2016年江苏省南通密卷(高考模拟试卷)数学(5)

2016年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B=．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[0，4500]上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE 的体积为．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．10．已知，则的值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4­1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．[选修4­2：矩阵与变换]22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．[选修4­4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．[选修4­5：不等式选讲]24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n（x）的导数，n∈N*．﹣1（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．2016年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}．2．若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，则a的值为±．【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算性质得到a2+4=9，解出即可．【解答】解：若复数z=a+2i（i为虚数单位，a∈R）满足|z|=3，即a2+4=9，解得：a=±，故答案为：±．3．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有5种情形，由概率公式可得．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5种情形，∴所求概率，故答案为：4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为14【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，I=1，满足条件S≤10，执行循环，S=1，I=2，满足条件S≤10，执行循环，S=1+22=5，I=3，满足条件S≤10，执行循环，S=1+22+32=14，I=4，不满足条件S≤10，退出循环，输出S的值为14．故答案为：14．5．为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[0，4500]上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10000户家庭中，有750户月消费额在1000元以下【考点】频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，即可求出答案．【解答】解：由直方图可得1000元以下共有10000×（0.00005+0.0001）×500=750户，故答案为：750．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=63．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2•（S6﹣S4），即122=3•（S6﹣15），解得S6=63故答案为：63．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P（1，1），其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为2x2﹣y2=1．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a2和b2的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，，解得，b2=1，所以双曲线的方程为2x2﹣y2=1，故答案为：2x2﹣y2=1．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积=三棱锥D﹣B1AE的体积==．故答案为：．9．若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为﹣1．【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．【解答】解：∵函数f（x）==为奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故．即，∴f（x）=，∴f（a+b）=f（1）=1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．10．已知，则的值是．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用诱导公式，同角三角的基本关系，化简要求的式子可得结果．【解答】解：∵已知，则=﹣sin（x+）+=﹣sin（x+）+1﹣=﹣+1﹣=，故答案为：．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈[﹣2，2]．通过三角函数代换即可得出．【解答】解：设P（x，x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4﹣x2，∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=﹣2cosθ±2sinθ=∈，实数m的取值范围是，故答案为：．12．已知边长为6的正三角形ABC，，AD与BE交点P，则的值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积．【解答】解：由题意作图如右图，∵，∴D，E分别为线段BC，AC的中点，∴点P是正三角形ABC的中心，∴||=•|BE|=••|AB|=2，||=|BP|=，且∠BPD=，故=||||cos=6×=3，故答案为：3．13．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x2，得y′=2x，切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12，由y=x3，得y′=3x2，切线方程为y﹣x23=3x22（x﹣x2），即y=3x22x﹣2x23，∴2x1=3x22，x12=2x23，两式相除，可得=．故答案为：．14．已知函数f（x）=2ax2+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是．【考点】函数的值；二次函数的性质．【分析】由对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．【解答】解：函数f（x）=2ax2+3b图象的顶点为（0，3b），若若对于任意x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则，其对应的平面区域如下图所示：令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤=，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b﹣c）（a+b+c）=ab．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，可求A﹣B=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，∴（a+b）2﹣c2=ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，∵C为三角形内角，∴C=．（2）∵c=2acosB，∴由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，可得：a=b=2，∴S△ABC=absinC==．16．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）BE∥平面ACD1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出BA1=BC1，点E是A1C1的中点，从而BE⊥A1C1，由此能证明BE⊥AC．（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，推导出四边形BED1O 是平行四边形，由此能证明BE∥平面ACD1．【解答】证明：（1）∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∴BA1=BC1，∵点E是A1C1的中点，∴BE⊥A1C1，∵AC∥A1C1，∴BE⊥AC．（2）连结B1D1，交A1C1于点E，连结AC，BD，交于点O，连结OD1，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∴D1E BO，∴四边形BED1O是平行四边形，∴BE∥OD1，∵OD1⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，∴BE∥平面ACD1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A（2，1），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于B，C两点（异于点A），线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及b2=a2﹣c2，及点A（2，1），联立即可求得a，b及c 的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x B+x C=﹣，根据线段BC被y轴平分，即x B+x C=0，即可求得m的值，根据向量的坐标表示求得•=0，即可求得k的值，将点A代入直线方程，当k=，不满足，故求得k的值．【解答】解：（1）由条件知椭圆离线率e==，∴b2=a2﹣c2=a2，将点A（2，1），代入椭圆方程得解得，故椭圆方程为：；（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆方程，x2+4（kx+m）2﹣8=0，整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣8=0，线段BC被y平分得：x B+x C=﹣=0，k ≠0，m=0，∴B ，C 关于原点对称，设B （x ，kx ），C （﹣x ，﹣kx ），∴x 2=，又∵AB ⊥AC ，A （2，1），∴•=（x ﹣2）（﹣x ﹣2）+（kx ﹣1）（﹣kx ﹣1）=5﹣（1+k 2）x 2=5﹣=0，解得k=±，由k=，直线y=x 过点A （2，1）故k=不符合题意，所以，此时直线l 的直线方程y=﹣x ．18．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 1为圆心，半径为1km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ （点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上），T 为切点． （1）按下列要求建立函数关系： ①设∠OPQ=α（rad ），将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ=t （km ），将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值．【考点】弧度制的应用；函数解析式的求解及常用方法；三角函数的最值． 【分析】（1）结合图形，①用sin α求出PO 1、OP 以及OQ 的值，计算△OPQ 的面积S 即可；②设OQ=t （km ），∠OQP=2θ，用tan θ表示出OP ，再计算△OPQ 的面积S ；（2）用（1）中②函数关系S==，设x=，函数f （x ）=x ﹣x 3，求出f （x ）的最大值即可求出S 的最小值．【解答】解：（1）如图所示，①设∠OPQ=α（rad），则sinα=，∴PO1=，OP=1+，OQ=OP•tanα=（1+）•tanα；∴△OPQ的面积S=OP•OQ=•（1+）（1+）•tanα=••tanα；②设OQ=t（km），∠OQP=2θ，则tanθ=，tan2θ===，∴OP=OQ•tan2θ=，∴△OPQ的面积S=OP•OQ=••t=；（2）用（1）中②函数关系，S==，设x=＞0，函数f（x）=x﹣x3，（x＞0）；则f′（x）=1﹣3x2，令f′（x）=0，解得x=；∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴当x=时，f（x）取得最大值是f（）=；∴△OPQ的面积S的最小值是=．19．已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=（）′lnx+•=，令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，∴f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；（2）由（1）得：f（x）min=f（e﹣2）=a﹣，显然a＞时，f（x）＞0，无零点，a=时，f（x）=0，有1个零点，a＜时，f（x）＜0，有2个零点．20．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”（1）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣1．①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z（n∈N*），求证：{a n}为“等比源数列”【考点】数列的应用．【分析】（1）①由a n+1=2a n﹣1，可得a n+1﹣1=2（a n﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．②假设{a n}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：a k＜a m＜a n，k＜m＜n．满足=a k a n，代入化为：2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，利用数的奇偶性即可得出．（2）设等差数列{a n}的公差为d，假设存在三项使得，（k＜n＜m）．展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1[（k﹣1）+（m﹣1）]+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．【解答】解：（1）①∵a n+1=2a n﹣1，∴a n+1﹣1=2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1+1．②假设{a n}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：a k＜a m＜a n，k＜m＜n．满足=a k a n，∴（2m﹣1+1）2=（2k﹣1+1）（2n﹣1+1），化为：22m﹣2+2m=2k+n﹣2+2n﹣1+2k﹣1，∴2m﹣k+1（2m﹣2+1）=2n﹣1+2n﹣k+1，可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．故{a n}不是“等比源数列”．（2）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，a1≠0，a n∈Z（n∈N*），假设存在三项使得，（k＜n＜m）．∴=[a1+（k﹣1）d][a1+（m﹣1）d]，展开：2a1（n﹣1）+（n﹣1）2d=a1（k﹣1）+（m﹣1）+（k﹣1）（m﹣1）d，当n﹣1既是（k﹣1）与m﹣1的等比中项，又是（k﹣1）与m﹣1的等差中项时，原命题成立．【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4­1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=10，C为圆上一点，BC=6．过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由题意AC⊥BC，AC==8，由已知得Rt△ACD∽Rt△ABC，从而AD=6.4，利用切割线定理、勾股定理，由此能求出DE的长．【解答】解：由题意AC⊥BC．AC==8，∵过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，AD交圆与E，∴∠ACD=∠ABC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴=，∴AD==6.4又DC2=DE•6.4，DC2+6.42=64，解得DE=3.6．[选修4­2：矩阵与变换]22．已知矩阵，求逆矩阵M﹣1的特征值．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，令矩阵M﹣1的特征多项式等于0，即可求得矩阵M﹣1的特征值．【解答】解：矩阵M的行列式为=1×2﹣2×0=2，∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=，矩阵M﹣1的特征多项式为f（λ）=（λ﹣）（λ﹣1）=0令f（λ）=0可得λ=或λ=1即矩阵M﹣1的特征值为或1．[选修4­4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知点，圆C的方程为（圆心为点C），求直线AC的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先求出直线AC的直角坐标方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：点A的直角坐标为A（，）．圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=8．∴圆C的圆心为C（0，2）．∴直线AC的方程为，即x+y﹣2=0．∴直线AC的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2．[选修4­5：不等式选讲]24．已知a≥0，b≥0，求证：a6+b6≥ab（a4+b4）．【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法，通过分类讨论判断即可．【解答】证明：a6+b6﹣ab（a4+b4）=（a﹣b）（a5﹣b5），当a≥b≥0时，a5≥b5，a﹣b≥0，a5﹣b5≥0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）≥0．所以a6+b6≥ab （a4+b4）．当0≤a＜b时，a5＜b5，a﹣b＜0，a5﹣b5＜0，可得（a﹣b）（a5﹣b5）＞0．所以a6+b6＞ab （a4+b4）．综上a≥0，b≥0，a6+b6≥ab（a4+b4）．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且．（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值．（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D 的余弦值．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），∵，∴（a，b，c﹣2）=（﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣，1﹣，﹣），∴，解得a=0，b=，c=，∴P（0，，），=（1，0，0），=（﹣1，﹣，），设直线AB与CP所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|===，∴直线AB与CP所成角的余弦值为．（2）=（1，，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，，﹣），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（﹣4，2，﹣1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．26．已知函数f0（x）=x（sinx+cosx），设f n（x）是f n（x）的导数，n∈N*．﹣1（1）求f1（x），f2（x）的表达式；（2）写出f n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；导数的运算．【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可，（2）先利用诱导公式，猜想猜想f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），再根据数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）f1（x）=f0′（x）=（sinx+cosx）+x（cosx﹣sinx）=（x﹣1）sin（﹣x）+（x+1）cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx+（1﹣x）cosx+cosx﹣（1+x）sinx=﹣（2+x）sinx﹣（x﹣2）cosx，（2）由（1）得f3（x）=f2′（x）=﹣（3+x）cosx+（x﹣3）sinx，把f1（x），f2（x），f3（x），f1（x）=（x+1）sin（x+）+（x﹣1）cos（x+），f2（x）=（x+2）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），f3（x）=（x+3）sin（x+）+（x﹣2）cos（x+），猜想f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）（*），下面用数学归纳法证明上述等式，①当n=1时，由（1）可知，等式（*）成立，②假设当n=k时，等式（*）成立，即f k（x）=（x+k）sin（x+）+（x﹣k）cos（x+），则当n=k+1时，f k+1（x）=f k′（x）=sin（x+）+（x+k）cosx+）+cos（x+）+（x﹣k）[﹣sin（x+）]，=（x+k+1）cos（x+）+[x﹣（k+1）][﹣sin（x+）]，=（x+k+1）sin（x+π）+[x﹣（k+1）]cos（x+π），即当n=k+1时，等式（*）成立综上所述，当n∈N*，f n（x）=（x+n）sin（x+）+（x﹣n）cos（x+）成立．2016年8月22日第21页（共21页）。

