2012年数学高考试题+模拟新题分类汇编：专题C 三角函数(文科)

吉林省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（5）三角函数一、选择题：3. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)已知α∈(π2，π)，3tan 4α=-，则sin()απ+等于A.35B. 35-C.45D. 45-3.B 由题意可知，3sin 5α=，3sin()sin 5απα+=-=-.故选B. 6. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)函数sin()y x ωϕ=+(0)2πωϕ><且在区间2[,]63ππ上单调递减，且函数值从1减小到1-，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为A.12B.22 C.32D.624+ 6.A 因为函数的最大值为1，最小值为1-，且在区间2[,]63ππ上单调递减，又函数值从1减小到1-，可知2362πππ-=为半周期，则周期为π，222T ππωπ===，此时原式为sin(2)y x ϕ=+，又由函数过(,1)6π点，代入可得6πϕ=，因此函数为sin(2)6y x π=+，令0x =，可得12y =.故选A.8．(东北四校2012届高三第一次高考模拟文科)已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+(||)ϕπ<，若()28f π=-，则()f x 的一个单调递增区间可以是（ D ）A ．3[,]88ππ-B ．59[,]88ππC ．3[,]88ππ-D ．5[,]88ππ10．(吉林省吉林市普通高中2012届高三下学期期中教学质量检测理科)若函数sin()(0,0,)2y A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的图像如图所示，、M N 分别是这段图像的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=,则A ω⋅= ( C )A ．6πB ．712πC ．76π D ．73π3．(吉林省吉林市普通高中2012届高三下学期期末教学质量检测文科)已知32sin -=α,且⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，则αtan 等于( B ) （A ）552 （B ）552-（C ）25 （D ）25-9．(吉林省吉林市普通高中2012届高三下学期期末教学质量检测文科)已知函数)0)(6cos(sin )(>++=ωπωωx x x f 的图象上相邻两条对称轴间的距离为π，则)(x f 的一个单调减区间是( A )（A ）），（676ππ （B ）），（12712ππ （C ）），（12125ππ- （D ）），（665ππ- 15. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sin cos 222A B C +-=，且5a b +=，7c =ABC 的面积为________. 15.因为274sin cos 222A B C +-=，所以272[1cos()]2cos 12A B C -+-+=.2722cos 2cos 12C C +-+=, 21cos cos 04C C -+=，解得1cos 2C =.根据余弦定理有2217cos 22a b C ab+-==，227ab a b =+-,222327()725718ab a b ab a b =++-=+-=-=，6ab =.所以11333sin 622S ab C ==⋅=14．(东北四校2012届高三第一次高考模拟理科)已知函数()2sin(2)(||)f x x ϕϕπ=-+<，若5,58ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调递增区间，则ϕ的值为 。

三角函数(高考真题+模拟新题)课标理数10.C1[2011·江西卷] 如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )图1图2课标理数10.C1[2011·江西卷] A 【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处位置为点M ′，则大圆圆弧AM 与小圆圆弧AM ′相等．以切点A 在劣弧MB 上运动为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧AM 的长为l 1＝θ×1＝θ，小圆圆弧AM 1的长为l 2＝2θ×12＝θ，即l 1＝l 2，∴小圆的两段圆弧AM ′与AM 1的长相等，故点M 1与点M ′重合，即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动． 点A 在其他象限类似可得，M 、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项A 符合．故选A.课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.课标文数14.C1[2011·江西卷] －8 【解析】 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，∵sin θ＝－255，∴sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数 5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 大纲文数14.C2[2011·全国卷] －55 【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. 大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 43 【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标文数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )图1－7A ．2＋ 3 B. 3C.33D ．2－ 3 课标文数12.C3[2011·辽宁卷] B 【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B.课标文数15.C4[2011·安徽卷] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 课标文数15.C4[2011·安徽卷] 【答案】 ①③【解析】 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2，因为对一切x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1.故φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6()k ∈Z .故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 对于①，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0，或f ⎝⎛⎭⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确； 对于②，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 17π30 ＝a 2＋b 2sin 17π30.所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误； 对于③，由解析式f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6时，⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )是f (x )的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b |>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交．故⑤错．课标理数9.C4[2011·安徽卷] 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 课标理数9.C4[2011·安徽卷] C 【解析】 对x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z . 因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝s in(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0.所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，答案为C.大纲理数5.C4[2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9大纲理数5.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.大纲文数7.C4[2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 大纲文数7.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.课标理数16.D3，C4[2011·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．课标数学16.D3，C4[2011·福建卷] 【解答】 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.课标理数3.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 课标理数3.C4[2011·湖北卷] B 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 课标文数6.C4[2011·湖北卷] A 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标理数 6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.23课标理数6.C4[2011·山东卷] C 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标文数 6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3课标文数6.C4[2011·山东卷] B 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )为增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________．图1－1课标数学9.C4[2011·江苏卷]62【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62.课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数课标文数7.C4[2011·天津卷] A 【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增．课标文数18.C4[2011·浙江卷] 【解答】 (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12， 解得A 2＝3，又A ＞0，所以A ＝ 3.课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B . 又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C .故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数6.C5[2011·浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 课标理数6.C5[2011·浙江卷] C【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.大纲理数14.C6[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan2α＝________. 大纲理数14.C6[2011·全国卷] －43 【解析】 ∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－255，则tan α＝－12，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数 5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标理数7.C6[2011·辽宁卷] 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79课标理数7.C6[2011·辽宁卷] A 【解析】 sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ.由于sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79，故选A.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标数学7.C6[2011·江苏卷] 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x的值为________．课标数学7.C6[2011·江苏卷] 49【解析】因为tan⎝⎛⎭⎫x＋π4＝2，所以tan x＝13，tan2x＝2×131－19＝2389＝34，即tan xtan2x＝49.课标理数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫13x－π6，x∈R. (1)求f⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．课标理数16.C7[2011·广东卷] 【解答】(1)f⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin⎝⎛⎭⎫13×54π－π6＝2sinπ4＝ 2.(2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin⎣⎡⎦⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sinβ＝1－cos2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝35×1213－513×45＝1665.课标文数16.C7[2011·广东卷]已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫13x－π6，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．课标文数16.C7[2011·广东卷] 【解答】(1)f(0)＝2sin⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sinπ6＝－1.(2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin13×(3β＋2π)－π6＝2sinβ＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数15.C7[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小． 课标理数15.C7[2011·天津卷] 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．课标文数16.C8[2011·安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A ＝32.再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22.由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋12.设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12.课标理数14.C8[2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．课标理数14.C8[2011·安徽卷] 153 【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.课标理数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.课标理数9.C8[2011·北京卷] 255210【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 255＝522，可得a ＝210.课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.课标文数9.C8[2011·北京卷] 523 【解析】 由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 13＝522，得a＝523.大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B . 又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C .故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 大纲文数18.C8[2011·全国卷] 【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a ＝b ×sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.课标理数14.C8图1－5[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．课标理数14.C8[2011·福建卷] 【答案】 2 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有AD sin C ＝ACsin ∠ADC， ∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2.课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．课标文数14.C8[2011·福建卷] 2 【解析】 方法一：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. 由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2.方法二：由S △AB C ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. ∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.课标理数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标理数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标文数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标文数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数17.C8[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．课标理数17.C8[2011·江西卷] 【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sinC2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标理数4.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2课标理数4.C8[2011·辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B得a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 课标文数17.C8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．课标文数15.C8[2011·课标全国卷] 1534 【解析】 解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝ABsin C，即7sin120°＝5sin C， 所以sin C ＝5sin120°7＝5314，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， 所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有cos120°＝52＋x 2－7210x，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．课标文数17.C8[2011·山东卷] 【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B.所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1， 因此b ＝2.课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理． 课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，。

