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因式分解平方差公式 公开课课件

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因式分解--平方差公式--课件

因式分解--平方差公式--课件
算一算
大家比一比，看谁算的 又快又准确！
13.52-6.52 =140
数学活动1：
如图所示，阴影部分是一个边长为a的大正方
形的右下角裁去了一个边长为b的小正方形。
1、只裁剪一刀，你
能拼出几种不同的四
边形？
a
2、你能用含a、b的
式子表示出这个四边
形的面积吗？
a
b b
a
a
b
a-b a
b
b
bb
a-b aa a-b
下列多项式能否用平方差公式分解因式？为 什么？
(1) x2 +y 2
(2) x2 y3
(3) -x2 +y 2 (4) x2 y2 z (5) -x2 -y 2
不能 不能 能 不能 不能
数学活动2： 例1:把下列各式分解因式：
(1)m2 16; (2)4x2 9 y2.
检验自我
a b a2 －b2 = (a＋b) (a－b)
对比与思考：
整式乘法：(a＋b) (a－b) = a2－b2
因式分解：
=
两个数的平方差，等于
这两个数的和与这两个数的差的积．
你现在知道了吗？ 13.52-6.52 =(13.5+6.5)(13.5-6.5) =140
பைடு நூலகம்
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
1. 把下列各式分解因式：
(1) 4 a2b2 1; 9
(2)x4 y4.
挑战自我 2. 把下列各式分解因式：
(1) (x+p)2-(x+q)2 ;
(2)4x3 9xy2.
任选两式作差，并进行因式分解 ：
x (1) 2

公式法PPT课件(北师大版)

公式法PPT课件(北师大版)

2
2 92 − 4 2
4 −4 +16
3. 已知 + 2 = 3， 2 -4 2 =-15,求 − 2，，的值.
同学们，再见！
课题：公式法——平方差公式
复习引入
问题：什么叫因式分解?
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这样的变
形叫做因式分解.
问题：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法
复习引入
问题：整式乘法中的平方差公式是什么？
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
整式乘法
(a+b)(a－b) =a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
－ =( + )( − )
公式左边：1.多项式有两项；
2.这两项异号；
3.两项是平方差.
公式右边： 两个数的和与两个数的差的乘积的情势。
练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解？
(1)
m 81
2
(2) 1 16b 2
√
=2 − 92
√
=12 − (4)2
×
不能转化为平方差情势
3.两项是平方差.
注：公式中的字母a，b可以代表数、字母，也可以代
表一个式子；分解因式时要把式子看作一个整体.
（整体思想）
归纳总结
۞2.利用平方差公式分解因式的步骤：
（1）若多项式中有公因式，应先提取公因式；
（2）剩余因式若有两项、异号，两项是平方差，
则用平方差公式继续分解因式；
۞3.分解因式一定要分解到每个因式都不能再分
=( + 1)( − 1)
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式

人教版八年级数学 利用平方差公式因式分解PPT课件

人教版八年级数学 利用平方差公式因式分解PPT课件
2 2=（
–
+
）（
-
）
问题：观察平方差公式：a2－b2=（a+b） （a－b）的项、指数、符号有什么特点？
【练一练】一： 4a2=（ ）2
0.16a4=（ x4 y2=（ ） ）2
25b2=（ ）2
2
a b =（
2
2
）
2
【练一练】二：
下列多项式可以用平方差公式去分 解因式吗？ 为什么？
(1) 4x2+y2
(2) a b–ab=____________________
特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的 代数式（单项式、多项式）．
4
4
3
小结：
平方差公式：
a b
2
2
(a b)(a b)
平方差公式因式分解特征： (1)两部分相减
(2)两部分都可写成某数（式）的平方
(3)结果是两数之和与这两数之差的积
公式法因式分解（一）
1.理解平方差公式的意义，弄清平方差 公式的形式和特点；
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法， 能正确运用平方差公式把多项式分解 因式（直接用公式不超过两次）
情景导入:
1、同学们，你能很快知道992-1是100 b）（a-b）=__________ 3.你能将a2－b2 分解因式吗？ 你是如 何思考的？
注意:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止. 3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
(3) －4x2－y2
(2) 4x2－(－y)2
(4) －4x2+y2
(5) a2－4

