三角形的外角练习题及标准答案(可编辑修改word版)

三角形的外角（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角． 因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBADC EA BF2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．F BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ） A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________）∴∠ABD =_______-________=________-________ =________（_____________________）第4题图DCAB∵BD 平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______ =__________ （_____________________）∴∠C =180°-∠A -∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________）7. 已知：如图，CE 是△ABC 的一个外角平分线，且EF ∥BC 交AB 于点F ，∠A =60°，∠E =55°，求∠B 的度数．8. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，∠A =45°，∠BDC =60°，求∠AED 的度数．EDCBAFEDC B A➢思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】➢巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）➢思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：•能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°-2a）=60°-•a，•∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90°-12∠A．理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB）=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC-12∠ABC=12∠A．12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案:欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。

三角形外角解答题专项练习60题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠C的度数．2．如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A和∠ACE的度数．3．如图，已知AD是△ABC的高，AE平分∠BAC，∠B=25°，∠ACD=45°，求∠AED的度数．4．如图，DO平分∠EDC，探究∠E，∠C，∠DOC的关系．5．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；（2）若∠B=α，∠C=β，用含α，β的式子表示∠DAE．6．求出图中∠1、∠2的度数．7．如图，在△ABC中，已知∠ABC=30°，点D在BC上，点E在AC上，∠BAD=∠EBC，AD交BE于F．（1）求∠BFD的度数；（2）若EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，求∠HEG的度数．8．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．9．已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．10．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．12．证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．13．如图，已知∠CBE+∠BCD=256°，求∠A的度数．14．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．15．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．16．如图，已知∠DAB+∠D=180°，AC平分∠A，且∠CAD=25°，∠B=95°（1）求∠DCA的度数；（2）求∠ACE的度数．17．如图在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，EC平分∠ACB，求∠A与∠ACE的度数．18．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．19．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠BED的度数．20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E在CB的延长线上，已知∠ACD=55°，求∠ABE的度数．21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．22．如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．23．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC=_________；（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=_________；（3）若∠A=50°，则∠BIC=_________；（4）若∠A=110°则∠BIC=_________；（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A，求∠BIC的公式是：∠BIC=_________；（6）如图，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，若已知∠A，则求∠BPC的公式是：∠BPC= _________．24．如图，∠MON=90°，AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．（1）求∠P的度数；（2）若∠MON=80°，其余条件不变，求∠P的度数；（3）经过（1）、（2）的计算，猜想并证明∠MON与∠P的关系．25．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．26．如图，已知点F是△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于D，交AC于E，且∠A=56°，∠F=31°，求∠ACB的度数．27．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．28．如图，△ABC中，∠B=50°，AD平分∠BAC，∠ADC=80°．求∠C的度数．29．