全等中的割补法第一集

全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何学习中，全等三角形是一个重要的知识点，而解决全等三角形相关问题时，截长补短法是一种非常实用且巧妙的方法。

首先，咱们来聊聊什么是截长补短法。

简单来说，截长补短就是通过在图形中截取或者延长某条线段，使得图形中的线段关系发生变化，从而构造出全等三角形，帮助我们解决问题。

比如说，有一个三角形 ABC，其中∠B ＝ 2∠C，要证明 AB ＝ AC ＋ CD。

这时候，我们就可以考虑使用截长补短法。

如果使用截长的思路，就在 AB 上截取 AE ＝ AC，然后连接 DE。

这样一来，因为 AE ＝AC，再加上公共边 AD，以及已知的∠CAD ＝∠EAD，就可以证明△ACD 和△AED 全等。

然后通过一系列的角度推导，就能得出结论。

要是用补短的方法呢，就是延长 AC 至 E，使 CE ＝ CD，连接 DE。

通过角度关系证明∠E ＝∠CDE，进而得出∠B ＝∠BDE，再证明△ABD 和△AED 全等。

接下来，咱们通过几个具体的例子来更深入地理解截长补短法。

例 1：在△ABC 中，AB ＞ AC，AD 平分∠BAC，P 为 AD 上一点。

求证：AB AC ＞ PB PC。

我们来用截长的方法解决。

在 AB 上截取 AE ＝ AC，连接 PE。

因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAD。

又因为 AE ＝ AC，AP 是公共边，所以△APE ≌△APC。

那么 PC ＝ PE。

在△PBE 中，根据三角形两边之差小于第三边，有 PB PE ＜ BE。

而 BE ＝ AB AE ＝ AB AC，所以 AB AC ＞ PB PC。

例 2：已知在正方形 ABCD 中，∠MAN ＝ 45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC 于点 M、N。

