九年级数学配方法

人教版数学九年级上册22.2.1《配方法》说课稿2一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22.2.1节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握配方法的原理和应用。

配方法是解一元二次方程的一种重要方法，它能把一般形式的一元二次方程转化为完全平方式，从而使方程的解法更加简单。

在初中数学中，配方法不仅是一元二次方程解法的基础，也是后续学习二次函数、一元二次不等式等知识的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念和解法，对二次项、一次项、常数项有一定的了解。

但是，学生对于配方法的原理和推导过程可能还不太理解，对于如何运用配方法解决实际问题可能还存在困难。

因此，在教学过程中，我需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握配方法，并能够运用配方法解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握配方法的原理和步骤，能够运用配方法解一元二次方程。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学的乐趣，培养对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：配方法的原理和步骤，如何运用配方法解一元二次方程。

2.教学难点：配方法的推导过程，如何灵活运用配方法解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生自主探究和合作交流。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的基本概念和解法，引出配方法的概念和作用。

2.自主探究：让学生自主探究配方法的原理和步骤，引导学生发现配方法的规律。

3.合作交流：让学生分组讨论，分享各自的方法和经验，互相学习和借鉴。

4.讲解示范：通过讲解和示范，让学生理解和掌握配方法的具体操作步骤。

5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用配方法解一元二次方程，巩固所学知识。

配方法是一种在数学中解决二次方程的解法。

其基本思想是通过恒等变形，把一个解析式利用配方，配成一个完全平方式，然后利用平方的非负性，得到一个最简方程，进而求出原方程的解。

具体来说，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），可以通过配方将其转化为(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²的形式，然后通过平方的非负性求出x的解。

配方法通常分为以下步骤：
1. 将二次项系数化为1，即将方程化为x²+bx+c=0的形式；
2. 找到方程的两根x1和x2，令x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a；
3. 将方程的右边化为0，即方程化为x²+bx+c=0的形式；
4. 将方程的左边配方，即方程化为(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²的形式；
5. 通过平方的非负性求出x的解，即(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²≥0，解得x=-b/2a±√(b²-4ac)/2a。

需要注意的是，当b²-4ac<0时，方程没有实数解。

此外，配方法也可以用于解高次方程或不等式等问题。

人教版数学九年级上册22.2.2《配方法》教案1一. 教材分析《配方法》是初中数学九年级上册的教学内容，主要目的是让学生掌握配方法的基本原理和应用。

配方法是一种解决二次方程问题的方法，通过将二次方程转化为完全平方形式，从而简化问题的求解过程。

本节课的内容是在学生已经掌握了二次方程的基本概念和求解方法的基础上进行讲解的，为后续学习更复杂的二次方程问题打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次方程的基本概念和求解方法，具备了一定的数学基础。

但是，对于配方法的理解和应用还需要进一步的引导和培养。

学生的学习兴趣和学习积极性较高，对于新的学习内容有一定的好奇心和求知欲。

三. 教学目标1.让学生掌握配方法的基本原理和应用。

2.培养学生解决二次方程问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。

四. 教学重难点1.配方法的基本原理的理解和应用。

2.配方法在解决二次方程问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在解决实际问题的过程中掌握配方法的基本原理和应用。

同时，运用案例教学法，结合具体的例子进行讲解，使学生更好地理解和掌握配方法。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学课件和教学素材。

七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：已知一个二次方程的解为x1=3和x2=4，求原方程。

让学生尝试解决这个问题，引发学生对配方法的好奇心和兴趣。

呈现（10分钟）讲解配方法的基本原理和步骤。

通过具体的例子进行讲解，让学生理解和掌握配方法的基本原理和应用。

同时，引导学生进行思考和讨论，巩固学生的理解。

操练（10分钟）让学生进行配方法的练习。

提供一些配方法的练习题，让学生独立完成。

在学生完成练习的过程中，进行巡视指导和解答学生的疑问。

巩固（10分钟）通过一些综合性的题目，让学生应用配方法解决实际问题。

引导学生进行合作交流，共同解决问题，巩固学生对配方法的理解和应用。

人教版数学九年级上册教案21.2.1《配方法》一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第21章第2节的内容，本节课主要让学生掌握配方法的原理和步骤，并能够运用配方法解决一些实际问题。

教材通过引入“完全平方公式”的概念，引导学生探索如何将一个二次多项式转化为完全平方形式，从而引出配方法。

学生在学习过程中，需要理解并掌握配方法的基本步骤，以及如何判断一个多项式是否可以配成完全平方形式。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次方程的解法、完全平方公式等知识，对于二次多项式的基本概念和性质有一定的了解。

但学生在运用配方法解决实际问题时，可能会遇到一些困难，如判断多项式是否可以配成完全平方形式，以及如何正确地进行配方操作。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与课堂活动，提高学生运用配方法解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握配方法的原理和步骤，能够运用配方法将一个二次多项式转化为完全平方形式。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习活动，培养学生探索问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 教学重难点1.重点：配方法的原理和步骤。

