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解答题(四)17．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.18．(2019·北京人大附中信息卷二)某绿色有机水果店中一款有机草莓，味道鲜甜．店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收．(1)若水果店一天购进17斤草莓，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：斤，n∈N)的函数解析式；(2)水果店记录了100天草莓的日需求量(单位：斤)，整理得下表：日需求量n 14151617181920频数1422141615136(单位：元)的平均数；②若水果店一天购进17斤草莓，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于150元的概率．解(1)当日需求量n≥17时，利润y＝17×10＝170；当日需求量n≤16时，利润y＝10n－8(17－n)＝18n－136.所以当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧18n －136，n ≤16，n ∈N *，170，n ≥17，n ∈N *.(2)①假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，则日需求量为14斤时，利润为116；日需求量为15斤时，利润为134；日需求量为16斤时，利润为152；日需求量不小于17时，利润为170.故这100天的日利润(单位：元)的平均数为y －＝1100×(14×116＋22×134＋14×152＋16×170＋15×170＋13×170＋6×170)，解得y －＝152(元)．②利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤．以频率预估概率，得当天的利润不少于150元的概率为p ＝0.14＋0.16＋0.15＋0.13＋0.06＝0.64.19．(2019·江西省名校5月联考)已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为13的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使直线上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行，并证明；(2)求点B 到平面AEC 的距离．解 (1)如图所示，分别取BC 和BD 的中点H ，G ，作直线HG ，则HG 为所求直线．证明如下：因为点H ，G 分别为BC 和BD 的中点，所以HG ∥CD ，分别取CD ，BC 的中点O ，H ，连接EO ，AH ，则EO ⊥CD ，AH ⊥BC ，因为平面CDE ⊥平面BCD ，且EO ⊥CD ，∴EO ⊥平面BCD ，又平面ABC ⊥平面BCD ，AH ⊥BC ，则AH ⊥平面BCD ，所以EO ∥AH ，又AH ⊄平面CDE ，EO ⊂平面CDE ，所以AH ∥平面CDE .因为GH ∥CD ，GH ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以GH ∥平面CDE ，因为AH ，GH ⊂平面AGH ，AH ∩GH ＝H ，则平面AHG ∥平面CDE ，所以直线HG 上任意一点F 与A 的连线AF 均与平面CDE 平行．(2)由(1)可得EO ∥AH ，即EO ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离和点O 到平面ABC 的距离相等，连接DH ，则DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，则DH ⊥平面ABC .记点E 到平面ABC 的距离为d ，则d ＝12DH ＝32，又△ABC 的面积S ＝12×2×13－1＝23，△ACE 的面积S 1＝12×13×32＝394，因为V E －ABC ＝V B －ACE ，设点B 到平面AEC 的距离为h ，所以13×23×32＝13×394×h ，解得h ＝43913.即点B 到平面AEC 的距离为43913.20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 上的点M (2，y 0)到F 的距离为3.(1)求抛物线C 的方程；(2)斜率存在的直线l 与抛物线相交于相异两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，若AB 的垂直平分线交x 轴于点G ，且GA →·GB→＝5，求直线l 的方程． 解 (1)由抛物线定义知|MF |＝2＋p2， 所以2＋p2＝3，p ＝2，所以，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)解法一：设AB 中点坐标(2，m )，直线l 的斜率存在，所以m ≠0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2m ， 所以直线AB 的方程为y －m ＝2m (x －2)． 即2x －my ＋m 2－4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝my －m 2＋4，y 2＝4x ，得y 2－2my ＋2m 2－8＝0，其中Δ>0得到m 2<8，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ， ①y 1y 2＝2m 2－8， ②AB 的垂直平分线方程为y －m ＝－m2(x －2)， 令y ＝0，得x ＝4，所以G (4,0)，GA →＝(x 1－4，y 1)，GB →＝(x 2－4，y 2)，因为GA →·GB →＝5，所以(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝5，x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝5，y 21y 2216－4×4＋16＋y 1y 2＝5. ③把②代入③得(m 2－4)2＋8(m 2－4)－20＝0， (m 2＋6)·(m 2－6)＝0，m 2＝6<8，m ＝±6.所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0. 解法二：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x消y 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0或消x 得ky 2－4y ＋4m ＝0.则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk ＋4k 2＝4，x 1x 2＝m 2k 2，y 1y 2＝4m k ，Δ＝16－16km >0，即2k 2＋mk ＝2. ①AB 中点坐标为(2,2k ＋m )，AB 的垂直平分线方程为y －(2k ＋m )＝－1k (x －2)． 令y ＝0，x G ＝2k 2＋mk ＋2＝4，所以GA →·GB →＝(x 1－4，y 1)·(x 2－4，y 2)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2＝m 2k 2－16＋16＋4mk ＝5，m 2k 2＋4mk －5＝0.