高三理科数学二轮复习热点专题二高考中解答题的审题方法探究2概率与统计问题

高考解答题的审题与答题示范 (六)概率与统计类解答题[审题方法 ]——审图表、审数据题目中的图表、 数据包括着问题的基本信息，也常常示意着解决问题的目标和方向．在审题时，仔细察看剖析图表、数据的特点的规律，经常能够找到解决问题的思路和方法． (此题满分12 分 ) 某商场计划按月订购一种酸奶，每日进货量同样， 进货成本每瓶 4 元，典例售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价办理，以每瓶 2 元的价钱当日所有办理完．依据往年销售经验，每日需求量与当日最高气温(单位：℃ )相关．假如最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；假如最高气温位于区间[20 ， 25)，需求量为 300 瓶；假如最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确立六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下边的频数散布表：最高气[10， 15) [15 ， 20) [20， 25) [25 ， 30) [30， 35) [35 ，40)温天数216362574以最高气温位于各区间的频次取代最高气温位于该区间的概率.(1) 求六月份这类酸奶一天的需求量X(单位：瓶 )的散布列；(2) 设六月份一天销售这类酸奶的收益为 Y(单位：元 )，当六月份这类酸奶一天的进货量 n(单位：瓶 )为多少时， Y 的数学希望达到最大值？审题 确立 X计算与 X 值列出 X 的求出数路线的取值 → 对应的概率→散布列→学希望标准答案阅卷现场(1)由题意知， X 所有可能取值为 200，300， 500.①由表格数据知第 第2＋16＝ 0.2，P(X ＝ 300)＝36＝(1) (2) P(X ＝200)＝ 9090问问0.4，得25＋7＋ 4P(X ＝500)＝ ＝ 0.4.②分 90 所以 X 的散布列为点X 200 300 500 ① ② ③ ④⑤⑥⑦⑧ P0.20.40.41 3 211112③6 分6 分(2)由题意知，这类酸奶一天的需求量至多为500，起码为 200，所以只要考虑200 ≤n ≤ 500， 第(1)问踩点得分说明当 300≤n ≤500时，若最高气温不低于 25，则 ①正确写出 X 所有可能取值得 1 分；Y ＝ 6n － 4n ＝ 2n ，若最高气温位于区间 [20 ， ②求出随机变量对应的概率值，每个1 分； 25)，则 Y ＝ 6×300＋ 2(n － 300)－4n ＝ 1 200－ ③写出随机变量的散布列得2 分 .2n ；第 (2)问踩点得分说明若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6×200＋ 2(n － 200) ④正确写出在 300≤n ≤500时的各关系式得 1－ 4n ＝800－ 2n ；④分；所以 E(Y)＝ 2n ×0.4＋ (1 200－ 2n) ×0.4＋ (800－ ⑤正确写出在 300≤n ≤500时 E(Y) ＝640－0.4n2n) ×0.2＝640－ 0.4n.⑤得1分；当 200≤n<300 时，若最高气温不低于 20，则⑥正确写出在 200≤n ＜ 300 时的各关系式得 1Y ＝ 6n － 4n ＝ 2n ；分；若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6×200＋ 2(n － 200) ⑦正确写出在 200≤n ＜ 300 时 E(Y)＝ 160＋－ 4n ＝800－ 2n ；⑥1.2n 得 1 分；所以 E(Y)＝ 2n ×(0.4 ＋0.4)＋ (800－ 2n) ×0.2＝⑧得出 n ＝ 300 时，Y 的数学希望达到最大值，并求出最大值得 2 分 .160＋ 1.2n ，⑦所以 n ＝ 300 时， Y 的数学希望达到最大值，最大值为 520 元．⑧(1)写全得分步骤：关于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以关于得分点步骤必定要写全．如第(1)问中，写出 X 所有可能取值得分，第 (2)问中分当300≤n≤500时和 200≤n＜ 300 时进行剖析才能得满分.满分心得(2)写明得分重点：关于解题过程中的重点点，有则给分，无则没分，所以在答题时必定要写清得分重点点，如第 (1)问应写出求散布列的过程，第 (2)问应写出不一样范围内 Y 的数学希望 .。