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．30．如图，△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠DAC，求∠AEC度数．31．如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于E点．求证：∠E=∠A．32．如图，已知∠B=∠ADB，∠1=15°，∠2=20°，求∠3的度数．33．如图，DC是△ABC的∠ACB外角平分线与BA延长线的交点，求证：∠BAC＞∠B．34．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．35．如图，AE∥BD，∠EAF=126°，∠BDC=46°，求x的值．（写出解题过程）36．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________．37．将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度数．38．如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．（1）求证EF∥BC；（2）求∠1与∠2的度数．39．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，求∠BED的度数．40．如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD是AC边上的高，BE是∠ABC的平分线，且∠DBE=18°．求△ABC的各内角的大小．141．已知：如图，求证：∠1﹣∠2=∠A﹣∠B．42．已知：如图，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A=80°，∠ABC=50°，求∠BMC的度数．43．如图，△ABC中，∠ABC=45°，点D是边AC上一点，∠DBC=∠BAC，（1）求∠BDC的度数；（2）若在△ABC外取一点E，使∠EBA=∠DBC，∠BEA=135°，试说明：AE∥BD．44．如图①，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B=β（α＞β）．（1）若α=70°，β=40°，求∠DCE的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E，且α﹣β=30°，求∠DCE的度数．45．如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数．46．如图，在△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE，那么EF垂直BC吗？为什么？47．如图，BP平分∠ABC，CP平分∠ABC的外角∠ACD，已知∠A=46°，求∠P的度数．48．如图，△ABC中，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC．请解答：（1）如∠BAC=110°，求∠DAF．（2）如BC=7，求△ADF的周长．49．如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE．50．如图，BF平分∠CBG，AF平分∠BAC，BD平分∠ABC，若∠C=40°，求∠F的度数．51．如图所示，在三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°．52．如图，试说明∠A+∠B+∠C=∠ADC．53．已知，如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求：（1）∠BDC的度数；（2）∠EFC的度数．54．如图，AD⊥BD，AE平分∠BAD，∠B=30°，∠ACD=70°，求∠EAB和∠CAE的度数．55．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数．56．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是BC边上的高，∠B=66°，∠C=54°，求∠ADB和∠ADC的度数．57．如图，△ABC中，AD是高，CE是角平分线，AD交CE于点P，已知，∠APE=55°，∠AEP=100°，求△ABC的各个内角的度数．58．附加题：已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的大小；②若∠B=m°，∠D=n°，试说明∠M=（∠B+∠D）．59．如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=103°，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC交BC延长线于E．求∠DAE的度数．60．已知△ABC中，∠A=x°（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC=_________°（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C=_________°（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、O n﹣1，则用x表示∠BO1C=_________°参考答案：1．（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°2．∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB﹣∠ACB=97°﹣60°=37°．∵BD是角平分线，∴∠ABC=74°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=46°．∵CE是高，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠A=44°3．∵∠ACD=45°，∠ABD=25°，∴∠BAC=45°﹣25°=20°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=10°，∴∠AED=∠B+∠BAE=25°+10°=35°．4．∵∠DOC=∠E+∠EDO=∠E+∠ODC=∠E+（180°﹣∠DOC﹣∠C），∴∠DOC=（180°+∠E﹣∠C）．5．（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=50°，∴∠DAC=40°，∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=50°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣40°=10°；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=β，∴∠DAC=90°﹣β，∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣α﹣β，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β，∴当α＜β时，∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=（90°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）=β﹣α，当α＞β时，∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣β﹣（90°﹣α﹣β）=α﹣β6．