解得m ＝k 或m ＝－5k ，分别代入①得3k 2＝2(符合Δ>0)或3k 2＝－2(舍去)． 所以，直线l 的方程为2x －6y ＋2＝0或2x ＋6y ＋2＝0.21．(2019·安徽皖南八校联考三)已知函数f (x )＝a ln x －(a 2＋1)x ＋12ax 2，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )＋x ＞0对x ＞1恒成立，求a 的取值范围．解 (1)由题意，得f ′(x )＝a x －a 2－1＋ax ＝(ax －1)(x －a )x(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，没有单调递增区间． 当0＜a ＜1时，当a ＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜a 或x ＞1a 时，f ′(x )＞0. ∴f (x )的单调递增区间为(0，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a .当a ＝1时，f ′(x )≥0对x ＞0成立，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．当a ＞1时，当1a ＜x ＜a 时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜1a 或x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，(a ，＋∞)， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a .(2)f (x )＋x ＞0，即a ln x －a 2x ＋12ax 2＞0，当a ＞0时，ln x －ax ＋12x 2＞0，a ＜ln xx＋12x ，令g (x )＝ln x x ＋12x ，x ≥1，则g ′(x )＝1－ln x x 2＋12＝2－2ln x ＋x 22x 2，令h (x )＝2－2ln x ＋x 2，则h ′(x )＝2x －2x ，当x ≥1时，h ′(x )≥0，h (x )是增函数，h (x )≥h (1)＝3＞0，∴g ′(x )＞0.∴当x ≥1时，g (x )是增函数，g (x )的最小值为g (1)＝12，∴0＜a ≤12.当a ＝0时，显然f (x )＋x ＞0不成立，当a ＜0时，由g (x )的最小值为12，且g (x )没有最大值，得a ＞g (x )不成立，综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.22．在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为(ρcos φ＋k )2＋(ρsin φ－2)2＝k 2＋25(φ为参数，k ∈R )．(1)写出C 1，C 2的直角坐标方程；(2)是否存在曲线C 2包围曲线C 1？请说明理由． 解 (1)C 1：x 236＋y 29＝1，C 2：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0.(2)若k ≥0，由62＋02＋12k －0－21＝15＋12k >0可知点(6,0)在曲线C 2外； 若k <0，(－6)2＋02－12k －0－21＝15－12k >0可知点()－6，0在曲线C 2外． 综上，无论k 取何值，曲线C 2都不能包围曲线C 1. 23．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x ＋1|.(1)在图中画出f (x )和g (x )的图象，并写出不等式f (x )>g (x )的解集； (2)若|f (x )－2g (x )|≤a (a ∈R )恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )，g (x )的图象如图，不等式f (x )>g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >0或x <－23.(2)|f (x )－2g (x )|＝||2x ＋1|－2|x ＋1|| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >－12或x <－1，|4x ＋3|，－1≤x ≤－12，所以|f (x )－2g (x )|≤1，所以a ≥1.。
选填题(七)一、选择题1．若复数z ＝(x 2＋x －2)＋(x ＋2)i 为纯虚数，则实数x ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．1或－2 D ．－1或2答案 A解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝0，x ＋2≠0，解得x ＝1.2．(2019·河北示范高中联考)设U ＝A ∪B ，A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{10以内的素数}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{2,4,7}B ．∅C ．{4,7}D ．{1,4,7}答案 D解析 ∵B ＝{2,3,5,7}，∴A ∩B ＝{2,3,5}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，则∁U (A ∩B )＝{1,4,7}．故选D.3．(2019·福建模拟)为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是()A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差 答案 C解析 根据雷达图得到如下数据：4．(2019·北京朝阳二模)在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s 的值为( )A ．4B ．83C ．5215D ．304105答案 C解析 第一次，s ＝4，k ＝1，不满足k ≥3；第二次，s ＝4－43＝83，k ＝2，不满足k ≥3；第三次，s ＝83＋45＝5215，k ＝3，满足k ≥3，程序终止，输出s ＝5215.故选C.5．(2019·安徽皖南八校第三次联考)函数f (x )＝3x34|x |－4的大致图象为( )答案 A解析 因为f (－x )＝－x 34|－x |－4＝－3x34|x |－4＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ；又由当x ∈(0,1)时，函数f (x )的值小于0，排除B.故选A.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13答案 C解析 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝a 1＋a 132＝13a 7<0，S 12＝a 1＋a 122＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.7．