高中数学苏教版选修2-1学业分层测评2.4.1 抛物线的标准方程含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是________．【解析】 ∵抛物线y ＝2x 2的标准方程是x 2＝12y ，∴2p ＝12，p ＝14，p 2＝18， ∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，182．抛物线y 2＝10x 的焦点到准线的距离是________． 【解析】 ∵2p ＝10，p ＝5，∴焦点到准线的距离为5. 【答案】 53．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且准线经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．【解析】 若抛物线的准线为x ＝－2，则抛物线的方程为y 2＝8x ；若抛物线的准线为y ＝－4，则抛物线的方程为x 2＝16y .【答案】 y 2＝8x 或x 2＝16y4．已知抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的坐标是________.【导学号：09390042】【解析】 设M (x 0，y 0)，把抛物线y ＝4x 2化为标准方程，得x 2＝14y . 则其准线方程为y ＝－116，由抛物线的定义，可知y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝1，得y 0＝1516，代入抛物线的方程，得x 20＝14×1516＝1564，解得x 0＝±158，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±158，1516.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫±158，15165．抛物线x 2＝2y 上的点M 到其焦点F 的距离MF ＝52，则点M 的坐标是________．【解析】 设点M (x ，y )，抛物线准线为y ＝－12，由抛物线定义， y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52，y ＝2，所以x 2＝2y ＝4，x ＝±2，所以点M 的坐标为(±2,2)．【答案】 (±2,2)6．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．【解析】 如图，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝3，CD ＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54，即C 到y 轴的距离为54.【答案】 547．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．【解析】 设动圆半径为r ，动圆圆心O ′(x ，y )到点(2,0)的距离为r ＋1.O ′到直线x ＝－1的距离为r ，∴O ′到(2,0)的距离与O ′到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．【解析】 由题意可求出线段OA 的垂直平分线交x 轴于点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x ＝－54.【答案】 x ＝－54 二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值．【解】 法一：由题意可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，因为点M 在抛物线上，且MF ＝5，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m 的值为±2 6.法二：由题可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p2，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5，则3＋p2＝5， ∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x . 又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±2 6.10．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程． 【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0.∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .[能力提升]1．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是________.【导学号：09390043】【解析】 圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知，只要FM >4即可．根据抛物线定义，FM ＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2.故y 0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．【解析】 因为抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，所以直线l的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，则△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x . 【答案】 y 2＝8x 或y 2＝－8x3．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．【解析】 由抛物线的定义得P 到抛物线准线的距离为d 1＝PF ，d 1＋d 2的最小值即为抛物线的焦点F (1,0)到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离的最小值，最小值为F 与圆心的距离减半径，即为4，故填4.【答案】 44．如图2-4-1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．图2-4-1(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米)【解】 如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以p＝5 2.所以该抛物线的方程为x2＝－5y. (2)设车辆高h，则DB＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.。

2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程1．掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点) 2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点))3．抛物线标准方程、准线、焦点的应用．(易错点[基础·初探]教材整理抛物线的标准方程阅读教材P例1以上的部分，完成下列问题.511．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )(2)抛物线的焦点位臵由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)抛物线的方程都是二次函数．( )(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负决定．( )【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√2．若抛物线的方程为x＝2ay2(a＞0)，则焦点到准线的距离p＝________. 【09390039】【解析】把抛物线方程化为标准形式：y2＝12ax，故p＝14a.【答案】1 4a3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．【解析】∵p2＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.【答案】x2＝－12y[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]，准线方程是________．(2)若抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________．【自主解答】 (1)抛物线2y 2－3x ＝0的标准方程是y 2＝32x ，∴2p ＝32，p ＝34，p 2＝38，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0，准线方程是x ＝－38.(2)抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)化为标准形式：x 2＝1ay ，当a>0时，则2p ＝1a ，解得p ＝12a ，p 2＝14a ，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 当a<0时，则2p ＝－1a ，p 2＝－14a.∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ，综上，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎪⎫38，0 x ＝－38 (2)⎝⎛⎭⎪⎫0，14a y ＝－14a求抛物线的焦点及准线步骤1．把解析式化为抛物线标准方程形式． 2．明确抛物线开口方向． 3．求出抛物线标准方程中p 的值． 4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．[再练一题]1．求抛物线y ＝－mx 2(m>0)的焦点坐标和准线方程．。