2.难点：如何判断一个多项式是否可以配成完全平方形式，以及如何正确地进行配方操作。

五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

2.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。

3.案例教学：教师通过举例子，让学生理解并掌握配方法的运用。

六. 教学准备1.准备相关教案和教学资料。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出一个实际问题，引导学生思考如何解决。

例如：已知一个二次多项式 f(x) = x^2 - 6x + 9，请问如何将其转化为完全平方形式？2.呈现（10分钟）教师引导学生回顾二次方程的解法和完全平方公式，然后引导学生探索如何将 f(x) = x^2 - 6x + 9 转化为完全平方形式。

九年级数学上册配方法计算题
九年级数学上册涉及到配方法计算题的内容主要包括一元二次方程的配方法解题、配方法求解不等式、配方法求解二次函数的顶点等。

配方法是解决一元二次方程的常用方法之一，通过配方法可以将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而更容易求解方程。

在配方法计算题中，学生需要掌握完全平方公式，即
(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²，以及利用这些公式将一元二次方程转化为完全平方的形式。

通过配方法，可以将一元二次方程转化为(x±a)²=b的形式，从而求得方程的解。

此外，学生还需要掌握如何利用配方法来解决不等式，以及如何利用配方法求解二次函数的顶点和对称轴等问题。

在解题过程中，学生需要注意化简表达式、正确运用完全平方公式、准确地进行计算和代入等步骤，确保解题过程的准确性和完整性。

另外，学生还需要理解配方法的原理和应用场景，从而能够灵活运用配方法解决实际问题。

总之，九年级数学上册的配方法计算题涉及到一元二次方程的配方法解题、配方法求解不等式、配方法求解二次函数的顶点等内
容，学生需要掌握相关的基本概念和方法，灵活运用配方法解决各种类型的数学问题。

希望这些信息能够帮助你更好地理解九年级数学上册配方法计算题的内容。

第2讲 一元二次方程的解法(二)----配方法配方法：利用完全平方公式把一元二次方程转化成的形式，再利用直接开平方法解一元二次方程的方法叫做配方法.①当p ＞0时，方程有两个不等的实数根，；②当p=0时，方程有两个相等的实数根=-n ；③当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以方程无实数根. 知识要点梳理:完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-尝试解方程：x 2－4x ＋3＝0我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2；（3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________(2)________________________________________________经典例题例1. 用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x -1＝0. 解（1）移项，得x 2－6x ＝____.方程左边配方，得x 2－2·x ·3＋_ _2＝7＋___，即（____ __）2＝__ __.所以 x －3＝_______.原方程的解是x 1＝_____，x 2＝_____.（2）移项，得x 2＋3x ＝1.方程左边配方，得x 2＋3x ＋（ ）2＝1＋____，即 ____________________所以___________________原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？例2.用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x(3)03422=+-x x例3.当x 为何值时，代数式5x 2 +7x +1和代数式x 2 -9x +15的值相等？例4.求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2 +b 2 -6ab -4b +14的值都不小于1.例5. 试证：不论k 取何实数，关于x 的方程 (k 2 -6k +12)x 2 = 3 - (k 2 -9)x 必是一元二次方程.经典练习一、选择题1．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对2. 若9x 2 -ax +4是一个完全平方式，则a 等于（ ）；A. 12B. -12C. 12或-12D. 6或-63．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-14．把方程x x 432=+，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=25．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2±B ．-2C ．D ．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数二、填空1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2⑤ (x - )2 = x 2 - 32x + ；2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，所以方程的根为_________．三.用配方法解方程：（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0.（3）2x2-x=6 （4）4x2－6x＋（）＝4（x－）2＝（2x－）2（5）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).四、用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。

新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法知识点一、配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=??? ??+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。

例4、分解因式：31242++x x一元二次方程的解法（二）针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 .★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。

知识点二、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。

而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-；所以：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。

由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；即：ac b 42-=? 根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。

