（2022•常德）关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是()A ．4k >B ．4k <C ．4k <-D ．1k >二、填空题17．（2022•荆州）一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．18．（2020•扬州）方程2(1)9x +=的根是．19．（2022•上海）已知20x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．20．（2022•铜仁市）若一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值为．21．（2022•鄂州）若实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，则11ab+的值为．三、解答题22．（2022•齐齐哈尔）解方程：22(23)(32)x x +=+．23．（2022•无锡）（1）解方程：2250x x --=；24．（2021•兰州）解方程：2610x x --=．参考答案基础训练1．【答案】C【解析】解：210x -= ，21x ∴=，1x ∴=±，即11x =-，21x =．故选：C ．2．【答案】D【解析】解：24x = ，2x ∴=±，故选：D ．3．【答案】B【解析】解：2210x x +-=，移项得221x x +=，等式两边同时加21得22111x x ++=+配方得2(1)2x +=．，故选：B ．4．【答案】B【解析】解：2890x x --= ，281625x x ∴-+=，2(4)25x ∴-=，4n ∴=-，25d =，故选：B ．5．【答案】A【解析】解：一元二次方程的求根公式为x =，故选：A ．6．【答案】B【解析】解：方程化为22630t t --=，所以2a =，6b =-，3c =-．故选：B ．7．【答案】D【解析】解：210x x +-=，1a = ，1b =，1c =-，∴△224141(1)50b ac =-=-⨯⨯-=>，故122b b ac x a --==，故选：D ．8．【答案】2±【解析】解：由原方程，得228x =，24x ∴=，直接开平方，得2x =±．故答案为：2±．9．【答案】11x =，23x =-【解析】解：2(1)4x +=12x +=±21x =±-11x =，23x =-，故答案为：11x =，23x =-．10．【答案】1【解析】解：222x x +=，2213x x ++=，2(1)3x +=．所以1m =，故答案为1．11．【答案】2(1)6x -=【解析】解：2250x x --= ，2216x x ∴-+=，2(1)6x ∴-=，故答案为：2(1)6x -=．12．【答案】1152x -+=，2152x --=【解析】解：1a = ，1b =，1c =-，∴△2141(1)5=-⨯⨯-=，x ∴=，所以1x =，2x =．故答案为1152x -+=，2152x -=．13．【答案】23510x x +-=【解析】解：根据题意得：3a =，5b =，1c =-，则该一元二次方程是23510x x +-=．故答案为：23510x x +-=．14．【解析】解：（1）2(1)16x -=，14x -=±，14x -=或14x -=-，15x =，23x =-；（2）22310x x +-=，△2342(1)9817=-⨯⨯-=+=，3174x -±∴=，13174x -+∴=，23174x --=．15．【解析】解：（1）方程整理得：223x x -=，配方得：2214x x -+=，即2(1)4x -=，开方得：12x -=或12x -=-，解得：13x =，21x =-；（2）这里1a =，1b =，1c =-，△1=+122b b ac x a --∴==，解得：1152x -+=，2152x -=．1．【答案】C【解析】解：22x x +2211x x =++-2(1)1x =+-，A 错误．243x x --24443x x =-+--2(44)(43)x x =-++--2(2)7x =--．B 错误．2243x x ++22(2)3x x =++22(211)3x x =++-+22(21)213x x =++-⨯+22(1)23x =+-+22(1)1x =++．C 正确．22x x -+2(211)x x =--+-2(21)1x x =--++2(1)1x =-++D 错误．故选：C ．2．【答案】C【解析】解：A ．由225x x -=得22151x x -+=+，不符合题意；B ．由2245x x -=得2522x x -=，所以252112x x -+=+，不符合题意；C ．由245x x +=得24454x x ++=+，符合题意；D ．由225x x +=得22151x x ++=+，不符合题意；故选：C ．3．【答案】B【解析】解：22103x x --=，移项，得2213x x -=，配方，得222211(1()333x x -+=+，即2110()39x -=，故选：B ．4．【答案】D【解析】解：方程移项并化简得220x x --=，1a =，1b =-，2c =-△180=+12x ±∴=解得11x =-，22x =．故选：D ．5．【答案】B【解析】解22248180a b a b +--+= ，222(1)(4)0a b ∴-+-=，10a ∴-=，40b -=，解得1a =，4b =，35c << ，ABC ∆ 是等腰三角形，4c ∴=．故ABC ∆的周长为：1449++=．故选：B ．6．【答案】C【解析】解：设印刷不清的数字是a ，2()7x p -=，2227x px p -+=，2227x px p ∴-=-，222411x px p ∴-+=-，方程264x x -+=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成2()7x p -=的形式，26p ∴-=-，211a p =-，3p ∴=，21132a =-=，即印刷不清的数字是2，故选：C ．