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复变函数 第一章 华科大

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华中科技大学《复变函数与积分变换》课程PPT——11 复数解读

华中科技大学《复变函数与积分变换》课程PPT——11 复数解读

变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形
映射以及解析函数在平面场的应用。 积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。
其中，带 “*” 号的内容本课堂不需要掌握。
4
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
第一章 复数与复变函数
复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八
世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人 的长期努力，复数的地位才被确立下来。 复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面
6
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
§1.1 复数
一、复数及其运算 二、共轭复数
7
§1.1 复数 第 一、复数及其运算 一 1. 复数的基本概念 P1 章 定义 (1) 设 x 和 y 是任意两个实数， 将形如 复 数 z x i y (或者 z x y i ) 与 的数称为复数。其中 i 称为虚数单位，即 i 1 . 复 变 函 (2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为： 数 x Re z , y Im z . (3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 8
12
§1.1 复数 第 二、共轭复数 一 2. 共轭复数的性质 P3 章 性质 (1) z z ; 复 数 (2) z1 z2 z1 z2 , 与 复 , , , ; 其中，“ ”可以是 变 函 (3) z z [Re z ]2 [Im z ]2 x 2 y 2 ; 数
11
§1.1 复数 第 二、共轭复数 一 1. 共轭复数的定义 P2 章 定义 设 z x i y 是一个复数， 复 数 称 z x i y 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 与 复 注 共轭复数有许多用途。 变 函 ( x1 i y1 ) ( x2 i y2 ) z1 z2 z1 比如 z 数 ( x 2 i y2 ) ( x 2 i y2 ) z2 z2 z2

复变函数ppt课件

复变函数ppt课件
为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)

《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2

r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2

z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y

复变函数第一章

复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n

复变函数第一章(第二讲)

复变函数第一章(第二讲)
z → z0
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。

复变函数第一章讲义

复变函数第一章讲义

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。

复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。

1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40x x -=的根。

他求出形式的根为55，积为25(15)40--=。

但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。

“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。

直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。

复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。

到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。

第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 ２、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域 ４、理解复变函数、极限与连续§１复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数,其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位.两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==.虚部为零的复数可看作实数。

因此，全体实数是全体复数的一部分.x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+．复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。

复变函数第一章-2


20
【例1.17】证明函数 f z [证] 令 z x iy 则 f z
由此得 u x, y
Re z z
x
当 z 0 时的极限不存在
x2 y2 x x y
2 2
v x, y 0
令z沿直线y=kx趋于零，则有
x 0 y kx
lim u x, y lim
x x2 y 2
x 0 y kx
lim
x 0
x
1 k x
2

2
1
1 k
2
显然，它随k的不同而不同，所以 lim u x, y 不存在 x 0
y 0
虽然 lim v x, y 0，但根据定理一， lim f z 不存在
则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z， 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数 w是复变数z的函数(简称复变函数)，记作
w f (z )

如果对每个zG，有唯一的w同它对应，则称w=f(z)为 单值函数. 否则称为多值函数 .
集合G称为f(z)的定义集合，即定义域；对应于G中所 有z的一切w值所成的集合G*，称为函数值集合，也称 为值域 .


没有重点的连续曲线C，称为简单曲线或Jordan曲线.
如果简单曲线C的起点与终点重合，即z(a)=z(b)，那么曲 线C称为简单闭曲线.
若尔当曲线定理 任意一条简单闭曲线将平面分为两个区域。它们都
以该曲线为边界。其中一个为有界区域，称为该简 单闭曲线的内部；另一个为无界区域，称为外部.
8
定义 复平面上的一个区域D，如果在其中任作一条简单闭曲

