山东省沂水县高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.1直线与平面平行的判定学案含解析

2．2.4 平面与平面平行的性质学习目标 1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．知识点平面与平面平行的性质观察长方体ABCD­A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的．思考2 若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？答案不一定，也可能异面．思考3 过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行.类型一平面与平面平行的性质定理的应用例1 平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS. 解有两种情况：S位于α、β之间，和S位于α、β的同侧．(1)当S位于α、β之间时，如图，连接AC，BD，AB∩CD＝S.设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD .因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点，所以AC ∥BD ，所以△ACS ∽△BSD ，所以AS SB ＝CS SD. 设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16.当S 位于α，β之间时，如上解答．(2)当S 位于α，β同侧时，如图，AB ∩CD ＝S ，设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD . 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SC SC ＋CD ＝SASB， 即SC SC ＋34＝89， 所以SC ＝272.综上所述，SC ＝16或272.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练1 如图所示，平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α，β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在平面α和平面β之间，若AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．答案439解析 AA ′，BB ′相交于O ，所以AA ′，BB ′确定的平面与平面α，平面β的交线AB ，A ′B ′，有AB ∥A ′B ′，且OA OA ′＝AB A ′B ′＝32，同理可得OA OA ′＝AC A ′C ′＝32，OA OA ′＝BC B ′C ′＝32，所以△ABC ，△A ′B ′C ′面积的比为9∶4，又△ABC 的面积为3， 所以△A ′B ′C ′的面积为439.类型二 平行关系的相互转化例2 已知，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β，点E 、F 分别在线段AB 、CD 上，且AE ∶EB ＝CF ∶FD .求证：EF ∥β，EF ∥α.证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时，如图，由α∥β，α∩平面ABDC ＝AC ，β∩平面ABDC ＝BD ，∴AC ∥BD ，∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β，BD ⊂β，∴EF ∥β. ②当AB 与CD 异面时，如图，设平面ACD ∩β＝l ，在l 上取一点H ， 使DH ＝AC .∵α∥β，α∩平面ACDH ＝AC ， ∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形． 在AH 上取一点G ， 使AG ∶GH ＝CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.综上①②知，EF∥β.∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示：解题时，往往通过构造辅助平面将面面平行、线面平行转化为线线平行．跟踪训练2 如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.证明因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以E E1∥平面FCC1.1．已知平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，下面四种情形： ①a ∥b ；②a ⊥b ；③a 与b 异面；④a 与b 相交．其中可能出现的情形有( ) A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 答案 C解析 因为平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β， 所以直线a 与直线b 无公共点． 当直线a 与直线b 共面时，a ∥b ； 当直线a 与直线b 异面时，a 与b 所成的角大小可以是90°.综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形．2.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________．答案 平行四边形解析 由面面平行的性质定理可得．3．过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________． 答案 平行解析 因平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ∩平面A 1C 1B ＝l ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1C 1B ＝A 1C 1，所以l ∥A 1C 1(面面平行的性质定理)．4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .证明 过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ， 则B 1E B 1A ＝B 1GB 1B.∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C1FC1B＝B1GB1B.∴FG∥B1C1∥BC，又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF⊂平面EFG，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.1．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图一、选择题1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定答案 A解析两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a、b平行．2．有四个命题：①若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β；②c为直线，α，β为平面，若c∥α，c∥β，则α∥β；③若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∩b＝∅；④若a⊂α，α∥β，则a∥β.其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 ①②中的α，β可能平行，也可能相交，③④正确．故选C.3.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5答案 B解析 ∵面α∥面ABC ，面PAB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ， ∴AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝(A ′B ′AB )2＝(PA ′PA )2＝425.4．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③答案 C解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面答案 D解析如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.则CE∥AA′，∴CE∥α.又C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．6．下列命题中，错误的是( )A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确．对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面．二、填空题7．给出四种说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交．③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．答案①②③解析①正确，因平面α与γ没有公共点．②正确．若直线a与平面β平行或a⊂β，则由平面α∥平面β知a⊂α或a与α无公共点，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．③正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a 与直线PQ 重合． 因为a ⊂α，所以PQ ⊂α.④错误．若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a 与b 平行、相交和异面都有可能．8.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，过BB 1的中点E 作一个与平面ACB 1平行的平面交AB 与M ，交BC 与N ，则MN AC＝________. 答案 12解析 ∵平面MNE ∥平面ACB 1， 由面面平行的性质定理可得：EN ∥B 1C ，EM ∥B 1A ，又∵E 为BB 1中点，∴M ，N 分别为BA ，BC 的中点， ∴MN ＝12AC .即MN AC ＝12.9.如图，已知α∥β，GH ，GD ，EH 分别交α，β于A ，B ，C ，D ，E ，F ，且GA ＝9，AB ＝12，BH ＝16，则AC BD＝________. 答案 37解析 因为α∩平面GAC ＝AC ，β∩平面GBD ＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ，同理可证AE ∥BF . 又因为∠EAC 与∠FBD 的两边同向， 所以∠EAC ＝∠FBD .又因为GA ＝9，AB ＝12，AC ∥BD ， 所以AC BD ＝GA GB ＝99＋12＝37.10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1上的点．当平面AB 1C ∥平面A 1EC 1时，点E 的位置是________． 答案 与D 重合解析 如图，连接B 1D 1，BD ， 设B 1D 1∩A 1C 1＝M ，BD ∩AC ＝O ，连接ME 、B 1O ，∵平面AB 1C ∥平面A 1EC 1， 平面AB 1C ∩平面BDD 1B 1＝B 1O ， 平面A 1EC 1∩平面BDD 1B 1＝ME ， ∴则B 1O ∥ME .又四边形B 1MDO 为平行四边形，则B 1O ∥MD . 故E 与D 重合．11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使α、β都平行于γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个． 答案 2解析 若α与β相交，如图所示，可在α内找到A 、B 、C 三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都是正确的．三、解答题12.如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点． 证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．13.如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解方法一存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，因为AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面AB1C1，因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C1.又因为EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，所以EF∥AB1，因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.14．已知：如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．解 如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， 所以点O 为A 1B 的中点．因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 所以BC 1∥D 1O ，所以D 1为线段A 1C 1的中点，所以D 1C 1＝12A 1C 1.因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面AA 1C 1C ∩平面BDC 1＝DC 1，平面AA 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝AD 1，所以AD 1∥DC 1.又因为AD ∥D 1C 1，所以四边形ADC 1D 1是平行四边形，所以AD ＝C 1D 1＝12A 1C 1＝12AC ，所以AD DC ＝1.。