考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。

2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。

（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。

（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。

3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba ，x1x2=ca．考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9 根与系数的关系求变形式子考点1 利用配方法比较大小【详解】（1）224622x x x -+=-+（），所以当2x =时，代数式246x x -+有最小值，这个最值为2，故答案为：2-；2；2；小；2；（2）2123x x ---（）222x x =-+2110x =-+（）＞则2123x x --＞．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：∵()2226369636x x x x x ++=++-=+-，又∵()230x +≥，∴()2366x +-≥-，∴263x x ++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：()2245____________x x x -+=+；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)2-，1(2)2-(3)21>23x x --【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比较大小即可．【详解】（1）解：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+．（2）222242(211)2(1)2x x x x x +=++-=+-，故答案为：2,2-（2）解：221612611x x x x --+=-+2692x x =-++()232x =-+()30,x -³Q()23220,x \-+³>21612.x x \->-（3）解：()222323x x x x -++=--+()22113x x =--+-+()214x =--+ ()210,x --£Q ()2144,x \--+£ ∴223x x -++的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．考点2利用配方法求最值【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：()2224644222x x x x x +=-++=-+-故当20x -=，即2x =时，代数式246x x -+最小值为2；（2）∵224250x x y y -+++=，则2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，即20x -=，10y +=，∴2x =，1y =-，∴211x y +=-=；（3）()()2221232211x x x x x ---=-+=-+，∵()210x -≥，∴()2110x -+>，∴2123x x ->-．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ²43a a ++．解：原式：²441(2)²1(21)(21)(3)(1)a a a a a a a =++-=+-=+++-=++②2246M a a =-+， 利用配方法求M 的最小值．解：2²462(²21)622(1)²4M a a a a a =-+=-++-=-+222(1)02(1)44a a -≥∴-+≥，，∴当1a =时，M 有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解²412x x --；(2)若 2441M x x =+-， 求M 的最小值．【答案】(1)(6)(2)x x -+考点3 利用配方法未知系数的取值∴2a =，1b =，∴1a b -=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n ∴=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为（ ）A ．6-B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】由2630x x ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n -，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =，∴3m n -=-，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值．考点4 用配方法构造“非负数之和”解决问题∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知2248200++-+=，那么y x=（）x y x yA．－16B．16C．－8D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴x y=16．故选B.【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．15．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（）A．总不小于4B．总不小于9C．可为任何实数D．可能为负数【答案】A【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，考点5 利用根的判别式判断根的情况根．20．（2023·全国·九年级假期作业）若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个根是=1x -C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，∴20a b -+=，即2b a =+，对于方程220ax bx ++=，∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+= ，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．考点6 利用根的判别式求字母的值或取值范围故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x --+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．21k k ≤-≠且B ．21k k ≤≠且C ．21k k ≥-≠且D ．2k ≥【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出0∆≥且10k -≠，求出k 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，24441840b ac k k ∆=-=--=-≥（），且10k -≠，解得：2k ≤，且1k ≠，则k 的取值范围是2k ≤，且1k ≠，故选：B ．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；②0∆=⇔方程有两个相等的实数根；③0∆⇔＜方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．考点7 利用根的判别式与三角形结合【详解】（1）证明：2(2)42k k∆=+-⨯2448k k k=++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∴另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∴21(2)20k k -++=，∴1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c 2＋a 2）x ＋2（b 2-c 2）x ＋c 2-b 2=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是三角形ABC 的三边，证明此三角形是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b 、c 的关系即可．【详解】解:Δ=[2（b 2-c 2）]2-4（c 2+a 2）（c 2-b 2）=4（b 2-c 2）（b 2-c 2+a 2+c 2）=4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）．∵方程有两个相等实根．∴Δ= 0，即4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）=0．∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴b+c≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解得b=c ．出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程22a x bx c x-+++=有两个相等的实数(1)2(1)0根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．【答案】【详解】考点：根的判别式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c 为三边的三角形是直角三角形．解答：证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考点8 利用根的判别式与一次函数结合【分析】根据一元二次方程2210mx x --=无实数根得0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，即可得1m <-，又∵20b =>，可得一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根，∴0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，440m +<，44m <-，1m <-，又∵20b =>，∴一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，∴一次函数2y mx =+的图象不经过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程2210x x kb ++=-没有实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先根据一元二次方程没有实数根确定k ，b 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x kb ++=-没有实数根，∴()4410kb ∆=-+<，解得：0kb >，即k b 、同号，当00k b >>，时，一次函数y kx b =+的图象过一，二，三象限，当00k b <<，时，一次函数y kx b =+的图象过二，三，四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k ，b 的取值范围，难度不大．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =-的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m 的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根∴224(2)4(1)0b ac m ∆=-=--⨯⨯-<，解得1m <-，由一次函数y mx m =-可得0k m =<，0b m =->，∴一次函数y mx m =-过一、二、四象限，不过第三象限，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．考点9 利用根与系数的关系求变形式子。

新人教版九年级数学上册暑期讲义：第三课 配方法、公式法配方法：()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ 公式法：⑴条件：)04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： aac b b x 2422,1-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 例1.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2.已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3.已知0136422=+-++y x y x ,x,y 为实数，求yx 的值。

例4.在实数范围内．．．．．．分解因式：31242++x x例5.在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --例6.如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

课堂同步：1.等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形的周长为（ ） A ．27 B ．33 C ．27和33 D ．以上都不对2.小明用配方法解下列方程时，只有一个配方有错误，请你确定小明错的是（ ） A ．22990x x --=化成2(1)100x -= B ．2890x x ++=化成2(4)25x += C ．22740t t --=化成2781416t ⎛⎫-=⎪⎝⎭ D ．23420y y --=化成221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3.一元二次方程032=+x x 的解是 ；用配方法解方程2x ²+4x+1 =0，配方后得到的方程是 ；用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为 ． 4.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的面积 为5.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，则方程（4⊕3）⊕24x =的解是6.已知041122=---+x x x x ，则=+x x 17.用配方法解方程：⑴ 016102=++x x ⑵0432=--x x ⑶05632=-+x x⑷0942=--x x (5)（x-2）（x-5）=-2 (6)x x 3122=+(7)04632=+-x x8.用公式法解方程：(1)0122=-+x x ⑵04122=--x x ⑶112842+=++x x x⑷()x x x 824-=- ⑸022=+x x ⑹010522=++x x9.试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。