最新北师大版八年级上册数学【教案】三角形外角定理

第2课时三角形的外角1．了解并掌握三角形的外角的定义；(重点)2．掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．(难点)一、情境导入上节课我们证明三角形内角和定理．在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．二、合作探究探究点一：三角形内角和定理的推论1【类型一】三角形内角和定理的推论1如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( )A．110°B．160°C．137°D．115°解析：∠1＝100°∠2＝145°∠BAC＝80°∠ABC＝35°∠3＝∠BAC＋∠ABC＝115°方法总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是等于任意两个内角的和．【类型二】三角形内角和定理的推论1的规律探究如图，在△ABC中，∠A＝m，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2015BC和∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016＝________．解析：因为BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，所以∠A1BC＝12∠ABC，∠A1CD＝12∠ACD，因为∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，即12∠ACD＝∠A1＋12∠ABC，所以∠A1＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A，所以∠A1＝12m.同理∠A2＝12∠A1＝122∠A＝m22.依此类推，∠A2016＝122016∠A＝m22016，故填错误!.方法总结：解题用到三角形的内角和定理及推论．从图形中找规律，首先要得到前几项，然后比较它们之间的关系，归纳猜想得出一般结论．探究点二：三角形内角和定理的推论2如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A.解析：由题意无法直接得出∠BPC＞∠A，延长BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得证．证明：延长BP交AC于D，∵∠BPC是△ABC的外角(外角定义)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．同理可证：∠PDC＞∠A，∴∠BPC＞∠A.方法总结：利用推论2证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角．若不是，就需借助中间量转化求证．三、板书设计三角形的外角错误!力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．。

第2课时三角形的外角1．了解并掌握三角形的外角的定义；(重点)2．掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．(难点)一、情境导入上节课我们证明三角形内角和定理．在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．二、合作探究探究点一：三角形内角和定理的推论1【类型一】三角形内角和定理的推论1如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( )A．110°B．160°C．137°D．115°解析：∠1＝100°∠2＝145°∠BAC＝80°∠ABC＝35°∠3＝∠BAC＋∠ABC＝115°方法总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是等于任意两个内角的和．【类型二】三角形内角和定理的推论1的规律探究如图，在△ABC中，∠A＝m，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2015BC和∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016＝________．解析：因为BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，所以∠A 1BC ＝12∠ABC ，∠A 1CD ＝12∠ACD ，因为∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，即12∠ACD ＝∠A 1＋12∠ABC ，所以∠A 1＝12(∠ACD －∠ABC)＝12∠A ，所以∠A 1＝12m.同理∠A 2＝12∠A 1＝122∠A ＝m 22.依此类推，∠A 2016＝122016∠A ＝m 22016，故填错误!. 方法总结：解题用到三角形的内角和定理及推论．从图形中找规律，首先要得到前几项，然后比较它们之间的关系，归纳猜想得出一般结论．探究点二：三角形内角和定理的推论2如图，P 是△ABC 内的一点，求证：∠BPC＞∠A.解析：由题意无法直接得出∠BPC ＞∠A ，延长BP 交AC 于D ，就能得到∠BPC ＞∠PDC ，∠PDC ＞∠A.即可得证．证明：延长BP 交AC 于D ，∵∠BPC 是△ABC 的外角(外角定义)，∴∠BPC ＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．同理可证：∠PDC＞∠A，∴∠BPC ＞∠A.方法总结：利用推论2证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角．若不是，就需借助中间量转化求证．三、板书设计三角形的外角⎩⎪⎨⎪⎧外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角利用已经学过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题，进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．励志名言：1、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。

7.5 三角形内角和定理第 2 课时三角形的外角第一环节：情境引入活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ ABC 的一边 BC 延伸获得∠ ACD ，这个角叫做什么角呢？下边我们就给这类角命名，而且来研究它的性质．活动目的：引出三角形外角的观点，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：教师应在学生充足展现自己的建议以后，存心识地指引学生从三角形的外角的角度进行思虑。

第二环节：探究新知活动内容：① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延伸线所构成的角，叫做三角形的外角，联合图形指明外角的特点有三：(1)极点在三角形的一个极点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延伸线．② 两个推论及其应用由学生商讨三角形外角的性质：问题 1：如图，△ ABC中，∠ A=70°，∠ B=60°，∠ ACD是△ ABC的一个外角，能由∠ A、∠B 求出∠ ACD吗？假如能，∠ ACD与∠ A、∠ B 有什么关系？问题 2：随意一个△ ABC的一个外角∠ ACD与∠ A、∠ B 的大小会有什么关系呢？由学生归纳得出：推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例 1、已知：∠ BAF ，∠ CBD，∠ ACE 是△ ABC 的三个外角．求证：∠ BAF+ ∠ CBD+ ∠ ACE=360°剖析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．证明： (略)．例 2、已知： D 是 AB 上一点 ,E 是 AC 上一点， BE、CD 订交于 F,∠ A=62°，∠ACD=35 °，∠ ABE=20 °．求： (1)∠BDC 度数； (2)∠BFD 度数．解： (略)．活动目的：经过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，指引学生从内和外、相等和不等的不一样角度对三角形作更全面的思虑．注意事项：新的定理的推导过程应成立在学生的充足思虑和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