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC → 答案 A 解析 如图，EB →＝－BE →＝－12(BA →＋BD →)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12BC →＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤BA →＋12BA →＋AC →＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32BA →＋12AC →＝34AB →－14AC →.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．5B ．53C ．52D ．56答案 D解析 该几何体的直观图如图所示．其体积V ＝V P －ABCD ＋V D －PAE ＝13×12×2＋13×12×1×1×1＝56.9．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．1答案 B解析 因为cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23， 所以1－tan 2α1＋tan 2α＝23，解得tan 2α＝15，|tan α|＝55. 又因为|k AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2＝|a －b |，所以|a －b |＝|tan α|＝55. 10．(2019·河北石家庄二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A ．22B ．12C ．14D ．32答案 A解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k FP ＝－b c ，k OM ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝12，∴b c ＝2b 2a2，∴a 2＝2bc ，则a 4＝4(a 2－c 2)c 2，∴c 2a 2＝12，即c a ＝22.故选A. 11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ． 5C ．53D ．54答案 A解析 根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5，0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形．解法一：如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1， 故e ＝ca＝5.故选A.解法二：由于直线4x －3y ＋20＝0的斜率为k ＝43，故tan ∠PFF 2＝43，故sin ∠PFF 2＝45，且|FF 2|＝10，所以|PF 2|＝8，|PF |＝6，由双曲线定义知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，故a ＝1，e ＝c a＝5，故选A.12．已知函数f (x )＝a ＋2eln x x 与g (x )＝x2x ＋eln x 的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(e ，＋∞) 答案 B解析 根据题意，方程a ＋2eln x x ＝x 2x ＋eln x ⇔a ＋2eln xx＝12＋eln x x有三个不相等的实根．令t (x )＝eln xx得2t 2＋(a ＋4)t ＋2a －1＝0(t ≠－2)，t ′(x )＝－ln xx 2，故由t ′(x )>0得0<x <e ；t ′(x )<0⇒x >e ，所以t (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，如图．令g (t )＝2t 2＋(a ＋4)t ＋2a －1，故2t 2＋(a ＋4)t ＋2a －1＝0(t ≠－2)根的分布情况如下：①t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)且t 2≠－2，则⎩⎪⎨⎪⎧g，g ，故a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，12.检验：g (－2)＝－1≠0，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，12； ②t 1＝1，t 2∈(0,1)，则g (1)＝0⇒a ＝－53进而知t 2＝－136∉(0,1)，此时不成立；③t 1＝0，t 2∈(0,1)，则g (0)＝0⇒a ＝12⇒t 2＝－94∉(0,1)，此时不成立．综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，12，故选B.二、填空题13．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________. 答案22解析 ∵a 3·a 9＝a 26，∴a 26＝2a 25，设等比数列{a n }的公比为q ，因此q 2＝2，由于q >0，解得q ＝2，∴a 1＝a 2q ＝22. 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x，2xx ，已知f [f (x )]＝2，则x ＝________.答案 －1解析 由f (x )＝2得x ＝12，因为f [f (x )]＝2，所以f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝12，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝12，x <0，解得x ＝－1.15. (2019·福建毕业班学科备考关键问题指导三)某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高．如图，勘探队员在山脚A 测得山顶B 的仰角为45°，他沿着倾斜角为10°的斜坡向上走了40米后到达C ，在C 处测得山顶B 的仰角为55°，则山高BD 约为________米.⎝ ⎛⎭⎪⎫结果精确到个位，A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内.参考数据：1sin10°≈5.76答案 115解析 如图，过C 作CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AD 于点N ，设BM ＝h ，则CM ＝htan55°，AN ＝40cos10°，MD ＝CN ＝40sin10°，∵∠BAD ＝45°，∴h ＋40sin10°＝h tan55°＋40cos10°，解得h ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin10°－2sin10°，∴BD ＝h ＋40sin10°＝201sin10°≈115(米)．16．(2019·河北石家庄一模)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，O ，O 1分别为底面ABCD 和A 1B 1C 1D 1的中心，记四棱锥O 1－ABCD 和O －A 1B 1C 1D 1的公共部分的体积为V ，则体积V 的值为________．答案112a 3 解析 作出图形(如图)，可知四棱锥O 1－ABCD 和O －A 1B 1C 1D 1的公共部分为两个如图放置的正四棱锥，底面为正方形EFGH ，在三角形O 1BC 中，因为F ，G 分别为O 1B ，O 1C 的中点，所以FG ＝a 2，所以体积为V ＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22×a 2＝112a 3.。