一、主要内容：东胜神州傲来国有一花果山，山顶一石，产下一猴。

石猴求师学艺，得名孙悟空，学会七十二般变化，一个筋斗去可行十万八千里，自称"美猴王"。

他盗得定海神针，化作如意金箍棒，可大可小，重一万三千五百斤。

又去阴曹地府，把猴属名字从生死簿上勾销。

玉帝欲遣兵捉拿，太白金星建议，把孙悟空召入上界，做弼马温。

当猴王得知弼马温只是个管马的小官后，便打出天门，返回花果山，自称"齐天大圣"。

玉帝派天兵天将捉拿孙悟空，美猴王连败巨灵神、哪咤二将。

孙悟空又被请上天管理蟠桃园。

他偷吃了蟠桃，搅闹了王母娘娘的蟠桃宴、盗食了太上老君的金丹，逃离天宫。

玉帝又派天兵捉拿。

孙悟空与二郎神赌法斗战，不分胜负。

太上老君用暗器击中孙悟空，猴王被擒。

经刀砍斧剁，火烧雷击，丹炉锻炼，孙悟空毫发无伤。

玉帝请来佛祖如来，才把孙悟空压在五行山下。

如来派观音菩萨去东土寻一取经人，来西天取经，劝化众生。

观音点化陈玄奘去西天求取真经。

唐太宗认玄奘做御弟，赐号三藏。

唐三藏西行，在五行山，救出孙悟空。

孙悟空被带上观世音的紧箍，唐僧一念紧箍咒，悟空就头疼难忍。

师徒二人西行，在鹰愁涧收伏白龙，白龙化作唐僧的坐骑。

在高老庄，收伏猪悟能八戒，猪八戒做了唐僧的第二个徒弟；在流沙河，又收伏了沙悟净，沙和尚成了唐僧的第三个徒弟。

师徒四人跋山涉水，西去求经。

观音菩萨欲试唐僧师徒道心，和黎山老母、普贤，文殊化成美女，招四人为婿，唐僧等三人不为所动，只有八戒迷恋女色，被菩萨吊在树上。

在万寿山五庄观，孙悟空等偷吃人参果，推倒仙树。

为了赔偿，孙悟空请来观音，用甘露救活了仙树。

白骨精三次变化，欲取唐僧，都被悟空识破。

唐僧不辨真伪，又听信八戒谗言，逐走悟空，自己却被黄袍怪拿住。

八戒、沙僧斗不过黄袍怪，沙僧被擒，唐僧被变成老虎。

八戒在白龙马的苦劝下，到花果山请转孙悟空，降伏妖魔，师徒四人继续西行。

乌鸡国国王被狮精推人井内淹死，狮精变作国王。

班级 姓名一、三角函数1、若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（ ） （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________.4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π45、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）12137、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（B ）8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=10、已知sin2a 32=，则cos2(a+4π)=( ) （A ）错误！未找到引用源。

