Matlab第4章 解数值计算

m a t l a b入门经典教程--第四章数值计算-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第四章数值计算4.1引言本章将花较大的篇幅讨论若干常见数值计算问题：线性分析、一元和多元函数分析、微积分、数据分析、以及常微分方程（初值和边值问题）求解等。

但与一般数值计算教科书不同，本章的讨论重点是：如何利用现有的世界顶级数值计算资源MATLAB。

至于数学描述，本章将遵循“最低限度自封闭”的原则处理，以最简明的方式阐述理论数学、数值数学和MATLAB计算指令之间的内在联系及区别。

对于那些熟悉其他高级语言（如FORTRAN，Pascal，C++）的读者来说，通过本章，MATLAB卓越的数组处理能力、浩瀚而灵活的M函数指令、丰富而友善的图形显示指令将使他们体验到解题视野的豁然开朗，感受到摆脱烦琐编程后的眉眼舒展。

对于那些经过大学基本数学教程的读者来说，通过本章，MATLAB精良完善的计算指令，自然易读的程序将使他们感悟“教程”数学的基础地位和局限性，看到从“理想化”简单算例通向科学研究和工程设计实际问题的一条途径。

对于那些熟悉MATLAB基本指令的读者来说，通过本章，围绕基本数值问题展开的内容将使他们体会到各别指令的运用场合和内在关系，获得综合运用不同指令解决具体问题的思路和借鉴。

由于MATLAB的基本运算单元是数组，所以本章内容将从矩阵分析、线性代数的数值计算开始。

然后再介绍函数零点、极值的求取，数值微积分，数理统计和分析，拟合和插值，Fourier分析，和一般常微分方程初值、边值问题。

本章的最后讨论稀疏矩阵的处理，因为这只有在大型问题中，才须特别处理。

从总体上讲，本章各节之间没有依从关系，即读者没有必要从头到尾系统阅读本章内容。

读者完全可以根据需要阅读有关节次。

除特别说明外，每节中的例题指令是独立完整的，因此读者可以很容易地在自己机器上实践。

MATLAB从版升级到版后，本章内容的变化如下：MATLAB从版起，其矩阵和特征值计算指令不再以LINPACK和EISPACK库为基础，而建筑在计算速度更快、运行更可靠的LAPACK和ARPACK程序库的新基础上。

实验四 MATLAB数值计算与符号计算一、实验目的1.掌握数据插值和曲线拟合的方法2.掌握求数值导数和数值积分的方法3.掌握代数方程数值求解的方法4.掌握常微分方程数值求解的方法5.掌握求解优化问题的方法6.掌握求符号极限、导数和积分的方法7.掌握代数方程符号求解的方法8.掌握常微分方程符号求解的方法二、实验原理1．数据插值a) 一维数据插值 Y1=interp1(X,Y,X1,’method’)b) 二维数据插值 Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,’method’)2．曲线拟合[P,S]=polyfit(X,Y,m)3．符号对象的建立（1）符号量名=sym(符号字符串)：建立单个的符号变量或常量；（2）syms arg1 arg2,…,argn：建立n个符号变量或常量。

4．基本符号运算（1）基本四则运算：+，-，*，\，^（2）分子与分母的提取：[n,d]=numden(s)（3）因式分解与展开：factor(s),expand(s)（4）化简：simplify, simple(s)5．符号函数及其应用（1）求极限：limit(f,x,a)（2）求导数：diff(f,x,a);（3）求积分：int(f,v)三、实验内容1．按下表用3次样条方法插值计算0～900范围内整数点的正弦值和0～750范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值，并将两种计算结果进行比较。

x2=0:75;y1=sin(pi.*x1./180);y2=tan(pi.*x2./180);;a=interp1(x1,y1,45,'cublic')b=interp1(x1,y1,45,'cublic')p1=polyfit(x1,y1,5)p2=polyfit(x2,y2,5)c1=polyval(p1,x1);c2=polyval(p2,x2);subplot(2,1,1);plot(x1,c1,':o',x1,y1,'r');subplot(2,1,2);plot(x2,c2,':o',x2,y2,'r');10203040506070802．（1）求函数33()sin cos f x x x =+在点,,,6432x ππππ=的数值导数。

