高三数学概率与统计2

概率与统计高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A 级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.重难点：1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件A 的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件．2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程.考点1、抽样方法【例1】某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本. 已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．【方法技巧】分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，按各部分在总体中所占的比实施抽样，据“每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等”列式计算；在实际中这种有差异的抽样比其他两类抽样要多的多，所以分层抽样有较大的应用空间，应引起我们的高度重视．【变式探究】某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m＝________.【解析】(500＋400＋200)×0.2＝220.【答案】220考点2、用样本估计总体【例2】(2013·重庆卷改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________．【解析】由茎叶图及已知得x＝5，又因9＋15＋10＋y＋18＋245＝16.8，所以y＝8.【答案】5,8【方法技巧】由于数据过大，直接计算会引起计算错误，故要学会像解析中介绍的两种方法那样尽量简化计算；同时要理解茎叶图的特点，能够从茎叶图获取原始数据．【变式探究】某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10)，[10,20)，…，[80,90)，[90,100])．则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为______ .【例3】袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率．解(1)记“3只全是红球”为事件A.从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3×3×3＝27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为P(A)＝1 27.(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A＋B＋C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由红、黄、白球个数一样，故不难得P(B)＝P(C)＝P(A)＝127，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 9.(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件D为“3只颜色全相同”，显然事件D与D是对立事件．∴P(D)＝1－P(D)＝1－19＝89.【方法技巧】在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解；对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解．【训练3】(2013·陕西卷改编)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．考点预测：1．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．2．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为________．3．某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为________．【解析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．5．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为________．6．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．【解析】平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16[(－4)2＋(－1)2＋02＋02＋22＋32)]＝5.【答案】58．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．【解析】总的取法是4组，能构成等差数列的有{2,3,4}，{2,4,6} 2组；故所求概率为P ＝24＝12.【答案】129．设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个数x ，使f (x )＜0的概率为________．10．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．11．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．12．从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃8”，事件B 为“抽得为黑桃”，则事件“A ＋B ”的概率值是________(结果用最简分数表示)．13．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．【解析】由题意得到的P (m ，n )有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共计6个；在圆x 2＋y 2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.【答案】13 14．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是________．。

人教版高三数学必修四概率与统计概率与统计在人教版高三数学必修四中扮演着重要的角色。

本文将以概率与统计为主题，探讨其在数学学科中的基本概念、相关公式和应用实例。

一、概率的基本概念与性质概率是指某个事件在一次试验中发生的可能性。

在高三数学必修四中，我们学习了概率的基本概念与性质，包括样本空间、事件、概率的定义、概率的性质等。

样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合，而事件则是样本空间的一个子集。

概率的定义是指事件发生的可能性与试验总结果数之间的比值。

我们学习了以下几个概率的性质：非负性、规范性、可列可加性和独立性。

其中，非负性指概率值始终大于等于零；规范性指全样本空间的概率为1；可列可加性是指两个互斥事件的概率和等于两个事件概率之和；独立性则是指两个事件的概率乘积等于它们各自的概率之积。