解：〔 1〕由 f ( x) g ( x) e x得， f ( x) g ( x) e x，因为 f ( x) 是奇函数，g (x) 是偶函数，所以 f ( x)g( x) e x，从而 f ( x)e x e x e x +e x2， g (x)2(4 分)〔 2〕当 x0 时， e x1，0 e x 1 ，所以 f ( x)0 ， g (x)e x +e x x x1 .(6分 )2 e e由〔 1〕得， f ( x)当x 0 时，f ( x)xf (x)x设函数 P(x) f (x)e x +e xg( x) ， g ( x)e x e xf ( x) ， (8分)22ag( x)(1a) f ( x)axg( x)(1a) x ，bg( x)(1b) f ( x)bxg( x)(1b) x ，cxg ( x)(c1)x ， (10分 )那么 P (x) f( x) c g( x)xg ( x) (c 1) (1c) g( x) 1 cxf ( x) ， (12 分 )假设 c ≤0 ，x 0 ，那么 P( x)0 ，故 P( x) 为 0 ，上增函数，所以 P( x)P(0)0，假设c≥1 ， x0 ，那么P ( x)0 ，故 P(x) 为 0 ，上减函数，所以 P( x)P (0)0，综上知， ag( x) (1 a)f ( x)分〕bg( x) (1 b) . 〔16x20．〔此题总分值16 分〕设 f k (n) 为关于n的k ( k N )次多项式．数列{a n}的首项a11，前n项和为 S n．对于任意的正整数 n，a n S n f k (n) 都成立．〔 1〕假设 k0 ，求证：数列 { a n} 是等比数列；〔 2〕试确定所有的自然数k，使得数列{ a n}能成等差数列．解：〔 1〕假设 k 0 ，那么 f k (n) 即 f0 (n ) 为常数，不妨设f0 ( n)c 〔c为常数〕．因为 a S f(n)恒成立，所以a S c ，即 c2a2．n n k111而且当 n≥2 时， a n S n 2 ，①a n1S n1 2 ，②①－②得 2a n a n 10( n N ，n≥2)．假设 a n=0，那么a n1 =0 ，, ，a1=0，与矛盾，所以a n0( n N*)．故数列 { a n} 是首项为1，公比为1的等比数列．〔 4分〕2〔2〕 (i) 假设k=0，由〔 1〕知，不符题意，舍去．〔 6 分〕(ii)假设 k=1，设f1( n)bn c 〔b，c为常数〕，当 n≥2 时， a n S n bn c ，③a n1S n1b(n1) c ，④③－④得2a n a n1 b (n N，n≥2)．要使数列 { a n} 是公差为d〔d为常数〕的等差数列，必须有 a n b d 〔常数〕，而 a =1，故{ a }只能是常数数列，通项公式为a=1n N*，1n n故当 k=1时，数列{ a n}能成等差数列，其通项公式为a n=1n N*，此时f1( n) n 1 ．〔9 分〕(iii)假设 k=2，设f2(n)an 2bn c 〔 a0 ，a，b，c是常数〕，当 n≥2 时， a n S n an2bn c，⑤a n 1S n2b(n1) c ，⑥1 a( n 1)⑤－⑥得2a n a n 12an b a(n N，n≥2)，要使数列 { a n} 是公差为d〔d为常数〕的等差数列，必须有a n 2an b a d ，且d=2a，考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕...d=2a，考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD 上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD 上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕考虑到 a =1，所以a n1(n 1) 2a 2an2a 1 n N*．1故当 k=2时，数列 { a } 能成等差数列，其通项公式为na n 2an 2a 1 n N*，此时 f 2 (n)an2(a 1)n 1 2a 〔a为非零常数〕．〔 12 分〕(iv)当 k≥3 时，假设数列 { a n} 能成等差数列，那么a n S n的表达式中n的最高次数为 2，故数列 { a n} 不能成等差数列．〔 14 分〕综上得，当且仅当k=1或2时，数列{ a n}能成等差数列．〔16分〕试题Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， C，D是直径为 AB的半圆上的两个不同的点，AC 与BD交于点E，点F在弦BD 上，且△ ACD∽△ BCF，证明：△ABC∽△ DFC．C D证明：因为△ ACD∽△ BCF，E 所以，A FF B ACD BCF〔第21题A〕故ACD ACF BCF ACF，即DCF，BCE又BDC BAC，所以△ ABC∽△ DFC．〔10分〕。

2016年江苏南通市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 若复数满足，则的值为______．3. 若从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积是偶数的概率为______．4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．S←0I←0While S≤10S←S+I^2I←I+1End WhilePrint S5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的户家庭中，有______ 户的月消费额在元以下．6. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值为______．7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其一条渐近线的方程为，那么该双曲线的方程为______．8. 若正方体的棱长为，是棱的中点，则三棱锥的体积为______．9. 若函数为奇函数，则的值为______．10. 已知，那么的值为______．11. 在平面直角坐标系中，已知点，．若直线上存在点使得．则实数的取值范围是______．12. 在边长为的正三角形中，若，，与交于点，则的值为______．13. 在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和，则的值为______．14. 已知函数．若对于任意的，都有成立，则的最大值是______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点．（1）求证：；（2）求证： 平面．17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点（异于点），线段被轴平分，且，求直线的方程．18. 如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心、半径为的半圆面．公路经过点，且与直径垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路（点在直径的延长线上，点在公路上），为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设（单位：），将的面积表示为的函数；②设（单位：），将的面积表示为的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求的面积的最小值．19. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论．20. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称数列为“等比源数列”．（1）在数列中，已知，．①求数列的通项公式；②试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列为等差数列，且，，求证：数列为“等比源数列”．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）在中，由，得，即．因为，所以．（2）方法一：因为，由正弦定理，得．因为，所以，所以，即，即．又因为，所以，即，所以，所以的面积为．方法二：由及余弦定理，得，化简得．又，所以的面积为．16. （1）如图，在直四棱柱中，连接交于点，连接交于点．是菱形，所以．因为四棱柱为直棱柱，所以平面．又平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）连接，为直棱柱，所以四边形为矩形．又，分别是，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以 平面．17. （1）由题意知椭圆的离心率为，所以．又点在椭圆上，所以，解得所以椭圆的方程为．（2）将代入椭圆的方程，得，整理，得．由线段被轴平分，得．因为，所以．因为当时，点，关于原点对称，所以设点的坐标为，点的坐标为，由方程，得．又因为，点的坐标为，所以所以．因为当时，直线过点，故不符合题意，舍去，所以直线的方程为．18. （1）①由题意知，在中，，，所以．又所以．在中，，所以的面积为②由题意得；，，且，所以，即，化简，得，所以的面积为．（2）选用（1）中①的函数关系．由，得当变化时，，的变化情况如下表：所以当时，的面积极小值取得最小值，且最小值为．选用（1）中②的函数关系．．由，得．所以当时，的面积当变化时，，的变化如下表：极小值取得最小值，且最小值为．19. （1）由函数，得．令，得．当变化时，，的变化情况如下表：因此，函数的极小值单调增区间为，单调减区间为．（2）由（1）可知，．（i）当时，由，得函数的零点个数为．（ii）当时，因为在上单调递增，在上单调递减，故时，，所以函数的零点个数为．（iii）当时，．①当时，因为当时，，所以函数在区间上无零点．因为在上单调递增，且，又，且，所以函数在上有且只有一个零点．故当时，函数的零点个数为．②当时，因为在上单调递增，且，，所以函数在区间上有且只有个零点．因为在上单调递减，且，又，且（当时，成立），所以函数在上有且只有个零点．故当时，函数的零点个数为．综上所述，当时，函数的零点个数为；当或时，函数的零点个数为；当时，函数的零点个数为．20. （1）①由，得，且，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，故数列的通项公式为．②数列不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列是“等比源数列”，则存在三项，，按一定次序排列构成等比数列．因为，所以，所以，得，即．又，，所以，，，，所以为偶数，与矛盾，所以数列中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上，数列不是“等比源数列”．（2）不妨设等差数列的公差为．当时，等差数列为非零常数数列，数列为“等比源数列”．当时，因为，则，且，所以数列中必有一项．为了使得数列为“等比源数列”．只需要中存在第项、第项（），使得成立，即，即成立．当，时，上式成立，所以存在，，成等比数列，所以数列为“等比源数列”．。

江苏省南通市高考数学模拟试卷(6)含答案2016年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．21．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x－2x＜0}，则A∪B＝▲ ．2．若复数z满足z40，则z1，则f(x)▲ ． 3．已知幂函数f(x)的图象经过点2 4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中___▲ 根棉花纤维的长度小于15mm．25．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲ ．（第5题）6．某校有A,B两个学生食堂，若a,b,c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为▲ ． 7．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号是▲ ．．．．222x2y2F(c,0)(c0)x y a8．过双曲线221(b a0)的左焦点作圆的切线，切点为E，延长ab21y4cxFE交抛物线于点P，O为坐标原点，若OE(OF OP)，则双曲线的离心率为▲ ．2a9．已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。

若对一切n N,n1bn总成立，an则d q▲ ．10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x－2，则函数f(x)在[0，2016]上的零点个数是_____▲_____.CBC11．如图，已知点O为△ABC的重心，OA OB，AB6，则A的值为▲ ． 12．已知实数x，y，z满足x y z0，x2y2z21，则z的最大值是2x▲ ．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2(y6)225，圆C2：(x17)(y30)r．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A，B，满足PA2AB，则半径r的取值范围是▲ ．x(1mx)x0，14．已知函数f(x)，若关于x的不等式f(x)f(x m)的解集x(1mx)x0为M，且1,1M，则实数m的取值范围是▲ .第 1页，共 14页222(第11题图)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过．．．．．．．程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC中，PA PC，BC4，AC2．M为BC的中点， N为AC上一点，且MN∥平面PAB，MN求证：（1）直线AB∥平面PMN；（2）平面ABC平面PMN．A N CB M （第15题）16．（本小题满分14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b a.（1）当c=1，且ABC的面积为（2）当cosC时，求a的值； 4时，求cos(B A)的值. 317．（本小题满分14分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角△EFH，其中FE⊥FH．现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD(不计损耗) ，AD∥BC，且点A，B在弧EF上．点C，D在斜边EH 上．设∠AOE＝θ.（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值．E AH(第17题图)x2y218．（本小题满分16分）已知椭圆221(a b0)的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与abx轴相交于点T，且F是AT的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M,N两点，M,N都在x轴上方，并且M 在N,T之间，且NF2MF．①记NFM,NFA的面积分别为S1,S2，求②若原点O到直线TMN S1； S2 第 2页，共 14页19．（本小题满分16分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，anan+1＝2(Sn＋1) (n N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1＝1，bn（3）若数列{cn}满足lgc120．（本小题满分16分）已知函数f(x)x22x alnx(a R).，f(1))处的切线方程；（1）当a2时，求函数f(x)在(1（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，不等式f(x1)mx2恒成立，求实数m的取值范围.(n≥2，n N*)，求{bn}的前n项和Tn；1a1，lgcn nn(n≥2，n N*)，试问是否存在正整数p，q（其中1 < p < q），33使c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，O1，O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与O1，O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与O1，O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．O1O2 DB．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵M满足 M(1）求二阶矩阵M；1258. 3446(2）若曲线C:x2xy2y1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C，求曲线C的方程. C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点P(1)（其中0,2)，点P的轨迹记为曲线C1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C2:1224上． )(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)当0,02时，求曲线C1与曲线C2的公共点的极坐标．yD．（选修４－５：不等式选讲）已知实数x0，y0，z0，证明：(≥．xyz2462第 3页，共 14页【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，已知抛物线C：x2py p0，其焦点F到准线的距离为2，点A、2点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；（2）若点Q x0,y0是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切BQ,D EH线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设 A记=的面积依次为S ABQ,S DEH，S ABQS DEH，问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

