第二十八届广东“五羊杯”数学竞赛小学高年级组试题及答案

2016年第⼆⼗⼋届⼴东“五⽺杯”数学竞赛⼩学⾼年级组试题及答案2016年第⼆⼗⼋届⼴东“五⽺杯”数学竞赛⼩学⾼年级组试题（考试时间90分钟，满分100分）⼀、选择题（每⼩题3分，共30分） 1、以下哪个式⼦是正确的（）。

(A)1.2×3.4=12×3.4 (B)0.97×0.99>0.99 (C)1213<1314(D)1.1×1.1>1.12、已知数a 和数b 的最⼩公倍数是a ×b ，那么它们的最⼤公因数是（）。

(A)1 (B)a (C)b (D)ab3、在1：9000000地图上，A 、B 两地相距2厘⽶，早上⼋点，⼀辆车从A 地以50km/h 的速度开往B ，那么在（）时汽车到达B 地。

(A)11点 (B)11点30分 (C)11点36分 (D)11点45分 4、本学期前五次测验的平均分为92，第六次的测验成绩⽐六次测验成绩的平均分⾼5分，请问第六次的测验成绩是（）分。

(A)95 (B)97 (C)98 (D)99 5、钟⾯上3时（）分时，分针与时针所成⾓最⼩。

(A)15 (B)16 (C)17 (D)18 6、将⼀个⼤正⽅形分割成n 个⼩正⽅形（⼤⼩可以不同），请问n 不能等于以下哪个数？( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 7、下图由10个⼩正⽅形组成，△ABC 的⾯积为4，请问EC:CD=( )。

(A)23(B) 35(C) 34(D) 18、⼩红将99个糖果放⼊两种规格的盒⼦中，每个⼤盒可以放12颗糖果，每个⼩盒可以放5颗糖，如果要求装10个盒⼦以上，且每个盒⼦都装满，那么这些糖果正好装完，需要（）个⼩盒。

(A)6 (B)9 (C)12 (D)15 9、在下列乘法竖式中，乘积为五位数，每个“*”都代表⼀个数字，可以重复，其中P 的最⼤值是（）。

(A)5 (B)8 (C)7 (D)6 10、有四位⼩朋友，其中每三位⼩朋友的岁数之和分别为22、20、17、25，请问这四位⼩朋友中年龄最⼤的⽐年龄最⼩的⼤多少岁?（） (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 ⼆、填空题（每⼩题3分，共24分） 11、⽐较⼤⼩，填“>”或“<”：1111143122222864（）1111136122222724。

小学数学竞赛题库200道及答案(完整版)题目1：计算：1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 = ？答案：17题目2：一个数乘以8，然后除以2，结果是24，这个数是多少？答案：6题目3：有一堆苹果，平均分给7 个小朋友，每人分3 个，还剩2 个，这堆苹果一共有多少个？答案：23 个题目4：小明在计算除法时，把除数 5 看成了8，结果得到的商是6，余数是3，正确的商应该是多少？答案：9题目5：在一个减法算式中，被减数、减数与差的和是80，减数是18，差是多少？答案：22题目6：一个长方形的长是12 厘米，宽比长短3 厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？答案：108 平方厘米题目7：45 除以5 加上30 乘以2 的积，和是多少？答案：69题目8：某数加上5，乘以5，减去5，再除以5，结果还是5，这个数是多少？答案：1题目9：时钟3 点钟敲3 下，6 秒钟敲完，那么9 点钟敲9 下，多少秒钟敲完？答案：24 秒题目10：用0、1、2、3 能组成多少个不同的三位数？答案：18 个题目11：一桶水可灌3 壶水，1 壶水可以冲2 杯水，1 桶水可以冲几杯水？答案：6 杯题目12：学校买了4 个篮球和5 个排球，共用去570 元。