∠1=180°﹣80°﹣50°=50°；∠2=50°+80°=130°．答：∠1、∠2的度数分别是50°，130°．7．（1）∵∠ABC=30°，∠BAD=∠EBC，∴∠BAD+∠ABF=∠EBC+∠ABF=∠ABC=30°，∵∠BFD是△ABF的外角，∴∠BFD=∠BAD+∠ABD=30°；（2）∵EG∥AD，∠BFD=30°，∴∠BEG=∠BFD=30°，∵EH⊥BE，∴∠BEH=90°，∴∠HEG=∠BEH﹣∠BDG=90°﹣30°=60°8．∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②把②代入①得：3∠2=60°，∠2=20°．∴∠DAC=120°﹣20°=100°9．∵∠D=∠B+∠E（已知），∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和），∴∠D=∠BFD（等式的性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）10．∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC﹣∠1=4∠1+63°﹣∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°﹣∠1=63°﹣39°=24°，∠ADC=∠3=7811．如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4=∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2=∠D+∠C，在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°12．如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1=∠A+∠B，证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠A+∠B．13．∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE=∠1+∠A，∵∠BCD是△ABC的外角，∴∠BCD=∠2+∠A，∵∠CBE+∠BCD=256°，∴∠1+2∠A+∠2=256°，∵∠1+∠2+∠A=180°，∴∠A+180°=256°，∴∠A=256°﹣180°=76°．14．因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°，所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°．15．因为∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°16．（1）∵∠DAB+∠D=180°，∴AB∥CD，∵∠CAD=∠CAB=25°，∴∠DCA=∠CAB=25°；（2）∵∠CAD=∠CAB=25°，∠B=95°，∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠B+∠CAB=95°+25°=120°17．∵∠B=40°，∠BCD=100°，∴∠A=∠BCD﹣∠B=60°，∵∠BCD=100°，∴∠ACB=180°﹣100°=80°，又∵EC平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB=40°．18．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°19．∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=60°﹣45°=15°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC=15°∵DE∥BC，∴∠BDE=15°．∴∠BED=180°﹣∠BDE﹣∠DBE=180°﹣15°﹣15°=150°20．∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°．∵∠ACD=55°，∴∠A=90﹣55=35°．∵∠ABE=∠A+∠ACB，∴∠ABE=35+90=125°．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°22．∵BC⊥ED，∴∠COD=90°，又∵∠D=20°，∴∠ACB=∠COD+∠D=90°+20°=110°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=43°23．（1）∵BI是∠ABC的平分线，∠ABC=60°∴∠CBI=∠ABC=30°∵CI是∠ACB的平分线，∠ACB=70°∴∠BCI=∠ACB=35°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣30°﹣35°=115°；（2）∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣65°=115°；（3）在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=50°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣65°=115°；（4）在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=110°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=70°∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×70°=35°在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣35°=145°；（5）在△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线∴∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB∴∠CBI+∠BCI=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=90°﹣∠A在△BCI中∠BIC+∠BCI+∠CBI=180°∴∠BIC=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A；（6）∵∠CBD，∠BCE是△ABC的外角∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A∵BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE∴∠CBP+∠BCP=（∠CBD+∠BCE）=（180°+∠A）=90°+∠A 在△BCP中°∠BCP+∠CBP+∠BPC=180∴∠BPC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A24．