复变函数第1章重点.docx

第一章复数和复平面§1.1复数1.复数的概念复数z = a + ib或空=。

+仞，其中d和b为实数，i称为虚单位，即是满足r =-1.Q与“分别称为复数z的实部和虚部，记作Q二Rez, /? = Im乙■2.复数的向量表示和复平面根据复数相等的定义，任何一个复数z = a + ib f都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定；，有序实数对@0)与平面直角坐标系屮的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平而直角坐标系中的点集之间的对应.我们说点z(a,b),与复数z = a + ib表示同一意义.如果z = a + ib ,则z = a —ib.复数z = a + ib还可以用rtl原点引向点z的向量丞來表示，这种表示方式建立了复数集Q与平面向量所成的集合的一一对应(实数0与零向量对应).向量丞的 < 度称为复数z 的模，记为|z|或儿因此有|z| =厂=J/ > 0 (1.1) 显然,|Rez| 5|z| 5|Rez| + |lmz|, |lmz| <|z| W|Rez| + |lmz|・考虑复平面□的不为零的点z = x + iy .如图1.3所示，这个点有极坐标(r,&):x = “os0,y =A*sin&.显然厂=忖,&是正实轴与从原点0到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为& = Argz,英屮满足条件：一兀<05的值称为z = x + iy的主幅角,记为 6 = 6/rgz ,显然有 Argz = argz + 2k7T, k = 0,±l,±2,±3,…实部，虚部，模与幅角的关系：兀=厂cos&, y = rsin3 tan^ = —.|z| =厂=Jx 2 + 于V arctan —,x>0x y龙+ arctan —v 0,y > 0x y八--ZT +arctan —,x< 0,y < 06 = argz = x—,x = 0, y > 02 ”0,y<07T,x<0,y = 03.复数的运算设复数z, =a + ib,z 2 =c + id ,贝！J 由下式定义:加法:z 1 + z 2 = (a + c) + i(h + d) (1.2)减法:z }-z 2=(a- c) + i(b - d)a乘法:z }- z 2=ac + ihc + lad + rbd = (ac 一 hd) + i(hc +ad).除法 Z] _a + ib _(a + ib)(c-id) _ac + bd +jbc-ad z 2 c+ id (c + id)(c — id) c 2 +d 2 c 1 +d 2(1.4) (1-5)复数的模和共轨复数冇下面的性质:l)Rez = -(z + z), Imz =—(z-z);2 2i z — \----- _ _ __ _____ Z2)(z + vv) = z + zw = z iv; 一 \ /=二3工 0); w3)|zvv| = |z||w 心旦w |w|5)|z| = |z|.4.复数的三角表示和复数的方根 利用极坐标表示，攵数z 可以表示为 三角形式：z=r （cos 〃+rsin 〃）.指数形式：z = 4|z | z —,Arg =• = Argz,- Argz 2. \Z 2\ Z 2 设复数z =沁&从而有:z n = (r(cos^ + zsin 3))n = F'(cos0 + isin&)" = r n (cos nO + i sin nO) = r n c ine .|z"|=|z|",英中n 为正整数.当r=\吋,得棣莫拂(de Moivre)公式(cos 0 + i sin &))" = cos n0 + i sin nd. (1.15)复数的“次方根是复数〃次乘幕的逆运算.下面我们介绍复数的川次方根的定义和求法. 设z =卅是已知的复数，〃为正整数，则称满足方程of - Z的所有的复数血为z 的77次方根，并且记为CO — yfz .O)k =(^z )k =^ze ”, "0,1,2,…，介 1 (1.16)若记©二仏吩，则©可表示为 .2kn CO k — CO ()e n , ^=1,2, •••, /7-1 (L17)§1.2复平面点集我们研究的许多对象一一解析函数、保角变换等等问题，首先遇到的是定义域和值域的 问题，这些都是复平面上的一种点集。

复变函数一(第一章)

a,c,b,z构成一个圆内接
四边形或在同一侧
c
za ca 圆： Im( )0 z b cb
复数的乘幂：
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
z | z | (cos nArgz i sin nArgz)
n n
令z
n
z
n
| z | [cos( nArgz ) i sin( nArgz )]
则A'称为A在球面上的球极射影。
由于A(x,y,0), A' (x',y',u') ,N(0,0,1)三点共线，所以有
（x-0）:(y-0):(0-1)=( x'-0):( y'-0):( u'-1)从而有
( x' )2 ( y' )2 又 | z | zz (1 u' )2
2
x'iy' z x iy 1 u'
课程简介
课程名称 教 材 对 象 主要任务
主要内容
复变函数 《复变函数》(第四版)
复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系，具 体地就是复数域上的微积分。 复数与复变函数、解析函数、复变函 数级数、留数等。
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法 是实变函数在复数域内的推广和发展，它 们之间有许多相似之处。但又有不同之处， 在学习中要善于比较、区别、特别要注意 复数域上特有的那些性质与结果。
准备知识与参考书目
复数与多元函数知识
1、准备知识
微积分与级数知识
广义积分与曲线积分
2、参考书目
①《复变函数教程》 ②《复变函数》 ③ 《应用复分析》 方企勤 北京大学出版社 中国科学技术大学出版社 史济怀、刘太顺 任福尧 复旦大学