20XX 年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2．设a R ∈，复数212a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ． 6．设函数24 6 ,0,()6, 0,x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是 ▲ ．7．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和 点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为 ▲ ． 9．若tan()24πα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．10．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(],1-∞，则A = ▲ ． 11．数列{}n a 中10a =，47a =-，对n N *∀∈，当2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a a a +--=--，则数列{}n a 的前n 项的和为 ▲ ．12．设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 13．在ABC ∆中，45B =，,M N 分别为边,AC AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅，则BA BCBC BA+的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上,若圆M 上不存在点N ，使12NO NA =,其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若23AB AC ⋅=，求A 的值；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且1c =，求b ．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N 是PC中点．（1）求证：//MN面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM AD⊥．17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0) x ya bab+=>>的右顶点与上顶点分别为,AB，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于,P Q两点，直线,BQ AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设ABP∆与ABQ∆的面积分别为12,S S，求1S的最大值．（第17题图）19．（本小题满分16分）已知函数2 ()(2)lnf x mx m xx =-+-，2()1g x x mx=++，m R∈．（1）当0m<时，①求()f x的单调区间；②若存在12,[1,2]x x∈，使得12()()1f xg x-≥成立，求m的取值范围；（2）设ln1()xxh xe+=的导函数()h x'，当1m=时，求证：2[()1]()1g x h x e-'-<+（其中e是自然对数的底数）．20．（本小题满分16分）若数列{}na满足条件：存在正整数k，使得2n k n k na a a+-+=对一切,n n k∈>*N都成立，则称数列{}na为k级等差数列．（1）已知数列{}na为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a+的值；（2）若2sin(na n nωω=+为常数），且{}na是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}na的前3n项和3nS；（3）若{}na既是2级等差数列，{}na也是3级等差数列，证明：{}na是等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠PAQ是直角,圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B C、.求证:BT平分OBA∠.B．（选修４－２：矩阵与变换）设二阶矩阵A，B满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA，求1-B．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:C2sin2cos(0)a aρθθ=>，过点(2,4)P--的直线l的参数方程为222242x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），l与C分别交于,M N．（Ⅰ）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（Ⅱ）若,,PM MN PN成等比数列，求a的值．（第21题A）D ．（选修４－５：不等式选讲） 设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）求异面直线PN ，AM 所成的角；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合n A 中满足条件 “121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：nm S 111322n m n +++<+-．（第22题）20XX 年高考模拟试卷(5) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{}2．2．4-．3．91．4．{}2,5,10．5．12．6．(3,1)(3,)-+∞．7．3．8. ．9．35．10．3(1,]2．11．21n n -+．12．充要．13．14．12(,0)(,)5-∞+∞．【解析】．设N （x,y)，由12NO NA =得：22224()(3),x y x y +=+-化简得：22(1)4x y ++=，表示为以(0,1)B -为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B 与圆(,24)M a a -无交点，即222(241)(21)a a +-+>+或222(241)(21)a a +-+<-，解得圆心M 横坐标的取值范围为：12(,0)(,)5-∞+∞． 二、解答题15．（1）由题意知，cos AB AC bc A ⋅=,1sin 2S bc A =,所以cos sin bc A A ， ……………………………………2分即cos A A ，tan A ∴=因为A 为三角形内角，所以6A π=；……………………6分（2）设tan A m =，tan 2B m =，tan 3C m =，由题意知，0m >． 因为tan tan tan tan() 1tan tan A BC A B A B+=-+=--⋅，………………………8分则23312mm m=--，解得1m =，则tan 2B =，tan 3C =，从而sin B =，sin C =12分所以sin sin AC B AB C =AC ……………………14分16．（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，在PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，……………………………………2分 四边形ENMA 是平行四边形，得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB ……………………6分（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，面PMC ⊥面PAD ，面PMC面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，……………………8分CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CM,PA ⊥平面ABCD ，……………………………10分CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ,PA AH A =，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，……………………12分 AD ⊂面PAD ，CM AD ∴⊥．……………………14分17. 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()22P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x = (2)（1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB 的面积()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭，………………6∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+，得23t =，当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当2, 23t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <， ()S t 单调递减，所以当23t =时，()S t 有最大值12827，改挖后的水渠的底宽为43可使填土的土方量最少. ……………………8分（2设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭，则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222tt A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，所以梯形OABC 的面积()12222S t t t t t⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≥，………12当且仅当t = 此时OA =m 时，可使挖土的土方量最少. …………14分 18．（1）由题意，离心率c e a ==2c =，所以224a b =，故椭圆的方程为22244x y b +=，将点代入，求得21b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=； ……………4分（2）①设直线BQ 的方程为1y kx =+，则由题意直线AP 的方程为(2)y k x =--，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(14)80k x kx ++=， 所以点Q 的坐标为222814(,)1414k k k k--++，……………………6分 同理可求得点P 的坐标为222824(,)1414k kk k -++． ……………………8分所以直线l 的斜率为222222221441441141488288221414k kk k k k k k k k k k ----++==---+--++． ……………………………10分 ②设P ，Q 两点到直线AB 的距离分别为12,d d ， 因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限， 所以12k >，且点P 、Q 分别在直线:220AB x y +-=的上、下两侧， 所以220P P x y +->，220Q Q x y +-<，从而22218282k kd -+-=2222828222k k x y d --++-==所以22222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k k S d k k k k k k k k S d k k k k kk k -+--+-+-++====---+++-+++，……………14分 令21(0)k t t -=>，则122222113242(1)1323S k t t S k k t t t t t t-====≤=-++++++++ 当且仅当2t t=，即t =12k =时，12S S有最大值为3-16分19．（1）函数2()(2)ln f x mx m x x=-+-的定义域为(0,)+∞． 2222(2)(1)()m mx x f x m x x x+--'=-+=，① 为0m <，则当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为[1,)+∞．……………2分②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥，等价于[1,2]x ∈时，max min ()()1f x g x ≥+成立．由①得，当0m <时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，所以当[1,2]x ∈时，max ()(1)2f x f m ==-．……………………4分而222()1()124m m g x x mx x =++=++-．（ⅰ）当012m<-<，即20m -<<时，min ()(1)2g x g m ==+，于是23m m -≥+，矛盾! ……………………6分(ⅱ) 122m≤-≤，即42m -≤≤-时，2min ()14m g x =-，于是2224m m -≥-，矛盾! ……………………………8分（ⅲ）当22m->，即4m <-时，min ()(2)52g x g m ==+，于是262m m -≥+，所以8m ≤-．综上，m 的取值范围是8m ≤-．……………………10分（2）因为ln 1()xx h x e+=，所以1ln 1()x x x h x e --'=， 所以21()(ln 1)(1)(1ln )[()1]()xxx x x x x x x x g x h x e e +--+--'-==， 要证2[()1]()1g x h x e -'-<+，由0x >，即证2(1)1ln 1xe e x x x x -+>--+．设()1ln x x x x ϕ=--，()1xe m x x =+，所以()ln 2x x ϕ'=--，当20x e -<<时，()0x ϕ'>；当2x e ->时，()0x ϕ'<． 所以当2x e -=时，()1ln x x x x ϕ=--取得最大值为21e -+． 由2()0(1)xxe m x x '=>+，所以()m x 在(0,)+∞单调增，所以()(0)1m x m >=，所以2[()1]()1g x h x e -'-<+． ……………………16分20． （1）82423()03(30)9a a a a =+-=+⨯-=91314()24210a a a a =+⨯-=+⨯=,8919a a ∴+= …………………………2分（2）{}n a 是3级等差数列，332n n n a a a +-+=，2(2sin )2(3)sin(3)2(3)sin(3)n n n n n n ωωωωω+=++++-+-（n ∈*N ） 2sin sin(3)sin(3)2sin cos3n n n n ωωωωωωω∴=++-=（n ∈*N ）所以sin 0n ω=，或cos31ω=，sin 0n ω=对n ∈*N 恒成立时， π()k k ω=∈Zcos31ω=时，2π32π(),(),3k k k k ωω=∈∴=∈Z Z2π{|()}{|π()}3k k k k ωωωωω∴∈=∈=∈Z Z ω最小正值等于2π3，此时2π2sin 3n n a n =+.……………………6分由于2(32)π2(31)π2(3)πsin sin sin 0333n n n --++=（n ∈*N ）323136(31)n n n a a a n --∴++=-（n ∈*N ）312345632313[126(31)]()()()2n n n n n n S a a a a a a a a a --+-=+++++++++=293n n =+（n ∈*N ）…10分 （3）若{}n a 为2级等差数列，222n n n a a a +-+=，则212{},{}n n a a -均成等差数列，设等差数列212{},{}n n a a -的公差分别为12,d d ，{}n a 为3级等差数列，332n n n a a a +-+=，则32{}n a -成等差数列，设公差为D17,a a 既是中21{}n a -的项，也是32{}n a -中的项，71132a a d D -== 410,a a 既是中2{}n a 的项，也是32{}n a -中的项，104232a a d D -==12332d d D ∴==设122d d d ==，则3D d =所以21111(1)(22)n a a n d a n d -=+-=+-（n ∈*N ）， 2222(1)(22)n a a n d a n d =+-=+-，（n ∈*N ） 又4113a a D a d =+=+，42222a a d a d =+=+，所以21a a d =+， 21(21)n a a n d ∴=+-（n ∈*N ）综合得 1(1)n a a n d ∴=+-，显然{}n a 为等差数列．……………………………………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．连结OT .因为AT 是切线,所以OT AP ⊥. ……………………………………2分又因为PAQ ∠是直角,即AQ AP ⊥,……………4分 所以//AB OT ,所以TBA BTO ∠=∠. ……………………6分 又OT OB =,所以OTB OBT ∠=∠,…………8分 所以OBT TBA ∠=∠,即BT 平分OBA ∠. ……………………………10分B ．1101212013434-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B =BAA ……………………5分 1213122B --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦ ……………………………10分C ．（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22y ax =(0)a >；直线l 的普通方程为20x y --=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得22(4)28(4)0t a t a -+++= （*）8(4)0a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t 恰为上述方程的根．则12,PM t PN t ==，12MN t t =-．由题设得()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=．由（*）得121222(4),8(4)0t t a t t a +=+=+>，则有2(4)4(4)0a a +-+=，得1a =，或4a =-．因为0a >，所以1a =．D ．因为000x y x y >>->,,，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-…………4分 232211()()3()3()()x y x y x y x y x y =-+-+≥-=--，…………8分所以2212232x y x xy y +≥+-+．…………………10分22． （1）如图，以1AB AC AA ,,分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则(,0,1)P λ，11(,,0)22N ，1(0,1,)2M ，从而11(,,1)22PN λ=--，1(0,1,)2AM =，111()0110222PN AM λ⋅=-⨯+⨯-⨯=，所以异面直线PN ，AM 所成的角为90.……………5分（2）平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n AA ==．设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =， 由（1）得1(,1,)2MP λ=-．由0,0,m NP m MP ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 得11()0,2210.2x y z x y z λλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得21,32(1).3y x z x λλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩令3x =,得(3,21,2(1))m λλ=+-．平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45， 222|cos ,|||||||9(21)4(1)m n m n m n λλ⋅∴<>===⋅+++-，解得12λ=-．故点P 在11B A 的延长线上，且112A P =．…………………10分 23．（1）228S =，4232S =…………2分； （2）设集合{0}P =，{1,1}Q =-． 若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，,中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n nC -种可能，即为112n C ，…………4分同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,,n x x x x ，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ， ……若12||||||n x x x m +++=，即123,,,n x x x x ，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m nC -种可能，即为2m m n C ， 所以1122222n m m mn n n S C C C =++⋅⋅⋅+，…………………6分 因为当0k n ≤≤时，1k nC ≥，故10k n C -≥, 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++ 11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． …………………10分。