（1）∵∠BAM是△AOB的外角∴∠BAM=∠AOB+∠ABO∵∠ABN是△AOB的外角∴∠ABN=∠AOB+∠BAO∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+90°=270°∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=135°在△ABP中∠BAP+∠ABP+∠P=180°∴∠P=180°﹣135°=45°；（2）∵∠BAM是△AOB的外角∴∠BAM=∠AOB+∠ABO∵∠ABN是△AOB的外角∴∠ABN=∠AOB+∠BAO∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+80°=260°∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=130°在△ABP中∠BAP+∠ABP+∠P=180°∴∠P=180°﹣130°=50°；（3）∠MON+2∠P=180°∵∠BAM是△AOB的外角∴∠BAM=∠MON+∠ABO∵∠ABN是△AOB的外角∴∠ABN=∠MON+∠BAO∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON ∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=（180°+∠MON）在△ABP中∠BAP+∠ABP+∠P=180°（180°+∠MON）+∠P=180°∴∠MON+2∠P=180°25．（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD=80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）且∠B=∠BAD，∴∠B=40°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠BAC=70°，∠B=40°，∴∠C=70°26．在直角△ADE中，∠AED=90﹣∠A=34°，∴∠FEC=∠AED=34°，∴∠ACB=∠FEC+∠F=65°27．由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①△ABC中，由三角形内角和定理得：∠C+∠B+∠BAC=180°，即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②②﹣①，得：∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°28．∵∠B=50°，∠ADC=80°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=80°﹣50°=30°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=60°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°29．∵DE=EB∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，∴∠A=2x=22.5°×2=45°．30．∵∠B=60°，AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=80°，∴∠DAC=50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=25°，∴∠BAE=55°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=55°+60°=115°31．∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A32．∵∠1=15°，∠2=20°（已知），又∵∠ADB=∠1+∠2=15°+20°=35°（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和），又∵∠B=∠ADB（已知），∴∠B=35°（等量代换），∴∠3=∠B+∠2=35°+20°=55°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）33．∵△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交于D，∵∠DCE是△BCD的外角，∠BAC是△ACD的外角，∴∠DCE＞∠B，∠BAC＞∠DCA，∵DC是△ABC的∠ACB外角平分线，∴∠ACD=∠DCE，∴∠BAC＞∠B34．∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC 的角平分线，∴∠C=75°，∠CAD=30°，∴∠ADB=∠CAD+∠C=105°35．∵AE∥BD，∠EAF=126°，∴∠BAE=126°，∴∠x=126°﹣46°=80°，故答案为80°36．∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，∵∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为：360°．37．∵∠C=30°，AE∥BC，∴∠EAC=∠C=30°，又∵∠E=45°．∴∠AFD=∠E+∠EAC=45°+30°=75°．∴∠AFD为75°．38．（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，∴BC∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行）．（2）∵∠APE=180°﹣∠AEP﹣∠A=180°﹣90°﹣45°=45°，又∵∠APE=∠OPF，∴∠1=∠F+∠OPF=30°+45°=75°，∠2=∠DCQ+∠D=90°+60°=150°39．∵∠C=26°，∠CBE=37°，∴∠CAE=∠C+∠CBE=26°+37°=63°，∵AC∥ED，∴∠BED=∠CAE=63°．40．∵在△ABC中，∠C=2∠A，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣3∠A，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠ABC=90°﹣1.5∠A，又∵BD是AC边上的高，∴∠BED=90°﹣∠EBD=90°﹣18°=72°，又∠BED=∠A+∠ABE=90°﹣0.5∠A=72°，解得∠A=36°，∠C=72°，∠ABC=72°41．∵∠1=∠3+∠A，∠2=∠4+∠B，∠3=∠4，∴∠1﹣∠2=∠3+∠A﹣（∠4+∠B）=∠A﹣∠B．42．∵∠A=80°，∠ABC=50°，∴∠ACB=50°．∵CD平分∠ACB，BF⊥AC，∴∠MCF=25°，∠MFC=90°，∴∠BMC=∠MCF+∠MFC=25°+90°=115°43．（1）∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，∠BDC=∠ABD+∠BAC，∠DBC=∠BAC，∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=∠ABD+∠DBC=45°；（2）∵∠BEA=135°，∴∠EBA+∠EAB=180°﹣135°=45°．又∵上题已证∠ABD+∠DBC=45°，∠EBA=∠DBC，∴∠EAB=∠ABD，∴AE∥BD44．（1）因为∠ACB=180°﹣（∠BAC+∠B）=180°﹣（70°+40°）=70°，又因为CE是∠ACB的平分线，所以．