概率与统计高考考点突破例1、有九张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9。

甲、乙两人依次从中抽取一张卡片（不放回）．试求：（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； （2）甲、乙两人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．[分析] 运用古典概型公式，结合排列组合知识加以解决．至少型问题可用直接法或间接法解决．[解析]（1）甲抽到奇数数字卡片的概率为59，因为卡片没有放回，所以乙抽到偶数数字卡片的概率为48,所以甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为5459818P =⨯=．（2）54455459898986P =⨯+⨯+⨯=或4351986P =-⨯=．[启迪] 注意恰当地进行分类，分类时应不重不漏；要分清问题是“放回”还是“不放回”．[变式训练] 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（1）求甲通过考试的概率．（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] 记甲通过考试的概率为P 甲，乙通过考试的概率为P乙． 则（1）21364631023C C C P C +==甲． （2）2138283101415C C C P C +==乙，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1(1)(1)P P P =---乙甲2141(1)(1)315=---4445=． 例2、从正方形的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条是异面直线的概率是 ．[分析] 这是一类有关几何图形的概率问题，如何计算异面直线的对数是本题的难点所在，利用四面体模型可以轻松解决．[解析] 正方体的8个顶点可以构成个481258C -=不同的四面体，而每个不同的四面体均存在3对异面直线，所以共有583⨯对异面直线． 所以两条直线是异面直线的概率2285832963P C ⨯==．[启迪] 用间接法计算四面体的个数，这也是一个难点．利用四面体模型计算异面直线的对数的方法要注意掌握．[变式训练] 在一个圆周上有间距不同的9个点，以这9个点为顶点作没有公共顶点的3个三角形，则其不同的3个三角形的边不相交的概率是 ． [解析] 可分成两类计算： （1）如图1所示，共有3种；（2）如图2所示，共有9种；所以符合题意的概率为3339633339370P C C C A +==． 例3、把一根长度为7的铁丝截成任意长度的3段，求能构成三角形的概率．[分析] 本题是一个几何概型的问题，关键是找出变量的线性约束条件，求出相应区域的面积．[解析] 设铁丝被分割成长度为x,y,7-x-y 的三段，x,y 满足0070x y x y >⎧⎪>⎨⎪-->⎩而这三段要构成三角形，则必须满足0070777x y x y x y x y x x y y y x y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪+-->⎪+-->⎩，即007022702727x y x y x y y x >⎧⎪>⎪⎪+-<⎨+->⎪⎪<⎪<⎩．所以能构成三角形的概率为14DEF OAB S P S ∆∆==． [启迪] 三段能构成三角形的充要条件是任意两边之和均大于第三边，由此得到符合题意的线性约束条件，画出平面区域，求得相应的面积．图1 图2[变式训练] 在区间[]1,5和[]2,4分别取一个数，记为(),m n ，则方程22221x y m n+=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是 ． [解析] 由题意得，m,n 满足的条件为1524m n m n <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩． 易知，符合题意的概率为：12AEDF ABCD S P S ==．高考阅卷在线（2009年广东高考数学B 卷第17题）对某城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API 数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图无所示：（1）求直方图中x 的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率． (结果用分数表示。