2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设集合A={1，m}，B={2，3}，若A∩B={3}，则m=．2．（5分）设a∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1﹣i）为纯虚数，则a=．3．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．4．（5分）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．5．（5分）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为．6．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．7．（5分）如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为．9．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是．10．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若?=3，则?=．11．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|?|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为．12．（5分）已知实数x，y满足﹣≤x≤，﹣≤y≤，若2?3x+sinx﹣2=0，9y+sinycosy﹣1=0，则cos（x﹣2y）的值为．13．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinB=，且?=12．（1）求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等差数列，求b的值．16．（14分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面DCC1D1是菱形，且平面DCC1D1⊥平面ABCD，∠D1DC=，E是A1D的中点，F是BD1的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若M是CD的中点，求证：平面D1AM⊥平面ABCD．17．（14分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且=k（k为常数）．（1）求A，B的坐标及常数k的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=x3+x2+kx，k∈R，函数f′（x）为f（x）的导函数．（1）数列{a n}满足a n=，求a1+a2+a3+a4+a5；（2）数列{b n}满足b n+1=f′（b n），①当k=﹣且b1＞1时，证明：数列{lg（b n+）}为等比数列；②当k=0，b1=b＞0时，证明：＜．20．（16分）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1），k∈R．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两题）21．（10分）如图，☉O1，☉O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与⊙O1，⊙O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与⊙O1，⊙O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2）．解答题25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．26．（10分）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2015，使用f（n）具有性质P，求n的最大值．2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016?南通模拟）设集合A={1，m}，B={2，3}，若A∩B={3}，则m=3．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出m的值即可．【解答】解：∵A={1，m}，B={2，3}，且A∩B={3}，∴m=3，故答案为：32．（5分）（2016?南通模拟）设a∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1﹣i）为纯虚数，则a=﹣1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（a+i）（1﹣i）=（a+1）+（1﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）（2016?南通模拟）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出这组数据的平均数，由此再求出这组数据的方差．【解答】解：∵数据4，6，5，8，7，6的平均数为=（4+6+5+8+7+6）=6，∴这组数据的方差为S2=×[（4﹣6）2+2×（6﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（7﹣6）2]=．故答案为：．4．（5分）（2016?南通模拟）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】男生2名记为A，B，女生1名记为C，一一列举并根据概率公式计算即可．【解答】解：男生2名记为A，B，女生1名记为C，现从中任选2名学生，共有AB，AC，BC，3种选择方法，恰有一名男生与一名女生的有有AC，BC，2种故则恰有一名男生与一名女生的概率为，故答案为：5．（5分）（2016?南通模拟）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为﹣4．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．【解答】解：由11a5=5a8，得6a1 +9d=0，又a1=﹣3，故d=2．故a n =﹣3+（n﹣1）2=2n﹣5，故此数列为递增数列．故等差数列{a n}的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）=﹣4，故答案为﹣4．6．（5分）（2013?徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．7．（5分）（2016?南通模拟）如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，圆锥筒的高，利用圆锥的体积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则×2π×2=2π r，∴r=1，这个圆锥筒的高为：=，这个圆锥筒的容积为：=．故答案为：．8．（5分）（2016?南通模拟）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：是梯形，由可得A（a，a），解得B（a﹣1，a），平面区域的面积是2，可得梯形的面积为：a2﹣=2．解得a=，故答案为：．9．（5分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间【解答】解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k?﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z10．（5分）（2016?南通模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若?=3，则?=﹣3．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AD=，E为BC中点，∴A（0，0），B（3，0），D（0，），设C（x，），∴=（3，0），=（x，），∵?=3，∴3x=3，解得x=1，∴C（1，），∵E为BC中点，∴E（，），即为（2，），∴=（2，），=（﹣2，），∴?=2×（﹣2）+×=﹣4+1=﹣3故答案为：﹣3．11．（5分）（2016?南通模拟）已知F1，F2是椭圆+=1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|?|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，利用基本不等式的性质可得：|PF1|+|PF2|≥，化简整理即可得出．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得：+﹣2|PF1||PF2|cosθ=（2c）2=16．++2|PF1||PF2|=4m2．相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】解：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，∴2m=|PF1|+|PF2|≥=2，化为，又m＞2，解得．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得：+﹣2|PF1||PF2|cosθ=（2c）2=16．++2|PF1||PF2|=4m2．相减可得：1+cosθ=．∵θ∈[0，π），∴0＜≤2．m≥2∴2≤m≤+．∴==∈，∴该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：．12．（5分）（2016?南通模拟）已知实数x，y满足﹣≤x≤，﹣≤y≤，若2?3x+sinx﹣2=0，9y+sinycosy﹣1=0，则cos（x﹣2y）的值为1．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设f（u）=u3+sinu，根据题设等式可知f（x）=2，f（2y）=2，可得f（x）=f（2y），利用单调性进而推断出x﹣2y=0，进而求得cos（x﹣2y）的值．【解答】解：实数x，y满足﹣≤x≤，﹣≤y≤，若2?3x+sinx﹣2=0，9y+sinycosy ﹣1=0，设f（u）=2?3u+sinu，由题意得f（u）=2，f（x）=2．由9y+sinycosy﹣1=0，即32y+sin2y﹣1=0，即2?32y+sin2y=2，故f（2y）=2．因为f（u）在区间[﹣，]上是单调函数，∴f（x）=f（2y），∴x=2y，即x﹣2y=0．∴cos（x﹣2y）=cos0=1，故答案为：1．13．（5分）（2016?南通模拟）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【考点】曲线与方程．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，可得≥20（a2+b2）min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min=那么a2+b2的最小值为：d2=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，∴≥20（a2+b2）min=4，∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥1+p+2=1+p+2，当且仅当tan2θ=时取等号．∴1+p+2≥4，p＞0，解得1≤p．∴tanθ=1，即时取等号．故答案为：[1，+∞）．14．（5分）（2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞或a＜﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】设以MN为直径的圆的圆心为A，得到MN的中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得a．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣2，0），N（0，2），所以中点A （﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜﹣；所以a的取值范围是a＞或a＜﹣；故答案为：a＞或a＜﹣．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016?南通模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinB=，且?=12．（1）求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等差数列，求b的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；解三角形．【分析】（1）展开数量积，可得cosB＞0，由sinB=，求得cosB，进一步得到ac，代入三角形面积公式求得答案；（2）由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，结合余弦定理即可求得b值．【解答】解：（1）由?=12，得ca?cosB=12，可得cosB＞0，由sinB=，可得cosB=，即有ac=13，∴；（2）由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，在△ABC中，由余弦定理得，即，解得b=．16．（14分）（2016?南通模拟）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面DCC1D1是菱形，且平面DCC1D1⊥平面ABCD，∠D1DC=，E是A1D的中点，F是BD1的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若M是CD的中点，求证：平面D1AM⊥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AD1，利用中位线定理得出EF∥AB，故而EF∥平面ABCD；（2）连结CD1，则△D1DC为等边三角形，于是D1M⊥CD，利用面面垂直的性质得出D1M ⊥平面ABCD，故而平面D1AM⊥平面ABCD．【解答】证明：（1）连结AD1，∵四边形AA1D1D是平行四边形，E是A1D的中点，∴E是AD1的中点，又F是BD1的中点，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（2）连结CD1．∵四边形CDD1C1是菱形，∠D1DC=，∴△D1DC是等边三角形，∵M是CD的中点，∴D1M⊥CD，又平面DCC1D1⊥平面ABCD，平面DCC1D1∩平面ABCD=CD，∴D1M⊥平面ABCD，又D1M?平面D1AM，∴平面D1AM⊥平面ABCD．17．（14分）（2016?南通模拟）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由题意，QP，交AB于E利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求l的最小值．【解答】解：（1）由题意，延长QP，交AB于E，则=（﹣θ），△BPE中，∠EPB=θ，∠EBP=﹣θ，∠BEP=，∴EP=sin（﹣θ），EB=sinθ，∴PQ=2﹣sin（﹣θ），QD=2﹣sinθ，∴l=﹣θ+2﹣sin（﹣θ）+2﹣sinθ=4﹣sin（﹣θ）﹣sinθ+﹣θ=4﹣2sin（θ+）+﹣θ（0＜θ＜）；（2）l′=﹣2cos（θ+）﹣1，∴0＜θ＜时，l′＜0，＜θ＜，时，l′＞0，∴θ=时，l取得最小值，最小值为（4﹣+）百米．18．（16分）（2016?南通模拟）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且=k（k为常数）．（1）求A，B的坐标及常数k的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【考点】圆方程的综合应用．【专题】方程思想；分析法；直线与圆．【分析】（1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，可得圆的方程，再由恒等思想，即可得到所求；（2）由圆x2+y2=1的参数方程，可设N（（cosθ，sinθ），由中点坐标公式可得M的坐标，代入圆的方程，化简整理，运用辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设P（x，y），由|PA|=k|PB|，（k＞0且k≠1）可得=k，平方可得，（k2﹣1）（x2+y2）+（2a﹣2k2m）x+（4﹣2k2）y+k2（m2+1）﹣a2﹣4=0，由P的轨迹方程为x2+y2=4，可得，解得k=，m=1，a=2，即有A（2，2），B（1，1），k=；（2）由圆x2+y2=1的参数方程，可设N（（cosθ，sinθ），由M点恰好是线段NE的中点，可得M（，），代入圆方程，可得（）2+（）2=1，化简可得4cosθ+2tsinθ=﹣1﹣t2，由辅助角公式可得sin（θ+φ）=﹣1﹣t2，由|sin（θ+φ）|≤1，可得|﹣1﹣t2|≤，即为t4﹣2t2﹣15≤0，即有﹣3≤t2≤5，解得﹣≤t≤．则实数t的取值范围是[﹣，]．19．（16分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=x3+x2+kx，k∈R，函数f′（x）为f（x）的导函数．（1）数列{a n}满足a n=，求a1+a2+a3+a4+a5；（2）数列{b n}满足b n+1=f′（b n），①当k=﹣且b1＞1时，证明：数列{lg（b n+）}为等比数列；②当k=0，b1=b＞0时，证明：＜．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得a n===﹣，运用裂项相消求和即可得到所求值；（2）求得当k=﹣且b1＞1时，b n+1=b n2+b n﹣，两边同加，配方后，取常用对数，由等比数列的定义，即可得证；②求得b n+1=b n2+b n，即有=﹣，即有﹣=，运用裂项相消求和，可得，﹣=++…+，再将原不等式左边化简，由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+x2+kx的导数为f′（x）=x2+x+k，a n===﹣，可得a1+a2+a3+a4+a5=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（2）证明：①当k=﹣且b1＞1时，b n+1=f′（b n）=b n2+b n﹣，即有b n+1+=b n2+b n+=（b n+）2，两边取常用对数，可得lg（b n+1+）=lg（b n+）2=2lg（b n+），则数列{lg（b n+）}为首项为lg（b1+），公比为2的等比数列；②当k=0，b1=b＞0时，b n+1=b n2+b n，即有=﹣，即有﹣=，可得﹣=，﹣=，…，﹣=，相加可得，﹣=++…+，则=++…+=++…+=﹣＜，则原不等式成立．20．（16分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1），k∈R．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）将k=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，根据y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，得到e k﹣1＞1，解出即可；（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx﹣k（x﹣1）+x，求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，问题转化为需e k﹣2≤1，解出即可．【解答】解：（1）k=1时，f（x）=xlnx﹣x+1，x＞0，f′（x）=lnx+1﹣1=lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=lnx+1﹣k，令f′（x）＞0，解得：x＞e k﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜e k﹣1，∴f（x）在（0，e k﹣1）递减，在（e k﹣1，+∞）递增，而f（1）=0，∴只需e k﹣1＞1，解得：k＞1；（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx﹣k（x﹣1）+x，g′（x）=lnx+2﹣k，令g′（x）＞0，解得：x＞e k﹣2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e k﹣2，∴g（x）在（0，e k﹣2）递减，在（e k﹣2，+∞）递增，∴只需e k﹣2≤1，即k﹣2≤0，解得：k≤2，故存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，k的最大值是2．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两题）21．（10分）（2016?南通模拟）如图，☉O1，☉O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与⊙O1，⊙O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与⊙O1，⊙O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】运用圆的内接四边形的性质，及圆周角定理，得出∠A=∠PBD，即可证明结论．【解答】证明：连结PQ，因为四边形ACQP是☉O1的内接四边形，所以∠A=∠PQD， (3)分又在⊙O2中，∠PBD=∠PQD，…6分所以∠A=∠PBD，…8分所以AC∥BD附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；矩阵和变换．【分析】由题意及矩阵乘法的意义可得：BA==，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．【解答】解：∵A=（0＜θ＜2π），B=（0＜k＜1），∴由题意可得：BA==，∴=，解得：，∵0＜θ＜2π，0＜k＜1，∴解得：k=，θ=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016?南通模拟）在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，判断出点P与圆的位置关系，即可得出切线方程．【解答】解：点P（，）化为直角坐标：P（1，1）．曲线ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心（1，0），半径r=1．由于点P满足圆的方程，可得切线方程为：y=1．化为极坐标方程：ρsinθ=1．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016?南通模拟）已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2）．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】运用绝对值不等式可得|b|﹣|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，将原不等式左边分解因式，结合分析法证明，即可得证．【解答】证明：由|b|﹣|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，|a2+2a﹣b2+2b |=|（a+b）（a﹣b）+2（a+b）|=|a+b|?|a﹣b+2|≤2|a﹣b+2|，要证|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2），即证|a﹣b+2|≤2（|a|+2），由于|a﹣b+2|≤|a|+|b|+2，即证|a|+|b|+2≤2（|a|+2），即为|b|≤|a|+2，显然成立．故原不等式成立．解答题25．（10分）（2016?南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；=λ，可得C（λ，2，0）．（1）=（λ，2，﹣2），=（﹣1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得=，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2），平面PCD的法向量=（x，y，z）．则且，即：x+y﹣z=0，y﹣z=0，∴x=0，不妨去y=z=1，平面PCD的法向量=（0，1，1）．又=（1，0，2）．故cos==．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．26．（10分）（2016?南通模拟）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2015，使用f（n）具有性质P，求n的最大值．【考点】二项式定理的应用．【专题】综合题；二项式定理．【分析】（1）f（7）=（a+b）7，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，可得结论；（2）由题意，2C n r=C n r﹣1+C n r+1，整理可得4r（n﹣r）=（n﹣2）（n+1），可得（n﹣2）（n+1）能被4整除，从而n﹣2或n+1为偶数时，必须能被4整除，结合n≤2015，即可求n的最大值．【解答】（1）证明：f（7）=（a+b）7，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f（7）具有性质P．（2）解：由题意，2C n r=C n r﹣1+C n r+1，整理可得4r（n﹣r）=（n﹣2）（n+1），∴（n﹣2）（n+1）能被4整除，∵n﹣2、n+1一奇一偶，∴n﹣2或n+1为偶数时，必须能被4整除，∵n≤2015∴n的最大值为2012．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；742048；whgcn；caoqz；minqi5；qiss；w3239003；沂蒙松；changq；zhczcb；刘长柏；双曲线；刘老师；lcb001（排名不分先后）菁优网2016年11月9日。