（B ）错误！未找到引用源。

（C ）错误！未找到引用源。

（D ）错误！未找到引用源。

11、函数)()2cos(y πϕπϕ<≤-+=，x 的图像向右平移错误！未找到引用源。

个单位后，与函数y=sin （2x+3π）的图像重合，则ϕ=___________. 12、若0tan >α，则（ ）A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③14、函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为_________.二、解三角形1、已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）52、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=错误！未找到引用源。

黑龙江省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（5）三角函数 一、选择题： 3. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)已知α∈(π)，，则等于 B. C. D. 3.B 由题意可知，，.故选B. 5．的图像，只需将函数的图像（B ）A．各单位 B．各单位C．各单位 D．各单位 8．(东北四校2012届高三第一次高考模拟文科)已知函数，若，则的一个单调递增区间可以是（ D ） A．B．C．D． 10. (东北师大附中、辽宁省实验中学、哈师大附中2012届高三第二次模拟联合考试文科)设函数相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（ A ）A． B．C．D． 的图像,可以将函数的图像 A 、向右平移个单位 B、 向左平移个单位 C 、向左平移个单位 D、向右平移个单位 【答案】B 14．已知函数，若是的一个单调递增区间，则的值为 。

16．在中，是AB边上的一点，CD=2，的面积为4，则AC的长为 。

或 在，若有，则下列不等式中 ①; ② ; ③ ; ④ 你认为正确的序号为______________. ①②④ 15. (黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第一次模拟理科)在中，为中点，成等比数列，则的面积为 . 三、解答题： 17. (黑龙江省哈六中2012届高三第三次模拟文科) (本小题满分12分). 设的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值． (II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)==≤，且当tanB=时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为 12分 18. (东北哈三中等四校2012届高三第二次联考文科)（本小题满分12分） 已知的一系列对应值如下表： [[ （Ⅰ）根据表格提供的数据求的解析式； （Ⅱ）在中，角的对边分别为，，， 求的值. 17．（本题满分1分） 的内角、、的对边分别为、、，，且 （1）求角； （2）若向量与共线，求、的值．。

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题：（7）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）函数()sin()()2f x x π=ω+ϕϕ<，其中的图象如图所示， 为了得到()sin g x x =ω的图象，则只要将()f x 的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度 【答案】A【答案】D二、填空题：（10）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）已知sin 2cos =αα，那么tan 2α的值为 ． 【答案】43-【解析】22tan 4sin 2cos tan tan 21tan 3αα,α=2,α=α=∴∴=--α 13. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b = 4B π∠=，sin C =，则c = ；a = ．【答案】【解析】利用正弦定理可知2222sin 2cos ,4120, 6.sin b Cc b a c ac B a a a B===+-∴--=∴= （11）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . 45-11．(2012年4月北京市房山区高三一模理科已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0,πϕ<<0）的图象如图所示，则ω=__，ϕ=__. ; 58,910π;三、解答题：15．(2012年4月北京市房山区高三一模理科（本小题共13分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +,,2=ac =.（Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积. 15．（本小题共13分）解：（I ）解 tan tan tan A B A B +=tan tan )A B =-tan tan tan()1tan tan A BA B A B+∴+=-=……………………5分（15）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）（本小题共13分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos 1B B -=，1=b ．（Ⅰ）若125π=A ，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求A ．整理得21)6sin(=π-B ． ………………2分 因为π<<B 0，所以π<π-<π-6566B . 故66π=π-B ，解得3π=B . ……………4分 由512A π=，且π=++C B A ，得4π=C . 由Bb Cc sin sin =，即3sin 14sin π=πc ，解得36=c . ………………7分15. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x +，π[,π]2x ∈. （Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）………………8分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-）………………3分令()0f x =，得 πsin(2)32x -=-. ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-. ………………13分（15）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+.因为A B C ++=π， 所以3B π=. ………………………………………2分1sin (sin )22A A A =+11cos22()22AA -=+ 11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分因为203A π<<， 所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分.15. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ……………13分 （15）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共13分） 已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值. （15）（共13分）)14x π=-+. …………10分因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 1； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0. …………13分解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+ , …………6分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值1-. …………13分 15. (2012年3月北京市丰台区高三一模文科)（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若()sin +cos f x x x =，求()f A 的最大值．形． ……………………6分（法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=， 由余弦定理可得因为△ABC 是2B π=的直角三角形， 所以02A π<<， ……………………10分 所以444A ππ3π<+<， ……………………11分 所以sin()124A π<+≤． ……………………12分 即()f A 的最大值为……………………13分。