第4章数值运算习题 4 及解答1 根据题给的模拟实际测量数据的一组t和)(t y试用数值差分diff或数值梯度gradient指令计算)(t y'，然后把)(t y和)(t y'曲线绘制在同一张图上，观察数值求导的后果。

（模拟数据从prob_data401.mat获得）〖目的〗●强调：要非常慎用数值导数计算。

●练习mat数据文件中数据的获取。

●实验数据求导的后果●把两条曲线绘制在同一图上的一种方法。

〖解答〗（1）从数据文件获得数据的指令假如prob_data401.mat文件在当前目录或搜索路径上clearload prob_data401.mat（2）用diff求导的指令dt=t(2)-t(1);yc=diff(y)/dt; %注意yc的长度将比y短1plot(t,y,'b',t(2:end),yc,'r')（3）用gradent 求导的指令（图形与上相似）dt=t(2)-t(1);yc=gradient(y)/dt;plot(t,y,'b',t,yc,'r')grid on〖说明〗● 不到万不得已，不要进行数值求导。

● 假若一定要计算数值导数，自变量增量dt 要取得比原有数据相对误差高1、2个量级以上。

● 求导会使数据中原有的噪声放大。

2 采用数值计算方法，画出dt tt x y x ⎰=0sin )(在]10 ,0[区间曲线，并计算)5.4(y 。

〖提示〗● 指定区间内的积分函数可用cumtrapz 指令给出。

● )5.4(y 在计算要求不太高的地方可用find 指令算得。

〖目的〗● 指定区间内的积分函数的数值计算法和cumtrapz 指令。

● find 指令的应用。

〖解答〗dt=1e-4;t=0:dt:10;t=t+(t==0)*eps;f=sin(t)./t;s=cumtrapz(f)*dt;plot(t,s,'LineWidth',3)ii=find(t==4.5);s45=s(ii)s45 =1.65413 求函数x ex f 3sin )(=的数值积分⎰=π0 )(dx x f s ，并请采用符号计算尝试复算。

MATLAB数值计算(读书日记及程序编写)第四章方程求根 (2)第四章 方程求根#二分法 求2的值转化成方程02-2=x最慢的方法是取初值1001=x 02-21>x ,取502=x这样得到也可以x0=a, x1=x0+h, 进行扫描，若f(x0)*f(x1)<0, 则扫描成功，有根区间为[x0,x1],否则继续扫描，如果出现x1>b ，表面扫描失败，再缩小步长h, 再次扫描。

>> format long %让显示的值为M=2,a=1,b=2,k=0;while b-a>epsx=(a+b)/2;if x^2>Mb=xelsea=xendk=k+1end执行后得到的值为：k =50b =1.414213562373095k =51b =1.414213562373095k =52最后得到的值就是Matlab 能表达的最接近的值。

#牛顿法求解f(x)=0的牛顿法是在f(x)画一条切线，确定切线与x 轴的焦点，通过迭代 )(x f )f(x -n n 1'=+n n x x 对于平方根的问题，牛顿法简洁有效，换成f(x)=x^2-M, )(x f n '=2x 这样⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+n n n n x M x M x x 212x -x -n 2n 1 该算法就是反复求x 和M/x 的平均值，Matlab 的程序为：format long %让显示的值为xprev=2; %取的不等于初值x 的一个值，让判断能继续x=100; %取的初值为3while abs(x-xprev)>eps*abs(x)xprev=x;x=0.5*(x+2/x)endx = 1.833333333333333x = 1.462121212121212x = 1.414998429894803x = 1.414213780047198x = 1.414213562373112x = 1.414213562373095x = 1.414213562373095可见6步很快就收敛然而，若f(x)不具有连续的、有界的一阶、二阶导数，牛顿法的收敛将变得很慢。

数值分析第四章外推法计算数值微分MATLAB计算实验报告数值分析MATLAB计算实验报告姓名班级学号⼀、实验名称⽤MATLAB编程实现数值微分的外推法计算。

⼆、实验⽬的1．掌握数值微分和定义和外推法的计算过程；2．了解数值微分外推法的计算⽅法并且编写出与其算法对应的MATLAB程序代码；3．体会利⽤MATLAB软件进⾏数值计算。