一个篮球80 元，一个排球多少元？答案：50 元题目13：有一个等差数列：2，5，8，11，······，101 是这个数列的第几个数？答案：34 个题目14：两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若把0 去掉，则与另一个加数相同，这两个数分别是多少？答案：62，620题目15：在一条长40 米的道路两边每隔5 米种一棵树（两端都种），一共要种多少棵树？答案：18 棵题目16：小明做一道乘法题时，把其中一个因数21 看成了12，结果得到的积比正确的积少1107，正确的积是多少？答案：2583题目17：一张长方形纸，长28 厘米，宽15 厘米，从这张纸上剪下一个最大的正方形，正方形的周长是多少厘米？答案：60 厘米题目18：一个数除以9，商和余数都是7，这个数是多少？答案：70题目19：鸡兔同笼，共有30 个头，88 只脚，鸡兔各有多少只？答案：鸡16 只，兔14 只题目20：同学们排队做操，每行站12 人，正好站4 行，如果每行站8 人，可以站多少行？答案：6 行题目21：一本书有240 页，小明第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的1/3，第三天应该从第几页开始看？答案：141 页题目22：一辆汽车从甲地开往乙地，前3 小时行了180 千米，照这样的速度，从甲地到乙地一共要5 小时，甲乙两地相距多少千米？答案：300 千米题目23：一个正方形的边长增加3 厘米，面积就增加39 平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米？答案：25 平方厘米题目24：甲乙两数的平均数是25，甲乙丙三数的平均数是27，丙数是多少？答案：31题目25：修一条长600 米的水渠，甲队单独修要12 天，乙队单独修要20 天，两队合修要多少天完成？答案：7.5 天题目26：果园里有苹果树和梨树共360 棵，苹果树的棵数是梨树的 3 倍，苹果树和梨树各有多少棵？答案：苹果树270 棵，梨树90 棵题目27：在一个周长为48 厘米的长方形中，长比宽多2 厘米，这个长方形的长和宽分别是多少厘米？答案：长13 厘米，宽11 厘米题目28：20 个同学平分一些练习本，后来又来了5 人，大家重新分配，每人分得的练习本比原来少2 本，这些练习本共有多少本？答案：200 本题目29：一个直角三角形的三条边分别是6 厘米、8 厘米和10 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？答案：24 平方厘米题目30：有5 箱苹果，每箱的个数都相等，如果从每箱中各拿出18 个，剩下的苹果个数正好等于原来2 箱苹果的个数，原来每箱苹果有多少个？答案：30 个题目31：一块长方形菜地的周长是184 米，它的长是宽的3 倍，这块菜地的长和宽各是多少米？答案：长78 米，宽26 米题目32：被除数、除数、商与余数的和是165，已知商是11，余数是5，被除数和除数各是多少？答案：被除数137，除数12题目33：小明从一楼走到三楼用了18 秒，照这样计算，他从一楼走到六楼要用多少秒？答案：45 秒题目34：一个等腰三角形的顶角是底角的4 倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？答案：底角30 度，顶角120 度题目35：一个长方形，如果长增加5 厘米，面积就增加20 平方厘米；如果宽减少3 厘米，面积就减少18 平方厘米。