因为CD是高线，所以∠ADC=90°，所以∠ACD=90°﹣∠BAC=20°，所以∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=35°﹣20°=15°．（2）．（3）如图，作∠ACB的内角平分线CE′，则．因为CE是∠ACB的外角平分线，所以∠ECE′=∠ACE+∠ACE′===90°，所以∠DCE=90°﹣∠DCE′=90°﹣15°=75°．即∠DCE的度数为75°45．∵∠A=50°，BE⊥AC，∴∠ABE=90°﹣50°=40°，又∵CD⊥AB，∴∠BPC=90°+∠ABE=130°46．EF⊥BC．理由如下：延长EF交BC于点D．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠E=∠AFE，又∵∠BAC=∠E+∠AFE，∴∠BAC=2∠AFE．又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴2∠B+2∠AFE=180°．又∵∠AFE=∠BFD，∴2∠B+2∠BFD=180°，∴∠B+∠BFD=90°，∴∠BDF=90°，∴EF⊥BC47．根据题意，∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ABC的外角∠ACD，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCD，∴∠A=2∠P，∵∠A=46°，∴∠P=23°48．（1）∠B+∠C=180°﹣∠BAC=70°，∵E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴DE、FG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，∵∠DAF=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF），∴∠DAF=∠BAC﹣（∠B+∠C）=40°；（2）∵△ADF的周长=AD+DF+AF，AD=DB，AF=FC，∴△ADF的周长=DB+DF+FC=BC=749．∵∠DCB是△DCE的一个外角（外角定义）∴∠DCB＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠ADB是△BCD的一个外角（外角定义）∴∠ADB＞∠DCB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠ADB＞∠CDE（不等式的性质）50．∵∠3+∠5+∠F=180°，∠4+∠6+∠C=180°（三角形内角和定理），又∠5=∠6，∴∠3+∠F=∠4+∠C．∵BF平分∠CBG，AF平分∠BAC，∴，．∵∠CBG=∠BAC+∠C，∴，∴．∵∠C=40°，∴∠F=20°51．∵∠2=∠FAB+∠FBA，∴∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠1+∠FAB+∠FBA+∠3，∴∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠CAB+∠ABC=180°．52．如图，延长AD交BC于点E，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∠ADC=∠1+∠C，所以，∠A+∠B+∠C=∠ADC．53．（1）在△ACD中，∵∠A=62°，∠ACD=35°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°；（2）在△BDF中，∵∠BDC+∠ABE+∠BFD=180°，∠ABE=20°，∴∠BFD=180°﹣97°﹣20°=63°，∴∠EFC=∠BFD=63°（对顶角相等）54．∵AD⊥BD，∠B=30°，∴∠BAD=60°．又AE平分∠BAD，∴∠EAB=30°．∵∠ACD=70°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=40°．∴∠CAE=∠BAC﹣∠EAB=10°55．∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．又AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=40°，∴∠AED=80°，又AD是BC边上的高，∴∠EAD=10°56．根据三角形内角和定理可得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，易得∠CAD=30°；外角定理可得∠ADB=∠C+∠CAD=84°；易得∠ADC=180°﹣84°=96°57．在△AEP中，∠BAD=180°﹣∠APE﹣∠AEP=180°﹣55°﹣100°=25°，∵AD是高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=65°，∴∠BCE=∠AEP﹣∠B=35°．∵CE是角平分线，∴∠ACB=2∠BCE=70°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=45°58．①∵∠MCD=∠MCB，∠BAM=∠MAD，∴∠MCD+38°=∠MAD+∠M，∠BAM+32°=∠BCM+∠M，∴∠MCD﹣∠MAD+38°=∠M，∠BAM﹣∠BCM+32°=∠M，32°+∠BAM+∠MAD=∠BCM+∠MCD+38°，2∠BAM+32°=2∠MCD+38°，2∠BAM﹣2∠MCD=6°，∠BAM﹣∠MCD=3°，∠MAD﹣∠BCM=3°，∴∠M=3°+32°=35°；②如图：∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠MCB=∠MCD，∵∠ANC=∠B+∠BAM=∠M+∠MCB，∠AEC=∠MCD+∠D=∠MAD+∠M，∴∠M=∠B+∠BAM﹣∠MCB①，∠M=∠MCD+∠D﹣∠MAD②，∴①+②得：2∠M=∠B+∠D，∴∠M=（∠B+∠D）．59．∵在三角形ABC中知∠B=35°，∠ACB=103°，又有三角形内角和为180度，∴∠BAC=42°，又AD平分∠BAC，∴∠DAC=21°．又∵∠BCA是三角形ACE的一个外角，∠ACB=103°，∠AEB=90°，∴∠CAE+∠BEA=∠ACB，即∠CAE=13°．由题意知∠DAE=∠DAC+∠CAE，代入以上值得∠DAE=13°+21°=34°．60．（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∵∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，∵∠A=x°，∴∠BOC=（90+x）°；（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，∴∠O1BC=∠ABC，∠O1CB=∠ACB，∴∠O1BC=∠ABC，∠O1CB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+∠O1BC+∠O1CB=180°，∴∠O1BC+∠O1CB=（180°﹣∠A），∵∠BOC=180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）=60°+∠A，∵∠A=x°，∴∠BOC=（60+x）°；（3）由（1）（2）可得规律为：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、，O n﹣1则用x表示∠BO1C=（+x）°．故答案为：（1）90+x，（2）60+x，（3）+x。