C 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数3．B9、C1[2012·湖北卷] 函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．D[解析] 要使f (x )＝x cos2x ＝0，则x ＝0或cos2x ＝0，而cos2x ＝0(x ∈[0,2π])的解有x ＝π4，3π4，5π4，7π4，所以零点的个数为5.故选D.20．C1、M1[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．20．解：解法一： (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30° ＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－a )＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式4．C2[2012·全国卷] 已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C.1225 D.24254．A [解析] 由α为第二象限角及sin α＝35得cos α＝－45，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425，故选A.6．C2、C6[2012·辽宁卷] 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22 D ．16．A [解析] 本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用．解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式．∵sin α－cos α＝2⇒(sin α－cos α)2＝2⇒1－2sin αcos α＝2⇒sin2α＝－1. 故而答案选A.19．C2、C3、C4[2012·重庆卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．19．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x ＋2)2(2cos 2x －1)＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎡⎭⎫1，74∪⎝⎛⎦⎤74，52.C3 三角函数的图象与性质8．C3[2012·福建卷] 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π28．C [解析] 解题关键是明确三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点，可以把四个选项代入验证，只有当x ＝－π4时，函数f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1取得最值，所以选择C.17．C3、C4[2012·陕西卷] 函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．17．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.18．C3、C4[2012·湖南卷] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图1－6所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．图1－618．解：(1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝2sin2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x ＋32cos2x ＝sin2x －3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .9．B14、C3[2012·湖南卷] 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，x －π2f ′(x )＞0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．89．B [解析] 本题考查函数的性质和函数的零点，以及数形结合思想，意在考查考生函数性质与图像综合运用的能力；具体的解题思路和过程：利用函数的奇偶性、周期性和单调性，作出函数简图，把f (x )－sin x ＝0构造两个函数，利用数形结合思想，得出函数的零点数．由当x ∈(0，π) 且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎫x － π2f ′(x )＞0 ，可知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是单调递减的，在⎝⎛⎭⎫π2，π上是单调递增的，又由函数为偶函数，周期为2π，可画出其一个简图，令f (x )－sin x ＝0，即f (x )＝sin x ，构造两个函数y ＝f (x )和y ＝sin x ，由图可知，函数有4个零点．[易错点] 二：函数的零点个数的确定有三种方法，此题只能用函数的交点方法求解；易错三：许多考生不习惯作图，无法正确运用数形结合思想解答．19．C2、C3、C4[2012·重庆卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．19．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x ＋2)2(2cos 2x －1)＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎡⎭⎫1，74∪⎝⎛⎦⎤74，52.3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2－1 cos x 的最小正周期是________．3．π [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．f (x )＝sin x cos x ＋2＝12sin2x ＋2，由三角函数周期公式得，T ＝2π2＝π.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质6．C4[2012·浙江卷] 把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )图1－26．A [解析] 本题考查了余弦函数的性质与函数图象的变换，考查了学生对余弦函数图象、性质的掌握，会利用“五点法”确定函数的大致形状、位置．函数y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y ＝cos x ＋1的图象；再将函数向左平移一个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1的图象；最后把函数向下平移1个单位长度即得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象，可以看成是函数y ＝cos x 向左平移一个单位得到y ＝cos(x ＋1)的图象，可用特殊点验证函数的大致位置．7．C4[2012·天津卷] 将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53 D ．27．D [解析] 法一：将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位，得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4ω的图象，又∵其图象过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，∴g ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω－π4ω＝sin π2ω＝0，∴ω最小值取2.法二：函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位后过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，∴函数f (x )＝sin ωx 的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，0，即f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2ω＝0，∴ω最小值取2.8．C4[2012·山东卷] 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 38．A [解析] 本题考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质，考查运算求解能力，中档题．∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤76π，当π6x －π3＝－13π时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最小值2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，当π6x －π3＝12π时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最大值2.9．C4[2012·课标全国卷] 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π49．A [解析] 由题意，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，又ω>0，所以ω＝2πT ＝1.故f (x )＝sin ()x ＋φ.故⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，f ⎝⎛⎭⎫5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋φ＝－1， ①或⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，f ⎝⎛⎭⎫5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋φ＝1，②由①得φ＝2k π＋π4()k ∈Z ；由②得φ＝2k π－3π4()k ∈Z .又已知0<φ<π，所以由①得φ＝π4；②无解．综上，φ＝π4.故选A.15．C4[2012·全国卷] 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.15.5π6 [解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由x ∈[0,2π)得x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3，∴x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.19．C2、C3、C4[2012·重庆卷] 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．19．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x ＋2)2(2cos 2x －1)＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎡⎭⎫1，74∪⎝⎛⎦⎤74，52.17．C3、C4[2012·陕西卷] 函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．17．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3. 7．C4[2012·安徽卷] 要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位7．C [解析] 因为y ＝cos ()2x ＋1＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以只需要将函数y ＝cos2x 的图像向左移动12个单位即可得到函数y ＝cos ()2x ＋1的图像．5．A3、C4[2012·山东卷] 设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真5．