二、概率计算方法本节将介绍一些常见的概率计算方法，包括等可能概型、几何概型和条件概率。

1. 等可能概型等可能概型即指各个基本事件发生的概率相等的情况。

例如，抛一枚公正的硬币，正面和反面的概率都是1/2。

2. 几何概型几何概型指的是几何形状与概率计算的关系。

例如，求一个随机点在单位正方形内的概率，可以通过计算落入正方形内的点的数量与总点数之比来求解。

3. 条件概率条件概率是指在一定条件下某事件发生的概率。

例如，在已知某人感染某种疾病的情况下，进一步计算其患者的概率。

三、统计的基本概念与方法统计是数学学科中另一个重要的分支，主要包括描述性统计和推断性统计两个方面。

本节将以人教版高三数学必修四的内容为基础，介绍统计的基本概念与方法。

1. 描述性统计描述性统计是指通过数据收集、可视化和数据分析等方法对数据进行汇总和描述的过程。

其中包括数据的集中趋势、离散程度和数据分布等指标。

例如，平均数、中位数、众数和标准差等。

2. 推断性统计推断性统计是指通过收集一部分数据，然后根据这些数据对总体进行推断的方法。

其中包括参数估计和假设检验两个方面。

重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。

概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。

取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。

解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。

相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。

标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。

对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

概率与统计统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】1 .抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三二模）某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ） A ．45B ．46C ．47D ．48 【答案】C【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k ==，在1到20中抽到的是7， 则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.2．（2020·上海松江区·高三其他模拟）已知6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，在0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )A ．12B ．37C ．47D ．821【答案】B【分析】根据6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，将0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数分别为：061,C =166,C =2615,C =3620,C =4615,C =566,C =661,C =. 4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：2721C =种；所取的两数之和为偶数的有：22439C C +=；∴所取的两数之和为偶数的概率为：93217=. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．（2019·上海杨浦区·高三一模）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）A ．310B ．35C ．25D ．23【答案】B【分析】直接利用概率公式计算得到答案.【详解】11322563105C C P C ⨯=== ，故选：B 【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.4．（2019·上海黄浦区·高三二模）在某段时间内，甲地不下雨的概率为1P （101P <<），乙地不下雨的概率为2P （201P <<），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（ ） A ．12PPB ．121PP -C ．12(1)P P -D ．12(1)(1)P P -- 【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.【详解】因为甲地不下雨的概率为1P ，乙地不下雨的概率为2P ，且在这段时间内两地下雨相互独立， 所以这段时间内两地都下雨的概率为()()1211P P P =--.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题5．（2020·上海奉贤区·高三一模）某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件.现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为__________. 【答案】1117【分析】先由分层抽样抽样比求B 种型号抽取件数，以及n ，再根据古典概型公式求概率. 【详解】设B 种型号抽取m 件，所以1423m =，解得：21m =，142135n =+=， 从样本中抽取2件，含有A 型号产品的概率2111414212351117C C C P C +==.故答案为：11176．（2019·上海市建平中学高三月考）一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯=7．（2020·上海黄浦区·高三二模）某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有14028080500++=户.利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选28010056500⨯=户，故答案为：56 【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.8．（2020·上海高三其他模拟）某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________.【答案】17【分析】由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了x 人，则有40034020x=，求出x 的值即可【详解】解：设高三年级的学生抽取了x 人，则由题意得 40034020x=，解得17x =，故答案为：17 【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.9．（2016·上海杨浦区·复旦附中高三月考）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.【答案】9【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为()0.0040.002500.3+⨯=， 因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为300.39⨯=.故答案为9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.10．（2020·上海高三专题练习）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．【答案】5.【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a+=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．11．（2020·上海浦东新区·高三一模）在7(2)x +的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）【答案】12【分析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率. 【详解】7(2)x +展开式的通项为()77217722rr rr rr r T C x C x --+==，07,r r N ≤≤∈， 当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，故有0,2,4,6r =满足题意，故所求概率4182P ==.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．12．（2020·上海松江区·高三一模）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.【答案】115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率．【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数801200n C =， 学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.13．（2019·上海市建平中学高三月考）已知方程221x y a b+=表示的曲线为C ，任取a 、{}1,2,3,4,5b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________. 【答案】825【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“曲线C 表示焦距等于2的椭圆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】所有可能的(),a b 的组数为：5525⨯=，又因为焦距22c =，所以1c =，所以1a b -=±， 则满足条件的有：()1,2、()2,3、()3,4、()4,5、()5,4、()4,3、()3,2、()2,1，共8组， 所以概率为：825P =.故答案为：825. 【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应用.14．（2020·上海徐汇区·高三一模）小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 【答案】1115【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111515．（2020·上海高三一模）近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______.【答案】310【分析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=，使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=，所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．16．（2020·上海大学附属中学高三三模）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，则一小时内没有一台机床需要维护的概率为________【答案】0.42【分析】根据甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，利用独立事件和对立事件的概率求法求解.【详解】因为甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，所以一小时内没有一台机床需要维护的概率为()()10.410.30.42-⨯-=,故答案为：0.42【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于基础题.17．（2020·上海长宁区·高三三模）2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为________ 【答案】14【分析】甲同学从物理、历史二选一，其中选历史的概率为12，从化学、生物、政治、地理四选二，有6种选法，其中选化学的有3种，从而可得四选二，选化学的概率为12，然后由分步原理可得同时选择历史和化学的概率.【详解】解：由甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，所以甲同学从物理、历史二选一选历史的概率为12，甲同学从化学、生物、政治、地理四选二有：化学与生物，化学与政治，化学与地理，生物与政治，生物与地理，政治与地理共6种不同的选法，其中选化学的有3种，所以四选二中有化学的概率为12， 所以由分步原理可知甲同学同时选择历史和化学的概率为111=224⨯， 故答案为：14 【点睛】此题考查古典概型概率以及独立事件概率乘法公式的求法，考查理解运算能力，属于基础题. 18．（2019·上海市七宝中学高三三模）一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________【答案】0.88【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=，故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 19．（2019·上海金山区·高三二模）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是________（结果用小数表示）【答案】0.9702【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率．【详解】生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02， 每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p ＝（1﹣0.01）（1﹣0.02）＝0.9702．故答案为0.9702．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题20．（2019·上海普陀区·）某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第n 年的人口数量为n a （2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数0.6544450()2000 4.48781x P x e -=++拟合该城市的人口数量，其中x 的单位是年.假设2014年初对应0x =，()P x 的单位是万.设()P x 的反函数为()T x ，求(2440)T 的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1）201520142135208253f f -=-=，201620152203213568f f -=-=，201720162276220373f f -=-=，201820172339227663f f -=-=，201920182385233946f f -=-=，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为0.65444.48781x e -+为单调递减函数，则()P x 为单调递增函数，则0(2440)T x =0()2440P x ⇒=， 代入000.6544450()200024404.48781x P x e -=+=+，解得08.1x =，即(2440)8.1T =， 其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.。