《三角形的外角》教案一、教学目标：1、知识与技能：了解三角形的外角概念和三角形外角的性质，初步学会数学说理。

2、数学思考：能剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论。

3、解决问题：通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。

学会运用简单的说理来计算三角形相关的角。

4、情感与态度目标：通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯。

二、教学重点与难点：重点：三角形的外角及其性质难点：运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法。

三、教材分析：教材由学生已经熟悉的三角形的内角和定理引入，然后探索三角形外角的性质。

在呈现方式上改变了以往“结论—例题—练习”的陈述模式，而是采用“问题—探究—发现”的研究模式，并采用了拼图和数学说理两种方法，一方面，让学生通过剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论，另一方面又加以简单的数学说理，使学生初步体会，要得到一个数学结论，可以采用观察实验的方法，还可以采用数学推导说理的方法，观察实验只能给我们带来一个直观形象的数学结论，而推导说理才能使我们确信这一数学结论是否正确，当然对于这一点的认识还有待于以后学习。

四、学校与学生情况分析：保亭县第二中学位于保亭县城内，是一所普通中学，历届学生都由重点中学录取后，剩余的成绩低下的学生就由我们学校录取，因此，大部分学生的基础比较差，缺乏自学能力，不过，上个学期在新的教学理念的指导下，重视学生学习兴趣和态度的培养、重视学生的自主探索和合作交流以及新意识的培养。

另外，七年级学生都有好胜、好强的特点，现在班级中，已有一部分学生初步形成了动手操作、自主探索和合作交流的良好气氛。

五、教学准备：学生：三角尺、铅画纸、小剪刀教师：多媒体六、教学过程设计[活动2]问题1：图中那个角是三角形的外角？（多媒体显示图形）问题2：三角形的外角有什么特点？根据这些特点，谁能说说什么叫做三角形的外角？形的外角引出本节课题。

教学目标1.掌握推论并能运用定理解决简单问题2.经历探索与证明过程,进一步发展推理能力2学情分析对三角形内角和定理等学生已探究证明过,为本节内容的学习和掌握奠定了基础。

在学生思考的基础之上本节课应要求学生写出严格的证明过程3重点难点重点:三角形内角和定理推论的理解和掌握难点:运用推论解决问题4教学过程4.1 三角形内角和定理的推论4.1.1教学活动活动1【导入】三角形内角和定理的推论在证明三角形内角和定理时,用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD,这个角叫做什么角呢?下面我们就给这种角命名,并且来研究它的性质.活动2【讲授】三角形内角和定理的推论① 三角形的外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角, 结合图形指明外角的特征有三:(1)顶点在三角形的一个顶点上.(2)一条边是三角形的一边.(3)另一条边是三角形某条边的延长线.② 两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质:问题1:如图,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,∠ACD是△ABC的一个外角,能由∠A、∠B求出∠ACD吗?如果能,∠ACD与∠A、∠B有什么关系?问题2:任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢?由学生归纳得出:推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.例1、已知:∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角.求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°分析:把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证.证明:(略).例2、已知:D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°.求:(1)∠BDC度数;(2)∠BFD度数.解:(略).活动目的:通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论,引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考.注意事项:新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上,教师切勿越俎代庖。

第2课时 三角形外角的定理【学习目标】1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．【学习重点】三角形外角的性质定理．【学习难点】运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．学习行为提示：每组抽一位学生上黑板做，其余学生在座位上完成，组长检查每组完成情况，最后老师给每组评分．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入 生成问题旧知回顾：1在△ABC 中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC 的形状是直角三角形．2．一个三角形的三个内角中，至少有( B )A ．一个锐角B ．两个锐角C ．一个钝角D ．一个直角3．如图，直线l 1∥l 2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( C )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°自学互研 生成能力知识模块一三角形外角的定理先阅读教材第181页例2上面的内容，然后完成下面的问题：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如图，∠1是△ABC的外角．学习行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．展示目标：通过知识模块一的展示掌握证明三角形外角定理的方法；通过对知识模块二的展示，总结运用三角形外角的定理进行几何证明和计算的一般方法和步骤．问题1你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？【说明】结合图形，学生通过观察、思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力．【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识模块二运用三角形外角的定理进行证明你能运用所学的知识解决下面的问题吗？问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.第(1)题图第(2)题图(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．【说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定式的影响，可以提高学生的思维灵活性．仿例：如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形外角的定理知识模块二运用三角形外角的定理进行证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