7．【答案】B【解析】解：方程2230x mx +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2m ，3-，方程2230x mx +-=的二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，12(3)0m ∴++-=，解得：1m =，即方程为2230x x +-=，解得：11x =，23x =-，故选：B ．8．【答案】1-【解析】解：2226100x x y y ++-+=，22(21)(69)0x x y y +++-+=，22(1)(3)0x y ++-=，则1030x y +=⎧⎨-=⎩，1x ∴=-，3y =，3(1)1y x ∴=-=-，故答案为：1-．9．【答案】1x 2x =【解析】解：(4)(5)1x x +-=，整理得：2210x x --=，224(1)41(21)85b ac -=--⨯⨯-=，1852x ±=，112x +=，212x =，故答案为：1x =2x =．10．【解析】解：（1）2(2)240x x --+=，2(2)2(2)0x x ---=，(2)(22)0x x ---=，20x -=或220x --=，解得：12x =，24x =；（2）2410x x --=，241x x -=，配方，得24414x x -+=+，2(2)5x -=，开方得：2x -=，解得：12x =+，22x =-．11．【解析】解：（1）(4)3x x -=，243x x -=，配方，得24434x x -+=+，2(2)7x -=，开方，得2x -=解得：12x =+，22x =-；（2）2215x x +-=，2260x x +-=，224142(6)148490b ac -=-⨯⨯-=+=> ，x ∴==，解得：132x =，22x =-．1．【答案】B【解析】解：23610x x +-= ，2361x x ∴+=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即24(1)3x +=，1a ∴=，43b =，73a b ∴+=．故选：B ．2．【答案】C【解析】解：260x x c ++=，26x x c +=-，2699x x c ++=-+，2(3)9x c +=-+．2(3)2x c += ，29c c ∴=-+，解得3c =，故选：C ．3．【答案】C【解析】解：222x x -=，22121x x -+=+，即2(1)3x -=．故选：C ．4．【答案】A【解析】解：2820x x --= ，282x x ∴-=，则2816216x x -+=+，即2(4)18x -=，故选：A ．5．【答案】D【解析】解：方程2410x x ++=，整理得：241x x +=-，配方得：2(2)3x +=．故选：D ．6．【答案】D【解析】解：把方程2650x x -+=的常数项移到等号的右边，得到265x x -=-，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到26959x x -+=-+，配方得2(3)4x -=．故选：D ．7．【答案】A【解析】解：2850x x --= ，285x x ∴-=，则2816516x x -+=+，即2(4)21x -=，4a ∴=-，21b =，故选：A ．8．【答案】A 【解析】解：由原方程，得23122x x -=，23919216216x x -+=+，2317()416x -=，故选：A ．9．【答案】A【解析】解： △2142(1)1890=-⨯⨯-=+=>，∴一元二次方程2210x x +-=有两个不相等的实数根，故选：A ．10．【答案】B【解析】解：设方程的另一根为a ，2x =- 是一元二次方程220x x m ++=的一个根，440m ∴-+=，解得0m =，则20a -=，解得0a =．故选：B ．11．【答案】D【解析】解： 关于x 的一元二次方程240x x m +-=有两个实数根，∴△2441()1640m m =-⨯⨯-=+ ，解得：4m - ，故选：D ．12．【答案】C【解析】解：根据题意得△2140m =-=，解得14m =．故选：C ．13．【答案】C【解析】解：A 、△2141(2)90=-⨯⨯-=>，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B 、△2(2)41040=--⨯⨯=>，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C 、△21415190=-⨯⨯=-<，则该方程无实数根，故本选项符合题意；D 、△2(2)4110=--⨯⨯=，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：C ．14．【答案】A【解析】解： 关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，∴△22(2)4(41)0m m m =---- ，即14m - ，且21241x x m m =--，122x x m +=，1212(2)(2)217x x x x ++-= ，1212122()4217x x x x x x ∴+++-=，即12122()417x x x x ++-=，2444117m m m ∴+-++=，即28120m m -+=，解得：2m =或6m =．故选：A ．15．【答案】B【解析】解：由题意可得：20240a a ≠⎧⎨+>⎩，1a ∴>-且0a ≠，故选：B ．16．【答案】A【解析】解： 关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，∴△2(4)410k =--⨯⨯<，解得：4k >，故选：A ．17．【答案】1【解析】解：2430x x -+= ，243x x ∴-=-，24434x x ∴-+=-+，2(2)1x ∴-=，一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，1k ∴=，故答案为：1．