2016年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．设a R ∈，复数212a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分 为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8， 乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．6．设函数24 6 ,0,()6, 0,x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是 ▲ ．7．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和 点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为 ▲ ．9．若tan()24πα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．10．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(],1-∞，则A = ▲ ． 11．数列{}n a 中10a =，47a =-，对n N *∀∈，当2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a a a +--=--，则数列{}n a 的前n 项的和为 ▲ ．12．设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 13．在ABC ∆中，45B =，,M N 分别为边,AC AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅，则BA BCBC BA+的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上,若圆M 上不存在点N ，使12NO NA =,其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若23AB AC ⋅=，求A 的值；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且1c =，求b ．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点．（1）求证：//MN 面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM AD ⊥．17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m ，渠深为2m ． （1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a ba b +=>>的右顶点与上顶点分别为,A B ，且过点． （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于,P Q 两点，直线,BQ AP 的斜率互为相反数．①求证：直线l 的斜率为定值；②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为12,S S ，求1S的最大值．（第17题图）19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x mx m x x=-+-，2()1g x x mx =++，m R ∈． （1）当0m <时，①求()f x 的单调区间；②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥成立，求m 的取值范围；（2）设ln 1()xx h x e+=的导函数()h x '，当1m =时，求证：2[()1]()1g x h x e -'-<+（其中e 是自然对数的底数）．20．（本小题满分16分）若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得2n k n k n a a a +-+=对一切,n n k ∈>*N 都成立，则称数列{}n a 为k 级等差数列．（1）已知数列{}n a 为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a +的值；（2）若2sin (n a n n ωω=+为常数），且{}n a 是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；（3）若{}n a 既是2级等差数列，{}n a 也是3级等差数列，证明：{}n a 是等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点BC 、.求证:BT 平分OBA ∠.B ．（选修４－２：矩阵与变换）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线错误！未找到引用源。

2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．（ 5 分）设集合 A= { 1，m} ， B= { 2， 3} ，若 A ∩B={ 3} ，则 m= ． 2．（ 5 分）设 a ∈ R ， i 是虚数单位，若（ a+i ）（ 1﹣ i ）为纯虚数，则 a=． 3．（ 5 分）已知一组数据 4，6， 5， 8，7， 6，那么这组数据的方差为 ． 4．（ 5 分）某兴趣小组有男生 2 名，女生 1 名，现从中任选 2 名学生去参加问卷调查，则恰 有一名男生与一名女生的概率为 ． 5．（ 5 分）等差数列 { an} 中， a1=﹣3， 11a5=5a8，则其前 n 项和 Sn 的最小值为 ． 6．（ 5 分）如图是一个算法的流程图，若输入 n 的值是 10，则输出 S 的值是 ．7．（5 分）如图，用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 那么这个圆锥筒的容积是 ．8．（ 5 分）不等式组 表示的平面区域的面积为 2，则实数 a 的值为 ．9．（ 5 分）已知函数 f （x ） =2sin （ ωx+ ）（ ω＞ 0），函数 f （x ）的图象与 x 轴两个相邻交点的距离为 π，则 f （x ）的单调递增区间是 ．10．（ 5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ ADC=90 °，AB=3 ， AD= ， E 为BC 中点，若 ? =3，则 ? = ．第 1 页（共 23 页）11．（5 分）已知 F 1， F 2 是椭圆 + =1（ m ＞ 2）的左，右焦点，点 P 在椭圆上，若 | PF 1| ?| PF 2| =2 m ，则该椭圆离心率的取值范围为 ． 12．（ 5 分）已知实数 x ，y 满足﹣ ≤ x ≤ ，﹣ ≤ y ≤ ，若 2?3x +sinx ﹣ 2=0，9y +sinycosy ﹣1=0 ，则 cos （ x ﹣ 2y ）的值为 ． 13．（5 分）若存在实数 a 、b 使得直线 ax+by=1 与线段 AB （其中 A （ 1， 0）， B （ 2，1））只 有一个公共点，且不等式 + ≥ 20（ a 2+b 2）对于任意 θ∈（ 0， ）成立， 则正实数 p 的取值范围为 ． 14．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y=x +2 与 x 轴，y 轴分别交于 M 、N 两点， 2 2 上运动，若∠ MPN 恒为锐角，则 a 的取值范围是 ． 点 P 在圆（ x ﹣ a ） +y =2 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（ 14 分）在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 sinB= ，且 ? =12 ．（ 1）求△ ABC 的面积；（ 2）若 a ，b ， c 成等差数列，求 b 的值．16（． 14 分）如图，在平行六面体 ABCD ﹣ A 1B 1C1D 1 中，侧面 DCC1D1 是菱形，且平面 DCC1D 1 ⊥平面 ABCD ，∠ D1DC= ， E 是 A 1 D 的中点， F 是 BD 1 的中点． （1）求证： EF ∥平面 ABCD ； （2）若 M 是 CD 的中点，求证：平面 D1AM ⊥平面 ABCD ．17．（ 14 分）如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD ，其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形，∠ ABC= ，管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路；在 上选一 点 P （异于 M 、 N 两点），过点 P 修建与 BC 平行的小路PQ ．（1）设∠ PBC= θ，试用θ表示修建的小路与线段 PQ 及线段QD 的总长度l；（2）求 l 的最小值．第 2 页（共 23 页）2 2 18．（ 16 分）已知圆 O ： x +y =4，两个定点 A （ a ，2）， B （ m ， 1），其中 a ∈ R ， m ＞ 0． P 为圆 O 上任意一点，且 =k （ k 为常数）． （1）求 A ， B 的坐标及常数 k 的值；（2）过点 E （ a ，t ）作直线 l 与圆 C ：x 2+y 2 =m 交于 M 、N 两点，若 M 点恰好是线段 NE 的 中点，求实数 t 的取值范围．19．（ 16 分）已知函数 f （ x ） = x3+ x 2+kx ， k ∈ R ，函数 f ′（ x ）为 f （ x ）的导函数． （1）数列 { a n } 满足 a n = ，求 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5；（2）数列 { bn} 满足 bn+1=f ′（ bn ）， ① 当 k= ﹣ 且 b1＞ 1 时，证明：数列 { lg （ bn+ ） } 为等比数列；② 当 k=0 ， b1=b ＞ 0 时，证明： ＜ ． 20．（ 16 分）已知函数 f （ x ） =xlnx ﹣k （ x ﹣ 1）， k ∈ R ． （ 1）当 k=1 时，求函数 f （ x ）的单调区间．（ 2）若函数 y=f （ x ）在区间（ 1， +∞）上有 1 个零点，求实数 k 的取值范围．（3）是否存在正整数 k ，使得 f （ x ） +x ＞ 0 在 x ∈（ 1， +∞）上恒成立？若存在，求出 k 的最大值；若不存在，说明理由．附加题 [ 选修 4-1：几何证明选讲 ] （任选两题）21．（ 10 分）如图，☉ O1，☉ O2 交于两点 P ，Q ，直线 AB 过点 P ，与⊙ O1，⊙ O2 分别交于点 A ，B ，直线 CD 过点 Q ，与⊙ O 1，⊙ O 2 分别交于点 C ， D ．求证： AC ∥BD ．附加题 [ 选修 4-2：矩阵与变换]第 3 页（共 23 页）22．（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，先对曲线 C 作矩阵 A= （0＜ θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵 B=（ 0＜ k ＜ 1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为 ，求 k ，θ的值． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ] 23．在极坐标系中，过点 P （ ， ）作曲线 ρ=2cos θ的切线 l ，求直线 l 的极坐标方程． [ 选修 4-5：不等式选讲 ] 2+2a ﹣ b 2+2b | ≤ 4（| a|+ 2）． 24．已知实数 a ， b 满足 | a+b| ≤ 2，求证： | a解答题 25．（ 10 分）如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，已知棱 AB ，AD ，AP 两两垂直， 长度分别为 1， 2， 2．若 =λ ，且向量 与 夹角的余弦值为 ．（ 1）求实数 λ的值；（ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．26．（ 10 分）设 f （ n ）=（ a+b ）n （ n ∈N *，n ≥ 2），若 f （ n ）的展开式中，存在某连续三项， 其二项式系数依次差数列，则称 f （ n ）具有性质 P ．（ 1）求证： f （7）具有性质 P ；（ 2）若存在 n ≤ 2015，使用 f （ n ）具有性质 P ，求 n 的最大值．第 4 页（共 23 页）2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）设集合 A= { 1， m} ，B= { 2，3} ，若 A ∩B={ 3} ，则 m= 3 ．【考点】 交集及其运算．【专题】 集合思想；定义法；集合． 【分析】 由 A ，B ，以及两集合的交集，确定出 m 的值即可．【解答】 解：∵ A= { 1， m} ， B={ 2， 3} ，且 A ∩B= { 3} ，∴ m=3 ，故答案为： 3 2．（ 5 分）（2016?南通模拟）设 a ∈R ，i 是虚数单位，若（a+i ）（ 1﹣ i ）为纯虚数，则 a= ﹣ 1 ． 【考点】 复数的基本概念． 【专题】 计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值． 【解答】 解：∵（ a+i ）（ 1﹣ i ） =（ a+1） +（ 1﹣ a ） i 为纯虚数， ∴ ，解得 a=﹣ 1． 故答案为：﹣ 1． 3．（ 5 分）（ 2016?南通模拟） 已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ． 【考点】 极差、方差与标准差． 【专题】 对应思想；定义法；概率与统计． 【分析】 先求出这组数据的平均数，由此再求出这组数据的方差． 【解答】 解：∵数据 4， 6， 5， 8， 7，6 的平均数为 = （ 4+6+5+8+7+6） =6， ∴这组数据的方差为 2 2 2 2 2 2 ． S = × [ （ 4﹣ 6）+2×（ 6﹣6） +（ 5﹣ 6） +（8﹣ 6） +（7﹣ 6） ] = 故答案为： ．4．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）某兴趣小组有男生 2 名，女生1 名，现从中任选 2 名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为 ．【考点】 古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】男生 2 名记为 A ， B ，女生 1 名记为 C，一一列举并根据概率公式计算即可．【解答】解：男生2 名记为 A ， B，女生 1 名记为 C，第 5 页（共 23 页）现从中任选 2 名学生，共有AB ， AC ， BC， 3 种选择方法，恰有一名男生与一名女生的有有AC ， BC ， 2 种故则恰有一名男生与一名女生的概率为，故答案为：5．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）等差数列 { an} 中， a1=﹣3， 11a5=5a8，则其前 n 项和 Sn 的最小值为﹣ 4 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．【解答】解：由 11a5=5a8，得 6a1 +9d=0，又 a1=﹣ 3，故 d=2．故an =﹣ 3+（n﹣ 1） 2=2n﹣ 5，故此数列为递增数列．故等差数列 { a n} 的前 2 项为负数，从第三项开始为正数，故前 2 项的和最小为﹣ 3+（﹣ 1） =﹣ 4，故答案为﹣ 4．6．（ 5 分）（ 2013?徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是 10，则输出S 的值是54 ．【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件 n＜ 2 时，S=10+9+8+⋯+2 的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2 时， S=10+9+8+⋯+2 的值．∵S=10+9+8+⋯+2=54 的值，故输出 54．故答案为： 54．第 6 页（共 23 页）7．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）如图，用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】由题意知圆锥筒的母线长为 2，设圆锥筒的底面半径等于 r，圆锥筒的高，利用圆锥的体积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则×2π× 2=2 πr，∴r=1 ，这个圆锥筒的高为：= ，这个圆锥筒的容积为：= ．故答案为：．8．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数 a 的值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：是梯形，由可得 A （ a，a），解得 B（ a﹣ 1， a），平面区域的面积是2，可得梯形的面积为：a2﹣=2．解得a= ，故答案为：．第 7 页（共 23 页）9．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）已知函数f（x） =2sin （ωx+ ）（ω＞0），函数 f（ x）的图象与 x 轴两个相邻交点的距离为π，则 f（ x）的单调递增区间是[ ﹣+2k π，+2k π] ，k∈ Z ．【考点】由 y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数 f （ x）的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出 f （ x）的单调递增区间【解答】解：函数f（ x）的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2 π，又∵ω＞ 0∴ω=1故 f （ x） =2sin（ x+ ），由 2k ? ﹣+2kπ≤ x≤+2kπ， k∈ Z故答案为： [ ﹣+2kπ，+2kπ] ，k∈ Z10．（5 分）（ 2016?南通模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥ CD，∠ADC=90 °，AB=3 ，AD= ， E 为 BC 中点，若? =3，则? = ﹣ 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．第 8 页（共 23 页）【分析】以 A 为坐标原点， AB ，AD 所在直线为x， y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以 A 点为原点， AB 所在的直线为x 轴，AD 为 y 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3 ， AD= ， E 为 BC 中点，∴A （ 0， 0）， B（ 3，0）， D （0，），设 C（ x，），∴=（3， 0）， =（x，），∵? =3，∴3x=3 ，解得 x=1 ，∴C（ 1，），∵E 为 BC 中点，∴E（，），即为（ 2，），∴=（2，）， =（﹣ 2，），∴? =2×（﹣ 2） + ×=﹣ 4+1=﹣ 3故答案为：﹣ 3．11．（5 分）（ 2016?南通模拟）已知F1， F2是椭圆+ =1 （ m＞ 2）的左，右焦点，点 P 在椭圆上，若 |PF1| ?| PF2| =2 m，则该椭圆离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．第 9 页（共 23 页）【分析】由椭圆的定义可得| PF1|+| PF2| =2m，利用基本不等式的性质可得：| PF1|+| PF2|≥，化简整理即可得出．另一方面：设∠F1 2PF =θ，由余弦定理可得：+ ﹣ 2| PF1|| PF2| cosθ=（ 2c）2=16．+ +2|PF1||PF2| =4m2．相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】解：由椭圆的定义可得| PF1 |+| PF2|=2m，∴2m= | PF1|+| PF2|≥=2 ，化为，又 m＞2，解得．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得：+ ﹣ 2|PF1||2PF2| cosθ=（ 2c）=16 ．+ +2|PF1||PF2| =4m2．相减可得： 1+cosθ= ．∵θ∈[ 0，π），∴0＜≤2． m≥2∴2≤ m≤ + ．∴= = ∈，∴该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：．x 12．（5 分）（ 2016?南通模拟）已知实数x，y 满足﹣≤ x≤，﹣≤ y≤，若 2?3 +sinx﹣2=0 ， 9y+sinycosy﹣ 1=0 ，则 cos（ x﹣ 2y）的值为 1 ．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设 f（ u）=u3 +sinu，根据题设等式可知 f（ x）=2，f（2y）=2，可得 f（ x）=f（2y），利用单调性进而推断出 x﹣ 2y=0，进而求得 cos （ x﹣ 2y）的值．