压轴题(一)12．设P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，c ，e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF 1→·PF 2→＝0，直线PF 2交y 轴于点A ，则△AF 1P 的内切圆的半径为( )A ．aB ．bC ．cD ．e答案 A解析 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以△AF 1P 是直角三角形．设△AF 1P 的内切圆的半径是r ，则2r ＝|PF 1|＋|PA |－|AF 1|＝|PF 1|＋|PA |－|AF 2|＝|PF 1|－(|AF 2|－|PA |)＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .所以r ＝a .16．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f (x )＝sin x ＋2cos x 的图象向右平移φ个单位长度得到g (x )＝2sin x ＋cos x 的图象，若x ＝φ为h (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴，则a ＝________.答案 43解析 由题意，得f (x )＝5sin(x ＋α)，其中sin α＝255，cos α＝55.g (x )＝5sin(x＋β)，其中sin β＝55，cos β＝255， ∴α－φ＝β＋2k π，即φ＝α－β－2k π，∴sin φ＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35，cos φ＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45，又x ＝φ是h (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴， ∴h (φ)＝sin φ＋a cos φ＝35＋45a ＝±1＋a 2，即a ＝43.20．已知函数f (x )＝12(x 2＋2a ln x )．(1)讨论f (x )＝12(x 2＋2a ln x )，x ∈(1，e)的单调性；(2)若存在x 1，x 2∈(1，e)(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)<0成立，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝12(x 2＋2a ln x )，得f ′(x )＝x ＋a x ＝x 2＋ax(x >0)，当a ≥0时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在(1，e)上单调递增；当a <0时，f ′(x )＝0的解为x ＝－a (舍负)，若－a ≤1，即a ∈[－1,0)，则f (x )在(1，e)上单调递增； 若－a ≥e，即a ∈(－∞，－e 2]， 则f (x )在(1，e)上单调递减；若a ∈(－e 2，－1)，则f (x )在(1，－a )上单调递减，在[－a ，e)上单调递增． (2)由(1)可知，当a ≤－e 2或a ≥－1时，函数f (x )在(1，e)上为单调函数，此时不存在x 1，x 2∈(1，e)(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)<0.当a ∈(－e 2，－1)时，f (x )在(1，－a ]上单调递减，在[－a ，e)上单调递增，所以f (x )在x ＝－a 处取得极小值，f (x )极小值＝f (－a )＝12(－a ＋2a ln －a )＝－12a ＋12a ln (－a )，其中a ∈(－e 2，－1)，令g (a )＝－12a ＋12a ln (－a )，a ∈(－e 2，－1)，则g ′(a )＝－12＋12ln (－a )＋12＝12ln (－a )，a ∈(－e 2，－1)，所以g ′(a )>0，所以g (a )在(－e 2，－1)上单调递增， 且g (－e)＝0，g (－e 2)＝－e22<0，所以当a ∈(－e 2，－e)时，f (x )极小值<0，此时存在x 1，x 2∈(1，e)(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)<0.21．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？ (2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为p (0<p <1)，且相互独立．①若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；②若以①中的p 0作为p 的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片最终利润X (单位：元)的期望．解 (1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A ，则P (A )＝C 39C 312＝2155.答：该盒芯片经一次检验即可出厂的概率为2155.(2)①某盒12片芯片中恰有3片次品的概率f (p )＝C 312p 3(1－p )9＝127C 312⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， 当且仅当3p ＝1－p ，即p ＝14时取“＝”号，故f (p )的最大值点p 0＝14.②由题设，知p ＝p 0＝14.设这盒芯片不合格品的个数为n ， 则n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 故E (n )＝12×14＝3，则E (X )＝120－12－30－3×2＝72. 所以这盒芯片最终利润X 的期望是72元．。
压轴题(一)12．(2019·山东潍坊摸底考试)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①△ABC 被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 B解析 由已知可设a ＋b ＝6k ，c ＋a ＝5k ，b ＋c ＝4k (k >0)，则a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，所以a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3，所以③正确．又a ，b ，c 的值不确定，所以①错误．在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，A ＝2π3，所以②正确．因为b ＋c ＝8，所以b ＝5，c ＝3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1534，所以④错误．16．(2019·湘赣十四校联考二)如图，正三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，底面边长为4，M ，N 分别在BC 和PO 上，且PN ＝2CM ，当三棱锥N －AMC 体积最大时，三棱锥N －AMC 的内切球的半径为________．