下载文档原格式
一、概述在数值分析中，求解定积分是一项重要的任务。
传统的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
而Romberg积分法，是一种更加精确的数值积分方法，它通过不断增加区间的细分，逐步提高数值积分的精度。
在本文中，我们将尝试用MATLAB实现Romberg积分法，探索其优势和应用。
二、Romberg积分法原理Romberg积分法的基本原理是通过对梯形法则和辛普森法则进行逐步的细分和修正，以获得更加精确的数值积分结果。
假设我们需要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，那么Romberg积分法的步骤可以概括为以下几点：1. 将区间 [a, b] 均匀分成若干个子区间；2. 计算每个子区间上的梯形规则和辛普森规则的数值积分；3. 利用已知结果进行Richardson外推，修正数值积分的误差；4. 逐步增加子区间的细分，直到达到所需的精度要求。
三、MATLAB实现Romberg积分法我们可以使用MATLAB编程语言来实现Romberg积分法，以下是一个示例代码：function [I, R] = romberg(f, a, b, n)h = (b - a) ./ (2 .^ (0:n-1));R = zeros(n, n);R(1, 1) = (b - a) * (feval(f, a) + feval(f, b)) / 2;for j = 2:nsubtotal = 0;for i = 1:2^(j-2)subtotal = subtotal + feval(f, a + (2*i - 1) * h(j));endR(j, 1) = R(j-1, 1)/2 + h(j) * subtotal;endfor k = 2:nfor j = k:nR(j, k) = (4^(k-1) * R(j, k-1) - R(j-1, k-1)) / (4^(k-1) - 1); endendI = R(n, n);通过以上的MATLAB代码，我们可以轻松地实现Romberg积分法，对给定的函数和区间进行数值积分，并得到精确的积分结果。
数值分析学号：130080402015学生所在学院：测试与光电工程学院学生姓名：张翀任课教师：郑华盛教师所在学院：数信学院基于Matlab的数值积分公式问题张翀，测试与光电工程学院测试计量技术及仪器，130080402015摘要：在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿----莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。
数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。
积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。
本文介绍了数值积分法的几种计算公式，如矩形求积公式、梯形求积公式和辛普森求积公式及相应的MATLAB命令,并给出了用 MATLAB编程求数值积分的实例。
关键词: MA TLAB；数值积分；矩形求积公式；梯形求积公式；辛普森求积公式目录1引言 (1)2数值积分算法介绍 (1)2.1数值求积公式的构造 (1)2.2求积公式的推导 (2)2.3常见的牛顿-科特斯求积公式 (5)2.4复合求积公式 (7)3关于河流横断面积的数值积分问题 (8)4问题的求解过程 (9)5基于MATLAB编程的各种求积公式对问题的求解 (9)6总结 (13)参考文献 (14)附录 (15)1 引言实际问题当中常常需要计算积分。
有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。
在一元微积分学中,对于积分 ⎰=badx x f I)(，只要找到被积函数f （x ）原函数为F( x) ,求f(x)在该区间上的定积分便可用牛顿 - 莱布尼兹公式求解,即⎰-=baa Fb F dx x f )()()(。
用牛顿 - 莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用 ,但它并不能解决定积分计算的所有问题。
在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿 - 莱布尼兹公式求解.其可能出现的情况有:(1) 某些被积函数f(x),其原函数无法用初等函数表示 ,如⎰dx e x 2， dx xx⎰sin 等。
牛顿-柯特斯公式是数值分析中常用的积分计算方法，特别适用于对函数在一定区间上的定积分进行近似计算。
在MATLAB中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式来进行积分计算，从而获得函数在给定区间上的近似积分值。
让我们来理解一下牛顿-柯特斯公式的基本原理。
牛顿-柯特斯公式的核心思想是利用一系列的节点和相应的权重来逼近被积函数，从而得到积分的近似值。
在MATLAB中，我们可以通过内置的函数或自定义函数来实现牛顿-柯特斯公式的计算。
在使用MATLAB计算积分时，我们首先需要确定被积函数的表达式以及积分的区间。
我们可以选择合适的牛顿-柯特斯公式来进行计算。
MATLAB提供了多种内置的积分计算函数，例如quad和integral等，它们可以方便地实现对定积分的计算。
除了使用内置函数，我们还可以编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序。
这样可以更灵活地控制节点和权重的选择，从而得到更精确的积分近似值。
编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序可以加深对该方法的理解，并且在特定问题上可能获得更好的计算结果。
在实际应用中，牛顿-柯特斯公式可以广泛用于工程、科学和数学等领域。
在信号处理中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对信号的频谱进行积分近似计算；在物理学中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对连续介质的密度分布进行积分近似计算。