三、实验内容⽤外推法计算f(x)=x2e?x在x=0.5的导数。

四、算法描述1.命名函数。

2.如果输⼊未知数少于四个，默认精度10^-33.描述T表矩阵坐标4.依次赋值计算 T表第⼀列5.根据数值微分计算公式求出T表矩阵的值6.若达到精度则运算结束，若未达到循环计算7.输出T表，得出的值就是导数值五、实验结果六、实验结果分析此实验通过MATLAB实现外推法数值微分计算，得到相应的数据，⽅便对数据进⾏分析。

从结果可以看出，当步长h=0.025时⽤中点微分公式只有3位有效数字，外推⼀次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字。

七、附录（程序）function g=waituifa(fname,x,h,e)if nargin<4,e=1e-3;end;i=1;j=1;G(1,1)=(feval(fname,x+h)-feval(fname,x-h))/(2*h);G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2)-feval(fname,x-h/2))/h;G(i+1,j+1)=(4^j*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);while abs(G(i+1,i+1)-G(i+1,i))>ei=i+1;G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2^i)-feval(fname,x-h/2^i))/(2*h/2^i); for j=1:iG(i+1,j+1)=((4^j)*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);endendGg=G(i+1,i+1);。

第4章数值运算习题 4 及解答1 根据题给的模拟实际测量数据的一组t和)(t y试用数值差分diff或数值梯度gradient指令计算)(t y'，然后把)(t y和)(t y'曲线绘制在同一张图上，观察数值求导的后果。

（模拟数据从prob_data401.mat 获得）〖目的〗●强调：要非常慎用数值导数计算。

●练习mat数据文件中数据的获取。

●实验数据求导的后果●把两条曲线绘制在同一图上的一种方法。

〖解答〗（1）从数据文件获得数据的指令假如prob_data401.mat文件在当前目录或搜索路径上clearload prob_data401.mat（2）用diff求导的指令dt=t(2)-t(1);yc=diff(y)/dt; %注意yc的长度将比y短1plot(t,y,'b',t(2:end),yc,'r')grid on（3）用gradent 求导的指令（图形与上相似）dt=t(2)-t(1);yc=gradient(y)/dt;plot(t,y,'b',t,yc,'r')grid on〖说明〗● 不到万不得已，不要进行数值求导。

● 假若一定要计算数值导数，自变量增量dt 要取得比原有数据相对误差高1、2个量级以上。

● 求导会使数据中原有的噪声放大。

2 采用数值计算方法，画出dt tt x y x ⎰=0sin )(在]10 ,0[区间曲线，并计算)5.4(y 。

〖提示〗● 指定区间内的积分函数可用cumtrapz 指令给出。

● )5.4(y 在计算要求不太高的地方可用find 指令算得。

〖目的〗● 指定区间内的积分函数的数值计算法和cumtrapz 指令。

● find 指令的应用。

〖解答〗dt=1e-4;t=0:dt:10;t=t+(t==0)*eps;f=sin(t)./t;s=cumtrapz(f)*dt;plot(t,s,'LineWidth',3)ii=find(t==4.5);s45=s(ii)s45 =1.65413 求函数x ex f 3sin )(=的数值积分⎰=π0 )(dx x f s ，并请采用符号计算尝试复算。

第四章MATLAB 的数值计算功能Chapter 4: Numerical computation of MATLAB数值计算是MATLAB最基本、最重要的功能，是MATLAB最具代表性的特点。

MATLAB在数值计算过程中以数组和矩阵为基础。

数组是MATLAB运算中的重要数据组织形式。

前面章节对数组、矩阵的特征及其创建与基本运算规则等相关知识已作了较详尽的介绍，本章重点介绍常用的数值计算方法。

一、多项式(Polynomial)`多项式在众多学科的计算中具有重要的作用，许多方程和定理都是多项式的形式。

MATLAB提供了标准多项式运算的函数，如多项式的求根、求值和微分，还提供了一些用于更高级运算的函数，如曲线拟合和多项式展开等。

1．多项式的表达与创建(Expression and Creating of polynomial)(1) 多项式的表达（expression of polynomial）_Matlab用行矢量表达多项式系数(Coefficient)和根，系数矢量中各元素按变量的降幂顺序排列，如多项式为：P(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2…a n-1x+a n则其系数矢量(V ector of coefficient)为：P=[a0 a1… a n-1 a n]如将根矢量(V ector of root)表示为：ar=[ ar1 ar2… ar n]则根矢量与系数矢量之间关系为：（x-ar1）(x- ar2) … (x- ar n)= a0x n+a1x n-1+a2x n-2…a n-1x+a n(2)多项式的创建（polynomial creating）a,系数矢量的直接输入法利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量，就可方便的建立符号形式的多项式。