答案13－3解析 设CM ＝x ，V N －AMC ＝13S △AMC ·NO ＝13×12AC ·CM ·sin60°·(PO －PN )＝13×12×4x ×32×(8－2x )＝233(4x －x 2)，当x ＝2时，V N －AMC 取得最大值833，此时M为BC 的中点，AM 经过点O ，且NO ＝4，AO ＝433，∴OM ＝233，NM ＝2393，NA ＝NC ＝833，则S △NAM ＝43，S △NCM ＝2393，S △NAC ＝4393，S △CAM ＝23，又∵13(S △NAM ＋S △NCM ＋S △NAC ＋S △CAM )·r ＝V N －AMC ， ∴r ＝13－3.20．已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋1)e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若不等式f (x )≥x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋a ＋1)e x ，令f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝－1－a ； ①当a ＝0时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a >0时，在(－∞，－1－a )∪(－1，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1－a ，－1)上f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，－1－a )和(－1，＋∞)上单调递增，在(－1－a ，－1)上单调递减．③当a <0时，在(－1，－1－a )上f ′(x )<0，在(－∞，－1)∪(－1－a ，＋∞)上f ′(x )>0，因此f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－∞，－1)和(－1－a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (x )－x －1，则g ′(x )＝f ′(x )－1，由于g (0)＝0，若g (x )≥0恒成立，则必有g ′(0)＝0，得a ＝0，此时f (x )＝(x 2＋1)e x ； 则g ′(x )＝(x ＋1)2e x －1，记G (x )＝(x ＋1)2e x －1， 则G ′(x )＝(x ＋1)(x ＋3)e x ，则G (x )的单调性如下表：x <0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，g (x )≥g (0)＝0， 因此f (x )≥x ＋1；所以当a ＝0时，f (x )≥x ＋1恒成立，因此a ＝0.21．(2019·湖南五市十校教研教改共同体12月联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于点M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .解 (1)依题意可设圆C 的方程为x 2＋y 2＝b 2， ∵圆C 与直线x －y －2＝0相切，∴b ＝|2|12＋12＝1.∴a 2－c 2＝1， 由c a ＝22，解得a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即2k 2－1＜0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵F (1,0)，∴k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1－2)x 1－1＋k (x 2－2)x 2－1＝2k －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －k ·8k 21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k 2＋1＝2k －k ·4k 2－22k 2－1＝0，即∠PFM ＝∠PFB .。
第2讲 选修4－5 不等式选讲含绝对值不等式的解法(5年7考)[高考解读] 以解答题的形式考查绝对值不等式的解集、有限制条件的恒成立、有解等问题、考查学生的等价转化能力和数学运算能力，难度中等.1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x ＜1时，f (x )＝－2(x －1)2＜0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)＜0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．[教师备选题](2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．[解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为00＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．1．(有解问题)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|. (1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围． [解](1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜02－3x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12－x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞13x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2.故不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)． (2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|.f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x x ＜，2－xx ，3x －x ＞，故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1，解得a ≤－1或a ≥0， 故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 2．(恒成立问题)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)若g (x )＝f (x )＋f (－x )，且对任意x ∈R ，都有|k －1|＜g (x )，求实数k 的取值范围．[解](1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12＜x ＜1，3x ，x ≥1.于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12－3x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜1x ＋2＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ＞2，解得x ＜－23或0＜x ＜1或x ≥1.