牛顿-柯特斯公式的灵活性和高效性使得它成为了数值分析中不可或缺的工具。
回顾本文，我们首先介绍了牛顿-柯特斯公式的基本原理，然后讨论了在MATLAB中如何利用内置函数或自定义函数来实现积分的计算。
我们还探讨了牛顿-柯特斯公式在实际应用中的广泛性和重要性。
通过本文的阐述，我们希望读者能够更深入地理解牛顿-柯特斯公式的计算方法，并且能够灵活运用于自己的问题当中。
在个人观点和理解方面，我认为牛顿-柯特斯公式作为一种数值积分计算方法，具有较高的精度和灵活性，能够有效地解决实际问题中的积分计算需求。
在MATLAB中，利用牛顿-柯特斯公式进行积分计算不仅简单方便，而且还能获得较为准确的结果。
第3章 MATLAB 数值运算教学提示：每当难以对一个函数进行积分或者微分以确定一些特殊的值时，可以借助计算机在数值上近似所需的结果，从而生成其他方法无法求解的问题的近似解。
这在计算机科学和数学领域，称为数值分析。
本章涉及的数值分析的主要内容有插值与多项式拟合、数值微积分、线性方程组的数值求解、微分方程的求解等，掌握这些主要内容及相应的基本算法有助于分析、理解、改进甚至构造新的数值算法。
教学要求：本章主要是让学生掌握数值分析中多项式插值和拟合、牛顿-科茨系列数值求积公式、3种迭代方法求解线性方程组、解常微分方程的欧拉法和龙格-库塔法等具体的数值算法，并要求这些数值算法能在MATLAB 中实现。
3.1 多 项 式在工程及科学分析上，多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数。
之所以采用多项式，是因为它很容易计算，多项式运算是数学中最基本的运算之一。
在高等数学中，多项式一般可表示为以下形式：120121()n n n n n f x a x a x a x a x a −−−=+++++…。
当x 是矩阵形式时，代表矩阵多项式，矩阵多项式是矩阵分析的一个重要组成部分,也是控制论和系统工程的一个重要工具。
3.1.1 多项式的表达和创建在MATLAB 中，多项式表示成向量的形式，它的系数是按降序排列的。
只需将按降幂次序的多项式的每个系数填入向量中，就可以在MATLAB 中建立一个多项式。
例如，多项式43231529s s s s +−−+在MATLAB 中，按下面方式组成一个向量x = [1 3 -15 -2 9]MATLAB 会将长度为n +1的向量解释成一个n 阶多项式。
因此，若多项式某些项系数为零，则必须在向量中相应位置补零。
例如多项式41s +在MATLAB 环境下表示为y = [1 0 0 0 1]3.1.2 多项式的四则运算多项式的四则运算包括多项式的加、减、乘、除运算。
下面以对两个同阶次多项式MATLAB 基础及其应用教程·66··66·32()234a x x x x =+++，32()4916b x x x x =+++做加减乘除运算为例，说明多项式的四则运算过程。
数值积分算法与MATLAB实现论文编号：审定成绩：毕业设计（论文）设计（论文）题目：数值积分算法与MATLAB实现学院名称：数理学院学生姓名：专业：数学与应用数学班级：学号：指导教师：答辩组负责人：填表时间：年月摘要在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。
数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。
积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。
本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。
本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。
除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。
【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件ABSTRACTWhen the solution of the definite integral of some function values，because the original function is very complex and difficult to find the elementary function expression, the integral is difficult to accurately calculate, only managed to find the approximate value, and the case is small that allows to direct interface with the Newton - Leibniz formula to calculate the definite integral. Numerical integration is an effective method to solve such problems. The numerical integration is an important branch of numerical analysis; therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail some important numerical integration methods.This paper has introduced detail the Newton - Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss - Legendre quadrature formula. In addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the computer, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and comparison to various quadrature formulas calculation error.