高中数学北师大版选修4-4-3 (3)

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(2,0)D.(－2,0)【解析】 ∵x ＝ρcos θ＝2cos 3π2＝0， y ＝ρsin θ＝2sin 3π2＝－2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为(0，－2). 故应选B. 【答案】 B2.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3).若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－4π3 【解析】 极径ρ＝12＋(－3)2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－ 3.∵点(1，－3)在第四象限，所以θ＝－π3.【答案】 A3.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4 【解析】 点P (－2， 2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.【答案】 B4.将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( )A.(5,53)B.(53，5)C.(5,5)D.(－5，－5)【解析】 x ＝10cos π3＝5，y ＝10sin π3＝5 3. 【答案】 A5.已知A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3和⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 【解析】 AB 中点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3，根据互化公式x ＝ρcos θ＝cos 4π3＝－12，y ＝ρsin θ＝sin 4π3＝－32，因此，所求直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.【答案】 B 二、填空题6.直角坐标为(－π，π)的点的极坐标为________. 【解析】 ∵ρ＝(－π)2＋π2＝2π，tan θ＝－1， 当0≤θ＜2π时，θ＝3π4或7π4， 又(－π，π)在第二象限，∴θ＝3π4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，3π4为所求. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，3π47.已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2＜θ＜π，则点M 的直角坐标为________.【导学号：12990009】【解析】 ∵tan θ＝－43，π2＜θ＜π， ∴cos θ＝－35，sin θ＝45， ∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4， ∴点M 的直角坐标为(－3,4). 【答案】 (－3,4)8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 的倾斜角等于________.【解析】 把极坐标化为直角坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.∴k AB ＝32－3232－32＝－1，∴直线l 的倾斜角为3π4.【答案】 3π4 三、解答题9.将下列各点由极坐标化为直角坐标或由直角坐标化为极坐标. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3；(3)()3， 3；(4)(－2，－23). 【解】 (1)x ＝5cos 2π3＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52，y ＝5sin 2π3＝5×32＝532，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532. (2)x ＝3×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3×12＝32，y ＝3×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－332，所以极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－323.(3)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝y x ＝33， 所以θ＝π6，所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.(4)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，∴θ＝4π3，∴点(－2，－23)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3. 10.已知极坐标系中的三点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，11π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6.(1)将A ，B ，C 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断△ABC 的形状.【解】 (1)A ，B ，C 三点的直角坐标为： A (0,5)，B (－43，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，－32. (2)|AB |＝(43)2＋(5－4)2＝7， |AC |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋322＝7，|BC |＝⎝⎛⎭⎪⎫－43＋3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋322＝7，因为|AB |＝|AC |＝|BC |，所以△ABC 是正三角形.[能力提升]1.在极坐标系中，两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6，则PQ 的中点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3，7π12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3，5π12【解析】∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，∴P (1，3).∵Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，5π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos 5π6＝－3，y ＝23sin 5π6＝3，∴Q (－3，3).∴中点M 的直角坐标为(－1，3). ∴ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝3－1＝－3，∴θ＝2π3.∴中点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.【答案】 B2.设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )【导学号：12990010】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，54π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，34π 【解析】 复数－3＋3i 对应的点P 的坐标为P (－3,3). ∴ρ＝(－3)2＋32＝32，tan θ＝3－3＝－1. 又点(－3,3)在第二象限，∴θ＝34π，故其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34π.【答案】 A3.已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________.【解析】 ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，∴x ＝－2，且y ＝－2，∴ρ＝x 2＋y 2＝22， 又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π)， ∴θ＝54π.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，54π.4.已知定点P⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标.【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3， ∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3，∴∠PO ′x ′＝2π3， ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2， ∴P 点的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.。

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

第八课时 球坐标系与柱坐标系一、教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。

教学难点：利用它们进行简单的数学应用。

三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 （二）、讲解新课： 1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点. 变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点. 例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练极坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么? 例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度.思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?（三）、巩固练习：课本P22页练习3（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。