高三数学练习题：概率与统计
问题1：
某班有40名学生，其中有30名学生参加了一个数学竞赛。

现在我们从这些学生中随机抽取一名学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位参加了数学竞赛的学生；
b) 抽中一位未参加数学竞赛的学生。

问题2：
某班有50名学生，其中30人喜欢数学，20人喜欢英语，15人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中随机选择一位学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位喜欢数学的学生；
b) 抽中一位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位同时喜欢数学和英语的学生。

问题3：
某地区的天气预报表明，星期一下雨的概率是0.3，星期二下雨的概率是0.4。

而星期一和星期二都下雨的概率是0.15。

现在，我们从这两个星期中随机选择一个天气预报，请计算以下概率：
a) 抽中星期一下雨；
b) 抽中星期二下雨；
c) 抽中星期一和星期二都下雨。

问题4：
某班有90名学生，其中40人喜欢数学，60人喜欢英语，20人同时喜欢数学和英语。

现在我们从这些学生中选择两个学生，请计算以下概率：
a) 抽中两位喜欢数学的学生；
b) 抽中两位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位喜欢数学的学生和一位喜欢英语的学生。

问题5：
某打印店收到100份订单，其中有20份订单有错误。

现在，我们从这些订单中随机抽取一份，请计算以下概率：
a) 抽中一份有错误的订单；
b) 抽中一份没有错误的订单。

高中数学统计知识点高中数学概率与统计
高中数学统计知识点包括以下内容：
1. 数据的收集和整理：包括原始数据的收集和整理，如问卷调查、实验结果等。

2. 描述统计：用于对数据进行总结和描述的方法，包括平均数、中位数、众数、极差、标准差等。

3. 概率：研究随机事件发生的可能性的数学分支，包括基本概念、概率的计算方法和
性质。

4. 概率分布：描述随机变量取值与相应概率的分布，包括离散型随机变量和连续型随
机变量的分布。

5. 统计推断：从样本数据中推断总体的特征的方法，包括点估计和区间估计。

6. 假设检验：用于推断总体参数的假设检验方法，包括单样本检验、双样本检验和相
关性检验等。

7. 相关分析：研究两个或多个变量之间关系的方法，包括相关系数和回归分析等。

8. 抽样调查：从总体中随机选择样本进行调查和统计分析的方法，包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。