求证：BM ＋ DN ＝MN。

这道题我们用补短的方法。

延长 CB 至 E，使 BE ＝ DN，连接 AE。

全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

第34讲 割补法与等积法一、知识与方法1 割补法割补法包括分割法和补体法,求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱 体,锥体,分别求出雉体和柱体的体积, 从而得出几何体的体积,这种方法称为分割法. 用 于直接解题较困难,分割后化繁为简,使问题较易获得解快,但有时候,所给的几何体并不 复杂,却很难直接计算求解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分. 通过添补适当 的几何体,将其扩展为新的、其特征为我们比较熟悉的几何体,以便于从整体上宏观把握,处 理局部问题的一种方法称为补体法,体现了拓展空间, 从更广阁的范围内处理局部问题的整 体思想.分割法与补体法合在一起称为割袳法.2 等积法(又称等积变换法)（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体 积时,可选择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在 面中选取 3 个点,与已知点构成三棱锥.(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等 价转换.二、典型例题【例1 】(1) 如图 384- 所示,已知多面体 ABC DEFG - 中, ,AB AC ,AD 两两互相垂直,平面 //ABC 平面 DEFG , 平面 //BEF 平面 ,2,1ADGC AB AD DG AC EF =====, 则该多面体的体积为 ( ).A. 2B. 4C. 6D. 8(2) 如图 385- 所示,在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且 ,ADE BCF 均为正三角形. //,2EF AB EF =, 则该多面体的体积为( ).A. B. C. 43 D. 32【分析 】本例两小题给出的都是不规则几何体,直接求体积比较困难,可以将 这个几何体分割成若干规则的几何体,从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合 成)，也可认运用补体法补成一个规则几何体再求解,如第(1) 问,可把题中给出的几何体 分割成两个三棱柱或补成一个正方体;第(2)问,不同的分割可以引发一题多解与发散思 维,这种解法体现了割补思想和等积变换思想.【解析】 (1) 【解法 一 】(割)如图 386- 所示,过点 C 作 CH DG ⊥ 于 H , 联结EH ,把多面体分割成一个直三棱柱 DEH ABC - 和一个斜三棱柱 BEF CHG -.于是所求几何体的体积为 112122122DEH BEF V S AD S DE ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 4.=【解法 二 】(补)如图 387- 所示. 将多面体补成棱长为 2 的正方体. 显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半.于是所求几何体的体积 31242V =⨯=.(2) 【解法 一】 (分割法一)如图 388- 所示,分别过 ,A B 作 EF 的垂线, 垂足分别为点 ,G H , 联结 ,DG CH .则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱,锥高12, 柱高 1. 2AG ==, 取 AD 中点 M , 则2MG =11112224434AGD S V =⨯⨯=∴=+⨯⨯123=【解法 二】 (分割法二)如图 389- 所示,取 EF 中点P , 则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉,易 知三棱雉 P AED - 和三棱雉 P BCF - 都是棱长为 1 的正四面体,四棱雉 P ABCD - 为棱长为 1 的正四 棱雉.2111233V =⨯+⨯= 【例 2】 已知直三棱柱 111ABC A B C - 中, 222A B C 是用一平面截得的截面,且 21AA h =, 2223,BB h CC h == , 若 ABC 的面积为 .S 求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积为 ()12313V S h h h =++. 【分析】由于几何体 222A B C ABC - 是一个不规则的几何体,为求得其体积不 妨采用分割或补体的方法来求解和证明.【解析】【证法 一】 (分割)为了讨论方便, 不妨设 123h h h , 可将几何 体 222ABC A B C - 分割成一个小直三棱柱与两个三棱雉. 如图 390- 所示,过 2A 作 23//A B AB 交 2B B于 3B , 过 3B 作 33//B C BC 交 2C C 于 3.C 联结 23A C ,23B C , 则几何体 222ABC A B C - 被分割成直三棱柱 233ABC A B C - 、三棱雉 2233B A B C - 、二棱锥 2A 232B C C -设 ,BC x A = 到 BC 的距离为 d , 则 12S xd =. 由于 ()23322331211,3ABC A B C B A B C V Sh V S h h --==-, ()()223223231311111.3323A B C c B C C V S d h h x d S h h -=⋅=⋅-⋅⋅=- 故 ()2222332233223212313ABC A B C ABC A B C B A B C A B C C V V V V S h h h ----=++=++. 【证法二】（补体)将几何体 222ABC A B C - 以 ABC 为底面进行两次等几何体补形,使侧 棱的长均为 123h h h ++, 这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱.而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的 13， 故 ()222123 1133ABC A B C V V S h h h -==++新直三榬柱.【例 3】 如图 391- 所示,三棱锥 A BCD - 中, AB ⊥ 平面 BCD ,CD BD ⊥(1) 求证: CD ⊥ 平面 ABD ;(2) 若 1,AB BD CD M === 为 AD 中点,求三棱雉A MBC - 的体积.【分析】 利用三棱锥的“等积法”,即体积计算时,可以任一个面作为三棱锥 的底面,利用“等积法”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知,点构成 三棱锥.等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的 等价转换.【解析】(1) 证明: :AB ⊥ 平面 ,,BCD CD BD CD ⊥⊂ 平面 ,ABD BD ⊂ 平面 ABD , CD ∴⊥ 平面 .ABD(2)【 解法一】 由 AB ⊥ 平面 BCD ,得 AB BD ⊥,11,.2ABD AB BD S ==∴= M 为 AD 中点, ABM 11.24ABD S S ∴== 由 ()1 知,CD ⊥ 平面 ABD ,∴ 三棱锥 C ABM - 的高 1h CD ==.因此三棱雉 A MBC - 的体积 B 13A MBC C ABM A M V V S h --==⋅1.12=【解法二 】由 AB ⊥ 平面 BCD 知,平面 ABD ⊥ 平面 BCD .又平面 ABD ⋂ 平面 BCD BD = , 过点 M 作 MN BD ⊥ 交 BD 于点 N ,如图 392-所示,则 MN ⊥ 平面 BCD , 且 1122MN AB ==. 又 1,1,2BCD CD BD BD CD S ⊥==∴=. ∴ 三棱倠 A MBC - 的体积 1133A MBC A BCD M BCD BCD V V V AB S MN ---=-=⋅-. 112BCD S =. 三、易错警示【例 】 正方体容器 1AC 中盛满水, ,,E F G 分别是 1111,,A B BB B C 的中点,若 3 个小孔 分别位于 ,,E F G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( ). A. 78 B. 1112 C. 56 D. 2324【错解】剩下的水的最大容积是截面 EFG 以下几何体的体积,如图 393- 所示,设 1CC 的中点为 11,M C D 的中点为 N ,则截面 EFG 在正方体 1AC 的截面是 EFMN , 设正方体 1AC 的棱长为 1, 则三棱柱 11B EF C MN - 的体积 1111111.2228B EFC MN V =⨯⨯⨯= 于是, 正方体的水最多会剩下原体积的 17188-=, 故 选 A.【评析及正解】上迌解法是否正确,我们可认考查另一种情形.考虑由 1,,B E C 确定的截面,如图 394- 所示.此时,另一个小孔在截面 1BEC的上方, 此 时 三 棱 锥 11B BEC - 的体积为 1113B BEC V -=⨯ 111111.22128⎛⎫⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭ 于是, 正方体中的水最多会剩下原体积的 11111212-=, 故应选 B . 1. 从选项看,还有 2324, 那么,会不会是这个结果呢? 我们可以 考虑一般的情形.【正确的解法】如下:【解析】:我们注意到, 当正方体中剩下的水最多时,这时的水平面必定经过其中的两个小孔, 不妨设经过小孔 ,E G , 如图 395- 所示,另一个小孔 F 在该平面的上方. 设过 ,E G 的平面与棱 1111,,BB CC C D 的交点分别为 ,,H P Q , 则流出的水的最小体 积是台体 11B EH C QP - 的体积.设正方体 1AC 的棱长为 2 , 则 11B E =, 设 ()112B H x x =, 则 12C P x =-. 由 11B EH C QP , 得 12x C Q x-=. 于是, 台体 11B EH C QP - 的体积为112231(2) 31(2)14 2233121222,3312B EHC QP x V x x x x x x x ⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当 4x x =, 即 2x = 时,台体 11B EH C QP - 的体积最小, 为正方体体积的 112. 此 时,点 H 与点 B 重合, 即截面为 1BEC , 故选 B.四，难题攻略【例】 在三棱台 111ABC A B C - 中, 111,2A B G AB = 为 1CC 的中点,截面 1A BG 将棱台分 成上、下两部分,求这两部分体积之比.【分析】 由于合成的两部分都是不规则的几何体,故需将其分割成几个锥体 （特别是三棱锥)的组合体才便于计算体积之比,需要提醒的是这里有等面积、等高,等体 积的运用,使问题的解答别开生面.【解析】 如图 396- 所示, 联结 11,BC A C , 则棱台被分割成 4 个三棱 锥的组合体, 注意到 3 个三棱锥 11111,A BC G A BC B --,1A BCG - 都等高, 因而其体积之比为底面面积之比.又在梯形 11BCC B 中, 由 111112B C A B BC AB ==, 且 G 为 1C C 的 中点, 有 11.BCC BOG BC B S S S ==即 111111ΛBCC A BCC A BC B V V V V ---===,从而 111112A BCC A BC B V V V V --=+=上,在三棱雉 111B A B C - 与三棱雉 1A ABC - 中, 它们的高相等, 且 1114ABCA B C S S=,则 1111111444A ABC B A B c A BC B V V V V ---===.从而 1155A ABC A BCC V V V V --=+=下, 故 t :2:5V V =下 为所求.五、强化训练1.如图397-所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,,2AB BC AA ABC M π∠===是BC中点.(1)求证:1//A B 平面1AMC ;(2)求直线1CC 与平面AMC 所成角的正弦值;(3)试问在棱11A B 上是否存在点N ,使得AN 与1MC 所成角为?3π若存在,确定点N 位置;若不存在,请说明理由.【解析】（1）如图①所示，联结，设与相交于点，则为中点，联结，则为的中位线，依据线面平行判定定理可得.（2）将图①补体为图②，设直线与平面所成角为，则 .由题意，不妨设，依据等体积法可得1A C 1AC O O 1A C OM OM 1A BC 11111AB OM A B AMC A B AMC OM AMC //⎫⎪⊄⇒//⎬⎪⊂⎭平面平面平面1CC 1AMC α11sin C AMC h CC α-=122AB BC AA ===. （3）假设在棱上存在点，使得与成角，不妨设在棱上取点，使得，易得，如图③所示，故与成角.在中，由余弦定理可得.故在棱上存在点，且为棱的中点，使得与成角.111111133C AMC C AMC AMC C AMC AMCC AMC V V Sh Sh ----=⇒=11122sin 33C AMC C AMC h h CC α--⇒=⇒==11A B N AN 1MC 3π1(02)A N t t =≤≤CD Q CQ t =1AN C Q//1C Q 1MC 3π1MQC 22222211112cos3MQ MC QC MC QC π=+-⇒=+1[0,2]t -=∈11A B N N 11A B AN 1MC 3π。