高三数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()2i 1i 1z =−+，则z =（ ）A.B.C. 5D. 13【答案】B 【解析】【分析】先化简z 的表达式，然后求得z 的模. 【详解】()22i 1i 12i 2i 132i z =−+=−+=+，所以z .故选：B2. 已知抛物线2:2C y x =，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（ ）A. 4B.14C. 2D.12【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线方程求出p ，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线2:2C y x =可得212x y =， 所以122p =，14p =，故抛物线C 的焦点到准线的距离是14p =. 故选：B3. 等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A. 4:1 B. 6:1C. 7:1D. 9:1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S −，32k k S S −，43k k S S −， 成等比数列求解. 【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S −，96S S −成等比数列，设3S m =，则63S m =，则632S S m −=， 故633S S S −=96632S S S S −=−，所以964S S m −=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.4. 现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km ，上底面边长为4km ，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ） A.3112km 3B. 3112kmC.356km 3D. 356km【答案】A 【解析】【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中1AH OO =且1//AH OO .由1112,4,AB A B AA ===11AC A C =，又1AH OO =且1111//,AH OO OO AO ⊥，可得1AHO O 是长方形，则1OA O H =，所以1111A H O A O H =−=，4AH =，则，正四棱台的高4h =，下底面的面积1222S =×=，上底面的面积24416S =×=.于是正四棱台的体积(()121111241684333V S S h =++=×++×=. 故该水库的最大蓄水量为3112km 3. 故选：A.5. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y −+=所截得的弦长为2a ，则双曲线C 的焦距是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】求出圆心到渐近线的距离，根据圆的几何性质建立弦心距、半弦长、半径的方程即可求解 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay −=，则圆心()3,0到渐近线的距离3b dc ， 由圆的半径3r =及圆的几何性质可得2222222222222999939b c a a a d a a a c c c −=+=+=+=+−， 化简得2229a a c=，解得29c =，所以3,26c c ==， 故选：D6. 若函数()()2ln e 1xf x ax =+−是偶函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线斜率为（ ）A. 12−B. 0C.12D.32【答案】B 【解析】【分析】利用偶函数的定义可求得1a =，进而求得()y f x =在0x =处的导数，可得结论.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x −=，又易得函数()f x 的定义域是R ， 即()()22ln e1ln e 1xx ax ax −++=+−， 所以()()22222e 12ln e 1ln e1ln lne e 21x xxxx x x a −− +=+−+===+ ，所以2(1)0a x −=，又R x ∈，所以解得1a =，所以()()2ln e 1xf x x =+−，所以()2212e e 11xxf x ′=+− ，所以()202012e e 0101f ××′=−+= ， 所以曲线()y f x =在0x =处的切线斜率为0. 故选：B.7. 对于非空数集,A B ，定义(){},,AB x y x A y B ×=∈∈，将A B ×称为“A 与B 的笛卡尔积”．记非空数集M 的元素个数为M ，若,A B 是两个非空数集，则4A A B BA B×+××的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据A B ×、M 的定义对.【详解】设,A m B n ==，*,N ∈m n ，则22444A A B B m n m n A B mn n m ×+×+==+×4≥=， 当且仅当4,2m n m n n m==时等号成立， 所以4A A B BA B×+××的最小值是4. 故选：B8. 已知圆22:60M x y y +−=与圆()22:(cos )(sin )102πN x y θθθ−+−=≤≤交于,A B 两点，则ABM （M 为圆M 的圆心）面积的最大值为（ ）A.B.94C.D.92【答案】C【解析】【分析】求出两圆的半径，从而可得2AB ≤，因为AMB ∠为锐角，所以要使ABM 的面积最大，只要sin AMB ∠取得最大值即可，此时2AB =，解出ABM 的面积，即可得解.【详解】由题意得：()22:39M x y +−=，所以圆心()0,3M ，半径3r =，由两圆相交于,A B 两点可知：MA MB =3r ==，所以ABM 面积1sin 2ABMS MA MB AMB =××∠ 133sin 2AMB =×××∠ 9sin 2AMB ∠， 因为N 是半径为1的圆，所以2AB ≤， 当2AB =时，MN =，又MN=，1sin 3θ=，cos θ=|AAAA |可以取最大值2； 所以当2AB =时，AMB ∠最大，且是锐角，根据函数sin y x =的单调性可知：当2AB =时，sin AMB ∠最大，在ABM 中由余弦定理可得：222cos 2MA MB AB AMB MA MB+−∠=×222332233+−=××79=，所以sin AMB ∠=所以92ABM S≤ = 故选：C.【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找|AAAA |的最大值，从而确定面积的的最大值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市的排水等有着重要的影响．如图，这是,A B 两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．下列结论正确的是（ ）A. 这年上半年A 地月平均降雨量比B 地月平均降雨量大B. 这年上半年A 地月降雨量的中位数比B 地月降雨量的中位数大C. 这年上半年A 地月降雨量的极差比B 地月降雨量的极差大D. 这年上半年A 地月降雨量的80%分位数比B 地月平均降雨量的80%分位数大 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意将A 、B 地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：A 地月降雨量按升序排列可得：25,27,28,38,42,50， B 地月降雨量按升序排列可得：22,25,30,37,40,45， 对于选项A ：可知A 地月平均降雨量为252728384250356x +++++=，B 地月平均降雨量为22253037404519966y+++++=，因为x y >，所以这年上半年A 地月平均降雨量比B 地月平均降雨量大，故A 正确； 对于选项B ：A 地月降雨量的中位数为2838332+=，B 地月降雨量的中位数为303733.52+=， 因为3333.5<，所以A 地月降雨量的中位数比B 地月降雨量的中位数小，故B 错误； 对于选项C ：A 地月降雨量的极差为502525−=，B 地月降雨量的极差为452223−=， 因为2523>，A 地月降雨量的极差比B 地月降雨量的极差大，故C 正确； 对于选项D ：因为680% 4.8×=，可知A 地月降雨量的80%分位数为42，B 地月降雨量的80%分位数为40，且4240>，所以A 地月降雨量的80%分位数比B 地月平均降雨量的80%分位数大，故D 正确； 故选：ACD.10. 已知函数()sin 2cos f x x x =+，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2πB. 若直线0x x =是()f x 图象的对称轴，则0sin x =C. ()f x 在[]0,π上的值域为 −D. 