以上是高中数学概率与统计的主要知识点，通过掌握这些知识，可以进行数据的整理
和分析，并进行相关的统计推断和假设检验。

高三数学知识点统计概率统计概率是高三数学中的重要知识点之一，它通过对统计数据进行分析和计算，帮助我们了解事件发生的概率。

下面将从基本概念、概率计算方法和应用实例三个方面进行介绍。

一、基本概念概率是指某一事件在相同条件下发生的可能性大小。

在统计学中，常用的概率计算方法包括频率概率和几何概率两种。

1.1 频率概率频率概率是通过统计大量实验结果得到的概率。

它的计算公式为：事件发生次数/总实验次数。

1.2 几何概率几何概率是通过计算事件所占的样本空间的面积或体积得到的概率。

它的计算公式为：事件发生的可能结果数/总可能结果数。

二、概率计算方法在统计概率的计算中，常用的方法有加法法则、乘法法则和条件概率。

2.1 加法法则加法法则用于计算两个事件中至少发生一个事件的概率。

当两个事件互斥时（即两个事件不可能同时发生），可以直接使用加法法则计算：P(A∪B) = P(A) + P(B)。

2.2 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。

当两个事件独立时（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生），可以直接使用乘法法则计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)。

2.3 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

三、应用实例统计概率在实际生活中有广泛的应用，下面以两个常见的例子介绍其应用。

3.1 投掷骰子假设我们有一枚均匀的六面骰子，每个面上的点数为1~6。

现在我们想知道投掷一次骰子后，点数为偶数的概率是多少。

根据频率概率，我们可以进行一系列实验，统计出点数为偶数的次数，再除以总实验次数，就可以得到概率。

根据几何概率，点数为偶数的可能结果数为3，总可能结果数为6，因此概率为1/2。

3.2 抽奖活动某个电商平台举办了一个抽奖活动，奖品包括一等奖、二等奖和三等奖。

现在我们想知道抽奖时至少抽到二等奖的概率是多少。

高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。

在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。

概率是指某个事件发生的可能性大小。

在数学中，概率可以通
过计算来得出。

常见的计算方法包括频率概率和几何概率。

学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。

在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。

例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。

高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。

学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。

通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。

他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。

总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。

阶段验收评价（三）统计与概率一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1．某学校共有36个班级,每班50人,现要求每班派3名代表参加会议,在这个问题中,样本容量是( ) A ．30B ．50C ．108D ．150解析：选C 由样本的定义知,样本容量n ＝36×3＝108.2．小波一星期的总开支分布如图①所示,一星期的食品开支如图②所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ( )A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%解析：选C 由题图②知,小波一星期的食品开支为300元,其中鸡蛋开支为30元,占食品开支的10%,而食品开支占总开支的30%,所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.3．某校高三级部分为甲、乙两个级部,现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会．已知乙级部中每名老师被抽到的可能性都为13,则高三级部的全体老师的人数为( ) A ．10B ．30C ．60D ．90解析：选D 因为乙级部中每名老师被抽到的可能性都为13,所以高三年级中每名老师被抽到的可能性都为13,由30÷13＝90(人),可得全体老师人数． 4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么,互斥而不对立的事件是( )A ．至少有一个红球；都是红球B ．至少有一个红球；都是白球C ．至少有一个红球；至少有一个白球D ．恰有一个红球；恰有两个红球解析：选D 根据互斥事件、对立事件的定义可得．5．已知一组数据8,9,10,x ,y 的平均数为9,方差为2,则x 2＋y 2＝( )A ．162B ．164C ．168D ．170 解析：选D 由题意可知15(8＋9＋10＋x ＋y )＝9,15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(x －9)2＋(y －9)2]＝2,解得x 2＋y 2＝170.6.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图,则由图可估计样本质量的中位数为( ) A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5解析：选 C 由频率分布直方图得组距为5,故样本质量在[5,10),[10,15)内的频率分别为0.3和0.5,从而中位数为10＋0.20.5×5＝12,故选C. 7．种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p 和q ,则恰有一株成活的概率为( )A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq解析：选A 恰有一株成活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq .8．(2020·新高考山东卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%解析：选C 不妨设该校学生总人数为100,既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x ,则100×96%＝100×60%－x ＋100×82%,解得x ＝46,所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9．下列说法正确的是( )A ．一组数据不可能有两个众数B ．一组数据的方差必须是正数C ．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后,方差不变D ．在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率解析：选CD A 错,众数可以有多个；B 错,方差可以为0.10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是( )A ．2张卡片都不是红色B ．2张卡片恰有一张红色C ．2张卡片至少有一张红色D ．2张卡片都为绿色解析：选ABD 从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”,在选项给出的四个事件中,与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”,而“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥事件．故选A 、B 、D.11．在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A ,B 发生的概率相等,则称A 和B 是“等概率事件”,如：随机抛掷一个骰子一次,事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”．关于“等概率事件”,以下判断正确的是( )A ．在同一个古典概型中,所有的样本点之间都是“等概率事件”B ．若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”C ．因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D ．同时抛掷三枚硬币一次,则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”解析：选AD 对于A,由古典概型的定义知,所有样本点的概率都相等,故所有的样本点之间都是“等概率事件”,故A 正确；对于B,如在1,3,5,7,9五个数中,任取两个数,所得和为8和10这两个事件发生的概率相等,故B 错误；对于C,由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故C 错误；对于D,同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果,其中“仅有一个正面”包含3种结果,其概率为38,“仅有两个正面”包含3种结果,其概率为38,故这两个事件是“等概率事件”,故D 正确．