三角形的外角（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角． 因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBADC EA BF2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．F BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ） A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________）∴∠ABD =_______-________=________-________ =________（_____________________）第4题图DCAB∵BD 平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______ =__________ （_____________________）∴∠C =180°-∠A -∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________）7. 已知：如图，CE 是△ABC 的一个外角平分线，且EF ∥BC 交AB 于点F ，∠A =60°，∠E =55°，求∠B 的度数．8. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，∠A =45°，∠BDC =60°，求∠AED 的度数．EDCBAFEDC B A➢思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】➢巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）➢思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3) （4）4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图4，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．求出图（1）、（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；第7题图第8题图第9题图第11题图10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界：七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：•能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3 点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°-2a）=60°-•a，•∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90°-12∠A．理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB）=12×（180°+∠A） =90°+12∠A．在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC-12∠ABC=12∠A．12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案:欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。

三角形的外角（习题）例题示范例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角． 因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBADC EA BF2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．F BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ） A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________）∴∠ABD =_______-________=________-________ =________（_____________________）第4题图DCAB∵BD 平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______ =__________ （_____________________）∴∠C =180°-∠A -∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________）7. 已知：如图，CE 是△ABC 的一个外角平分线，且EF ∥BC 交AB 于点F ，∠A =60°，∠E =55°，求∠B 的度数．8. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，∠A =45°，∠BDC =60°，求∠AED 的度数．EDCBAFEDC B A思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.9.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）思考小结1.2.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