若(],,0,2παβαβ≠∈，且()()2f f αβ==−，则()3cos 5αβ+=【答案】ACD 【解析】【分析】应用辅助角公式化简())f x x ϕ=+且sin ϕϕ=，不妨令π02ϕ<<，结合正弦型函数的性质、诱导公式、倍角余弦公式判断各项正误.【详解】由()sin 2cos )f x x x x ϕ=++且sin ϕϕ=，不妨令π02ϕ<<，由化简后的解析式，易知其最小正周期为2π，A 对； 若直线0x x =是()f x 图象的对称轴，则0ππ2x k ϕ+=+且Z k ∈，即0ππ2x k ϕ=+−，所以0πsin sin(π)cos 2x k ϕϕ=+−=±B 错； 由[]0,πx ∈，则0[,π]x ϕϕϕ+∈+，且π3π0ππ22ϕϕ<<<<+<，所以()min π)2f x ϕϕ+=−，()maxπ2f x ==，故值域为 − ，C 对；由题设，令())2f x x ϕ+=−，则(21)πx k ϕϕ+=++或2πk ϕ−，且Z k ∈， 所以(21)πx k =+或2π2k ϕ−，又(],,0,2παβαβ≠∈，不妨令π,2π2αβϕ==−，则()23cos cos()cos 253π212cos ϕϕϕαβ+==−−=−=，D 对.故选：ACD11. 在长方体1111ABCD A B C D −中，14,,AB AD AA E F ===分别是棱111,A D BB 的中点，G 是1A B 的中点，直线1C G 与平面ABCD 交于点P ，则（ ） A. 异面直线EF 与CDB. 点C 到平面DEFC. 三棱锥1P AAC −D. 四面体CDEF 外接球的表面积是34π 【答案】ACD 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出EF 与CD利用夹角的余弦公式计算后可判断A 的正误，利用向量法可求点C 到平面DEF 的距离后可判断B 的正误，求出P 的坐标后可计算三棱锥1P AAC −的体积，从而可判断C 的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D 的正误.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()((4,0,0,0,2,,4,C E F ，故()(4,0,0,4,2,DC EF ==，故cos ,DC EF =故异面直线,DC EF，故A 正确；因为(0,2,ED −−，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则由00n ED n EF ⋅= ⋅=可得20420y x y −−=+−=，取(1)n − ，而(0,CF = ，故点C 到平面DEF的距离是CF n n ⋅= B 错误；又(1(4,0,2,C G ，设(),,0P a b ，则((114,,,2,,PC a b GC =−−=−因为11,PC GC 共线，所以4224a b−−==−，故8,0b a ==，即()0,8,0P ， 故4AP =，且P 在y轴上，故1114432P AA C V −=××××=，故C 正确； 设四面体CDEF 外接球的球心为(),,O s t w ，则OCOD OF OE ===，即()2222224x y z x y z ++=−++；()()(22222244x y z x y z ++=−+−+−；()(2222222x y z x y z ++=+−+−，整理得到：2818412x y y = +=+=，故22x y z= = =故外接球的表面积为174π34π2×=，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知单位向量,a b满足|3|a b +，则a 与b 的夹角为______________．【答案】3π##60【解析】【分析】将等式|3|a b +两边平方即可.【详解】因为222|3|6913a b a a b b ++⋅+， 所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉= ，[],0π,3a b a b π∈= ，，．故答案为：3π.13. 一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______． 【答案】55126【解析】【分析】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从9名裁判员中选3人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率.【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数.因为男裁判员担任主裁判，所以先从5名男裁判员中选1名作为主裁判，有15C 5=种选法.后有两种情况.从4名女裁判员中选2名作为助理裁判，有244!C 62!(42)!==−种选法. 从4名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从4名男裁判员中选1名作为助理裁判，有144116C C =种选法.根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为5(616)110×+=种. 再计算从9名裁判员中选3人的总情况数.从9名裁判员中选3人作为裁判，总数为399873C 325232××=×=×种. 所求概率11055252126P ==. 故答案为：55126.14. 已知0x 满足 ()02000e ln 001xx x x +<<，则0003ln 1e x x x +−=_______． 【答案】3 【解析】【分析】原方程可化为01ln 001e ln e x x x x =，结合函数()e ,0x g x x x =>的单调性可得001ln x x =，故可求目标代数式的值.【详解】因为()02000e ln 001x x x x +<<，故001ln 0000111e ln ln e x x x x x x ==，因为001x <<，故011x >，所以01ln 0x >，设()e ,0x g x x x => 则()()1e 0xg x x =+>′，故()g x 在(0,+∞)上为增函数， 故001lnx x =，故001e x x =，且00ln x x =−，故00003ln 13ln e 3x x x x x +−=−=， 故答案为：3.【点睛】思路点睛：对于与指数、对数都出现的代数式，注意利用同构结合新函数的单调性进行转化.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()321342f x x a x ax =+−−+． （1）当6a =时，求()f x 的极值； （2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）极大值为14，极小值为12（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 的极值.（2）先求得ff ′(xx )，对a 进行分类讨论，从而求得()f x 的单调区间.小问1详解】【当6a =时，()()()()322364,3363212f x x x x f x x x x x =+−+=+−=+−′， 所以()f x 在区间()(),2,1,∞∞−−+上()()0,f x f x ′>单调递增， 在区间()2,1−上()()0,f x f x ′<单调递减，所以()f x 的极大值是()28612414f −=−+++=， 极小值为()31116422f =+−+=. 【小问2详解】()()321342f x x a x ax =+−−+，()()()233313a f x x a x a x x=+−−=−+′ ，当1,33aa −==−时，()()0,f x f x ′≥单调递增； 当1,33a a −><−时，()f x 在区间(),1,,3a ∞∞−−+上()()0,f x f x ′>单调递增， 在区间1,3a−上()()0,f x f x ′<单调递减. 当1,33a a −−时，()f x 在区间(),,1,3a ∞∞−−+ 上()()0,f x f x ′>单调递增，在区间,13a−上()(0,f x f x ′<单调递减. 综上：当3a =−时，ff (xx )在R 上单调递增； 当3a <−时，()f x 在区间(),1,,3a ∞∞−−+上单调递增，在区间1,3a − 上单调递减.当3a >−时，()f x 在区间(),,1,3a ∞∞−−+ 上单调递增，在区间,13a−上单调递减. 16. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()cos cos cos b c A a B C +=−． （1）证明：2A B =．（2）若ABC 是锐角三角形，求ba的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到sin()sin()A C A B +=−，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得π6π4B <<，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有12cos b a B=，即可求范围. 