【Key words】Numerical integration Newton-Cotes quadrature formulaHigh-precisionquadrature formula Matlab software目录前言 (1)第一章牛顿-科特斯求积公式 (2)第一节数值求积公式的构造 (2)第二节复化求积公式 (9)第三节本章小结 (12)第二章高精度数值积分算法 (13)第一节梯形法的递推 (13)第二节龙贝格求积公式 (14)第三节高斯求积公式 (17)第四节高斯-勒让德求积公式 (19)第五节复化两点高斯-勒让德求积公式 (22)第六节本章小结 (23)第三章各种求积公式的MATLAB编程实现与应用 (24)第一节几个低次牛顿-科特斯求积公式的MATLAB实现 (24)第二节复化求积公式的MATLAB实现 (28)第三节龙贝格求积公式的MATLAB实现 (33)第三节高斯-勒让德求积公式的MATLAB实现 (34)第五节各种求积算法的分析比较 (36)第六节本章小结 (38)结论 (39)致谢 (40)参考文献 (41)附录 (43)一、英文原文 (43)二、英文翻译 (52)前 言对于定积分()ba f x dx ⎰，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式()()()baI f x dx F b F a ==-⎰可以计算定积分的值，但在很多情况下()f x 的原函数不易求出或非常复杂。
用matlab求数值积分的方法
数值积分是一种求解定积分近似值的方法。
在实际应用中，很多复杂函数难以通过解析方法求得定积分，因此需要借助数值积分方法来求解。
Matlab作为一种高效的数值计算软件，提供了多种数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、高斯积分法等。
下面分别介绍这些方法的具体实现。
梯形法：将积分区间等分成若干个小区间，每个小区间内的积分近似用其两端点的函数值的平均值。
最终将所有小区间的积分结果相加即为整个积分的近似值。
辛普森法：同样将积分区间等分成若干个小区间，每三个小区间内的积分近似用一个二次函数来拟合。
最终将所有小区间的积分结果相加即为整个积分的近似值。
高斯积分法：通过将积分区间变换为[-1,1]区间上的积分，利用预先计算好的高斯积分点和权重，将原函数在[-1,1]区间上积分近似为高斯点的函数值和权重之积的加权和。
以上就是Matlab中求解数值积分的三种常用方法。
不同方法在精度和计算速度上也有所差别，具体使用时可以根据实际需求进行选择。
- 1 -。
数值分析MATLAB编程——数值积分法
1、调用函数--f.M
function y=f(x)
%------------------------------------------------------------函数1 y=sqrt(4-sin(x)*sin(x));
%------------------------------------------------------------函数2 %y=sin(x)/x;
%if x==0
% y=0;
%end
%------------------------------------------------------------函数3 %y=exp(x)/(4+x*x);
%------------------------------------------------------------函数4 %y=(log(1+x))/(1+x*x);
2、复合梯形公式--tixing.M
%复合梯形公式
clear all
a=input('请输入积分下限:');
b=input('请输入积分上限:');
n=input('区间n等分：');
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
T=0;
for k=1:n;
T=0.5*h*(f(x(k))+f(x(k+1)))+T;
end
T=vpa(T,8)
3、复合Simpson公式--simpson.M
%复合Simpson公式
clear all
a=input('请输入积分下限:');
b=input('请输入积分上限:');
n=input('区间n等分：');
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
S=0;
for k=1:n;
xx=(x(k)+x(k+1))/2;
S=(1/6)*h*(f(x(k))+4*f(xx)+f(x(k+1)))+S;
end
S=vpa(S,8)
4、Romberg算法--romberg.M
%Romberg算法
clear all
a=input('请输入积分下限:');
b=input('请输入积分上限:');
n=input('区间n等分：');
num=0:n;
R=[num'];
h=b-a;
T=h*(f(a)+f(b))/2;
t(1)=T;
for i=2:n+1;
u=h/2;
H=0;
x=a+u;
while x<b;
H=H+f(x);
x=x+h;
end
t(i)=(T+h*H)/2;
T=t(i);
h=u;
end
R=[R,t'];
for i=2:n+1
for j=n+1:-1:1
if j>=i
t(j)=(4^(i-1)*t(j)-t(j-1))/(4^(i-1)-1);
else
t(j)=0;
end
end
R=[R,t'];
end
R=vpa(R,8)
R(n,n)
5、变步长算法（以复化梯形公式为例）--tixing2.M
%复合梯形公式，确定最佳步长
format long
clear all
a=input('请输入积分下限:');
b=input('请输入积分上限:');
eps=input('请输入误差：');
k=1;
T1=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;
T2=(T1+(b-a)*(f((a+b)/2)))/2; while abs((T1-T2)/3)>=eps
M=0;
n=2^k;
h=(b-a)/n;
T1=T2;
x=a:h:b;
for i=1:n;
xx=(x(i)+x(i+1))/2;
M=M+f(xx);
end
T2=(T1+h*M)/2;
k=k+1;
end
T=vpa(T2,8)
n=2^k。