因式分解与平方差公式PPT

因式分解与平方差公式PPT
3、若a、b、c是三角形的三边长且满足 (a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（ A、等腰三角形 C、直角三角形 ）
B、等边三角形 D、不能确定
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X² -y³
D
D. - X² + y²
(4) 0.16(a–b)
2 2=_______ [0.4(a-b)] ;
第十五章 因式分解 八年级 数学 把下列各式分解因式 平方差公式 :a2-b2 =(a+b)(a-b)
a2 − b2 = (a + b) (a-b)
2 =x² 1 =（x+1) (x-1) (1) x² - 1 2 =m² 3 (2) m²- 9 =（m+3)(m-3) (3) x² - 4y² =x² - (2y)2 =（x+2y) (x-2y)
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
平方差公式：
整式乘法
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法与因 式分解是互逆 的过程
两个数的平方差， 等于这两个数的和 与这两个数的差的 a²- b² = (a+b)(a-b) 积
因式分解
第十五章 因式分解 八年级 数学 1.把下列各式写成完全平方的形式：
如：36x2y4=( 6xy2) 2
(1)4x2 – 9
(2)(x+p)2 – (x+q) 2

平方差公式因式分解名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

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随堂演练
1、下列哪些多项式能够用平方差公式 分解因式？
(1) 4x2+y2；
(2) 4x2-(-y)2；
(3) -4x2-y2；
(4) -4x2+y2；
(5) a2-4；
(6) a2+32.
2、把下列各式分解因式:
(1) 36-25x2 (2) 16a2-9b2 解：(1) 36-25x2 =62-(5x)2
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) (m2-3)2–1= (m2-3-1)(m2-3+1)
=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)
(3) 9(m+n)2-(m-n)2
巩固练习 1.把下列各式分解因式：
(1)(m - a)2 - (n + b)2
(2)49(a - b)2 -16(a + b)2
=(6+5x)(6-5x)
(2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
3、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(ab=)[]32(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)]
5、把多项式2x3-8x分解因式.
解：2x3-8x =2x (x2-4) =2x (x2_22) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然 后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
6、把下列各式分解因式:
(1) a4–b4= (a2)2-(b2)2= (a2+b2)(a2-b2)

因式分解(公开课)平方差公式

因式分解(公开课)平方差公式

（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？
（a+b） （a-b） =a -b
（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 2 2 来解决这个问题吗？
y 2 25 y 2 52 ( y 5)( y 5)
x 4 x 2 ( x 2)( x 2)
(1)x4-y4 ; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式, 再进一步分解. 解:(1) x4-y4 (2) a3b-ab = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y) =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
2 2 2
探索平方差公式
把整式的乘法公式——平方差公式 （a+b） （a-b） =a 2 -b 2 反过来就得到因式分解的 平方差公式：
a -b =（a+b） （a-b）
2
2
理解平方差公式
互动游戏：由x2、- x2 、 y2、 - y2 这些数随机组成的 多项式能否用平方差公式来分解因式。
x +y 2 2 x -y 2 2 y -x
2 2
2
2
× √ √
- x -y ． ×
理解平方差公式
a -b =（a+b） （a-b）
由此可知：
适用于平方差公式因式分解的
2
2
多项式 必须是二项式，每一项为（或可以 转化为）平方项， 并且两个平方项的符号 相反．
a 2 -b 2 =（a+b） （a-b）

人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)

－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2

第37课时因式分解平方差公式市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件


(2) (x+p)2-(x+q)2
分析：把x+p和x+q分别看成一个整体，在形 式上就具备了平方差公式的特点，所以可用平 方差公式分解。
解：(x+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q)
9
2、活用公式
例4、分解公因式
(1)x4-y4
n1 2n
五、小结
1、今天学习了利用平方差公式分解因式，你有哪 些收获？
2、平方差公式有哪些特点？你记住了吗？ 3、分解因式要分解到多项式的每一项不能再分 解为止!
六、作业
1、P.117.练习2. 2、P.119.复习巩固.2. 3、P.119.综合运用.5.（3）
(2) a3b-ab
分析：a3b-ab有公因式ab，应先提取公因式， 再进一步分解。
解：a3b-ab =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
四、巩固提升
1、基础练习
(1) 下列多项式，哪些能用平方差公
式来分解因式，哪些不能？为什么？
m2 +4n2
m2 -4n2
_不__能__ __能__
m2 -4n2 __不_能__
解： ∵ a-b=1 ∴ a2-b2-2b =(a+b)(a-b)-2b =(a+b)×1-2b =a+b-2b =a-b =1
(2)已知：a2-b2=21, a-b=3，求代数式(a-3b)2 的值。 分析：把 a2-b2=21的左边分解因式得， (a+b)(a-b)=21,将a-b=3代入得a+b=7, 由a-b=3及a+b=7,可求出a、b的值。