1．抛物线y 2＝－8x 的焦点到准线的距离为__________．2．以双曲线22143x y -=的右顶点为焦点的抛物线方程为__________． 3．在抛物线y 2＝2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为__________．4．抛物线y ＝ax 2的准线方程为12y =-，则a ＝__________. 5．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点的距离是5，则p 的值为__________．6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是__________．7．设P 是抛物线x 2＝2y 上的一点，若点P 到此抛物线的准线的距离为8.5，则P 点的坐标是______．8．圆心在抛物线y 2＝2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是__________．9．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ·AF ＝－4，求点A 的坐标．10．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直，又抛物线与双曲线交于点32⎛ ⎝，求抛物线和双曲线的方程．参考答案1. 答案：4 解析：由已知可得p ＝4，∴焦点到准线的距离为4.2. 答案：y 2＝4x 解析：∵双曲线22143x y -=的右顶点为(1,0)，即抛物线的焦点坐标为(1,0)，∴抛物线方程为y 2＝4x.3. 答案：2 解析：显然p ＞0，∴4＋2p ＝5，∴p ＝2. 4. 答案：12 解析：把方程y ＝ax 2化为标准方程得x 2＝1ay ，得准线方程为12y =-，∴1142a -=-，12a =. 5. 答案：4 解析：∵抛物线的焦点坐标为F ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴202p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋9＝25，∴p ＝4. 6. 答案：2 解析：如图所示，动点P 到l 2：x=－1的距离可转化为PF 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离2d ==.7. 答案：(±4,8) 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∵抛物线x 2＝2y 的准线为12y =-，∴y 0＋12＝8.5，∴y 0＝8，代入x 2＝2y 得x 02＝16，∴x 0＝±4.∴P 点的坐标为(±4,8).。

高中苏教选修（2-1）2.4抛物线水平测试题一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点(3)P m ，到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）Ａ．28x y =Ｂ．24x y = Ｃ．24x y =- Ｄ．28x y =答案：A2．抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于（ ） Ａ．15Ｂ．215 Ｃ．152 Ｄ．15答案：A3．抛物线方程为212y x =，则下列说法正确的是（ ）Ａ．抛物线通径长为5Ｂ．焦点在y 轴上Ｃ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6Ｄ．过此抛物线焦点的弦中最短的弦长为10答案：D4．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线22y x =的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PA PF +取得最小值时，点P 的坐标是（ ）Ａ．(00)，Ｂ．(11)， Ｃ．(22)， Ｄ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 答案：C5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点为1122()()A x y B x y ，，，，则关系式1212y y x x 的值一定等于（ ） Ａ．4Ｂ．4- Ｃ．4p Ｄ．4p -答案：B6．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于两点1122()()M x y N x y ，，，，若123x x p +=，则MN 的值为（ ）Ａ．2pＢ．4p Ｃ．6p Ｄ．8p答案：B二、填空题7．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122()()P x y Q x y ，，，两点，若126x x +=，则PQ 的值为 ．答案：88．如果过(0)A a ，和(0)B a ，两点的直线与抛物线223y x x =--没有交点，那么实数a 的取值范围是 ． 答案：134⎛⎫-- ⎪⎝⎭∞，9．设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点（0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 ． 答案：510．设抛物线24y x =被直线2y x b =+所截得的弦长为35，则b = ．答案：4-11．过点（2，4）的直线与抛物线28y x =只有一个公共点，则这样的直线共有 条．答案：212．一个正三角形的三个顶点都在抛物线24y x =上，其中一个顶点的坐标在原点，则这个三角形的面积是 ． 答案：483三、解答题13．（1）过抛物线22y mx =焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且6AB =，求m的值；（2）求焦点在直线240x y --=上的抛物线标准方程．解：（1）由题意可知AB 为抛物线的通径且6AB =，26m ∴=，即3m =±。