故选A 、D.12．下列对各事件发生的概率判断正确的是 ( ) A ．某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为25C ．从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是13D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率是29解析：选AC 对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427,故A 正确； 对于B,用A ,B ,C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则P (A )＝15,P (B )＝13,P (C )＝14,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34＝25,所以此密码被破译的概率为1－25＝35,故B 错误； 对于C,该试验的样本空间Ω＝{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},记A 为“取出的2个数之差的绝对值为2”,则A ＝{(1,3),(2,4)},故所求概率为13,故C 正确； 对于D,易得P (A ∩B )＝P (B ∩A ),即P (A )P (B )＝P (B )P (A ),即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )],所以P (A )＝P (B ),又P (A ∩B )＝19, 所以P (A )＝P (B )＝13, 所以P (A )＝23,故D 错误． 故选A 、C.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a 的值为________．解析：由题意知,1245＋15＝30120＋a,解得a ＝30. 答案：3014．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ,b ,c ,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a ,b ,c ∈{1,2,3,4},且a ,b ,c 互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率为________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个；同理,由1,2,4组成的三位自然数为6个,由1,3,4组成的三位自然数为6个,由2,3,4组成的三位自然数为6个,共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”,共12个,所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12. 答案：1215．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进．经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．解析：∵x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98, ∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.答案：0.9816．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出白球的概率为______；摸出红球的概率为________．解析：由题意知A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件,又P (A )＝0.58,∴P (B )＝1－P (A )＝0.42,又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”也是对立事件,∵P (C )＝0.62,∴P (D )＝0.38.设事件E ＝“摸出红球”,则P (E )＝1－P (B ∪D )＝1－P (B )－P (D )＝1－0.42－0.38＝0.2.答案：0.38 0.2四、解答题(本大题共6小题,共70分)17．(10分)某公司为了了解一年内的用水情况,抽取了10天的用水量如下表所示：(1)在这(2)在这10天中,该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？ 解：(1)x ＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)． (2)中位数为41＋442＝42.5(吨)． (3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低,10天的用水量有8天都在平均值以下,故用中位数描述每天的用水量更合适．18．(12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解：用A ,B ,C 分别表示这三列火车正点到达的事件,则P (A )＝0.8,P (B )＝0.7,P (C )＝0.9,所以P (A －)＝0.2,P (B －)＝0.3,P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ,B ,C 之间相互独立,所以恰好有两列火车正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.19．(12分)两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1. (1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？解：(1)x 甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5, x 乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x 甲>x 乙,∴乙机床次品数的平均数较小．(2)s 2甲＝110×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65,同理s 2乙＝0.76,∵s 2甲>s 2乙,∴乙机床的生产状况比较稳定．20．(12分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件,求P (A )．(2)现连玩三次,若以B 表示甲至少赢一次的事件,C 表示乙至少赢两次的事件,试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)样本空间与点集S ＝{(x ,y )|x ∈N *,y ∈N *,1≤x ≤5,1≤y ≤5}中的元素一一对应． 因为S 中点的总数为5×5＝25(个),所以样本点总数为n ＝25.事件A 包含的样本点共5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以P (A )＝525＝15. (2)B 与C 不是互斥事件,因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．结合(1)知和为偶数的样本点个数为13个,即甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1225, 所以这种游戏规则不公平．21.(12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段 [50,60)[60,70) [70,80) [80,90) x ∶y1∶1 2∶1 3∶4 4∶5解：(1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1,解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25. 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.22．(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变．近年来,移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：(1)估计该校学生中上个月A,B 两种支付方式都使用的人数．(2)从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率．(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知,样本中仅使用A 的学生有27＋3＝30(人),仅使用B 的学生有24＋1＝25(人),A,B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A,B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A,B 两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400. (2)记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则 P (C )＝125＝0.04.(3)记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于 2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．。