C [解析] 本题考查含量词命题间的真假关系及三角函数的图象与性质，考查推理能力，容易题．∵函数y ＝sin2x 的最小正周期为π，∴命题p 为假命题；函数y ＝cos x 的图象的对称轴所在直线方程为x ＝k π，k ∈Z ，∴命题q 为假命题，由命题间的真假关系得p ∧q 为假命题．18．C3、C4[2012·湖南卷] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图1－6所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．图1－618．解：(1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝2sin2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x ＋32cos2x ＝sin2x －3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .15．C4、C5、C6、C7[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x . (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )． 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，kx ＋7π8(k ∈Z )．3．C4[2012·全国卷] 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π33．C [解析] 本小题主要考查三角函数的性质．解题的突破口为正、余弦函数的振幅式在对称轴处取得最值．∵f (x )＝sin x ＋φ3为偶函数，有x ＝0时f (x )取得最值，即φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，由于φ∈[0,2π]，所以k ＝0时，φ＝3π2符合，故选C.18．C4、C6、C7[2012·湖北卷] 设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．18．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56，所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切5．C5、C7[2012·重庆卷] sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.325．C [解析] sin47°－sin17°cos30°cos17° ＝sin (17°＋30°)－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°＝12，选C.17．C8、C5[2012·课标全国卷] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .17．解：(1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.16．C8、C5[2012·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．16．解：(1)(方法一)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(方法二)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc .于是b 2＋c 2－a 2＝bc .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)(方法一)因为AD 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.(方法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.15．C4、C5、C6、C7[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x . (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )． 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，kx ＋7π8(k ∈Z )．16．C5、C7[2012·广东卷] 已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．16．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫π3＝2得A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝2，故A ＝2.(2)∵－3017＝f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2cos ⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α，85＝f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫4β－2π3＋π6＝2cos β， ∴sin α＝1517，cos β＝45. ∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫15172＝817， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385.C6 二倍角公式11．C6[2012·江苏卷] 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．11.17250 [解析] 本题考查三角函数求值问题．解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系．由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，从而sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×1625－1＝725，从而sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝2425×22－725×22＝17250.6．C2、C6[2012·辽宁卷] 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22 D ．16．A [解析] 本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用．解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式．∵sin α－cos α＝2⇒(sin α－cos α)2＝2⇒1－2sin αcos α＝2⇒sin2α＝－1.故而答案选A. 7．F2、C6[2012·陕西卷] 设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12 C ．0 D ．－17．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos 2θ＝0，则cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.故选C.15．C4、C5、C6、C7[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x . (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )．得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，kx ＋7π8(k ∈Z )．18．C4、C6、C7[2012·湖北卷] 设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．18．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56，所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．9．C6[2012·江西卷] 已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝19．C [解析] 函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)＝12⎣⎡⎦⎤1－cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12＋12sin2x ，∵f (lg5)＋f (－lg5)＝1＋12[sin(2lg5)＋sin(－2lg5)]＝1＋12[sin(2lg5)－sin(2lg5)]＝1，∴a ＋b ＝1.故选C.C7 三角函数的求值、化简与证明5．C5、C7[2012·重庆卷] sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.325．C [解析] sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin (17°＋30°)－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°＝12，选C.15．C4、C5、C6、C7[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2x sin x . (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1⎝⎭4所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )． 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，kx ＋7π8(k ∈Z )．16．C5、C7[2012·广东卷] 已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．16．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫π3＝2得A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝2，故A ＝2.(2)∵－3017＝f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2cos ⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α，85＝f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫4β－2π3＋π6＝2cos β， ∴sin α＝1517，cos β＝45. ∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫15172＝817，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385.18．C4、C6、C7[2012·湖北卷] 设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．18．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，⎝⎭6所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56，所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (4．C7[2012·江西卷] 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.434．B [解析] sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34，故选B.x )的值域为[－2－2，2－2]．16．C7、C8[2012·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144，又由a sin A ＝csin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b ＞0，故解得b ＝1. 