【小问1详解】由题设()()sin sin cos sin cos cos B C A A B C +=−， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos B A C A A B A C +=−，则sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C A B B A +=−，即sin()sin()A C A B +=−， 又πA C B +=−，则sin()sin sin()πB B A B =−−=，且,(0,π)A B ∈， 所以2B A B A B =−⇒=，得证. 【小问2详解】由题设π02π02ππ2A B A B <<<<<+<，即π022π02π3π2B B B<< << << ，得π6π4B <<，由sin sin 1sin sin 22cos b B B a A B B ===，而cos B ∈，故b a ∈. 17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，其中AB CD ∥，24,AB CD AD ===．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ．（2）若3PD =，求二面角B PA C −−的余弦值． 【答案】（1）证明见详解（2 【解析】【分析】（1）过D 作DE AB ⊥，垂足为M ，建系标点，利用空间向量可得AC BD ⊥，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥，即可证线面垂直；（2）根据题意分别求平面PAC 、平面PAB 的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】过D 作DE AB ⊥，垂足为M ，则33,3BE AE DE ====，因为AB CD ∥，则DECD ⊥，且PD ⊥平面ABCD ，如图所示，以D 为坐标原点，,,DE DC DP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()3,1,0,3,3,0,0,2,0,0,0,0A B C D −，可得()()3,3,0,3,3,0AC DB =−= ，因为9900AC DB ⋅=−++= ，则AC BD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则AC PD ⊥， 且BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PBD ，可得AC ⊥平面PBD ， 又因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBD . 【小问2详解】若3PD =，由（1）可知：()0,0,3P ，可得()()()0,4,0,3,1,3,3,3,0AB PA AC ==−−=−，设平面PAC 的法向量为mm ��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，则11111330330m PA x y z m AC x y ⋅=−−= ⋅=−+=， 令13x =，则113,2y z ==，可得()3,3,2m =， 设平面PAB 的法向量为nn �⃗=(xx 2,yy 2,zz 2)，则222233040n PA x y z n AB y ⋅=−−= ⋅==， 令21x =，则220,1y z ==，可得()1,0,1n =，则cos,m n m n m n⋅==⋅，由图可知二面角B PA C −−为锐二面角，所以二面角B PA C −−18. 已知()()2,0,2,0A B −，直线,AM BM 交于点M ，且直线,AM BM 的斜率之积为14−，点M 的轨迹记为曲线C ． （1）求C 的方程．（2）不过点()0,1N 的直线l 与C 交于,P Q 两点，且直线PN 与QN 的斜率之和为2，试问直线l 是否过【答案】（1）221(2)4x y x +=≠±（2）直线l 过定点(1,1)−−，理由见详解. 【解析】【分析】（1）设点(,)M x y ，利用14AM BM k k ⋅=−建立等量关系，求M 的轨迹方程. （2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和和两根之积，根据直线PN 与QN 的斜率之和为2得到参数的关系，可得直线恒过定点，当斜率不存在时，求点,P Q 的横坐标，可得直线过定点. 【小问1详解】设(,)M x y ，则(2)2AM y k x x =≠−+，(2)2BMyk x x =≠−，由题意得，1224AM BM y yk k x x ⋅=⋅=-+-，整理得221(2)4x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为221(2)4x y x +=≠±.【小问2详解】 设1122)(,),(,P x y Q x y ，当l 斜率存在时，设:(1)l y kx m m =+≠， 由2214y kx m x y =++=得，222(41)8440k x kmx m +++−=， ∴222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，即22410k m −+>，∴2121222844,4141km m x x x x k k −+=−=++， ∵直线PN 与QN 的斜率之和为2，∴1212112y y x x −−+=， ∴12211221212(1)(1)(1)()(1)22221kx m x kx m x m x x m kmk k x x x x m +-++--+-⋅=+=-=-，∴210m km k -+-=，整理得(1)(1)0m m k -+-=， ∵1m ≠， ∴1m k =−，∴直线l 方程为1(1)1y kx k k x +−+−，恒过定点(1,1)−−. 当直线l 斜率不存在时，1212,x x y y ==−，∵直线PN 与QN 的斜率之和为2，∴121112111111122y y y y x x x x x ------+=+==，∴11x =−，此时直线:1l x =−，恒过定点(1,1)−−. 综上得，直线l 过定点(1,1)−−.19. 某项测试共有n 道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记n 道题的总得分为,X X 的取值个数为n a ． （1）求123,,a a a 的值；（2）当5n =时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求10X =的概率； （3）求数列11n n a a +的前n 项和n S ． 【答案】（1）1233,6,9a a a === （2）11243（3）9(1)n nS n =+.【解析】【分析】（1）通过列举分析的方式确定123,,a a a 的值. （2）确定10X =时分两种情况，分别计算相加即可.（3）分情况讨论每种情况下总得分的取值个数，相加计算n a ，表示11n n a a +，用裂项相消法计算前n 项和.【小问1详解】当1n =时，总得分取值为5,2,0，13a =，的当2n =时，情况如下：①两题都得5分；两题都得2分；两题都得0分；②一题得5分，一题得2分； ③一题得5分，一题得0分；④一题得2分，一题得0分.233(21)6a =+⨯-=.当3n =时，情况如下：①三题都得5分；三题都得2分；三题都得0分； ②一题得5分，两题得2分；两题得5分，一题得2分； ③一题得5分，两题得0分；两题得5分，一题得0分；. ④一题得2分，两题得0分；两题得5分，一题得0分； ⑤一题得5分，一题得2分，一题得0分，总得分与②重复，333(31)9a =+⨯-=. 综上得，1233,6,9a a a === 【小问2详解】由题意得，每道题得5分、2分、0分的概率均为13. 当两题得5分，三题得0分时，10X =，概率为23251110C 33243 ××=， 当5个题得分均为2分时，10X =，概率为5113243=， ∴10X =的概率为10111243243243+=. 【小问3详解】当题目个数为(3)n n ≥时，①全部得5分，全部得2分，全部得0分，总得分取值个数为3，②当每个题目得分为5分和2分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ③当每个题目得分为5分和0分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ④当每个题目得分为2分和0分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ⑤当每个题目得分包含了5分、2分和0分时，总得分情况与②重复， ∴33(1)3(3)n a n n n =+-=≥，经检验得123,,a a a 均满足上式，.的∴3n a n =， ∴13(1)n a n +=+， ∴111111()9(1)91n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()(1)92231919(1)n n S n n n n =−+−++−=−= +++ . 【点睛】思路点睛：本题属于计数原理综合题目，具体思路如下： ①全部得5分，全部得2分，全部得0分，总得分的取值个数为3.②当题目个数为n 个，每个题目得分为5分和2分的一种时，要计算总得分的取值个数，相当于有n 个位置，在1n −个空中选择一个空放入挡板，个数为11n C −，其他情况可类比分析计算.③当每个题目得分包含了5分、2分和0分时，在②中能找到相同的总得分情况，需要排除.。