华中科技大学《复变函数与积分变换》-复习提纲


其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。 21
主要内容
复 变
四、计算定积分
函 数 与
3. I P( x) eiaxd x (a 0)
Q( x)
积
分 要求 (1) P(x) , Q(x) 为多项式，
变 换
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,
复 习
幂函数 w z e Lnz .
求导公式
f
( z )
u x
i
v x
.
28
主要内容
复 变
七、其它
函 数
柯西积分定理 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续，
与
积 分
则 C f (z)dz 0.
变
换 柯西积分公式 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续， 复
习
则
f (z)
积
分
的展开区域 )分为若干个解析环。
变
换 复
比如 设函数的奇点为 z1, z2 , z3 ,
习
展开点为 z0 , 则复平面
被分为四个解析环：
z1 r2 r1 z2 z0 r3
z3
16
主要内容
复 变
三、利用留数计算闭路积分
函 数
1. 计算留数
与 积
法则 若 z0为 f (z) 的 m 级极点，则
分
变
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
方法 设 R(z) P(z) , Q(z)
则 I
P( x) eiaxd x
Q( x)
2πi
k
Res[ R(z) eia z , zk ].
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复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
加减法与平行四边形
z1 z2
z2
法则的几何意义:
z2 z1
z1
乘、除法的几何意义:
本堂课的思考与要点： 1.复数与实数的本质区别；
2.两复数相等的充要条件；
3.复数辐角与辐角主值的定义； 4.习惯用模与辐角进行基本运算。
复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着 广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平 面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的 推广和发展 。
arg z 2kp arg z 2kp r cos i sin n n (k 0,1, , n 1)
几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。
p p 例2 求 1 i . [解] 因为 1 i 2 cos i sin , 4 4 p p 2 kp 2 kp 所以 4 1 i 8 2 cos 4 i sin 4 ,(k 0,1, 2,3) 4 4
2 ）开方: 若满足，wn 记为
n
z
则称w为z的n次方根，
n inArg w
w z . 于是 w e
ze
iArg z
w n z argz 2kp 推得 Argw n (k 0,1, 2, , n 1)

从而
w n z
1 n
n
z e
i
arg z 2 kp n
4
即 p p 8 w0 2 cos i sin , 16 16 9p 9p 8 w1 2 cos i sin , 16 16 17p 17p 8 w2 2 cos i sin , 16 16 w2 25p 25p 8 w3 2 cos i sin . 16 16 四个根是内接于中心在原点半径为 21/8的圆的正方形的四个顶点.
3
w1
y
1+i
2
8
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
w0 x
O
w3
2
1 i 1 i 练习 求复数 的模与辐角。 2 1 i 1 i
§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形
很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来 表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来 确定它所表示的平面图形. 例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的 方程来表示. [解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为


r z 1,
z e
i 2p 3
.
§1.2复数的运算
1 . 四则运算 设 z1 x1 iy1 ,
z2 x2 iy2
z1 z2 x1 x2 i( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 ( z2 0) 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
例4 求下列方程所表示的直角坐标系下的曲线:
z1 z2 z 2
1) 2) 3)
| z i | 2; | z 2i || z 2 |; Im(i z ) 4.
解：
1)
| z i | 2
y
设 z = x + i y , 方程变为
一对有序实数（ ）构成一个复数，记为
z x iy .
x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), i 1 . z x iy 称为 Z 的共轭复数。
两个复数相等
特别地， z
x iy 0 x y 0

他们的实部和虚部都相等
z1 r e 1
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个
复数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相
方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪
第一章 复数与复变函数
自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象. 由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有 的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复 变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法 奠定必要的基础.
§1.1复数及其表示法
与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小. 复数的表示法 1.代数形式 : z x iy 1)点表示 复数z x iy 复平面 XOY上点 z(x,y) 虚轴
y y
z(x,y)
复平面
0
x
实轴
x
2) 向量表示
y
y
复数z=x+iy 矢径z
z z=x+iy
z r
r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z)
p p
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
[解] 1)
i cos . 5 5 r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则
Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z与x和y的关系:
p p 说明：当 z 在第二象限时， arg z p p 0 2 2 y y p arctan tan( p ) tan(p ) tan x x y p arctan . x
例2：设 z1 1,
z2 i . 求： z1 z2
2
;
Argz1 z2 .
z 解： 1 z2 i e
i
p
;
Argz1 p 2np ,
Argz2
p
2
2mp ,
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1, 若取 m n 0 , 则 k 1.
x x1 t ( x2 x1 ), y y1 t ( y2 y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2-z1). (-<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
取
z=z1+t(z2z1). (0t1) 1 t 得知线段 z1 z2 的中点为 2
当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角 度Arg z1 .
y
z1 z2
r1r2
1
iz1
1 2
1
2
r2 r1
z2 z1
2z1
0 r2 r1r2 z2 z1 z1 z2 1 r1
1
x
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两边都 是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的 一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.
通
一．
知
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平时成绩（作业）20%；期末考试（闭卷）成绩 80%
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
n m ;
按照乘积的定义, 当z10时, 有
z2 z1 z2 z1 z2 z2 z1 z1 0 z1 Argz Arg z2 Argz 2 1 z1 z2 z2 z1 z1 z2 r2 i (2 1 ) e ; Arg z2 Argz Argz z1 r1 2 1 z1
y arctan x , z在第一、四象限 y p y p arg z p arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y p arctan x , z在第三象限
2.指数形式与三角形式 z x iy 利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin, 可以将z表示成三角表示式:z