割补法求面积阴影面积的计算是本章的一个中考热点，计算不规则图形的面积，首先应观察图形的特点，通过分割、接补将其化为可计算的规则图形进行计算．一、补：把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形．例题1 如图1，将半径为2cm 的⊙O 分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点O 对称，EF 、GH 关于点O 对称，连接PM ，则图中阴影部分的面积是_____cm 2（结果用π表示）．解析：如图1，根据对称性可知：S 1=S 2，S 3=S 4，S 5=S 6，S 7=S 8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的21，应为：ππ22212=⨯（cm 2）．练习：如图2，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为_______．答案：2π．二、割：把不规则的图形的面积分割成几块可求的图形的面积和或差．例题2 如图3，在Rt△ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm ，把△ABC 以点B 为中心旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C′处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是_______cm 2（不取近似值）．解析：把所求阴影部分的面积分割转化，则 S 阴影＝（S 扇形BAA′＋S △A′C′B ）－（S △ACB ＋S 扇形BCC′）＝S 扇形BAA′－S 扇形BCC′ 3603120360612022⨯-⨯=ππ=π9．练习：如图4，正方形ABCD 的边长为1，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，1为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点，∠MEN＝60°．则图中阴影部分的面积是_________． 答案：4361--π．三、先割后补：先把所求图形分割，然后重新组合成一个规则图形．例题3 如图5，ABCD 是边长为8的一个正方形，EF 、HG 、EH 、FG 分别与AB 、AD 、BC 、DC 相切，则阴影部分的面积=______．解析：连接EG 、FH ，由已知可得S 1=S 2，S 3=S 4，所以可把S 1补至S 2，S 3补至S 4．这样阴影部分的面积就转化为正方形面积的21，因此阴影部分的面积为328212=⨯．练习：如图6，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 上的三等分点，如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3πB ．6πC ．2πD ．32π时间：2021.03.11创作：欧阳音。