广东省广州市天河区棠下小学五年级数学竞赛试题及答案一、拓展提优试题1．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．2．某场考试共有7道题，每道题问的问题都只与这7道题的答案有关，且答案只能是1、2、3、4中的一个．已知题目如下：①有几道题的答案是4？②有几道题的答案不是2也不是3？③第⑤题和第⑥题的答案的平均数是多少？④第①题和第②题的答案的差是多少？⑤第①题和第⑦题的答案的和是多少？⑥第几题是第一个答案为2的？⑦有几种答案只是一道题的答案？那么，7道题的答案的总和是．3．如图，将一个等腰三角形ABC沿EF对折，顶点A与底边的中点D重合，若△ABC的周长是16厘米，四边形BCEF的周长是10厘米，则BC＝厘米．4．解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝，若10人需45分钟，20人需要20分钟，则14人修好大坝需分钟．5．（8分）如果两个质数的差恰好是2，称这两个质数为一对孪生质数．例如3和5是一对孪生质数，29和31也是一对孪生质数．在数论研究中，孪生质数是最热门的研究课题之一．华裔数学家张益唐在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就，他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究．在不超过100的整数中，一共可以找到对孪生质数．6．（8分）6个同学约好周六上午8：00﹣11：30去体育馆打乒乓球，他们租了两个球桌进行单打比赛每段时间都有4 个人打球，另外两人当裁判，如此轮换到最后，发现每人都打了相同的时间，请问：每人打了分钟．7．（8分）图中所示的图形是迎春小学数学兴趣小组的标志，其中，ABCDEF 是正六边形，面积为360，那么四边形AGDH的面积是．8．用1、2、3、5、6、7、8、9这8个数字最多可以组成个质数（每个数字只能使用一次，且必须使用）．9．如图，在梯形ABCD中，若AB＝8，DC＝10，S△AMD＝10，S△BCM＝15，则梯形ABCD的面积是．10．从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有个．11．如图，若每个小正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积是．12．如果2头牛可以换42只羊，3只羊可以换26只兔，2只兔可以换3只鸡，则3头牛可以换多少只鸡？13．用一根34米长的绳子围成一个矩形，且矩形边长都是整数米，共有种不同的围法（边长相同的矩形算同一种围法）．14．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是．15．（8分）有一个特殊的计算器，当输入一个数后，计算器先将这个数乘以3，然后将其结果是数字逆序排列，接着再加2后显示最后的结果，小明输入了一个四位数后，显示结果是2015，那么小明输入的四位数是．16．定义新运算：θa＝，则（θ3）+（θ5）+（θ7）（+θ9）+（θ11）的计算结果化成最简真分数后，分子与分母的和是．17．如图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点，那么阴影部分面积是空白部分面积的倍．18．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的数值相等，则a﹣b×c的值是．19．松鼠A、B、C共有松果若干，松鼠A原有松果26颗，从中拿出10颗平分给B、C，然后松鼠B拿出自己的18颗松果平均分给A、C，最后松鼠C把自己现有松果的一半平分给A、B，此时3只松鼠的松果数量相同，则松鼠C原有松果 颗． 20．一次数学竞赛中，某小组10个人的平均分是84分，其中小明得93分，则其他9个人的平均分是 分．21．用长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块 块．22．已知13411a b -=，那么()20132065b a --=______。