第 10 页（共 23 页）【解答】解：实数 x，y 满足﹣≤x≤，﹣≤ y≤，若 2?3x+sinx﹣ 2=0，9y+sinycosy﹣1=0 ，设f （u） =2?3u+sinu，由题意得 f （u） =2，f （x） =2．由9y+sinycosy﹣ 1=0 ，即 32y+ sin2y ﹣ 1=0 ，即 2?32y+sin2y=2 ，故 f（ 2y ）=2．因为 f（ u）在区间 [ ﹣， ] 上是单调函数，∴ f （x） =f （ 2y），∴ x=2y ，即 x﹣ 2y=0．∴cos（ x﹣ 2y） =cos0=1，故答案为： 1．13．（ 5 分）（ 2016?南通模拟）若存在实数a、 b 使得直线 ax+by=1与线段AB （其中 A（ 1，0）， B（2， 1））只有一个公共点，且不等式+2 2≥ 20（a+b ）对于任意θ∈（ 0，）成立，则正实数 p 的取值范围为[ 1，+∞）．【考点】曲线与方程．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，可知：点 A （ 1，0）， B （ 2， 1）在直线ax+by=1 的两侧，因此（ a﹣ 1）（ 2a+b﹣ 1）≤ 0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点 O 到直线 2x+y﹣1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得 d min= ．由于存在实数a、b 使得不等式+ ≥20（ a2+b2）对于任意θ∈（ 0，）成立，可得≥ 20（ a2+b2） min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．【解答】解：∵直线ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，∴点 A （1， 0），B （ 2， 1）在直线ax+by=1 的两侧，∴（ a﹣ 1）（ 2a+b﹣ 1）≤ 0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．2 2a +b 表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线 2x+y﹣ 1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵dmin=那么 a2+b2的最小值为： d2=．由于存在实数a、 b 使得不等式+≥ 20（ a2+b2）对于任意θ∈（ 0，）成立，第 11 页（共 23 页）∴≥ 20（ a2+b2） min=4，∵θ∈（ 0，），∴ sinθ，cosθ∈（ 0，1）．∴+2 2=1+p+ + ≥=（ sin θ+cos θ）1+p+2 =1+p+2 ，当且仅当tan2θ= 时取等号．∴1+p+2 ≥ 4， p＞ 0，解得 1≤ p．∴tanθ=1 ，即时取等号．故答案为： [ 1， +∞）．14．（ 5分）（ 2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 y=x +2 与 x轴， y 轴分别交于2 2上运动，若∠ MPN 恒为锐角，则a 的取值范M 、 N 两点，点 P 在圆（ x﹣a） +y =2围是a＞或 a＜﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】设以 MN 为直径的圆的圆心为 A ，得到 MN 的中点 A（﹣ 1，1）；点 P 与 M ，N 构成∠ MPN 恒为锐角，则点 P 恒在圆 A 之外，又两个圆半径相等，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得 a．【解答】解：设以 MN 为直径的圆的圆心为 A ，则 M （﹣ 2， 0），N（ 0， 2），所以中点 A （﹣ 1， 1）；点P 与 M ，N 构成∠ MPN 恒为锐角，则点 P 恒在圆 A 之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，第 12 页（共 23 页）所以（ a+1）2+12＞（ 2 ）2，解得 a＞或 a＜﹣；所以 a 的取值范围是a＞或 a＜﹣；故答案为： a＞或 a＜﹣．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 14 分）（2016?南通模拟）在△ ABC 中，角 A ，B，C 的对边分别为 a、b、c，已知 sinB= ，且 ? =12 ．（1）求△ ABC 的面积；（2）若 a，b， c 成等差数列，求 b 的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；解三角形．【分析】（ 1）展开数量积，可得cosB＞ 0，由sinB=，求得 cosB ，进一步得到ac，代入三角形面积公式求得答案；（2）由 a，b， c 成等差数列，得2b=a+c，结合余弦定理即可求得 b 值．【解答】解：（ 1）由? =12，得 ca?cosB=12，可得 cosB＞ 0，由sinB= ，可得 cosB= ，即有 ac=13，∴；（2）由 a，b， c 成等差数列，得2b=a+c，在△ ABC 中，由余弦定理得，即，解得 b= ．16．（ 14 分）（ 2016?南通模拟）如图，在平行六面体ABCD ﹣ A1B1 C1D1 中，侧面DCC 1D1是菱形，且平面 DCC 1D 1⊥平面ABCD ，∠ D1DC= ，E 是 A 1D 的中点， F 是BD1 的中点．（1）求证： EF∥平面ABCD ；（2）若 M 是 CD 的中点，求证：平面D1AM ⊥平面 ABCD ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．第 13 页（共 23 页）【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（ 1）连结 AD 1，利用中位线定理得出EF∥ AB ，故而 EF∥平面ABCD ；（2）连结 CD1，则△ D1DC 为等边三角形，于是 D 1M ⊥ CD ，利用面面垂直的性质得出 D1 M ⊥平面 ABCD ，故而平面 D 1AM ⊥平面ABCD ．【解答】证明：（ 1）连结 AD 1，∵四边形 AA 1D 1D 是平行四边形， E 是 A 1D 的中点，∴E 是 AD 1的中点，又 F 是 BD1的中点，∴EF ∥AB ，又EF?平面 ABCD ， AB ? 平面ABCD ，∴EF ∥平面 ABCD ．（2）连结 CD1．∵四边形 CDD 1C1 是菱形，∠ D 1DC= ，∴△ D1DC 是等边三角形，∵M 是 CD 的中点，∴D 1M ⊥ CD，又平面D CC 1D1⊥平面 ABCD ，平面 DCC 1D1∩平面ABCD=CD ，∴D 1M ⊥平面 ABCD ，又 D 1M ? 平面 D1AM ，∴平面 D1AM ⊥平面 ABCD ．17．（ 14 分）（2016?南通模拟）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形，∠ ABC= ，管理部门欲在该地从M 到 D 修建小路；在上选一点 P（异于 M 、N 两点），过点 P 修建与 BC 平行的小路P Q．（1）设∠ PBC= θ，试用θ表示修建的小路与线段 PQ 及线段QD 的总长度l；（2）求 l 的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．第 14 页（共 23 页）【分析】（ 1）由题意， QP，交 AB 于 E 利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路与线段 PQ 及线段 QD 的总长度 l；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求l 的最小值．【解答】解：（ 1）由题意，延长 QP，交AB 于 E，则=（﹣θ），△BPE 中，∠ EPB= θ，∠EBP= ﹣θ，∠BEP=，∴EP = sin（﹣θ）， EB=sinθ，∴PQ=2﹣sin（﹣θ），QD=2﹣sinθ，∴l= ﹣θ+2﹣sin（﹣θ）+2﹣sinθ=4﹣sin（﹣θ）﹣sin θ+ ﹣θ=4﹣ 2sin （θ+ ）+﹣θ（ 0＜θ＜）；（2） l′=﹣ 2cos（θ+）﹣ 1，∴0＜θ＜时， l ′＜ 0，＜θ＜，时， l′＞0，∴θ= 时， l 取得最小值，最小值为（4﹣+ ）百米．18．（ 16 分）（ 2016?南通模拟）已知圆2 2（ m，1），其中O：x+y =4，两个定点 A（ a，2），Ba∈R， m＞ 0． P 为圆 O 上任意一点，且=k （ k 为常数）．（1）求 A， B 的坐标及常数 k 的值；（2）过点 E（ a，t）作直线 l 与圆 C：x2+y2=m 交于 M 、N 两点，若 M 点恰好是线段 NE 的中点，求实数t 的取值范围．【考点】圆方程的综合应用．【专题】方程思想；分析法；直线与圆．【分析】（ 1）设 P（x， y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，可得圆的方程，再由恒等思想，即可得到所求；2 2M 的坐标， （2）由圆 x +y =1 的参数方程，可设 N （（ cos θ， sin θ），由中点坐标公式可得 代入圆的方程， 化简整理，运用辅助角公式和正弦函数的值域， 解不等式即可得到所求范围．第 15 页（共 23 页）【解答】 解：（ 1）设 P （ x ，y ），由 | PA| =k | PB| ，（ k ＞ 0 且 k ≠ 1）可得 =k ， 2 2 2 ） +（ 2a ﹣ 2k 2 2 2 2 2 ，平方可得，（ k ﹣ 1）（x +y m ） x+（4﹣ 2k ） y+k （ m +1）﹣ a ﹣4=02 2由P 的轨迹方程为 x +y =4 ，可得，解得 k= ， m=1， a=2，即有 A （2， 2），B （ 1， 1）， k= ；2 2（ 2）由圆 x +y =1 的参数方程，可设 N （（ cos θ， sin θ）， 由 M 点恰好是线段 NE 的中点，可得 M （ ， ）， 代入圆方程，可得（ ） 2+（） 2=1，化简可得 4cos θ+2tsin θ=﹣1﹣ t 2，由辅助角公式可得sin （ θ+φ） =﹣ 1﹣t 2，由| sin （θ+φ） | ≤1，可得 | ﹣ 1﹣ t 2| ≤ ， 即为 t 4﹣ 2t 2﹣ 15≤ 0，即有﹣ 3≤ t 2≤5， 解得﹣ ≤ t ≤ ．则实数 t 的取值范围是 [ ﹣ ， ] ．19．（ 16 分）（ 2016?南通模拟）已知函数 f （ x ）= x 3+ x 2+kx ，k ∈ R ，函数 f ′（ x ）为 f （ x ） 的导函数．（1）数列 { a n } 满足 a n = ，求 a1+a2+a3+a4+a5； （2）数列 { bn} 满足 bn+1=f ′（ bn ），① 当 k= ﹣ 且 b 1＞ 1 时，证明：数列{ lg （ b n + ） } 为等比数列；② 当 k=0 ， b1=b ＞ 0 时，证明： ＜ ．【考点】 数列与函数的综合．【专题】 转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（ 1）求得 f （ x ）的导数，可得 an= = = ﹣，运用裂项相消 求和即可得到所求值；（2）求得当 k= ﹣且 b1＞ 1 时，b n+1=b n2+b n﹣，两边同加，配方后，取常用对数，由等比数列的定义，即可得证；第 16 页（共 23 页）②求得bn+1=b n 2+bn，即有= ﹣，即有﹣=，运用裂项相消求和，可得，﹣= + +⋯+，再将原不等式左边化简，由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（ 1）函数 f（ x） = x3+ x2+kx 的导数为 f′（x） =x2+x+k，an= = = ﹣，可得 a1+a2+a3+a4+a5=1﹣ + ﹣+⋯+ ﹣ =1 ﹣= ；（2）证明：①当 k= ﹣且 b1＞ 1 时， bn +1=f ′（bn） =bn2+bn ﹣，即有 b n+1+ =b n2+b n+ =（ b n+ ）2，两边取常用对数，可得lg（ b n+1 + ） =lg （ b n+ ）2=2lg （b n+），则数列 { lg（ b n+ ） } 为首项为lg（ b1 + ），公比为2 的等比数列；②当 k=0 ， b1=b＞ 0 时， bn+1=bn2+bn，即有= ﹣，即有﹣= ，可得﹣= ，﹣= ，⋯，﹣= ，相加可得，﹣= + +⋯+ ，则= + +⋯+= + +⋯+ = ﹣＜，则原不等式成立．20．（ 16 分）（ 2016?南通模拟）已知函数f（ x） =xlnx ﹣ k（ x﹣ 1），k∈R．（1）当 k=1 时，求函数 f（ x）的单调区间．（2）若函数 y=f （ x）在区间（ 1， +∞）上有 1 个零点，求实数 k 的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得 f （ x） +x＞ 0 在 x∈（ 1， +∞）上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．第 17 页（共 23 页）【分析】（ 1）将 k=1 代入 f （ x），求出 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，根据y=f （x）在区间（ 1，+∞）上有 1 个零点，得到 e k﹣1＞ 1，解出即可；（3）令 g（ x） =f （ x） +x=xlnx ﹣ k（x﹣ 1） +x，求出 g（x）的导数，得到 g（ x）的单调区间，问题转化为需 e k﹣2≤1，解出即可．【解答】解：（ 1） k=1 时， f（ x） =xlnx ﹣ x+1，x＞ 0，f ′（ x） =lnx +1﹣ 1=lnx ，令f ′（ x）＞ 0，解得： x＞ 1，令f ′（ x）＜ 0，解得： 1＜ x＜1，∴f （x）在（ 0， 1）递减，在（1， +∞）递增；（2） f ′（x） =lnx +1﹣ k，令f ′（ x）＞ 0，解得： x＞ e k﹣1，令f ′（ x）＜ 0，解得： x＜ e k﹣1，∴f （x）在（ 0， e k﹣1）递减，在（e k﹣1，+∞）递增，而f （1） =0，∴只需 e k﹣1＞ 1，解得： k＞ 1；（3）令 g（ x） =f （ x） +x=xlnx ﹣ k（x﹣ 1） +x，g′（ x）=lnx +2﹣ k，令g′（ x）＞ 0，解得： x＞e k﹣2，令g′（ x）＜ 0，解得： 0＜x＜ e k﹣2，∴g（ x）在（ 0， e k﹣2）递减，在（ e k﹣2， +∞）递增，∴只需 e k﹣2≤ 1，即 k﹣2≤ 0，解得： k≤ 2，故存在正整数 k，使得 f（ x） +x＞0 在 x∈（ 1， +∞）上恒成立，k 的最大值是2．附加题 [ 选修 4-1：几何证明选讲] （任选两题）21．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）如图，☉ O1，☉ O2 交于两点 P， Q，直线 AB 过点 P，与⊙ O1，⊙ O2分别交于点 A ， B，直线 CD 过点 Q，与⊙ O1，⊙ O2分别交于点 C， D．求证： AC ∥ BD ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】运用圆的内接四边形的性质，及圆周角定理，得出∠ A= ∠PBD ，即可证明结论．【解答】证明：连结 PQ，因为四边形 ACQP 是☉ O1的内接四边形，所以∠ A= ∠PQD，⋯3分第 18 页（共 23 页）又在⊙ O2 中，∠ PBD= ∠ PQD，⋯6 分所以∠ A= ∠ PBD ，⋯8 分所以 AC ∥ BD附加题 [ 选修 4-2：矩阵与变换]22．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵 A=（ 0＜θ＜ 2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B= （ 0＜k＜ 1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求 k，θ的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；矩阵和变换．【分析】由题意及矩阵乘法的意义可得：BA= = ，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．【解答】解：∵ A= （ 0＜θ＜ 2π）， B= （ 0＜ k＜1），∴由题意可得：BA= = ，∴= ，解得：，∵0＜θ＜ 2π，0＜ k＜ 1，∴解得： k= ，θ= ．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]23．（ 2016?南通模拟）在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线 l 的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，判断出点P 与圆的位置关系，即可得出切线方程．【解答】解：点 P（，）化为直角坐标： P （ 1， 1）．2ρcosθ，化为直角坐标方程：2 2，曲线ρ=2cosθ，即ρ=2 x +y =2x配方为（ x﹣=1，可得圆心（ 1， 0），半径r=1．1）2+y2由于点 P 满足圆的方程，可得切线方程为：y=1．化为极坐标方程：ρsinθ=1．第 19 页（共 23 页）[ 选修 4-5：不等式选讲 ] 2+2a ﹣b 2+2b | ≤ 4（ |a|+ 2）． 24．（ 2016?南通模拟）已知实数 a ， b 满足 | a+b| ≤2，求证： | a【考点】 不等式的证明．【专题】 转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】 运用绝对值不等式可得| b| ﹣ | a| ≤ | a+b| ≤ 2，可得 | b| ≤ | a|+2，将原不等式左边分 解因式，结合分析法证明，即可得证．【解答】 证明：由 | b| ﹣ | a| ≤ | a+b| ≤ 2，可得 | b| ≤| a|+ 2，| a 2+2a ﹣ b 2+2b | =| （ a+b ）（ a ﹣b ）+2（ a+b ） |=| a+b| ?| a ﹣ b+2| ≤ 2|a ﹣ b+2| ，要证 | a 2+2a ﹣b 2+2b | ≤4（ | a|+2），即证 | a ﹣ b+2| ≤ 2（ |a|+ 2），由于 | a ﹣ b+2| ≤ | a|+|b|+ 2，即证 | a|+| b|+ 2≤ 2（ | a|+ 2），即为 | b| ≤ | a|+ 2，显然成立．故原不等式成立．解答题25．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，已知棱 AB ， AD ， AP 两两 垂直，长度分别为 1， 2， 2．若 =λ ，且向量 与 夹角的余弦值为 ．（ 1）求实数 λ的值；（ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．【考点】 直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算．【专题】 计算题；规律型；数形结合；转化思想；综合法；空间向量及应用． 【分析】（ 1）根据已知条件即可建立坐标系：以 A 为坐标原点，分别以边 AB ，AD ，AP 所 在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点 P ， A ， B ， C ， D点的坐标，利用向量 与夹角的余弦值为求出 λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面 PCD 所成角的正弦值．【解答】解：以 A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为 x， y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；则： A（0， 0， 0）， B（1， 0， 0），D（ 0， 2，0），P（ 0，0，2）；=λ，可得 C（λ，2，0）．第 20 页（共 23 页）（1）=（λ， 2，﹣2），=（﹣ 1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得= ，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）=（ 2， 2，﹣2），=（ 0， 2，﹣ 2），平面PCD 的法向量=（ x， y，z）．则且，即： x+y﹣ z=0，y﹣ z=0，∴ x=0 ，不妨去 y=z=1 ，平面 PCD 的法向量=（ 0，1，1）．又=（ 1， 0，2）．故 cos = = ．直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为：．26．（ 10 分）（ 2016?南通模拟）设f（n）=（ a+b）n（ n∈ N *，n≥ 2），若 f（ n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（ n）具有性质 P．（1）求证： f （7）具有性质 P；（2）若存在n≤2015，使用f （n）具有性质P，求 n 的最大值．【考点】二项式定理的应用．【专题】综合题；二项式定理．【分析】（ 1）f（ 7）=（ a+b）7，二、三、四项的二项式系数为 7，21，35，依次成等差数列，可得结论；rr﹣1 r+1，整理可得4r（ n﹣ r）=（ n﹣ 2）（n+1），可得（ n﹣ 2）（n+1）（2）由题意， 2C n=C n+C n能被 4 整除，从而n﹣ 2 或 n+1 为偶数时，必须能被 4 整除，结合n≤2015，即可求n 的最大值．【解答】（ 1）证明： f（7）=（ a+b）7，二、三、四项的二项式系数为7， 21，35，依次成等差数列，所以 f（ 7）具有性质P．r r﹣ 1r+1（2）解：由题意， 2C n =C n+C n，整理可得 4r（n﹣ r） =（ n﹣2）（ n+1），∴（ n﹣2）（ n+1）能被 4 整除，第 21 页（共 23 页）∵n﹣ 2、 n+1 一奇一偶，∴n﹣ 2 或 n+1 为偶数时，必须能被 4 整除，∵n≤ 2015∴n 的最大值为2012．第 22 页（共 23 页）参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn ； sxs123；742048 ；whgcn ； caoqz；minqi5 ； qiss；w3239003 ；沂蒙松； changq； zhczcb ；刘长柏；双曲线；刘老师；lcb001 （排名不分先后）菁优网2016 年 11 月 9 日第 23 页（共 23 页）。