故不等式f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－23或x ＞0.(2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －2x ＋，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时取等号，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|＜g (x )恒成立，则|k －1|＜g (x )min ＝4， 所以－4＜k －1＜4，解得－3＜k ＜5，即实数k 的取值范围为(－3,5).不等式的证明(5年3考)[高考解读] 以解答的形式考查学生应用比较法、基本不等式等证明不等式，考查学生的逻辑推理及数学运算能力.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明](1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥ 33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. [教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． [证明](1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2，因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明](1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．1．(用基本不等式证明不等式)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＞4－|x ＋1|的解集；(2)设a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＝10，求证：a ＋b 2≥27. [解](1)f (x )＞4－|x ＋1|可化为|x －2|＞4－|x ＋1|，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －＞4＋x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜2，－x －＞4－x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＞4－x ＋解得x ＜－32或x ∈或x ＞52.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)因为a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1a ＞2，2b ＞4. 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b＝1a－2＋2b －2＝10，即1a ＋2b＝14.由基本不等式得，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b 2a ＋2a b ≥2＋2b 2a ·2ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ b 2a ＝2a b ，1a ＋2b ＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝17，b ＝27时取等号．所以14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥4，即a ＋b 2≥27.2．(用绝对值不等式的性质证明不等式)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． [解](1)由题意，|x ＋1|＜|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.与代数式有关的最值问题(5年3考)[高考解读] 以解答题的形式考查代数式含绝对值不等式的最值求法，考查学生应用均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式的几何意义等工具分析问题和解决问题的能力，考查逻辑推理的数学素养.1．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.[解](1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)·(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)·(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥＋a 23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为＋a 23.由题设知＋a 23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. 2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．[解](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.[教师备选题]若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解](1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a＋3b ＝6.1．形如f (x )＝|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |的最值．因为|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |≥|Ax ＋B －(Ax ＋C )|＝|B －C |，当且仅当(Ax ＋B )(Ax ＋C )≤0时取“＝”，所以f (x )min ＝[|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |]min ＝|B －C |.2．形如f (x )＝|Ax ＋B |－|Ax ＋C |的最值．因为||Ax ＋B |－|Ax ＋C ||≤|Ax ＋B －Ax －C |＝|B －C |，当且仅当(Ax ＋B )(Ax ＋C )≥0时取“＝”，所以f (x )max ＝[|Ax ＋B |－|Ax ＋C |]max ＝|B －C |，f (x )min ＝[|Ax ＋B |－|Ax ＋C |]min ＝－|B －C |.3．形如f (x )＝|Ax ＋B |＋|Cx ＋D |或f (x )＝|Ax ＋B |－|Cx ＋D |的最值由绝对值的几何意义作图可知．1．(求最值问题)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m . (1)求m 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值．[解](1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1，f (x )的最大值为1，∴m ＝1.