最新小学二年级数学竞赛试题一.选择题(共6题, 共12分)1.有21只小鸡, 放到3个笼子里, 要使每只笼子里的小鸡只数一样, 每个笼子里要放（）只小鸡。

A.6B.3C.7D.82.在□÷3=6……1这一算式中, 被除数是（）。

A.16B.17C.18D.193.42÷7的结果和（）是一样的。

A.35÷5B.36÷6C.32÷44.5（）20÷5A.＞B.＜C.＝5.用4.1.0、8这四个数字组成的最小四位数是（）。

A.1408B.4180C.40186.二年级有40人在操场上参加体育活动, 其中16人在拍球, 其余的同学平均分成4组在跳绳, 跳绳的每组有（）。

A.56人B.6人C.4人D.24人二.判断题(共6题, 共12分)1.除数是6, 被除数是30, 商是4。

（）2.一个算式里有括号的, 要先算括号里面的。

（）3.由100个百组成的数是100100。

（）4.小明向前走了3米, 是平移。

（）5.计算8×5和40÷8时, 用的口诀相同。

（）6.把35个苹果, 平均分给7个同学, 每个同学能分到4个苹果。

（）三.填空题(共8题, 共28分)1.把10个面包平均分成2份, 每份是________个。

把10个面包平均分成5份, 每份是________个。

2.填上“＞”“＜”或“＝”。

72÷8_______7 5×4_______10+10 7×7_______5063÷9_______63÷7 60秒_______1分钟 2时_______200分3.24÷8=3, 读作________, 被除数是________, 除数是________, 商是________。

4.直接写出商和余数。

（1）17÷3＝（）……（）（2）19÷9＝（）……（）5.拉抽屉的运动是（）现象, 乘坐海盗船时船的运动是（）现象。

2024年9月广东省广州市小升初数学历年思维应用题专训二卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。

一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。

)1.小明4天看完一本408页的故事书，妹妹每天比他少看10页，妹妹每天看多少页？2.五年级同学收集了360个饮料瓶，六年级同学比五年级多收集了20%，六年级同学收集了多少个饮料瓶？3.一个长方体，表面积是72.64平方分米，底面的面积是18.5平方分米，底面的周长是19.8分米．求这个长方体的体积．4.淘气家在某小区购买了一套面积83平方米的新房．经测量发现，两个卧室的面积和是41.3平方米，其他部分的面积一共是19.8平方米，那么他家住房的公摊面积是多少平方米．5.把甲堆货物的1/5放入乙堆．两堆货物相等．那么乙堆原有货物是甲堆的多少百分数，甲堆货物占甲乙的多少百分数？6.商店推出大酬宾活动：购物满198元，送100元购物券，凭购物券加上50元以上的现金可以购买商店里的任何商品．小明帮妈妈选了1件220元的羊毛衫，得到100元的购物券，然后又添80元买了一个皮包．请你算算，小明实际购物相当于打几折？7.有一块三角形麦地底45米，高86.2米，如果每公顷可收小麦4600千克，这块地共收小麦多少千克？8.师徒二人同时各加工144个布娃娃，师傅每小时可以加工18个，徒弟每小时加工16个．当两人都完成时，徒弟比师傅多用几小时？9.兄弟两人完成一项工程，共得工资1120元，哥哥工作了10天，弟弟工作了12天，并且哥哥工作5天的工资和弟弟工作4天的工资同样多，哥哥的工资是多少元？10.一个工厂今年二月份计划每天用水25吨，实际每天节省5吨，二月份实际用水多少吨？11.小明看一本630页的书，第一天看了全书的1/3，第二天看了31页，第三天从第242页看起．12.实验小学同学们为灾区小朋友献爱心．五年级55人，捐款330元；六年级56人，捐款616元．六年级平均每人比五年级多捐多少钱？13.建筑工地需要54吨水泥，先用拖拉机运16次，每次运1.5吨，剩下的改用卡车运，每次运5吨，还要运多少次？14.甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相向而行，5小时相遇，相遇时甲车比乙车多行20千米．已知甲、乙两车的速度比是3：2，A、B两地的路程是多少？15.小华看一本360页的科技书，4天看了它的2/9。