所以sin C ＝74，b ＝1.(2)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218.C8 解三角形13．C8[2012·重庆卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.13.154 [解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c ＝2，所以b ＝c ，B ＝C ，所以sin B ＝sin C ＝1－cos 2C ＝154.15．C8、F3[2012·浙江卷] 在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.15．－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB→|·|AC →|·cos ∠BAC ＝－16.5．C8[2012·四川卷] 如图1－2，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.5155．B [解析] 法一：由已知，∠CED ＝∠BED －∠BEC ＝45°－∠BEC ，而结合图形可知tan ∠BEC ＝12， ∴tan ∠CED ＝tan(45°－∠BEC )＝1－121＋12＝13， ∴sin ∠CED ＝1010.法二：由已知，利用勾股定理可得DE ＝2，CE ＝5，又CD ＝1， 利用余弦定理得：cos ∠CED ＝2＋5－12×2×5＝31010， ∴sin ∠CED ＝1010.法三：同法二，得DE ＝2，CE ＝5，又CD ＝1，有S △CED ＝12CD ·AD ＝12，又S △CED ＝12CE ·ED sin ∠CED ＝102sin ∠CED ，对比得sin ∠CED ＝1010. 17．C8[2012·上海卷] 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定17．A [解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，所以三角形为钝角三角形．故选A.13．C8[2012·陕西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.13．2 [解析] 利用题目中所给的条件是三角形的两边和其夹角，可以使用余弦定理来计算，可知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4，故b ＝2.17．C8[2012·辽宁卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)(解法一)由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34. (解法二)由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C ＝34. 18．C8、C9[2012·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．18．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得，a ＝3，c ＝2 3. 16．C8[2012·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .16．解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.8．C8[2012·湖南卷] 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋394 8．B [解析] 本题考查三角形的余弦定理，意在考查考生对余弦定理的运用和解三角形问题的掌握；具体的解题思路和过程：先用余弦定理求出边c 的长度，再直接解直角三角形．由余弦定理得7＝c 2＋22－2×2c ×cos60° ，解得c ＝3，再由BC 边上的高构成的直角三角形中，得h ＝c ×sin B ＝3×32＝332 ，故选B.[易错点] 本题易错一：知道两边及一角，用正弦定理去做，难于找到突破口；易错二：利用余弦定理求出c 以后，不用解直角三角形，用等面积法，加大运算过程．8．C8[2012·湖北卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 8．D[解析] 因为a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，可得a ＝c ＋2，b ＝c ＋1①.又因为3b ＝20a cos A ，由余弦定理可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ②，联立①②，化简可得7c 2－13c －60＝0，解得c ＝4或c ＝－157(舍去)，则a ＝6，b ＝5.又由正弦定理可得，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.故选D.6．C8[2012·广东卷] 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.326．B [解析] 根据正弦定理得：BC sin ∠A ＝AC sin ∠B ，即32sin60°＝ACsin45°.解得AC ＝2 3.13．C8[2012·福建卷] 在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.13.2 [解析] 在△ABC 中，利用正弦定理得：AC sin45°＝BC sin60°⇒AC sin45°＝3sin60°⇒AC ＝3sin45°sin60°＝ 2. 17．C8[2012·全国卷] △ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足2b 2＝3ac ，求A .17．解：由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ，故sin A sin C ＝12.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12， 即cos A cos C －12＝－12， cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0， 所以A ＝90°或A ＝30°.11．C8[2012·北京卷] 在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．11.π2 [答案] 本题考查三角形中正弦定理(或余弦定理)以及三角形性质的应用． 法一：正弦定理：由正弦定理知a sin A ＝3sin π3＝b sin B ＝3sin B ，所以sin B ＝12，又a ＝3>b ＝3，所以A >B ，所以0<B <π3，得B ＝π6，故C ＝π－B －A ＝π－π6－π3＝π2；法二：余弦定理：由余弦定理可得a 2＝32＝c 2＋(3)2－2×c ×3cos π3，故c 2－3c －6＝0，所以c ＝2 3.再由正弦定理可得c sin C ＝23sin C ＝a sin A ＝3sin π3＝23，所以sin C ＝1，故C ＝π2.16．C7、C8[2012·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144，又由a sin A ＝csin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b ＞0，故解得b ＝1. 所以sin C ＝74，b ＝1.(2)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218. 17．C8、C5[2012·课标全国卷] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .17．解：(1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.16．C8、C5[2012·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．16．解：(1)(方法一)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(方法二)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc .于是b 2＋c 2－a 2＝bc .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)(方法一)因为AD 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.(方法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 17．C8、D3[2012·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .17．解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ， 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.C9 单元综合10. C9[2012·江西卷] 如图1－3，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止，设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图像大致是( )图1－10．A [解析] 在△OAB 中，由余弦定理得AB ＝12＋22－4cos30°＝5－2 3.当0<t <1时，由余弦定理可得f (t )＝12(2t 2)sin30°＝12t 2，其图像是一段开口向上的抛物线；设BDC 的长为l ，则当1≤t ≤l 3＋1时，S (t )＝ 12＋3(t －1)2AB ＝3t25－23＋12－35－232，其图像是一条线段；当t >l3＋1时，图像与横轴平行，故选A. 15．C9[2012·江苏卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．15．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →， 所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A <π，0<B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A .(2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2， 于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4. 18．C8、C9[2012·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．18．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得，a ＝3，c ＝2 3. 16．C9、F4[2012·山东卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．16．(2－sin2,1－cos2) [解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P 旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x 轴的交点为Q ，圆心为C 2，作C 2M ⊥y 轴于M, ∠PC 2Q ＝2，∠PC 2M ＝2－π2，∴点P 的横坐标为2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin2，点P 的纵坐标为1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos2.18．C9[2012·四川卷] 已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2·cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin2α的值．18．解：(1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12 ＝12(1＋cos x )－12sin x －12。