概率与统计是高考数学中的一个重要的知识点，也是考察学生分析问题、统计数据以及进行概率计算的能力。

下面是2024年高考数学中概率与统计方面的热点问题解题指导，希望能对你备考有所帮助。

1.求二项式分布的期望和方差二项式分布可以描述在n次独立重复试验中，出现其中一事件的次数的概率分布。

求二项式分布的期望和方差是常见的题型。

对于n次独立重复试验中，事件A出现的次数X，其期望和方差分别为E(x) = np，Var(x) = np(1-p)，其中p为单次试验中事件A发生的概率。

2.求事件的概率求事件的概率是概率与统计中的基本题型。

根据题目给出的条件，利用概率公式进行计算即可。

常见的题型有求交、并、互斥事件的概率，以及条件概率等。

3.求样本的点估计和区间估计在统计学中，样本是用来推断总体特征的重要依据。

对于样本中一些统计量，如平均值、比例等，可以利用它们作为总体特征的点估计。

而对于总体特征的区间估计，可以利用样本统计量的分布特性，计算出一个区间，该区间包含了总体特征的真值。

4.利用正态分布进行计算正态分布是概率与统计中最重要的概率分布之一，也是高考数学中的重点内容。

在许多情况下，可以使用正态分布来近似计算一些事件的概率或样本统计量的分布。

利用标准正态分布的概率表或计算器，可以方便地计算出正态分布的概率或分布的特征。

5.判断两个事件是否独立判断两个事件是否独立，可以利用概率的定义和条件概率的性质进行推导。

如果两个事件相互独立，则它们的联合概率等于事件的概率的乘积。

反之，如果联合概率不等于概率的乘积，则说明两个事件不独立。

6.利用抽样方法进行调查在概率与统计中，抽样是一种重要的数据收集方法。

通过合理地设计抽样方法和调查问卷，可以获得可靠的调查数据。

在解题时，需要注意抽样误差和样本的代表性等问题，以确保所得到的调查结果具有较高的可靠性。

以上是2024年高考数学概率与统计方面的热点问题解题指导。

在备考过程中，要牢固掌握概率与统计的基本概念和常用方法，多做相关的题目，提高解题能力。

高考数学中的概率与统计问题解析技巧分享概率与统计作为高考数学的一部分，是考生们备战高考必须掌握的重要知识点之一。

正确理解和掌握概率与统计问题解析技巧，将有助于我们在高考考场上发挥出更好的水平。

本文将分享一些在解析概率与统计问题时常用的技巧和方法。

一、概率问题解析技巧在概率问题中，我们需要计算某个事件发生的可能性。

下面是几个常用的概率问题解析技巧：1. 确定样本空间：在开始解析概率问题时，首先要明确样本空间中的元素是什么。

样本空间是指所有可能结果组成的集合，通过明确样本空间，有助于我们清晰地分析问题。

2. 使用频率公式：当样本空间中的元素概率相等时，我们可以使用频率公式来计算概率。

频率公式是指事件发生的次数除以总次数，即P(A) = n(A) / n(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中元素的总次数。

3. 使用排列组合：在一些复杂的概率问题中，我们可以使用排列组合的知识来解析。

排列组合可以帮助我们计算样本空间的大小，从而计算概率。

比如，在有限个元素中选择若干个元素，可以使用排列或组合的方法来计算概率。

二、统计问题解析技巧统计问题是指通过一定的数据来推断总体的一些特征。

以下是几个常用的统计问题解析技巧：1. 分析数据：在解析统计问题时，首先要分析所给的数据。

通过观察数据的分布、趋势和规律，我们可以得到对总体的一些认识。

2. 计算统计量：统计问题中，我们常常需要计算一些统计量来描述数据的特征。

比如平均数、中位数、众数、方差等。

计算这些统计量有助于我们对数据进行详细分析，并推断总体的特性。

3. 使用统计方法：在一些复杂的统计问题中，我们可以使用统计方法来解析。

比如假设检验、回归分析、方差分析等。

这些统计方法可以帮助我们更准确地进行总体描述和推断。

三、典型问题示例以下是几个典型的概率与统计问题，我们将运用上述解析技巧来解答：1. 问题一：有一袋中有 4 个黑球和 6 个白球，从中无放回地取出 2 个球，求两个球颜色相同的概率。