广东省广州市天河区先烈东路小学五年级数学竞赛试卷及答案_学科竞赛一、拓展提优试题1．某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方体的体积是665，则它的表面积是．2．（7分）对于a、b，定义运算“@”为：a@b＝（a+5）×b，若x@1.3＝11.05，则x＝．3．某数学竞赛有10道题，规定每答对一题得5分，答错或不答扣2分．A、B 两人各自答题，得分之和是58分，A比B多得14分，则A答对道题．4．如图，若长方形S长方形ABCD＝60平方米，S长方形XYZR＝4平方米，则四边形S四边＝平方米．形EFGH5．如图，将一个等腰三角形ABC沿EF对折，顶点A与底边的中点D重合，若△ABC的周长是16厘米，四边形BCEF的周长是10厘米，则BC＝厘米．6．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有个因数．7．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是．8．（8分）6个同学约好周六上午8：00﹣11：30去体育馆打乒乓球，他们租了两个球桌进行单打比赛每段时间都有4 个人打球，另外两人当裁判，如此轮换到最后，发现每人都打了相同的时间，请问：每人打了分钟．9．如图，在梯形ABCD中，若AB＝8，DC＝10，S△AMD＝10，S△BCM＝15，则梯形ABCD的面积是．10．同时掷4个相同的小正方体（小正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，则朝上一面的4个数字的和有种．11．如图，若每个小正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积是．12．用一根34米长的绳子围成一个矩形，且矩形边长都是整数米，共有种不同的围法（边长相同的矩形算同一种围法）．13．（15分）甲、乙两船顺流每小时行8千米，逆流每小时行4千米，若甲船顺流而下，然后返回；乙船逆流而上，然后返回，两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3小时中有多长时间甲、乙两船同向航行？14．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是．15．（8分）一个大于1的正整数加1能被2整除，加2能被3整除，加3能被4整除，加4能被5整除，这个正整数最小是．16．定义新运算：θa＝，则（θ3）+（θ5）+（θ7）（+θ9）+（θ11）的计算结果化成最简真分数后，分子与分母的和是．17．观察下面数表中的规律，可知x＝．18．A、B两桶水同样重，若从A桶中倒2.5千克水到B桶中，则B桶中水的重量是A桶中水的重量的6倍，那么B桶中原来有水千克．19．（7分）如图，按此规律，图4中的小方块应为个．20．一次数学竞赛中，某小组10个人的平均分是84分，其中小明得93分，则其他9个人的平均分是分．21．先将从1开始的自然数排成一列：123456789101112131415…然后按一定规律分组：1，23，456，7891，01112，131415，…在分组后的数中，有一个十位数，这个十位数是 ．22．（12分）甲、乙两人从A 地步行去B 地．乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：00才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过 分钟才能追上乙． 23．（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A ，B ，C 满足：①A +B +C ＝79 ②A ×A ＝B ×C那么，这个自然数是 ．24．已知13411a b -=，那么()20132065b a --=______。

数学竞赛专题训练精选100题及答案题目1：整数方程设a和b是满足以下方程的整数：5a+3b=25。

求a和b的所有整数解。

题目2：几何题在直角三角形XYZ中，∠Z为直角，XY=10，XZ=6。

点W是边XZ上的一个点，使得ZW=8。

求∠XWY的大小。

题目3：排列组合有8个不同的水果和4个不同的盘子，你打算将这些水果放在这些盘子中。

每个盘子至少有一个水果，一共有多少种不同的分配方式？题目4：函数问题考虑函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1。

求g(x)的最小值以及对应的x值。

题目5：概率题一枚硬币被抛掷3次。

计算至少2次出现正面的概率。

题目6：代数方程解方程：2x^2-5x-12=0。

题目7：几何问题在平面上，有一个正方形ABCD，边长为6。

点E在边AB上，离点A的距离为2。

点F在边BC上，离点B的距离为3。

求线段EF的长度。

题目8：概率问题一副扑克牌中随机抽取5张牌，计算至少有一对的概率。

题目9：代数方程解方程：3(x-2)=5(x+1)。

题目10：几何问题在直角三角形PQR中，∠R为直角，PQ=12，PR=15。

点S是边PQ上的一个点，使得QS= 8。

求∠PSR的大小。

题目11：整数方程设m和n是满足以下方程的整数：4m+7n=38。

求m和n的所有整数解。

题目12：几何题在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠A=120°。

求BD的长度。

题目13：排列组合有10个不同的音乐家，其中有5位小提琴手和5位钢琴家。

你打算在一排座位上让他们坐下，要求相邻的座位上不能坐同一种乐器的音乐家。

一共有多少不同的座位安排方式？题目14：函数问题考虑函数h(x)=x^2-6x+9。

求h(x)的最小值以及对应的x值。

题目15：概率题一副扑克牌中随机抽取7张牌，计算至少有两张牌相同点数的概率。

题目16：代数方程解方程：2(x+3)=4(x-1)。

题目17：几何问题在等腰三角形MNO中，∠N=∠O，NO=10，MN=6。