高中数学新概率与统计教案课程目标：
1. 理解概率与统计的基本概念和原理；
2. 掌握概率与统计的基本计算方法；
3. 能够应用概率与统计的知识解决实际问题。

第一节：概率的基本概念
1. 概率的概念及其表示方法；
2. 事件与样本空间；
3. 基本概率公式的推导和应用；
4. 条件概率的定义与计算。

第二节：随机变量与概率分布
1. 随机变量的定义与分类；
2. 离散随机变量与连续随机变量的概念；
3. 概率密度函数与概率分布函数；
4. 均匀分布、正态分布等常见分布的特点及应用。

第三节：统计推断
1. 抽样调查的基本方法；
2. 样本均值与总体均值的关系；
3. 样本方差与总体方差的估计；
4. 中心极限定理及其应用。

第四节：相关性与回归分析
1. 相关性的定义与性质；
2. 相关系数的计算与解释；
3. 简单线性回归分析的原理与方法；
4. 多元线性回归分析的应用与实际案例。

课堂活动：
1. 小组讨论：根据实际情景计算概率；
2. 实验演示：通过掷骰子、抽样调查等方式，体验概率与统计的应用；
3. 课堂练习：完成相关章节的习题，巩固概念与计算方法；
4. 实际案例分析：结合真实数据，进行相关性与回归分析，培养学生的数据解读能力。

课后作业：
1. 完成相关章节的课后习题；
2. 分析一个真实生活案例，运用概率与统计知识进行分析；
3. 阅读相关资料，了解概率与统计在不同领域的应用；
4. 准备下节课的讨论或展示内容。

高三数学概率与统计与解法知识点深入探讨概率与统计的基本概念概率的基本概念概率是用来描述事件发生可能性的一种数学度量。

在数学中，我们通常用一个介于0和1之间的数来表示概率，其中0表示事件绝对不会发生，1表示事件必然发生。

随机试验与样本空间随机试验是指在相同的条件下，可能出现几种不同结果的试验。

样本空间是指随机试验所有可能结果的集合。

随机事件随机事件是指在样本空间中的一部分，表示某种结果的发生。

概率的定义概率是指某个随机事件发生的可能性。

在数学中，通常用符号P表示概率，概率的定义为：[ P(A) = ]概率的基本性质1.非负性：概率值总是非负的，即( P(A) 0 )。

2.归一性：所有可能事件的概率之和为1，即( _{i=1}^{n} P(A_i) = 1 )。

统计的基本概念统计学是研究如何收集、整理、分析和解释数据的科学。

在高中数学中，我们主要学习描述统计和推断统计两个方面。

描述统计描述统计是指用图表、数值等方法对数据进行总结和描述的过程。

常用的描述统计方法包括：1.频数与频率：频数是指某个数值出现的次数，频率是指某个数值出现的次数与总次数的比值。

2.众数、中位数、平均数：众数是指一组数据中出现次数最多的数值，中位数是将数据从小到大排列后位于中间的数值，平均数是指一组数据的总和除以数据个数。

3.方差与标准差：方差是衡量一组数据分散程度的指标，标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。