2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin47sin17cos30cos17-（）A．2-B．12-C．12D．22 ．（2012年高考（浙江文））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是3 ．（2012年高考（天津文））将函数()sin(0)f x xωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是（）A．13B．1 C．53D．24 ．（2012年高考（四川文））如图,正方形A B C D的边长为1,延长B A至E,使1A E=,连接E C、E D则sin C ED∠=（）A．10B．10C10D5 ．（2012年高考（上海文））在ABC∆中,若BA22sinsin+形状是（）A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.6 ．（2012年高考（陕西文））设向量a=(1.cosθ)与b=(-1, 2cosθ)垂直,则cos2θ等于A2B12C．0 D．-17 ．（2012年高考（山东文））函数2sin(09)63xy xππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（）A ．2-B ．0C ．-1D ．1--8 ．（2012年高考（辽宁文））已知s in c o s αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=（ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．19 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π410．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ） A ．-34B ．34C ．-43D ．4311．（2012年高考（湖南文））在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于 （ ）A ．2B ．2C 2D ．412．（2012年高考（湖北文））设A B C ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为 （ ） A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 13．（2012年高考（广东文））(解三角形)在ABC∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC=（ ）A ．B ．CD ．214．（2012年高考（福建文））函数()s i n ()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-15．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242516．（2012年高考（大纲文））若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ=（ ）A ．2πB ．23π C ．32π D ．53π17．（2012年高考（安徽文））要得到函数c o s (21)y x =+的图象,只要将函数c o s 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位二、填空题 18．（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____19．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______20．（2012年高考（福建文））在A B C ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则A C =_______.21．（2012年高考（大纲文））当函数s i n c o s (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____.22．（2012年高考（北京文））在△ABC 中,若3a =,b =3A π∠=,则C ∠的大小为___________. 三、解答题 23．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.24．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.25．（2012年高考（天津文））在A B C∆中,内角,,A B C所对的分别是,,a b c.已知2,cos4a c A===-.(I)求sin C和b的值; (II)求cos(2)3Aπ+的值.26．（2012年高考（四川文））已知函数21()cos sin cos2222x x xf x=--.(Ⅰ)求函数()f x的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10fα=求sin2α的值.27．（2012年高考（上海文））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图.24912xy=援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为t7.(1)当5.0=t时,写出失事船所在位置P的纵坐标.两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?28．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A xπω=-+(0,0Aω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x的解析式;(2)设(0,)2πα∈,则()22fα=,求α的值.29．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC中,内角,,A B C所对的边分别为,,a b c,已知s i n(t a n t a nB A CA C+=.(Ⅰ)求证:,,a b c 成等比数列; (Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .30．（2012年高考（辽宁文））在A B C ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.31．（2012年高考（课标文））已知a ,b ,c 分别为A B C ∆三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A =-.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,A B C ∆,求b ,c . 32．（2012年高考（江西文））△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA;(2)若a=3,△ABC 的面积为,求b,c.33．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.34．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈(1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.35．（2012年高考（广东文））(三角函数)已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求A 的值; (Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.36．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin 13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin 15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin 18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos 55sin(25)cos 55-︒+︒--︒︒Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.37．（2012年高考（大纲文））A B C ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .38．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.39．（2012年高考（安徽文））设A B C ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2s i n c o s s i n c o s c o ss i n B A A C A C =+(Ⅰ)求角A 的大小;(II) 若2b =,1c =,D 为B C 的中点,求A D 的长.2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数参考答案一、选择题1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin 17cos 30sin(3017)sin 17cos 30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x 轴上的伸缩变换,在x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,选A. 3.【解析】函数向右平移4π得到函数)4s i n ()4(s i n )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.4. [答案]B1010cos 1sin 10103EC ED 2CD-ECEDCED cos 1CD 5CB AB EA EC 2ADAEED 11AE ][22222222=∠-=∠=∙+=∠∴==++==+=∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abcb a C ,所以C 是钝角,选A.6. 解析:0a b⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.7. 解析:由90≤≤x 可知67363ππππ≤-≤-x ,可知]1,23[)36sin(-∈-ππx ,则2sin [2]63x y ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭, 则最大值与最小值之和为2-答案应选A.8. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈),∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.10. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 11. 【答案】B【解析】设A B =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos 60c c =+-⨯⨯⨯ ,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式11sin 22A B C S A B B C B B C h ==,知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯,解得2h =.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.12. D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数,且>>A B C ,可得a b c >>,所以2,1=+=+a c b c ①;又因为已知320c o s =b a A ,所以3c o s 20b A a=②.由余弦定理可得222c o s 2+-=b c aA bc③,则由②③可得2223202b b c aab c+-=④,联立①④,得2713600--=c c ,解得4=c 或157=-c (舍去),则6=a ,5=b .故由正弦定理可得,sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. 13.解析:B.由正弦定理,可得sin 45sin 60AC BC =︒︒,所以22AC==.14. 【答案】C【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.16.答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,.【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知,y 轴是函数()f x 图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈,而[]0,2ϕπ∈,故0k =时,32πϕ=,故选答案C.17. 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移12二、填空题 18. 【答案】4【解析】11,2,c o s4a b C ===,由余弦定理得22212cos1421244c a b a b C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin 4B ==.【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.19.解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.20.【解析】由正弦定理得sin 45sin 60AC AC =⇒=︒︒【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. 21.答案:56π【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.22. 【答案】2π【解析】222cos 2b c aA c bc+-=⇒=,而sin sin c a CA=,故sin 12C C π=⇒=.【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案. 三、解答题23. 【答案】:(Ⅰ)6πϕ=(Ⅱ)775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈,且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]44224. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【解析】(1)acosB,由正弦定理可得sin sin cos B A A B =,即得tan B =3B π∴=.(2) sinC=2sinA,由正弦定理得2c a=,由余弦定理2222c o sb ac a c B=+-,229422cos3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴==.25.解:(1)在A B C ∆中,由cos 4A =-,可得sin 4A =,又由s i n s i n a c AC=及2a =,c =可得sin 4C =由22222cos 20a b c bc A b b =+-⇒+-=,因为0b >,故解得1b =.所以sin 14C b ==(2)由cos 4A =-,sin 4A =,得23cos 22cos 14A A =-=-,sin 2sin cos 4A A A ==-所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin3338A A A πππ-++=-=26. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos2x sin2x cos 2--21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+=所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22，(2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα).所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-=257251814cos 212=-=+-=）（πα,[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 27. [解](1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =277=t ,代入抛物线方程24912xy =中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan∠OAP =30712327=+,得∠OAP =arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=tt v因为2212≥+tt ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船28.29.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=,sin sin()sin sin B A C A C+=,则2sin sin sin B A C =,再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c成等比数列.(II)若1,2ac ==,则22bac ==,∴2223cos 24a c bB ac+-==,sin 4C =,∴△ABC 的面积11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=.30. 【答案与解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴(2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B acac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.31. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.【解析】(Ⅰ)由sin sin c C c A =-及正弦定理得sin sin sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠,所以1sin()62A π-=,又0A π<<,故3A π=.(Ⅱ) A B C ∆的面积S =1sin 2bc A 故bc =4, 而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8,解得b c ==2. 法二:解: 已知:A c C a c cos sin 3⋅-⋅=,由正弦定理得:A C C A C cos sin sin sin 3sin ⋅-⋅=因0sin ≠C ,所以:AA cos sin 31-= ,由公式:()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=>++=+2,tan ,0sin cos sin 22πϕϕϕa b a x b a x b x a 得:216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA , A 是∆的内角,所以66ππ=-A ,所以:3π=A(2) 1sin 42S bc A bc ==⇔=2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=解得:2b c ==32. 【解析】(1)3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=-=-+=--=-则1cos 3A =.(2) 由(1)得sin 3A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c ab c A bc+-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 33. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上,所以s i n 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)22x x x =-+sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.34. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-++=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 6264πππλ=-⨯-=-=即λ=故5()2sin()36f x x π=--函数()f x 的值域为[22-+.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.35.解析:(Ⅰ)1cos cos 343642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =.(Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4c o s 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8c o s 17α==,3sin 5β==,所以()8415313c o s c o s c o s s i n s i n17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 36. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin 15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒=(2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos 30cos sin 30sin )sin (cos 30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+=37. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B ,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案.【解析】由 A.B.C 成等差数列可得2B A C =+,而A B C π++=,故33B B ππ=⇒=且23C A π=-而由223b ac=与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin3sin()sin 33B AC A Aππ=⇒⨯=-所以可得232223(s 433A A Aππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)2262AA A π-+=⇒-=,由27023666A A ππππ<<⇒-<-<,故266A ππ-=或5266A ππ-=,于是可得到6A π=或2A π=.38. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(s()sin x x xf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈.39. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=在R t A B D ∆中,2AD ===。