例1：创建给定的多项式x3-4x2+3x+2poly2sym([1 -4 3 2])ans =x^3-4*x^2+3*x+2也可以用poly2str.求一个方阵对应的符号形式的多项式。

第四章MATLAB的数值计算功能MATLAB是一种非常强大的数值计算环境，具有广泛的数值计算功能。

在本文中，我们将讨论MATLAB的一些常见数值计算功能，包括数值求解、数值积分和数值优化等。

首先，MATLAB可以进行数值求解。

数值求解是指通过数值方法来找到方程的根或函数的极值。

MATLAB提供了多种数值求解方法，包括牛顿法、割线法、二分法等。

用户可以根据具体的问题选择适当的数值求解方法，并使用MATLAB的相关函数进行求解。

例如，可以使用fzero函数来求解非线性方程的根，使用fsolve函数来求解非线性方程组的根。

其次，MATLAB还可以进行数值积分。

数值积分是指通过数值方法来计算函数的定积分。

MATLAB提供了多种数值积分方法，包括梯形法则、辛普森法则、高斯积分法等。

用户可以使用MATLAB的相关函数进行数值积分计算。

例如，可以使用trapz函数来进行梯形法则积分计算，使用quad函数来进行高斯积分法的计算。

此外，MATLAB还具有数值优化功能。

数值优化是指通过数值方法来寻找函数的最大值或最小值。

MATLAB提供了多种数值优化方法，包括梯度法、牛顿法、遗传算法等。

用户可以使用MATLAB的相关函数进行数值优化计算。

例如，可以使用fminbnd函数来进行单变量函数的最小值优化，使用fmincon函数来进行多变量函数的约束优化。

除了以上功能，MATLAB还具有其他一些重要的数值计算功能。

例如，MATLAB提供了矩阵计算、代数运算、数值微分、常微分方程求解等功能。

用户可以使用MATLAB的矩阵运算符进行矩阵计算，使用MATLAB的代数运算函数进行代数运算，使用MATLAB的diff函数进行数值微分计算，使用MATLAB的ode45函数进行常微分方程数值求解。

总而言之，MATLAB是一种功能强大的数值计算环境，具有广泛的数值计算功能。

无论是数值求解、数值积分还是数值优化等，MATLAB都提供了多种数值计算方法和相关函数，方便用户进行数值计算工作。

matlab解方程数值解一、前言MATLAB是一款强大的数学软件，可以用于解决各种数学问题，包括解方程。

在本文中，我们将详细介绍如何使用MATLAB进行方程的数值解。

二、MATLAB中的方程求解函数MATLAB中有多种函数可以用于求解方程，例如fzero、fsolve和vpasolve等。

这些函数的使用方法略有不同，但都可以用于求解方程。

1. fzero函数fzero函数是用于寻找单个变量非线性函数的根。

该函数需要输入一个函数句柄和一个初始猜测值，并返回根的估计值。

例如，要求解方程x^2-2=0，在MATLAB中可以使用以下代码：```f = @(x) x^2 - 2;x0 = 1;x = fzero(f,x0);```其中，@符号表示创建一个匿名函数句柄f，x0为初始猜测值，x为返回的根的估计值。

2. fsolve函数fsolve函数是用于求解多个非线性方程组的根。

该函数需要输入一个包含多个非线性方程的匿名函数句柄和一个初始猜测向量，并返回根向量。

例如，要求解以下非线性方程组：```x^2 + y^2 - 4 = 0exp(x) + y - 1 = 0```在MATLAB中可以使用以下代码：```f = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 4; exp(x(1)) + x(2) - 1];x0 = [1;1];x = fsolve(f,x0);```其中，f为一个包含两个非线性方程的匿名函数句柄，x0为初始猜测向量，x为返回的根向量。