三角形全等之截长补短(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形全等之截长补短(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。

第一讲：全等三角形1、如图，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上．BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．2、如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．(1)在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？(2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．3、如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD和CE交于点O．（1）求∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．4、如图，△ABC中，AD是∠A外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC的大小．5、如图，△ABC，△DCE均是等边三角形，B、C、E在一条直线上．(1)求证：BD=AE；(2)求∠DOE的度数；(3)求CF=CG；(4)求证：OC平分∠BOE．6、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.设∠BCE=m°，∠BAC=n°.(1)如图，当点D在线段BC上时，①、如果∠BAC=90°，∠BCE= 度；②、图中与BD始终相等的线段是；③、你认为m、n之间有怎样的数量关系？并说明理由.(2)当点D在直线BC上(除线段BC外)移动时，m、n之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并证明你的结论.7、如图1，正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．（请你完成余下的证明过程）（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍成立．（直接写出答案）第二讲：截长补短1、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AB+BD=AC ，求∠B ：∠C 的值．2、如图，在△ABC 中,∠BAC=60∘，∠ACB=40∘，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP.3、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AC ，试比较AB-AD 与CB-CD 的大小.4、如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD=DC ，求∠C 的度数.5、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ．求证：DC=BD+AB.6、如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，DC=BC ，求∠ADC+∠ABC 的度数．7、如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，过C 作CE⊥AB 于E ，且2AE=AB+AD ，求∠ABC+∠ADC 的度数．8、如图，已知在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 中点，DB ⊥AE 于点E ，延长AE 交BC 于点F.求证：∠ADB=∠CDF.9、如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由.10、如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC=AB+DC ，取AD 的中点P ，连接PB 、PC.判断三角形PBC 的形状.。