18．【答案】12x =，24x =-【解析】解：2(1)9x +=，13x +=±，12x =，24x =-．故答案为：12x =，24x =-．19．【答案】3m <【解析】解： 关于x 的方程20x m -+=有两个不相等的实数根，∴△2(40m =-->，解得：3m <．故答案为：3m <．20．【答案】1【解析】解：根据题意得△22410k =-⨯⨯=，即440k -=解得1k =．故答案为：1．21．【答案】43【解析】解： 实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，a ∴、b 可看作方程2430x x -+=的两个不相等的实数根，则4a b +=，3ab =，则原式43a b ab +==，故答案为：43．22．【解析】解：方程：22(23)(32)x x +=+，开方得：2332x x +=+或2332x x +=--，解得：11x =，21x =-．23．【解析】解：（1）2250x x --=，225x x -=，22151x x -+=+，2(1)6x -=，1x ∴-=，解得11x =+，21x =-．24．【解析】解：2610x x --=，移项得：261x x -=，配方得：26910x x -+=，即2(3)10x -=，开方得：3x -=，则13x =+23x =。

新人教版九年级数学上册暑期讲义：第三课 配方法、公式法配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 公式法：⑴条件：)04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： aac b b x 2422,1-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 例1.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2.已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3.已知0136422=+-++y x y x ,x,y 为实数，求yx 的值。

例4.在实数范围内．．．．．．分解因式：31242++x x例5.在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --例6.如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

课堂同步：1.等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形的周长为（ ） A ．27 B ．33 C ．27和33 D ．以上都不对2.小明用配方法解下列方程时，只有一个配方有错误，请你确定小明错的是（ ） A ．22990x x --=化成2(1)100x -= B ．2890x x ++=化成2(4)25x += C ．22740t t --=化成2781416t ⎛⎫-=⎪⎝⎭ D ．23420y y --=化成221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3.一元二次方程032=+x x 的解是 ；用配方法解方程2x ²+4x+1 =0，配方后得到的方程是 ；用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为 ． 4.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积 为5.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，则方程（4⊕3）⊕24x =的解是6.已知041122=---+x x x x ，则=+x x 17.用配方法解方程：⑴ 016102=++x x ⑵0432=--x x ⑶05632=-+x x⑷0942=--x x (5)（x-2）（x-5）=-2 (6)x x 3122=+(7)04632=+-x x8.用公式法解方程：(1)0122=-+x x ⑵04122=--x x ⑶112842+=++x x x⑷()x x x 824-=- ⑸022=+x x ⑹010522=++x x9.试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x3 5,x3 5 得: x1 3 5, x2 3 5
用配方法解一元二次方程的步骤
1、 常数项 移到方程右边. 2、将方程左边配成一个 完全平方 式。 (两边都加上 一次项系数一半的平方 ) 3、用 直接开平方法 解出原方程的解。
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方
法. 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方
式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法复习题
1. 证明:代数式x2+4x+ 5的值不小于1.
2. 证明:代数式-2y2+2y-1的值不大于
1 2
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
答：道路宽1米
课堂练习
3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
则x+y的值为（ D ）．
（A）1
（B）－2
（C）2或－1 （D）－2或1
4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值
是一个（ B ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
综合应用
例题3. 用配方法解决下列问题