3. vpasolve函数vpasolve函数是用于求解符号方程的数值解。

该函数需要输入一个符号方程和一个变量，并返回该变量的数值解。

例如，要求解方程sin(x) + x^2 = 0，在MATLAB中可以使用以下代码：```syms xeqn = sin(x) + x^2 == 0;sol = vpasolve(eqn,x);```其中，syms关键字表示将变量x声明为符号变量，eqn为符号方程，sol为返回的数值解。

matlab 数值解Matlab 数值解Matlab 是一种强大的数学软件，它包含了很多数学工具箱，可以用于数值分析和求解数学问题。

在本文中，我们将介绍Matlab 中的数值解方法，包括数值积分、数值微分、非线性方程求解和常微分方程的数值解法。

数值积分数值积分是一种数学方法，用于求解函数的定积分。

在Matlab 中，可以使用 quad 和 quadl 函数进行数值积分。

其中，quad 函数用于计算一般积分，而 quadl 函数用于计算不定积分。

数值微分数值微分是一种数学方法，用于计算函数的导数。

在Matlab 中，可以使用diff 和gradient 函数进行数值微分。

其中，diff 函数用于计算一维函数的导数，而 gradient 函数用于计算多维函数的梯度。

非线性方程求解非线性方程是一种形式为 f(x)=0 的方程，其中 f(x) 是一个非线性函数。

在 Matlab 中，可以使用 fzero 和 fsolve 函数进行非线性方程求解。

其中，fzero 函数用于求解单变量非线性方程，而fsolve 函数用于求解多变量非线性方程。

常微分方程的数值解法常微分方程是一种形式为y'=f(t,y) 的方程，其中y 是未知函数，t 是自变量，f(t,y) 是已知函数。

在Matlab 中，可以使用ode45 和ode23 函数进行常微分方程的数值解法。

其中，ode45 函数是一种常用的数值解法，可以求解大部分常微分方程，而 ode23 函数则是一种高效的数值解法，适用于求解简单的常微分方程。

总结在本文中，我们介绍了Matlab 中的数值解方法，包括数值积分、数值微分、非线性方程求解和常微分方程的数值解法。

这些方法可以帮助我们快速、准确地求解数学问题，提高数学建模的效率和精度。

MATLAB是一种用于数学计算、工程和科学应用程序开发的高级技术计算语言和交互式环境。

它被广泛应用于各种领域，尤其在工程和科学领域中被用于解决复杂的数学问题。

微分方程是许多工程和科学问题的基本数学描述，求解微分方程的数值解和解析解是MATLAB算法的一个重要应用。

1. 求解微分方程数值解在MATLAB中，可以使用各种数值方法来求解微分方程的数值解。

其中，常见的方法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。

这些数值方法可以通过编写MATLAB脚本来实现，从而得到微分方程的近似数值解。

以常微分方程为例，可以使用ode45函数来求解微分方程的数值解。

该函数是MATLAB中用于求解常微分方程初值问题的快速、鲁棒的数值方法，可以有效地得到微分方程的数值解。

2. 求解微分方程解析解除了求解微分方程的数值解外，MATLAB还可以用于求解微分方程的解析解。

对于一些特定类型的微分方程，可以使用符号计算工具箱中的函数来求解微分方程的解析解。

通过符号计算工具箱，可以对微分方程进行符号化处理，从而得到微分方程的解析解。

这对于研究微分方程的性质和特点非常有帮助，也有助于理论分析和验证数值解的准确性。

3. MATLAB算法应用举例在实际工程和科学应用中，MATLAB算法求解微分方程问题非常常见。

在控制系统设计中，经常需要对系统的动态特性进行分析和设计，这通常涉及到微分方程的建模和求解。

通过MATLAB算法，可以对系统的微分方程进行数值求解，从而得到系统的响应曲线和动态特性。

另外，在物理学、生物学、经济学等领域的建模和仿真中，也经常需要用到MATLAB算法来求解微分方程问题。

4. MATLAB算法优势相比于其他数学软件和编程语言，MATLAB在求解微分方程问题上具有明显的优势。

MATLAB提供了丰富的数值方法和工具，能够方便地对各种微分方程进行数值求解。

MATLAB具有直观的交互式界面和强大的绘图功能，能够直观地展示微分方程的数值解和解析解，有利于分析和理解问题。