推断统计推断统计是指利用样本数据来推断总体特征的方法。

推断统计主要包括两个方面：参数估计和假设检验。

1.参数估计：参数估计是指利用样本数据来估计总体参数的方法。

常用的参数估计方法包括：最大似然估计、最小二乘估计等。

2.假设检验：假设检验是指对总体参数的某个假设进行检验的方法。

常用的假设检验方法包括：卡方检验、t检验、F检验等。

概率与统计的解法知识点概率的解法知识点排列组合排列组合是计算概率的基础。

排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合。

高中数学概率与统计问题的题型与方法篇一：高二数学概率与统计问题的题型与方法2第110－113课时概率与统计问题的题型与方法一．备考目标：1．了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。

2．介绍线性型随机变量的期望值、方差的意义，可以根据线性型随机变量的原产列求出来期望值、方差。

3．在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。

4．介绍正态分布的意义，能够利用正态曲线的图像认知正态曲线的性质。

5．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体n(?,?2)转化为标准正态总体n （0，1）的公式f(x)??(x??)及其应用。

6．通过生产过程的质量掌控图，介绍假设检验的基本思想。

7．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。

8．介绍相关系数的计算公式及其意义，可以用相关系数公式展开排序。

了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。

二．考试建议：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

⑵介绍线性型随机变量的期望值、方差的意义，可以根据线性型随机变量的原产列求出来期望值、方差。

⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

⑷会用样本频率分布去估计总体分布。

⑸介绍正态分布的意义及主要性质。

⑹了解假设检验的基本思想。

⑺可以根据样本的特征数估算总体。

⑻了解线性回归的方法。

三．教学过程：（ⅰ）基础知识详析㈠随机事件和统计数据的知识结构：㈡随机事件和统计的内容提要1．主要内容就是线性型随机变量的原产列于、希望与方差，样本方法，总体原产的估算，正态分布和线性回归。

2．随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的分布列：两条基本性质①pi?0(i?1,2,?)；②p1+p2+?=1。

（2）连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)；总体原产密度函数的两条基本性质：①f(x)≥0(x∈r)；②由曲线y=f(x)与x轴围起面积为1。