三角形的外角练习题一、选择题1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这个说法是：A. 正确B. 错误2. 一个三角形的外角和等于多少度？A. 360度B. 180度C. 90度D. 120度3. 如果一个三角形的两个内角分别是40度和60度，那么第三个内角的度数是：A. 40度B. 60度C. 80度D. 100度4. 一个三角形的外角等于它相邻内角的补角，这个说法是：A. 正确B. 错误5. 直角三角形的外角中，最大的外角是：A. 45度B. 90度C. 135度D. 180度二、填空题6. 如果三角形的一个内角是50度，那么它的一个外角是________度。

7. 一个三角形的三个内角之和是________度。

8. 如果一个三角形的外角是120度，那么它相邻的内角是________度。

9. 等边三角形的每个外角是________度。

10. 已知三角形的一个外角是70度，那么它相邻的内角是________度。

三、判断题11. 一个三角形的外角可以大于90度。

（）12. 一个三角形的外角可以小于60度。

（）13. 等腰三角形的两个底角的外角相等。

（）14. 直角三角形的一个锐角的外角等于它的邻角。

（）15. 一个三角形的外角和内角的和总是等于180度。

（）四、计算题16. 已知三角形ABC中，角A是45度，角B是75度，求角C的度数以及角C的外角。

17. 如果一个三角形的内角之和为180度，且其中一个内角为70度，求另外两个内角的度数，并计算这两个内角的外角。

18. 在三角形DEF中，如果角D是90度，角E是30度，求角F的度数以及角F的外角。

19. 已知三角形GHI的三个内角分别为60度，60度，60度，求这个三角形的外角和。

20. 如果一个三角形的外角和为360度，且其中一个外角为80度，求相邻内角的度数。

五、简答题21. 解释为什么三角形的外角和总是等于360度。

22. 描述在已知三角形一个内角的情况下，如何计算它的外角。

7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点 F 是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3 的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、?CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6 所示，按规定∠ A应等于90°，∠B、∠D 应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18 世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：?能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？?这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．??好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3点拨：∵∠ 1 是∠2 的外角，∠ 2 是∠3 的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠ BAC=180° - （∠ B+∠C ）=180° - （52° +78° ）=50° ．∵AE 是∠BAC 的平分线，1 ∴∠BAE=∠CAE= 2∠BAC=25° ．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25° +78° =103° ．6．解：在△ ACE 中，∠ ACE=90° - ∠A=90° -60 ° =30° ．而∠BHC 是△HDC 的外角，所以∠ BHC=∠HDC+∠ACE=90° +30° =120° ．7．30°点拨：设∠ CAD=2a ，由 AB=AC 知∠ B= 1 2（180° -60 ° -2a ）=60° -?a ， ?∠ADB=180° - ∠B-60° =60° +a ，由 AD=AE 知，∠ ADE=90° -a ，所以∠ EDC=180° - ∠ADE-∠ADB=30° ． 8．解法 1：如答图 1，延长 BC 交 AD 于点 E ，则∠DEB=∠A+∠B=90° +30° =?120° ， 从而∠ DCB=∠DEB+∠D=120° +20° =140° ． 若零件合格，∠ DCB 应等于 140° ． 李叔叔量得∠ BCD=142° ， 因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长 DC 与 AB 交于一点，方法与此相同．解法 2：如答图 2，连接 AC 并延长至 E ，则∠ 3=∠1+∠D ，∠ 4=∠2+∠B ， 因此∠ DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140° ．以下同方法 1． 解法 3：如答图 3，过点 C 作 EF ∥AB ，交 AD 于 E ，则∠DEC=90° ，∠ FCB=∠B=?30° ，所以∠ DCF=∠D+∠DEC=110° ， 从而∠ DCB=∠DCF+∠FCB=140° ．以下同方法 1． 说明：也可以过点 C 作 AD 的平行线． 点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质： 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠ A+∠F=∠OQA ，∠B+∠C=∠QPC ，∠D+∠E=∠EOP ．而∠OQA 、?∠QPC 、∠ EOP 是△ OPQ 的三个外角． ∴∠OQA ∠+ QPC+∠EOP=360° ．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA ∠+ QPC+∠EOP=360° ． （2）360°点拨：方法同（ 1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90° - 1 2∠A ．理由：∠ ABC+∠ACB=180° - ∠A ．∠EBC+∠FCB=（180° - ∠ABC ）+（180° - ∠ACB ）=360° -（∠ABC+∠ACB ）=180° +∠A ． ∵BD 、CD 分别为∠ EBC 、∠FCB 的平分线，1 ∴∠CBD= 21 ∠EBC ，∠ BCD=2∠FCB ． 1 ∴∠CBD+∠BCD= 2（∠EBC+∠FCB ）= 1 2 × （ 180° +∠A ） =90 ° + 1 2∠A ．在△BDC 中，∠ BDC=180° - （∠CBD+∠BCD ）=180° - （90° + 1 2 ∠A ）=90° - 1 2∠A ．1 （2）∠BDC=2∠A ． 理由：∵∠ ACE 是△ ABC 的外角， ∴∠ACE=∠A+∠ABC ，∵CD 是∠ACE 的平分线， BD 是∠ABC 的平分线，1 ∴∠DCE= 21 ∠ACE=2 ∠A+ 1 21 ∠ABC ，∠DBC= 2∠ABC． ∵∠DCE 是△BCD 的外角，1 ∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=2 ∠A+ 1 2 ∠ABC-1 21 ∠ABC= 2∠A ．12．解：如图，设球员接球时位于点C ，他尽力向球门冲近到D ，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门 AB 的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长 CD 到 E ，则∠ ADE>∠ACE ，∠BDE>∠BCE ， ∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE ，即∠ ADB>∠ACB ．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题． 数学世界答案 :欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形， 于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，?要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．WORD格式。