7.5 三角形内角和定理第2课时三角形的外角学习内容（学习过程）一、自主预习（感知）二、合作探究（理解）阅读教材P181页，思考下列问题：1、什么是三角形的外角？外角的特征有三：(1)顶点在上．(2)一条边是三角形的．(3)另一条边是三角形某条边的．2、如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？由此可以得到三角形的外角性质：（1）（2）三、轻松尝试（运用）1、课本例22、课本例33、已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC四、拓展延伸（提高）BACDE习题7.7 联系拓广 3五、收获盘点（升华）六、当堂检测（达标）1、如图，下列哪些说法一定正确A ∠HEC >∠BB ∠B+∠ACB=180°—∠AC ∠B+∠ACB<180°D ∠B>∠ACD2、已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的大小七、课外作业（巩固）1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。

②完成《学练优》中的本节内容2、思考题：学生每日提醒～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～励志名言：1、泰山不是垒的，学问不是吹的。

天不言自高，地不语自厚。

2、学习如钻探石油，钻得愈深，愈能找到知识的精髓。

先学爬，然后学走。

3、星星使天空绚烂夺目；知识使人增长才干。

4、宽阔的河平静，博学的人谦虚。

秀才不怕衣衫破，就怕肚子没有货。

5、老姜辣味大，老人经验多。

请教别人不折本，舌头打个滚。

6、心专才能绣得花，心静才能织得麻。

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

7、一分耕耘，一分收获。

一艺之成，当尽毕生之力。

北师大版数学八年级上册7.5.2 三角形的外角教学设计课题7.5.2 三角形的外角单元第七单元学科数学年级八学习目标知识与技能：掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.过程与方法：体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全面的思考.情感态度与价值观：通过积极参与课堂练习,培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯,同时培养学生大胆猜想、勇于探索数学问题的兴趣和信心.重点掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.难点灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课 1.三角形有几个内角? 内角和是多少？三角形有三个内角三角形的内角和等于180°2.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C=__48°___ . 教师先提出问题.学生都知道有三个内角,直接问,学生一起回答就可以了利用问题一问一答,让学生自然而然地认识三角形的外角.激发学生学习的热情,提起学生的学习兴趣.讲授新课什么是外角？三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角．三角形还有其他外角吗?你能在图中画出ΔABC的其他外角吗?与同伴交流一下. 请自主学习教材第181页议一议前的内容,然后在小组内交流什么样的角是三角形的外角,并举例说明.学生自主学习外角的定义,教师巡视指导.学生在小组内交流后,学生代表展示.学生主动探索、积极思考、踊跃交流,通过交流,让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,通过学生思考、探索、交流来培养学生解决问题的能力.AB C每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.我们知道∠1是ΔABC的一个外角,猜一猜∠1与ΔABC的内角之间有什么等量关系,理由是什么?在小组内交流.我们发现∠1+∠4=180°,依据是平角的定义.我们发现∠1=∠2+∠3.理由是:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),∠1+∠4=180°(平角的定义),∴∠1=∠2+∠3.以上内容你们能得出什么结论?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.你能确定∠1与∠4的大小关系吗?因为当∠4是锐角时,∠1>∠4;当∠4是直角时,∠1=∠4;当∠4是钝角时,∠1<∠4.所以∠1与∠4的大小关系不能确定.那么∠1与∠2,∠3的大小关系呢?∠1>∠2,∠1>∠3.理由是什么?由前面我们知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3. 学生在小组内合作探究,教师巡视,及时点拨引导.学生探究完成后,让学生代表展示.留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答,问题1学生能计算出∠ACD的度数,从而得到∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B的关系.问题2中引导学生用与问题1类似的通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.由此你能得到什么结论?三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD//BC.证明：∵∠EAC=∠B+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），∴∠C=1∠EAC（等式的性质）. 2∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=1∠EAC（角平分线的定义）. 2∴∠DAC=∠C （等量代换）.∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）. 对于例2，你还有其他证明方法吗？证明：∵∠EAC=∠B+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），∴∠B=1∠EAC（等式的性质）. 2∵AD平分∠EAC（已知），∴∠EAD=1∠EAC（角平分线的定义）. 2∴∠EAD=∠B （等量代换）.∴AD// BC （同位角相等，两直线平行）. 例3 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= 方法及三角形内角和定理、平角的定义得到相同的结论.在老师的引导下对三角形外角与内角之间的关系加以归纳,从而得到推论.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性.∠C. 求证:∠BPC ＞∠A.证明:如图，延长BP ，交AC 于点D. ∵ ∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义), ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角).∵ ∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义), ∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）A BCP D已知：∠1、∠2、∠3为△ABC 的三个外角，如图．求证：∠1+∠2+∠3=360°．证明：∵∠1+∠BAC=180°， ∠2+∠BCA=180°，∠3+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC ）=540°（等式性质）.∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），∴∠1+∠2+∠3=360°.课堂练习1.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是( D )学生认真做课堂练习。