(2)由(1)可知，a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋1＋b 2a ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2a ＋b ＋1＋b 2b ＋a ＋1＋a 2＋b 2≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13， 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13. 2．(求参数问题)设函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |.(1)当a ＝1时，求f (x )的图象与直线y ＝3围成区域的面积； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ＜12，3x ，x ≥12，如图，作出函数f (x )的图象与直线y ＝3，结合图象可知所求面积为12×[1－(－1)]×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32＝32. (2)法一：(借助分段函数的性质) 当－a ＞12，即a ＜－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋1，x ＜12，x －a －1，12≤x ＜－a ，3x ＋a －1，x ≥－a ，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a －1＝1，所以a ＝－32.当－a ≤12，即a ≥－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋1，x ＜－a ，－x ＋a ＋1，－a ≤x ＜12，3x ＋a －1，x ≥12，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×12＋a －1＝1，所以a ＝12.综上，a ＝－32或a ＝12.法二：(解恒成立问题)∵f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12，当且仅当x ＝12时取等号．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝1，得a ＝12或a ＝－32. 3．(与恒成立交汇)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R . (1)当f (1)＋f (－1)＞1时，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，x ，y ∈(－∞，a ]，不等式f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |恒成立，求a 的取值范围．[解](1)f (1)＋f (－1)＝|1－a |－|1＋a |＞1， 若a ≤－1，则1－a ＋1＋a ＞1，得2＞1，即a ≤－1；若－1＜a ＜1，则1－a －(1＋a )＞1，得a ＜－12，即－1＜a ＜－12；若a ≥1，则－(1－a )－(1＋a )＞1，得－2＞1，此时不等式无解．综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)由题意知， 要使不等式恒成立，只需f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min . 当x ∈(－∞，a ]时，f (x )＝－x 2＋ax ，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋54(y －a )≤0，即－54≤y ≤a 时等号成立， 所以当y ∈(－∞，a ]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54＝a ＋54. 于是a 24≤a ＋54，解得－1≤a ≤5. 又a ＞0，所以a 的取值范围是(0,5]．。
压轴题（七)12．已知函数f(x)＝x ln x＋ax＋3,g(x)＝x3－x2，若∀x1，x2∈错误!,f(x1）－g（x2）≥0,则实数a的取值范围为( )A．［0，＋∞）B．［1，＋∞)C．[2,＋∞）D．［3，＋∞）答案B解析g′(x）＝3x2－2x＝3x错误!，x∈错误!,当x∈错误!时，g′（x）≥0，g（x)在区间错误!上单调递增，当x∈错误!时，g′(x）≤0，g（x）在区间错误!上单调递减,而g错误!＝－错误!<g(2）＝4,所以g（x）在区间错误!上的最大值是4,依题意,只需当x∈错误!时,x ln x＋错误!＋3≥4恒成立，亦即a≥x－x2ln x．令h(x)＝x－x2ln x，x∈错误!，则h′(x)＝1－x－2x ln x,显然h′(1）＝0，当x∈错误!时，1－x〉0，x ln x<0，h′（x)>0，即h（x)在区间错误!上单调递增；当x∈（1,2］时，1－x<0,x ln x>0，h′(x）<0，即h(x）在区间（1,2]上单调递减；所以当x ＝1时，函数h(x）取得最大值h(1)＝1，故a≥1，即实数a的取值范围是［1,＋∞)．16．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a＝2,sin C－错误!sin B＝错误! sin（C－A）＋sin(A－B),则△ABC面积的最大值为________．答案错误!解析由sin C－错误!sin B＝错误!sin（C－A)＋sin(A－B），得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝错误!sin（A＋C)＋错误!sin（C－A），2sin B cos A＝2错误!sin C cos A，当cos A＝0，即A＝错误!时，b2＋c2＝a2＝4≥2bc，∴S△ABC＝错误!bc≤1；当cos A≠0时，sin B＝错误!sin C，则b＝错误!c。
解法一：在△ABC中，由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4c2－2错误!c2cos A，∴c2＝错误!，S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!c2sin A＝错误!＝－错误!，令错误!则原式等价为S△ABC＝－yx－2，且x2＋y2＝3，令k＝－错误!(k>0）⇒y＝－k(x－2），且x2＋y2＝3，则△ABC面积的最大值等价转化为直线y＝－k（x－2）与圆x2＋y2＝3有公共点时的k的最大值，则圆心(0，0）到直线y＝－k(x－2）的距离d＝错误!≤ 错误!,可得0<k≤ 错误!，即S△ABC≤ 错误!，综上可知S△ABC≤ 错误!，故△ABC面积的最大值为错误!.解法二：在△ABC中，若a＝2，b＝错误!c，即BC＝2，AC＝错误!AB，以BC所在直线为x 轴，其中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－1，0）,C（1,0)，设A（x，y)，由AC＝错误!AB，得错误!＝错误!·错误!，化简整理,得点A的轨迹方程为（x＋2)2＋y2＝3，所以S△ABC＝错误!·BC·|y A|≤ 错误!，故△ABC面积的最大值为错误!.20．（2019·河南新乡三模）已知函数f（x)＝ln x－ax，a∈R。