全等三角形-截长补短法全等三角形的截长补短法，这可是初中数学里的一个重要“法宝”。

咱先来说说啥是截长补短法。

简单来讲，就是遇到证明线段之间关系的问题时，如果直接证明有困难，那就通过截取或者延长某条线段，让它们凑成新的相等线段，从而达到证明全等三角形的目的。

给大家举个例子啊。

就说有这么一道题，在三角形 ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线。

让咱们证明 AB AC ＞ BD DC 。

这时候，咱们就可以用截长补短法。

咱们先截长。

在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE 。

因为 AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

又因为 AD 是公共边，AE ＝ AC ，根据边角边定理，三角形 AED 就全等于三角形 ACD 啦。

这样一来，DC ＝ DE 。

那在三角形 BDE 中，因为 BE ＝ AB AE ，AE ＝ AC ，所以 BE ＝AB AC 。

又因为 BD DE ＜ BE ，而 DE ＝ DC ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

再说说补短。

延长 AC 到 F ，使 AF ＝ AB ，连接 DF 。

同样因为AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

还有公共边 AD ，根据边角边定理，三角形 ABD 就全等于三角形 AFD 。

这样 BD ＝ DF 。

在三角形 CDF 中，CF ＝ AF AC ，AF ＝ AB ，所以 CF ＝ AB AC 。

又因为 DF DC ＜ CF ，DF ＝ BD ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

还记得我上学那会，刚开始学这截长补短法，那真是一头雾水。

老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。

后来，老师布置了一道作业题，我愣是想了半天也没做出来。

晚上回到家，我坐在台灯下，把教材翻了又翻，笔记看了又看，还是没啥头绪。

我心里那个急啊，感觉自己像个迷路的小羊羔，怎么也找不到走出这片知识迷雾的路。

巩固.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ΔADE与ΔBDF的面积之和是多少？AD EB CF巩固、如图所示，用一张斜边长为29厘米的红色直角三角形纸片、一张斜边长为50厘米的蓝色直角三角形纸片、一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形.红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？例2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？巩固.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。

例3、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

巩固.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。

已知梯形的面积为24平方厘米，上底为4厘米，求下底和高。

例4、在一个等边三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？巩固、如图，三个正方形的边长分别为8厘米、10厘米、6厘米拼在一起，求阴影部分的面积？巩固、下图是两块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）分别有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。

那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？巩固、如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。

那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？例2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。

已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大8，求CF的长度？巩固、如图，四边形BCEF是平行四边形，三角形ACB是直角三角形，BC的长是8厘米，AC长是7厘米。

勾股定理三种证明方法割补法嘿，朋友们！今天咱来聊聊勾股定理的三种证明方法之割补法。

你说这勾股定理啊，那可真是数学里的大宝贝呀！就好像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门呢。

咱先来说说第一种割补法。

想象一下，有一个直角三角形，就像一个稳固的小凳子。

我们把它这儿切一刀，那儿补一块，嘿，神奇的事情发生了！通过巧妙的切割和填补，就能发现那些边与边之间隐藏的关系。

这就好比是在玩拼图游戏，把那些碎片拼到一起，答案就呼之欲出啦！你说这妙不妙？再看看第二种割补法。

就像是在给这个直角三角形变魔术一样，通过不同的割补方式，又能得出同样神奇的结论。

这不是一般人能想到的呀，得是那些聪明的脑袋瓜子才能琢磨出来的呢！你难道不想试试自己能不能像那些数学家一样聪明？还有第三种割补法呢！哇哦，这一种更是让人惊叹不已。

就好像是给这个直角三角形穿上了一件特别的衣服，一下子就让它的秘密都暴露出来了。

你不觉得这很神奇吗？其实啊，勾股定理的割补法证明就像是一场奇妙的冒险。

每一次尝试都是一次探索，每一个新的发现都让人兴奋不已。

这可不仅仅是数学知识，更是一种智慧的体现呀！我们在这个过程中，可以尽情地发挥自己的想象力和创造力，就像在自己的小天地里自由翱翔一样。

想想看，几百年前的数学家们是怎么发现这些方法的呢？他们是不是也像我们现在这样，充满好奇地去尝试、去探索？他们的智慧真的让人佩服得五体投地呀！而我们现在有这么好的条件，更应该好好去研究、去体会这些神奇的证明方法呀。

所以啊，朋友们，不要小看了这勾股定理的割补法。

它就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘、去发现。

让我们一起投入到这个奇妙的数学之旅中吧，去感受那无尽的乐趣和惊喜！我相信，只要我们用心去体会，一定能领略到勾股定理割补法的独特魅力！这就是我想说的，你们觉得呢？。