【山东省青岛市2012届高三期末检测文】9.已知函数()c o s (f x A x ωϕ=+(0,0,0A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．2-B ．2-C D ．【答案】D【山东省青岛市2012届高三期末检测文】18．（本小题满分12分）已知函数221()2(cos sin )122f x x x x =---，R x ∈,将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设三角形ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（Ⅰ）若c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B = ，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅ 的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）221()2(cos sin )12f x x x x =---12cos 21sin(2)126x x x π=--=-- …………………………………………1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666C πππ-∈-,所以262C ππ-=,所以3C π=……………………………3分由余弦定理知：222cos73a b ab π+-=，[来源:Z&xx&]因为sin 3sin B A =,由正弦定理知：3b a =……………………………………………5分 解得：3,1==b a …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由条件知()sin(2)16g x x π=+-所以()sin(2)106g B B π=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π=(cos m A = ，(1,sin )n A A =-于是1cos cos )cos sin()23226m n A A A A A A π⋅=+-=+=+ …… 8分5(0,)66B A ππ=∴∈ ,得 ),6(6πππ∈+A ……………………………………………10分 ∴ ]1,0()6sin(∈+πA ，即](0,1m n ⋅∈ …………………………………………………12分【山东省青岛市2012届高三期末检测文】3.已知tan()34πα+=，则αt a n 的值为[来源:学+科+网Z+X+X+K] A ．21 B ．21- C ．41D ．41-【答案】A【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】5.在ABC ∆中，解A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若,5,3,7===c b a 则角A 等于 A.32π B.65π C.43π D.3π 【答案】A【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】8.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像A.向左平行移动3π个单位长度 B.向右平行移动3π个单位长度 C.向左平行移动6π个单位长度D.向右平行移动6π个单位长度【答案】C【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】17.（本小题满分12分） 已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f（I ）求函数()x f 的单调增区间； （II ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f 的最大值及相应的x 值.【答案】17.解：（I ）()1cos 2cos sin 322-+=x x x x f x x 2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx ……………………………………………………2分 令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ……………………………………4分∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ……………6分（II ）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x ………………………8分 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时.………………………………10分()x f 取最大值，最大值为2.………………………………………12分【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】3. 已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为 A ．2524-B ．2512-C ．54- D ．2524 【答案】A【山东省莱芜市2012届高三上学期期末文】若31)tan(-=-απ，则αααα2c o sc o s s i n 22c o s +的值为 A.38 B.58 C.158 D.78- 【答案】C[来源:学科网] 【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】8. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>，，02πωϕ><，）的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是A ．()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R B ．()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RC ．()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R D ．()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R【答案】A【山东省济南一中2012届高三上学期期末文】17. （本小题满分12分）已知2()s i n (2)2c o s 16f x x x π=-+- （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()11 ,2 , 2a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.【答案】17. 解：（Ⅰ）因为()f x =2sin(2)2cos 16x x π-+-=12cos2cos222x x x -+12cos22x x +=sin(2)6x π+…………（3分） 所以函数()f x 的单调递增区间是[,36k k πππ-π+]（k Z ∈）……………（5分） (Ⅱ)因为()f x =12，所以1sin(2)62A π+=,又0A π<<，所以132666A πππ<+<，从而52,663A A πππ+==故…………（7分） 在ABC ∆中，∵ 1 , 2 , 3a b c A π=+== ∴1=b 2+c 2-2bc cos A ,即1=4-3bc .故bc =1………（10分）从而S △ABC =1sin 2bc A =…………（12分）【山东省莱芜市2012届高三上学期期末文】关于)42sin(3)(π+=x x f 有以下命题：①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)42cos(3)(π-=x x g 图象相同；③)(x f 在区间]83,87[ππ--上是减函数； ④)(x f 图象关于点)0,8(π-对称。