11.2.2三角形的外角一、单选题1.三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定2.如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C=50∘，则∠AED=.3.如图，在ΔABC中，EF//BC，∠ACG是ΔABC的外角，∠BAC的平分线交BC于点D,记∠ADC=α,∠ACG=β，∠AEF=γ，则α、β、γ三者间的数量关系是.4.将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是.5.如图，几条线段首尾顺次连接，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠E的度数为.6.下列命题中，属于假命题的是( )A.三角形中至少有一个角大于60∘B.如果三条线段长分别为4cm，6cm，9cm，那么这三条线段能组成三角形C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和D.如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形7.在△ABC中，∠A=60∘，∠C=2∠B，则∠C的度数为.8.如图，在ΔABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为.9.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形二、填空题10.如图，BE平分∠ABC，CE平分ΔABC外角∠ACD，若∠E=25°，则∠A度数为______.11.如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30∘，则∠1+∠2的度数为__________. 12.如图所示的折线图形中，α+β的度数为__________. 13.如图，四边形纸片ABCD中，∠A=75∘,∠B=65∘,将纸片折叠，使点C，D分别落在AB边上的点C′,D′处，折痕为MN，则∠AMD'+∠BNC'的度数是__________. 三、解答题14.如图，在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠DAE的度数．15.如图，将ΔABC分别沿AB，AC翻折得到ΔABD和ΔAEC，线段BD与AE交于点F，连接BE． (1)如果∠ABC=16°，∠ACB=30°，求∠DAE的度数； (2)如果BD⊥CE，求∠CAB的度数．11.2.2三角形的外角1.【答案】A;【解析】略2.【答案】B;【解析】该题考查了平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，掌握好基本性质及定义的解答该题的关键． 根据平行线的性质得出∠CAB=180∘−∠C=130∘，根据角平分线的定义得出∠CAE=12∠CAB=65∘，根据∠AED是ΔACE的外角，得出∠AED=∠C+∠CAE=115∘，即可得出结果． 解：∵AB//CD，∴∠C+∠CAB=180∘， ∴∠CAB=180∘−∠C=130∘，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB=65∘，∵∠AED是ΔACE的外角，∴∠AED=∠C+∠CAE=115∘，故选B．3.【答案】B;【解析】解：∵EF//BC， ∴∠γ=∠B， 由三角形的外角性质得，∠α=∠B+∠BAD=∠γ+∠BAD， ∠β=∠α+∠CAD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠α−∠β=∠γ−∠α， ∴∠β=2α−∠γ. 故选：B. 根据两直线平行，同位角相等可得∠γ=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α、∠β，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后整理即可得解． 此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解答该题的关键．4.【答案】B;【解析】解：∵∠EDC=45°， ∴∠ADF=135°， ∵∠AFE是ΔADF的一个外角， ∴∠AFE=∠A+∠ADF=30°+135°=165°， 故选：B. 根据邻补角的概念求出∠ADF，再根据三角形的外角性质计算即可． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．5.【答案】B;【解析】解：∵如图可知∠BGD=∠C+∠B，∠GFE=∠E+∠A， 又∵∠BGD=∠D+∠GFD， ∴∠B+∠C=∠D+∠GFD， 又∵∠GFE+∠GFD=180°， ∴∠E+∠A+∠B+∠C−∠D=180°， 又∵∠D=28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠E=180°+28°=208°. 故选：B. 首先求出∠C+∠B=∠D+∠GFD，然后证明出∠A+∠B+∠C+∠E−∠D=180°，最后结合∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 此题主要考查了三角形内角的外角，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠E+∠B−∠D=180°，此题难度不大．6.【答案】A;【解析】 该题考查命题与定理，解答该题的关键是熟练掌握三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，属于中考常考题型． 根据三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可一一判断． 解：A、错误． B、正确．理由：4+6>9． C、正确．角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． D、正确．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形．故选A．7.【答案】C;【解析】略8.【答案】A;【解析】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D， ∴∠D=12∠A=12×30°=15°． 故选：A． 先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可． 该题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．9.【答案】D;【解析】略10.【答案】50°;【解析】解：∵∠E=25°， ∴∠ECD−∠EBD=∠E=25°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBD=12∠ABC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=12∠ACD， ∴∠A=∠ACD−∠ABC=2×(∠EBD−∠ECD)=2×25°=50°， 故答案为：50°. 根据三角形的外角性质得到∠ECD−∠EBD=∠E=25°，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．11.【答案】60∘;【解析】解：∠A′DA=180∘−∠1,∠A′EA=180∘−∠2,∠A′=∠A=30∘. ∵∠A′+∠A′DA+∠A+∠AEA′=360∘, ∵30∘+180∘−∠1+30∘+180∘−∠2=360∘,∴∠1+∠2=60°.12.【答案】85°;【解析】解：∠1=a+70∘,∠2=β+65∘,∵∠1+∠2+140∘=360∘. ∴a+70∘+β+65∘+140∘=360∘,∴α+β=85∘. 13.【答案】80∘;【解析】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠C+∠D=220°，∠MD′B=∠D， ∠NC′A=∠C，∴∠MD′B+∠NC′A=220°，∵∠MD′B+∠NC′A+∠D′MN+∠C′NM=360°,∴∠D′MN+∠C′NM=140°，∵∠A+∠B+∠AMD′+∠D'MN+∠BNC'+∠C'NM=360°,∴140∘+140∘+∠AMD'+∠BNC'=360°, ∴∠AMD°+∠BNC'=80∘.14.【答案】解：在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°， ∴∠BAC=180°-20°-110°=50°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=25°， ∴∠AEC=∠B+∠BAC=20°+25°=45°， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠D=90°， ∴∠DAE=90°-∠AED=90°-45°=45°．;【解析】 先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线定义得出∠BAE的度数，再由三角形外角的性质求出∠AEC的度数，进而得出答案． 此题主要考查的是三角形内角和定理．熟悉定理与性质并准确识图，理清图中各角度之间隐含的关系是解决本题的关键．15.【答案】解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD， ∴△AEC≌△ABC，△ABD≌△ABC． ∴∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°， ∠EAC=∠BAD=∠BAC=180°-30°-16°=134°， ∵∠DAC=360°-∠BAD-∠BAC， ∴∠DAC=360°-134°-134°=92°， ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=134°-92°=42°； （2）∵BD⊥CE， ∴∠5=90°， ∴∠DBC+∠ECB=90°． ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠DBC+∠ECB=2∠3+2∠1=90°． ∴∠3+∠1=45°， 在△ABC中，∠CAB=180°-（∠3+∠1）=180°-45°=135°．;【解析】 (1)由折叠的性质可得∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°，由周角的性质和外角性质可求解； (2)由三角形内角和定理可求解． 该题考查了翻折变换，三角形的内角和定理，外角性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．。