2015年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．设,a b R ∈，231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ．2．已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木 的底部周长（单位：cm )，所得数据如图．则在这100株树木 中，底部周长不小于100cm 的有 株．4．设向量(1,)a m =r，(1,2)b m =-r ，且a b ≠r r ，若()a b a -⊥r r r ，则实数m = ．5．如图所示的流程图的运行结果是 ．6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =， 则三棱锥D ABC -的体积为 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=．当n S 取最大值时，n = ．8．已知44ππθ-≤≤，且1cos45θ=，则44cos sin θθ-= ． 9．若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为 ．10．设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1[,1]2-，则实数a 的取值范围为 ．11．已知函数()f x 满足：当[]1,3x ∈时，()ln f x x =，当1[,1)3x ∈时，1()2()f x f x=．若在区间1[,3]3内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足60APB ∠=，则椭圆C 的离心率的取值范围是第5题图第3题图．13．设数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，则满足不等式113n ni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为 ．14．设函数()332x x f x x -=--，则满足12(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan (2)tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；（2）设AD BC ⊥，D 为垂足，若2b =，3c =，求AD AC ⋅u u u r u u u r的值． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点． （1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．17．（本小题满分14分）P B C D G如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O的距离OM =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2α=，cos β=15AO km =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ；（2）求铁路AB 段的长AB ．18．（本小题满分16分）设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x =圆C的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D 与y轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积； （3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．19．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的CB切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性； （3）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：2111k x x <<．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈． （1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列；②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值； （2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．B ．（选修４－２：矩阵与变换）若点(2,1)A 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应变换的作用下得到点(4,5)B ，求矩阵M 的逆矩阵． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C 经过点P ，圆心是直线sin()3πρθ-=C 的极坐标方程． D ．（选修４－５：不等式选讲）设,,a b c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设1*3,2n n n b n N a -=∈+，求证：当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+．23．（本小题满分10分）如图，已知点(0,)F p ，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，M 为平面内的动点，过M作l 的垂线，垂足为N ，且NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是l 上的任意一点，过Q 作轨迹C 的切线，切点为A 、B ． ①求证：A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列；②若(4,)Q p --，20AB =，求p 的值．2015年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. 6；2. [1,)+∞；3. 70；4. 1；5.20；3； 7. 5；； 9. 516； 10. [,]62ππ； 11. 1(,6ln3]e ；【解析】当1[,1)3x ∈时，1(1,3]x∈，由条件得，11()2()2ln 2ln f x f x x x===-，函数()()(0g x f x a x a =->恰有一个零点⇔方程()f x ax =(0)a >有唯一解，在直角坐标系内分别作出()y f x =与y ax =(0)a >的图象，当直线y ax =经过点1(,2ln3)3时，6ln 3a = 6ln 3，当直线y ax =和曲线()ln f x x =相切时，切点为(,1)e ，此时1a e =，由图象可知，当16ln3a e <≤时，函数()y f x =与y ax =(0)a >的图象由唯一的交点．12. ；【解析】在四边形OAPB 中，60APB ∠=，90OAP OBP ∠=∠=，OA OB b ==，2OP b ∴=，由题意得，2b a ≤，即a ≤，化解得c a ≥，又在椭圆中1e <，1e ≤<． 13. {1，2，3}；【解析】由于数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1{}n a 也是等比数列，首项为23，公比223q =．不等式113nni i i i a a ==>∑∑等价于1113nni i i i a a ==>∑∑，即231()1()323231132n n--⋅>--，解之得22()193n<<，n N *∈，n ∴只能取1,2,3．14. (0,1)(2,)+∞；【解析】()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x x f x --'=+-=+-≥->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0f =，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2x >或01x <<．二、解答题15. （1）tan (2)tan b A c b B =-， ∴由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又在ABC ∆中，sin 0B ≠， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-，即sin()2sin cos A B C A +=， 又sin()sin 0A B C +=≠， 1cos 2A ∴=，又0A π<<，3A π∴=；（2） 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，2b =，3c =，3A π=，a ∴11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅32AD =⋅，AD ∴=227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅===.16.（1）底面ABCD 为矩形，BC CD ∴⊥，又PD BC ⊥，,CD PD PCD ⊂平面，PD CD D =， BC ∴⊥平面PCD ， 又BC ABCD ⊂平面， ∴平面ABCD ⊥平面PCD ；（2）连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG ，平面PCA 平面BDG GO =， //PC GO ∴， PG COGA OA∴=，底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO OA =， PG GA ∴=， ∴G 为PA的中点.17. （1）在AOM ∆中，15AO=，AOM β∠=且cos β=OM =由余弦定理得，2222cosAM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=AM ∴=M与站A 的距离AM 为；（2）cos β=，且β为锐角，sin β∴=在AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OMMAOβ=∠,=，sin MAO ∴∠=，4MAO π∴∠=，4ABO πα∴∠=-， tan 2α=，sin α∴=，cos α=，sin sin()4ABOπα∴∠=-=，又A O πα∠=-，sin sin()AOB πα∴∠=-=，在AOB ∆中，15AO =，由正弦定理得，sin sinAB AOAOB ABO=∠∠，即15AB =，AB ∴=AB 段的长AB 为．18. （1）圆O 的方程为222x y b +=，直线y x =O 相切，b =，即1b =，又3e =， ，2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意，可得11((,22M N ， ∴圆D的半径r =AB ∴=， ∴ABD ∆的面积为1122S ==； （3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-， 由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222824(,)1414k kP k k --∴++，则直线2B P 的方程为211221)k y x k +=-+-（， 令0y =，则2(21)21k x k -=+， 即2(21)(,0)21k F k -+，直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--，∴EF 的斜率421212(21)4242121k k k m k k k k -+-==-+-+- ， ∴2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 19. （1）22()()ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， 1()2g x ax b x'∴=++，由题意得(1)120g a b '=++=， 21b a ∴=--；（2）11(21)(1)()2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--'=++=+--=>，①当0a =时，(1)()(0)x g x x x--'=>，当1x >时，()0g x '<，∴函数()g x 在(1,)+∞单调减； 当01x <<时，()0g x '>，∴函数()g x 在(0,1)单调增；②当102a <<时，即112a>，12()(1)2()(0)a x x a g x x x --'=>， ∴函数()g x 在(11,)2a 上单调减；函数()g x 在(12,)a +∞和(0,1)单调增；③当12a =时，即21a =，2(1)()0(0)x g x x x -'=≥>，∴函数()g x 在(0,)+∞单调增；④当12a >时．即112a<，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>， ∴函数()g x 在(1,1)2a单调减区间；函数()g x 在(1,)+∞和(0,12)a单调增；（3）由题设210x x >>，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ①令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则11()1(1)xh x x x x-'=-=>，1x ∴>时，()0h x '<， ∴函数()g x 在(1,)+∞是减函数， 而(1)0h =，1x ∴>时，()(1)0h x h <=210x x >>，211x x ∴>， 222111()ln 10x x x h x x x ∴=-+<，即2211ln 1x xx x <-， ②令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>，1x ∴>时，()0H x '>， ∴()H x 在(1,)+∞是增函数，1x ∴>时，()(1)0H x H >=， 2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<．20.（1）1C =，21n n a S An Bn ∴+=++，①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=，令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，13,22A B ∴==,213122n n a S n n ∴+=++， ①当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即112n n b b -=，又111102b a =-=≠，0n b ≠，112n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ② 数列{}n a 是等差数列，∴设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+，21n n a S An Bn +=++， 1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈ 11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===； （2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+数列{}n a 是等差数列，11a =，∴(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+， 22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，21(1)11111(1)1n n a n n n n ++++==+-++， 1111ni n n =+-∴+， 13311111n i n n n n λλ=∴-≤⇔-≤+-+++，即211n n λ≤+++， *n N ∴∀∈，211n n λ≤+++， 令2()f x x x =+， 22222()1x f x x x -'=-=，当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，min 2(1)31n n ∴++=+， 3λ∴≤．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A ．连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE =(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，ACB ．2415⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,3.a b =⎧⎨=⎩，∴1231M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 解法一：12det()731M ∴==--， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e fe f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31,30,20,2 1.c de f c d e f+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． C ．因为圆心为直线2sin()sin33ππρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)，又圆C 经过点6P π，）， ∴圆的半径1r =，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）D.由,,a b c为正数，根据平均值不等式，得11a b +≥11b c +≥，11a c +≥．将此三式相加，得1112()a b c ++≥+即1111a b c ++≥++．由1abc =1=．所以，111a b c ++≥+= 22.（1）令2n n a c n+=， 则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n nc n n ++++++++++====+++=， 11210c a =+=≠，0n c ∴≠，13n ncc +∴=，∴数列{}n c ，即2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）得123n n a n-+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+， 下面用数学归纳法证明当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+． ①当2n =时，不等式的左边341173412b b =+=+=，右边413555=-=，而73125<，∴2n =时，不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+；当1n k =+时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++- 4111152121221k k k k <-++-++++41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++∴当1n k =+时，不等式也成立． 由①②可得，当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++≤-+．23. （1）设(,)M x y ，则(,)N x p -，(0,)NM y p ∴=+，(,2)NF x p =-，(,)FM x y p =-，(,2)FN x p =-，NM NF FM FN ⋅=⋅，22()2()p y p x p y p ∴+=--，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； 另解：设(,)M x y ，则(,)N x p -，NM NF FM FN ⋅=⋅，()0NF MN MF ∴⋅+=，∴以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MF MN ∴=，y p + ，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； （2）①设0(,)Q x p -，211(,)4x A x p ，222(,)4x B x p，则切线QA 的方程2111(,)42x xy x x p p-=-， 21101()42x xp x x p p∴--=-，22101240x x x p ∴--=， ①同理22202240x x x p ∴--=， ② 方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-=，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. 方法2：由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. ②由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，12021224x x x x x p +=⎧∴⎨⋅=-⎩， (4,)Q p --，1221284x x x x p +=-⎧∴⎨⋅=-⎩， 20AB =，20，20=，20=， 4217160p p ∴-+=，1p ∴=或4p =.。

开始k ←0k > 9k 22k k ←+输出k结束Y N南通市、泰州市、扬州市、淮安市2016届高三第二次调研测试数学Ⅰ注意事项1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