因式分解平方差公式 公开课课件

★平方差公式中字母a、b不仅可以表 示数，而且也可以表示其它代数式.
解决问题
在使用平方差公式分解因式时，要 注意： 先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b.
例1：把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2 (2) 9(a+b)2-4(a-b)2 (3) (x+p)2-(x+q)2
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？ 如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
36
±
1 )2 ; 6
(2) 0.81＝（ ±
0.9
) 2;
（3）9m2 ＝ ( ±
(5) 4(a-b)2=[ ± (6)
1 (x+y)2=[ 16
3m )2;
1 4
(4) 25a2b2=(±
5ab )2;
]2; 2(a-b)
±
(x+y) ]2。
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例题精讲
1、把下列各式分解因式:
(1) (2) 2 =62-(5x)2 解：(1) 36-25x =(6+5x)(6-5x) (2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
（2mn）2 - ( 3xy)2 = (x+z)22－20052 = = 2006 - (y+p)2

因式分解(2)——公式法(人教版)八年级数学上册PPT课件

原式＝（x-y）（a2-b2） ＝（x-y）（a+b）（a-b）．
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
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考考你
你知道992-1能否被100整除吗？ 说说你是怎么想的？
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法
因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
平方差公式：
两个数的和乘这两个数的差 ，等 于这两个数的平方差。
+ b)(a - b) = a 2 - b 2 (a
2 2
整式乘法
a - b = ( a+ b)( a - b)
★平方差公式中字母a、b不仅可以表 示数，而且也可以表示其它代数式.
解决问题
在使用平方差公式分解因式时，要 注意： 先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b.
例1：把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2 (2) 9(a+b)2-4(a-b)2 (3) (x+p)2-(x+q)2
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
(6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
铺路之石
填空：
（1） 1 ＝（
36
±
1 )2 ; 6
(2) 0.81＝（ ±
0.9
) 2;
（3）9m2 ＝ ( ±
(5) 4(a-b)2=[ ± (6)
1 (x+y)2=[ 16
3m )2;
1 4
(4) 25a2b2=(±
5ab )2;
]2; 2(a-b)
±
(x+y) ]2。
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例题精讲
1、把下列各式分解因式:
(1) (2) 2 =62-(5x)2 解：(1) 36-25x =(6+5x)(6-5x) (2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(的和乘这两个数的差 .
a ▲b
2
2
= ( a ▲ b )( a - b ) + ▲
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
2 36-25x
2-9b2 16a
做一做
你能试着把下列各式分解因式吗？
（1）a2-16 ＝a2-( 4 )2 ＝（a+4)(a-4)
（2）64-b2 ＝( 8 ) 2-b2＝（8+b)(8-b)
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 把下列各式分解因式：
1 看（1）a2－82 = (a+8) (a －8) 谁 （2）16x2 －y2 =(4x+y) (4x －y) 快 2 又 (3) － 1 y2 + 4x2 1 1 3 =(2x + y) (2x － y) 9 对 3 3
（2mn）2 - ( 3xy)2 = (x+z)22－20052 = = 2006 - (y+p)2
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
例题精讲
2、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(ab)]2 =[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
例题精讲
3、把多项式x4-16分解因式.
解：x4-16 =(x2)2-42 2+4)(x2-4) =(x 2+4)(x+2)(x-2) =(x
★分解因式应分解到各因 式都不能再分解为止.
牛刀小试(一）
把下列各式分解因式： 2 - 1 y2 ①x 16 ② 0.25m2n2 – 1
③ (2a+b)2 - (a+2b)2
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？ 如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12 (2)4m2 －9 (3)4m2+9 = (2m)2 －32 不能转化为平方差形式
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2
④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2
不信难不倒你！
用你学过的方法分解因式： 方法：
4x3 - 9xy2
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。 结论： 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
分解因式：
1. 4x3 - 4x
2. x4-y4
解：1. 4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1) 2. x4-y4=(x2+y2) (x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y) 结论： 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
(4) 4k2 －25m2n2 =(2k+5mn) (2k －5mn) 4
课堂练习
2、把下列各式分解因式:
(1)
(2) (3)
2-4 m 2-25 4x 2-4y2 x
(4) x2y2-z2 (5) (x+2)2-9
(6) (x+a)2_(y-b)2
a -b
2
2
= ( a + b )( a - b )
比一比
• 和老师比一比，看谁算的又快又准确！
322-312 8 2- 7 2 ( 15 ) ( ) 15
682-672 5.52-4.52
在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= （2）（a+b)(a-b)= （3） x2-25 = (x+5)( （4） a2-b2 = (a+b)( x2-25 a2-b2 x-5 a-b ; ; ); )。