第二课统计与概率考点突破·素养提升素养一直观想象角度1 抽样方法【典例1】1. 一个布袋中有10个同样质地的小球,从中不放回地依次抽取3个小球,则某一特定小球被抽到的可能性是________,第三次抽取时,剩余每个小球被抽到的可能性是________.2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.【解析】1.因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为,所以第一个空填.因为本题中的抽样是不放回抽样,所以第一次抽取时,每个小球被抽到的可能性为,第二次抽取时,剩余9个小球,每个小球被抽到的可能性为,第三次抽取时,剩余8个小球,每个小球被抽到的可能性为.2.该地区中小学生人数为3 500+2 000+4 500=10 000,则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取高中生近视人数为2 000×2%×50%=20.答案:1.2. 200, 20【类题·通】1.简单随机抽样,每次抽取时,总体中各个个体被抽到的可能性相同,在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等.2.分层抽样的特点是“等比例”抽样,计算时不要忽视每层抽取的个体的比例是相同的.【加练·固】某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的表格:产品类别 A B C产品数量(件) 1300样本数量(件) 130由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本数量比C 产品的样本数量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是________件.【解析】设C产品的样本数量为n,则A产品的样本数量为n+10,由题意知=,解得n=80.故C产品的数量为80÷=800(件).答案:800角度2 用样本的数字特征估计总体的数字特征【典例2】1.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为( )A.64B.54C.48D.272.甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验,成绩的茎叶图如图所示(单位:分),则甲班、乙班的最高成绩分别是________,从图中看,________班的平均成绩较高.【解析】1.选B.[4.7,4.8)之间频率为0.32,[4.6,4.7)之间频率为1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22,所以a=(0.22+0.32)×100=54.2.由茎叶图知甲班的最高成绩为96分,乙班的最高成绩为92分,再根据茎叶图的分布特点知,乙班的成绩分布集中在下面,故乙班的平均成绩较高.答案:96,92 乙【类题·通】1.频率为直方图中相应小长方形的面积,即频率=纵坐标×横坐标差的绝对值.2.当数据是两位数时,十位上的数字为“茎”,个位上的数字为“叶”;如果是三位数,通常把百位和十位部分作为“茎”,个位上的数字为“叶”;如果是小数,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶,应用茎叶图对两组数据进行比较时,要从数据分布的对称性、稳定性等几方面来比较.【加练·固】1.某中学举办电脑知识竞赛,满分为100分,80分以上为优秀(含80分),现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组,绘制成频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小组的频数是40,则参赛的人数是________,成绩优秀的频率是________.2.某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若统计员计算无误,则数字x应该是 ( )A.5B.4C.3D.2【解析】1.设参赛的人数为n,第二小组的频率为1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4,依题意=0.4,所以n=100,成绩优秀的频率是0.10+0.05=0.15.答案:100 0.152.选D.去掉最低分87,去掉最高分94(假设x≤4),则7×91=80×2+9+8+90×5+2+3+2+1+x,所以x=2,符合题意.同理可验证x>4不合题意.素养二逻辑推理角度频率与概率【典例3】对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽出件数a 50 100 200 300 400 500次品件数b 3 4 5 5 8 9次品频率(1)计算表中次品的频率.(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘?【解析】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02, 0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x是正整数,所以x≥2 041,即至少需进货2 041个U盘.【类题·通】频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别.【加练·固】某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X(单位:株)之间的关系如下表所示:X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1m.(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量,Y 51 48 45 42频数 4(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.【解析】(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:Y 51 48 45 42频数 2 4 6 3所种作物的平均年收获量为===46.(2)由(1),知P(Y=51)=,P(Y=48)=.故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.素养三数学运算角度1 计算互斥事件和的概率【典例4】由经验得知,某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表: 排队人数0 1 2 3 4 5人及以上概率0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04求:(1)至多2人排队的概率.(2)至少2人排队的概率.【解析】(1)记“没有人排队”为事件A,“1人排队”为事件B,“2人排队”为事件C,则A,B,C 彼此互斥.P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.10+0.16+0.30=0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D,“少于2人排队”为事件A∪B,那么事件D与事件A∪B是对立事件,则P(D)=P()=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.10+0.16)=0.74.【类题·通】本题可将所求事件转化为彼此互斥的事件的和,但有时比较麻烦,若转化为其对立事件求解,体现了“正难则反”的思想.注意“至少2人排队”可分为4个彼此互斥的基本事件,它的对立事件为“最多1人排队”只包含2个基本事件.【加练·固】甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试,已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198,恰有2人过关(事件B)的概率为0.38,恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求:(1)至少有2人过关的概率P1.(2)至多有3人过关的概率P2.【解析】由条件知,事件A,B,C,D彼此互斥.(1)P1=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.766.(2)P2=P()=1-P(D)=1-0.084=0.916.角度2 古典概型【典例5】口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回),试求“第二个人摸到白球”的概率.【解析】把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁,把2个白球编上序号1,2,把2个黑球也编上序号1,2,于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示出来,如图所示.从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种,记第二个人摸到白球为事件A,则P(A)==.【类题·通】事件个数没有很明显的规律,而且涉及的基本事件又不是太多时,我们可借助树形图直观地将其表示出来,有利于条理地思考和表达.【加练·固】从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:(1)A={三个数字中不含1和5}.(2)B={三个数字中含1或5}.【解析】这个试验的所有可能结果为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种.(1)事件A为(2,3,4),故P(A)=.(2)事件B的所有可能结果为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5), (1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共9种.故P(B)=.。