参考公式： 棱锥的体积公式：1=3V Sh 棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 设复数z 满足(12)3i z +⋅=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 .2. 设集合1{1, 0, 1}1, {0}A B a a A B a ⎧⎫=-=-+⋂=⎨⎬⎩⎭，，，则实数a 的值为 .3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 .4. 为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h ）如下表： 使用寿命 [500，700)[700，900)[900，1100)[1100，1300) [1300，1500)只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100 h 的灯泡只数是 .（第3题）5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力. 某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 . 6. 已知函数()log ()(01)a f x x b a a b R =+>≠∈且，的图象如图所示，则a +b 的值是 .7. 设函数sin (0)3y x x πωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 .8. 在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±. 若235 4 7a a a ，，成等差数列，则6a 的值是 . 9. 在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =1，BC =2，BD =3，则CD 长度的所有值为 .10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (-2，0)的直线与圆x 2+y 2=1相切于点T ，与圆22()(3)3x a y -+-=相交于点R ，S ，且PT =RS ，则正数a 的值为 . 11. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[0, )x ∈+∞，满足f (x +2)=f (x ). 若当[0, 2)x ∈时，2()|1|f x x x =--，则函数y =f (x )-1在区间[-2, 4]上的零点个数为 . 12. 如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A到m ，n 的距离分别为1，3. 点B ，C 分别在m ，n 上，||5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值是 .13. 设实数x ，y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 .14. 若存在, R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪-⎩≤≤，则实数t 的取值范围是 . -3-2O xy()log ()a f x xb =+（第6题）ABmnC （第12题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=. （1）求C 的值；（2）若15, 2A AB ==，求△ABC 的周长.16. （本小题满分14分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，BC ，C 1D 1的中点. 求证：（1）AP ∥平面C 1MN ； （2）平面B 1BDD 1⊥平面C 1MN .17. （本小题满分14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m 的围墙. 现有两种方案： 方案① 多边形为直角三角形AEB （∠AEB =90º），如图1所示，其中AE +EB =30 m ； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB >EF ），如图2所示，其中AE =EF =BF =10 m . 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.ABCDD 1A 1B 1C 1P M N（第16题）A EB 图1A EB图2F（第17题）18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22. A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =. （1）若点P 的坐标为(2 22)，，求椭圆的方程； （2）设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP mBC =，直线OA ，OB 的斜率之积为12-，求实数m的值.（第18题）19. （本小题满分16分）设函数()(1), ()3f x x k x k g x x k =++-=-+，其中k 是实数. （1）设k =0，解不等式1()3()2x f x x g x ⋅+⋅≥； （2）若k ≥0，求关于x 的方程()()f x x g x =⋅实根的个数.20. （本小题满分16分）设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和2*1(1)4n n S a n N =+∈，.（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）等比数列{b n }的各项均为正数，2*1n n n b b S n N +∈，≥，且存在整数2k ≥，使得21k k k b b S +=. （i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当2n ≥时，*n b N ∈，求数列{b n }的通项公式.xyCOPA B2016届高三第二次调研测试数学试题1参考答案一、填空题： 1. 【答案】35【解析】因为33(12)3612(12)(12)5i iz i i i --===++-，所以z 的实部为35. 2. 【答案】1【解析】∵{0}A B ⋂=，∴0B ∈，∴10a -=或10a a+=，解得1a =. 经检验当1a =时，符合题意. 3. 【答案】17【解析】当k =0时，循环结果为k =1；继续循环，结果k =3；继续循环，结果k =17. 退出循环，输出k 的值.4. 【答案】1400【解析】使用寿命不低于1100h 指的是使用寿命在[1100, 1300)和[1300，1500)范围之内，故使用寿命不低于1100h 的灯泡数量估计是2535001400100+⨯=. 5. 【答案】25【解析】从5个主题中选择2个主题作答，共有10种结果，其中“立德树人”主题被选中的结果有4种，故“立德树人”主题被选中的概率=42105=. 6. 【答案】92【解析】∵函数f (x )的图象经过点(-3，0)和点(0，-2)，∴有⎩⎨⎧0=log a (-3+b )，-2=log a (0+b )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12，b =4，∴a +b =92.7. 【答案】2【解析】∵0x π<<且仅当12x π=时y 取最大值，∴最大值为1，且2()1232k k z πππωπ+=+∈，解得242()k k z ω=+∈. 又∵仅当12x π=时y 取最大值，∴函数周期满足：32T π>，即322ππω⋅>，即03ω<<，∴2ω=.8. 【答案】149【解析】∵135a a a ，4，7成等差数列，∴315247a a a ⨯=+，即2411187a q a a q =+，解得211,7q =，∵1q ≠±，∴17q =，∴422621()49a a q q ===.9. 【答案】7，49【解析】由题意知四面体ABCD 的体积113332BCD BCD V S AB S ∆∆=⋅==，∴332BCD S ∆=.又1sin 2BCD S BC BD CBD ∆=⋅⋅∠且BC =2，BD =3，∴3sin 2CBD ∠=，∴60CBD ∠=或120， 由余弦定理得2222cos 7CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠=或19，故7CD =或19. 10. 【答案】4【解析】如图，连接OT ，∵OT =1，OP =2，∴∠TPO =30º，∴直线PT 方程为：3(2)3y x =+，即320x y -+=. 又22213PT =-=，且PT =RS ，∴3RS =， 由弦长公式可知，圆心(3)a ，到直线PT 的距离d 为32， 又∵22|332|1(3)a d -⋅+=+-，∴4a =. 11. 【答案】7【解析】由f (x +2)=f (x )知f (x )是以2为周期的周期函数，函数y =f (x )-1的零点个数由y =f (x )与y =1的交点个数确定. 画出函数y =f (x )在区间[-2, 4]上的图象，与直线y =1有7个交点，故函数y =f (x )-1有7个零点.12. 【答案】214【解析】建立如图所示的直角坐标系，xyAOBC其中，A (0，3)，设B (b ，2)，C (c ，0)，则(,1)AB b =-，(,3)AC c =-，由||5AB AC +=知，22()(13)5b c ++--=，化简得2()9b c +=，由2()4b c ab +≥得94ab ≤.∴9213344AB AC bc ⋅=++=≤，当且仅当b =c 时取最大值.xy–3–2–11234–3–2–112345OPTRSx y–2–11234–1123Omny =113. 【答案】426+【解析】令2x y t +=，则12x y t -=，所以111()2x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，则223262642x xy t -=++≥.14. 【答案】2 13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【解析】令cos [1,1]s β=∈-，当0s =时，0t =. 当[1,0)s ∈-时，由22t s s α=+得222t s s α-=，故2222225t s t s t s s s ---≤≤，即存在[1,0)s ∈-，使得33222252s t s s s t s ⎧⎪⎪-⎨+⎪⎪-⎩≥≤成立， 利用导数知识可得32()2s p s s =-为[1,0)-上的单调增函数，所以3min 2223s s ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，3225()2s s q s s +=-为[1,0)-上的单调减函数，所以32max2512s s s ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，从而2,13t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.二、解答题： 15. 【解答】解：（1）因为tan tan tan tan 1A B A B ++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-，因为在斜三角形ABC 中，1tan tan 0A B -≠， …………………………1分所以tan tan 1tan()11tan tan A B A B A B+-+==-，…………………………4分即tan(180)1C -=，亦即tan 1C =-，因为0180C <<，所以135C =.…………6分（2）在△ABC 中，15135A C ==，，则18030B A C =--=. 由正弦定理sin sin sin BC CA AB A B C ==，得2sin15sin30sin135BC CA AB===，…………9分故622sin152sin(4530)2(sin 45cos30cos 45sin 30)2BC -==-=-=，…………12分 2sin301CA ==，所以△ABC 的周长为622622122AB BC CA -++++=++=.……………………14分16. 【解答】证明：（1）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为M ，P 分别为棱AB ，DD 1A 1B 1C 1PC 1D 1的中点，所以AM =PC 1.又AM ∥CD ，PC 1∥CD ，故AM ∥PC 1，所以四边形AMC 1P 为平行四边形. 从而AP ∥C 1M . …………4分又AP ⊄平面1C MN ，1C M ⊂平面1C MN ，所以AP ∥平面1C MN . ……………………6分 （2）连结AC ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .又M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点，故MN ∥AC . 所以MN ⊥BD . ………8分 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ， 所以DD 1⊥MN .……………………10分而DD 1∩DB =D ，DD 1，DE ⊂平面BDD 1B 1，所以MN ⊥平面BDD 1B 1.……12分 又MN ⊂平面C 1MN ，所以平面B 1BDD 1⊥平面C 1MN .…………………14分17. 【解答】解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2.方案① 设AE =x ，则11(30)2S x x =- …………………… 3分21(30)255222x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦≤(当且仅当x =15时，“=”成立). …………………… 5分方案② 设∠BAE =θ，则2100sin (1cos )0 2S πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，，. …………………… 8分由'22100(2cos cos 1)0S θθ=+-=得，1cos 2θ=（cos 1θ=-舍去）. ………………… 10分因为0, 2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=，列表：θ0, 3π⎛⎫⎪⎝⎭3π, 32ππ⎛⎫⎪⎝⎭'2S + 0- 2S↗极大值 ↘所以当3πθ=时，2max ()753S =，……………… 12分因为2557532<，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE =3π.答：方案①，②苗圃的最大面积分别为22255 7532m m ，，建苗圃时用方案②，且∠BAE =3π.……………… 14分18. 【解答】解：（1）因为2OP AO =，则(2, 2)P ，所以21 2A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，.代入椭圆方程，得221112a b +=， ① ………………… 2分又椭圆的离心率为22，所以22212b a -=. ②………………… 4分由①②，得a 2=2，b 2=1，故椭圆的方程为2212xy +=. ………………… 6分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3). 因为2OP AO =，所以P (-2x 1，-2y 1). 因为BP mBC =，所以(-2x 1-x 2，-2y 1-y 2)=m (x 3-x 2，y 3-y 2)，即123212322()2()x x m x x y y m y y --=-⎧⎨--=-⎩，，于是3213211212.m x x x m m m y y y m m -⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩=-，=- ……………… 9分代入椭圆方程，得2221212212121m m x x y y m m m m a b--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 即22222112212122222222224(1)4(1)1x y x y x x y y m m m a b m ab m a b ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ③ ……………… 12分因为A ，B 在椭圆上，所以22221122222211x y x y a b a b+=+=，. ④因为直线OA ，OB 的斜率之积为12-，即121212y y x x ⋅=-，结合②知1212220x x y ya b+=. ⑤ ………… 14分 将④⑤代入③，得2224(1)1m m m -+=，解得52m =.……………… 16分19. 【解答】解：（1）k =0时，()(1) ()3f x x x g x x =+=+，. 由030x x ⎧⎨+⎩，≥≥得0x ≥. ………… 2分此时，原不等式为1(1)(3)2x x x ++≥，即2230x x +-≥，解得32x -≤或1x ≥. 所以原不等式的解集为[1 )+∞，. ………… 5分（2）由方程()()f x x g x =⋅得：(1)3x k x k x x k ++-=-+.①由030x k x k -⎧⎨-+⎩，≥≥得x k ≥，所以0x ≥，10x k -+>.方程①两边平方，整理得222(21)(1)(1)0()k x k x k k x k ----+=≥. ②………… 7分当12k =时，由②得32x =，所以原方程有唯一解. 当12k ≠时，由②得判别式△22(1)(31)k k =+-，i ）13k =时，△=0，方程②有两个相等的根4133x =>，所以原方程有唯一的解.………… 10分ii ）102k <≤且13k ≠时，方程②整理为[(21)(1)](1)0k x k k x k -++--=，解得1(1)12k k x k+=-，21x k =+.由于△>0，所以12x x ≠，其中21x k k =+>，213012k x k k-=-≥，即1x k ≥. 故原方程有两解.………… 14分iii ）12k >时，由ii ）知213012k x k k -=<-，即1x k <，故1x 不是原方程的解. 而21x k k =+>，故原方程有唯一解.综上所述：当12k ≥或13k =时，原方程有唯一解； 当102k <≤且13k ≠时，原方程有两解.………… 16分注：ii ）中，法2：22021012(21)()30k k x k k h k k ∆>⎧⎪-<⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪=-<⎩，，，，故方程②两实根均大于k ，所以原方程有两解.20. 【解答】证明：（1）因为21(1)4n n S a =+，① 所以2111(1) 2.4n n S a n --=+，≥② ①-②，得11()(2)02n n n n a a a a n --+--=，≥，…………………… 2分因为数列{a n }的各项均为正数，所以102n n a a n -+>，≥. 从而122n n a a n --=，≥，所以数列{a n }为等差数列. …………………… 4分（2）（I ）①中，令n =1，得a 1=1，所以a n =2n -1，S n =n 2. 由21(2)k k k b b S k +=≥得，2112k k b q -=， 所以11221n k n n b b q k q ---==，③ 由21n n n b b S +≥得，4224n k k qn -≥，即2n k n q k -⎛⎫ ⎪⎝⎭≥， ④ 当n =k 时，④恒成立. 当n ≥k +1时，④两边取自然对数，整理得：lnln 1121nk q n k n kk k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-≥≥. ⑤ 设ln ()(1)1x f x x x =>-，则2111ln '()(1)x x f x x -+=-， 记()1ln g t t t =-+，01t <<，则1'()0t g t t-=>， 故()g t 为（0，1）上增函数，所以()(1)0g t g <=，从而'()0f x <，故()f x 为(1 +)∞，上减函数，从而ln1nk n k -的最大值为1ln 1k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. ⑤中，ln 1ln 12k q k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，解得211q k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥. …………………… 10分当1n k -≤时，同理有2111q k ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭≤， 所以公比q 的最小值为211k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（整数k ≥2）. …………………… 12分（Ⅱ）依题意，*q N ∈.由（2）知，22111, 11q k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈++⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（整数k ≥2）， 所以2111q k ⎛⎫+> ⎪⎝⎭≥，21141q k ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭≤≤， 从而{2, 3, 4}q ∈，当q =2时，22111211k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≤≤，只能k =3，此时7292n n b -=⋅，不符； 当q =3时，22111311k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≤≤，只能k =2，此时5242n n b -=⋅，不符； 当q =4时，22111411k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≤≤，只能k =2，此时232n n b -=，符合. 综上，232n n b -=. ………………………… 16分。