[思维流程——找突破口][技法指导——迁移搭桥][典例](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[快审题][稳解题](1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18，所以f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．[题后悟道] 解决概率与统计问题的关键点(1)会利用两个基本计数原理、排列与组合，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；能准确判断随机变量X的所有可能取值，然后求出随机变量X取每个值时的概率，即可得随机变量X的分布列；还需活用定义，即会活用随机变量的数学期望的定义进行计算．(2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，根据统计量K2的计算公式确定K2的值，K2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．[针对训练]为了调查观众对电视剧《传奇大亨》的喜爱程度，浙江电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众做问卷调查，并对问卷进行评分(满分100分)，被抽取的各位观众的问卷得分结果如图所示.(1)计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的极差； (2)用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取7人进行问卷调查，记抽取的7人中问卷得分不低于85分的人数为X ，求X 的分布列、期望与方差；(3)从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知有人问卷得分不低于85分的条件下，求乙地被抽取的观众问卷得分低于85分的概率．解：(1)由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是83＋832＝83，乙地被抽取的观众问卷得分的极差是97－76＝21.(2)记“从乙地抽取1人进行问卷调查，其问卷得分不低于85分”为事件M ， 则P (M )＝48＝12.随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7，且X ～B ⎝⎛⎭⎫7，12， 所以P (X ＝k )＝C k 7⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫127－k ＝C k 7⎝⎛⎭⎫127，k ＝0,1,2,3,4,5,6,7. 所以X 的分布列为故E (X )＝7×12＝72，D (X )＝7×12×12＝74.(3)由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有3名观众问卷得分不低于85分，乙地被抽取的8名观众中有4名观众问卷得分不低于85分．设事件A 为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，已知有人问卷得分不低于85分”，事件B 为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众问卷得分低于85分”．所以P (AB )＝3×48×8＝316，P (A )＝1－5×48×8＝1116，根据条件概率公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝3161116＝311.所以在已知有人问卷得分不低于85分的条件下，乙地被抽取的观众问卷得分低于85分的概率为311.[总结升华]概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件、独立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件．[专题过关检测]A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为()A．73B．78 C．77 D．76解析：选B样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B.2．(2019届高三·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．100,20 B．200,20C．200,10 D．100,10解析：选B由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.3．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由直方图可知()A．估计体重的众数为50或60B．a＝0.03C．学生体重在[50,60)有35人D．从这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为1 3解析：选C根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为50＋602＝55，所以估计众数为55，A错误；根据频率和为1，计算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，B错误；体重在[50,60)内的频率是0.35，估计体重在[50,60)内的学生有100×0.35＝35人，C正确；体重在[60,80)内的频率为0.3＋0.2＝0.5，用频率估计概率，知这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为12，D错误．4．如图是民航部门统计的2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是()A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误，选D.5．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，即2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为(4＋22)×510＝13，中位数为12＋142＝13.6．(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A ．160B ．163C ．166D ．170解析：选C 由题意可知y ^＝4x ＋a ^， 又x ＝22.5，y ＝160，因此160＝22.5×4＋a ^，解得a ^＝70， 所以y ^＝4x ＋70.当x ＝24时，y ^＝4×24＋70＝166. 二、填空题7．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________．解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列：5,8,9,12,14,16,16,19,21,24，中间两个为14与16，故中位数为14＋162＝15.答案：158．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为2，若数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a >0)的方差为8，则a 的值为________．解析：根据方差的性质可知，a2×2＝8，故a＝2.答案：29．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：试根据样本估计总体的思想，估计在犯错误的概率不超过________的前提下(约有________的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．参考附表：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d解析：分析列联表中数据，可得K2的观测值k＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.822＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下(有99%的把握)认为“喜爱该节目与否和性别有关”．答案：0.0199%三、解答题10．某市教育学院从参加市级高中数学竞赛的考生中随机抽取60名学生，将其竞赛成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计参加高中数学竞赛的考生的成绩的平均数、众数、中位数(小数点后保留一位有效数字)；(2)用分层抽样的方法在各分数段的考生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？解：(1)由频率分布直方图可知，(0.010＋0.015＋0.015＋a ＋0.025＋0.005)×10＝1，所以a ＝0.03. 所以参加高中数学竞赛的考生的成绩的平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71， 成绩的众数为75.设参加高中数学竞赛的考生的成绩的中位数为x ， 则0.1＋0.15＋0.15＋(x －70)×0.03＝0.5，解得x ≈73.3， 所以中位数为73.3.(2)因为各层人数分别为6,9,9,18,15,3，各层抽取比例为2060＝13， 所以各分数段抽取人数依次为2,3,3,6,5,1.11．2017年8月22日金乡县首届“诚信文艺奖”评选暨2017“百姓大舞台”第一季大型才艺大赛决赛在红星美凯龙举行．在比赛现场，12名专业人士和12名观众代表分别组成评判小组A ，B ，给参赛选手打分，如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图：(1)求A 组数据的众数和极差，B 组数据的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A 与小组B 哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由．解：(1)由茎叶图可得：A 组数据的众数为47，极差为55－42＝13； B 组数据的中位数为55＋582＝56.5.(2)小组A 更像是由专业人士组成的．理由如下： 小组A ，B 数据的平均数分别为x A ＝112×(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝47，x B ＝112×(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝56，所以小组A ，B 数据的方差分别为 s 2A ＝112×[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2]＝112×(25＋25＋9＋4＋1＋4＋9＋9＋64)＝12.5，s 2B ＝112×[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]＝112×(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.因为s 2A <s 2B ，所以小组A 的成员的相似程度高．由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该更高，因此小组A 更像是由专业人士组成的．12．(2019届高三·武汉调研)从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸(单位：cm)落在各个小组的频数分布如下表：(1)根据频数分布表，估计该产品尺寸落在[27.5,33.5)内的概率；(2)求这50件产品尺寸的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝22.41.利用该正态分布，求P (Z ≥27.43)．附：①若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5； ②22.41≈4.73.解：(1)根据频数分布表，估计该产品尺寸落在[27.5,33.5)内的概率P ＝5＋350＝0.16.(2)样本平均数x ＝0.06×14＋0.16×17＋0.18×20＋0.24×23＋0.20×26＋0.10×29＋0.06×32＝22.7.(3)依题意Z ～N (μ，σ2)，而μ＝x ＝22.7，σ2＝s 2＝22.41，则σ≈4.73， ∴P (22.7－4.73<Z <22.7＋4.73)＝0.682 7， ∴P (Z ≥27.43)＝1－0.682 72＝0.158 65. B 组——大题专攻补短练1．(2018·南昌一模)某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50,100]，按照区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀．(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[70,80)，[80,90)，[90,100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选3名学生发言，记来自[80,90)分数段中发言的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)补全表格如下：依题意得K2＝80×(12×20－28×20)240×40×32×48≈3.333>2.706.故有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．(2)从乙班[70,80)，[80,90)，[90,100]分数段中抽取的人数分别为2,3,2，依题意随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C34C37＝435，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝135.其分布列为所以E (X )＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97. 2．社会公众人物的言行在一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观．某媒体机构为了解大学生对影星、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称“星闻”)的关注情况，随机调查了某大学的200位大学生，得到信息如下表：(1)从所抽取的200人内关注“星闻”的大学生中，再抽取3人做进一步调查，求这3人性别不全相同的概率；(2)是否有95%以上的把握认为关注“星闻”与性别有关？并说明理由；(3)把以上的频率视为概率，若从该大学被调查的男大学生中随机抽取4人，设这4人中关注“星闻”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由已知得，所求概率P ＝1－2C 340C 380＝6079.(2)由于K 2＝200×(80×40－40×40)2120×80×120×80＝509≈5.556>3.841，故有95%以上的把握认为关注“星闻”与性别有关．(3)由题意可得，从被调查的男大学生中抽取一位关注“星闻”的男大学生的概率为40120＝13，不关注“星闻”的概率为23，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681；P (ξ＝1)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281； P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝2481＝827；P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫133×23＝881； P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫134＝181. 所以ξ的分布列为因为ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，所以E (ξ)＝43. 3．(2018·潍坊统一考试)某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝1x i，u ＝18∑i ＝18u i .(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)．(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(ωi －ω)(v i －v )∑i ＝1n(ωi －ω)2，α^＝v －β^ω.解：(1)由散点图判断，y ＝c ＋dx 更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程．(2)令u ＝1x，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18(u i －u )(y i －y )∑i ＝18(u i －u )2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x.(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －1.22＋8.96x x ≥78.840， ∴x ≥10，∴至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．4．(2019届高三·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．根据过去50周的资料显示，该地周光照量X (小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的关系为如图所示的折线图．(1)依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01)．(若|r |>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2，参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i ＝15(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i ＝15(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝ 2.所以相关系数r ＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2∑i ＝15(y i －y )2＝625×2＝910≈0.95. 因为r >0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2)记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y ＝3 000－1 000＝2 000(元)，P (Y ＝2 000)＝1050＝0.2，当30<X ≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y ＝2×3 000＝6 000(元)，P (Y ＝6 000)＝4050＝0.8，故Y 的分布列为所以E (Y )＝2 000×0.2＋③安装3台光照控制仪的情形：当X>70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000(元)，P(Y＝1 000)＝1050＝0.2，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000(元)，P(Y＝5 000)＝3550＝0.7，当30<X<50时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y＝3×3 000＝9 000(元)，P(Y＝9 000)＝550＝0.1，故Y的分布列为所以E(Y)＝1 000×0.2＋5 000×0.7＋9 000×0.1＝4 600(元)．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪．。