2.4.1 抛物线及其标准方程教材新知知识点一抛物线的定义入门答辩如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？新知自解抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.知识点二抛物线的标准方程入门答辩平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？新知自解抛物线标准方程的几种形式1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为2p 4(或－2p 4)，相应的准线是x ＝－2p 4(或x ＝2p4)；如果含的是y的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．热点考向考点一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．一点通求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．题组集训1．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16xC．y2＝8x D．y2＝－8x2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值；(2)求抛物线的焦点和准线方程．考点二抛物线定义的应用例2已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．一点通 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等． 题组集训3．点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．位置由F 确定4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B.3C. 5D.92考点三与抛物线有关的应用问题例3 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？一点通 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解． 题组集训5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25 cm B ．5.625 cm C ．20 cmD ．10 cm6．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值． 方法小结1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．——★ 参 考 答 案 ★——教材新知知识点一抛物线的定义 入门答辩问题1：提示：抛物线问题2：提示：是．AB 是直角三角形的一条直角边． 问题3：提示：|DA |＝|DC |. 新知自解 距离相等焦点准线 知识点二抛物线的标准方程 入门答辩问题1：提示：y 2＝4x . 问题2：提示：y 2＝－4x . 问题3：提示：x 2＝4y ，x 2＝－4y . 热点考向考点一求抛物线的标准方程例1 解：(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝x －2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题组集训 1．[答案]A[解析]由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上．由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .2．解：(1)法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p2，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋(3－p 2)2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p 2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5， 即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. (2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)， 准线方程是x ＝2. 考点二抛物线定义的应用 例2 解：∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．题组集训 3．[答案]B[解析]如图，抛物线的焦点为F (p 2，0)，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2.作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．4．[答案]A[解析]由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A (0,2)点，抛物线的焦点F (12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝|AF |＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.考点三与抛物线有关的应用问题例3 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米， ∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，∴无法通行． 又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔． 题组集训 5．[答案]B[解析]如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)．∵A (40,30)在抛物线上， ∴302＝2p ×40，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4524＝458＝5.625 (cm)．6．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ， 则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a ， 即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a4)>3，即a 4－0.82a>3. 解得a >12.21或a <－0.21(舍去)． ∴使卡车通过的a 的最小整数值为13.。

2．4.2 抛物线的几何性质双基达标 限时15分钟1．顶点在原点，焦点为F(32，0)的抛物线的标准方程是________． 解析 顶点在原点，焦点为F(32，0)的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px(p>0)，且p 2＝32， 故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x.答案 y 2＝6x2．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________． 解析 由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标都为－1，从而|AB|＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4.答案 43．焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程是__________．解析 焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程可设为x 2＝－2py(p>0)，可 得p ＝2，因此，所求抛物线的标准方程为x 2＝－4y.答案 x 2＝－4y4．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________．解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3.答案 y ＝35．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为____．解析 准线方程为y ＝－a 4，∴－a 4＝2，a ＝－8. 答案 －86．求合适下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p 2＝4，p ＝8.因此， 所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y.(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3， 0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，可得p 2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x. 综合提高 限时30分钟7．已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为2，则点P 的坐标为________．解析 由题意知，抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线的准线方程为y ＝－1.设点P(x 0，y 0)为抛物线上符合条件的点，则y 0＋1＝2，即y 0＝1.又x 2＝4y ，所以x 0＝±2.故P(2，1)或P(－2，1)．答案 (2，1)或(－2，1)8．直线l 过抛物线y 2＝ax(a ＞0)的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a ＝________．解析 由通径不变即得a ＝4.答案 49．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|＝43，则焦点到AB 的距离为________． 解析 设AB 方程为x ＝m ，则A(m ，4m)，B(m ，－4m)．故24m ＝43，∴m ＝3，焦点F(1，0)，故d ＝3－1＝2.答案 210．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析 ∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF|(F(1，0)为抛物线焦点)，所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2. 答案 211．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0与顶点在原点O 、焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．解 依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A(x 0，y 0)，B(x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝2px 0，x 02＋y 02－9x 0＝0.∴x 02＋(2p －9)x 0＝0. ①∵OA ⊥BF ，OA →·BF →＝0，即x 0(p 2－x 0)＋y 02＝0. 整理得，x 02－5p 2x 0＝0. ∴x 0＝52p. ②把②代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x.12．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若AF ＝4，求点A 的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1，0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，AF ＝x 1＋p 2， 从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3，23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y 2＝4x ， 消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2. 由抛物线的定义可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2>4. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1，2)，B(1，－2)， 此时AB ＝4，所以，AB≥4，即线段AB 的长的最小值为4.13．(创新拓展)顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA 所在的直线方程为y ＝2x ，斜边AB 的长为53，求抛物线方程．解：如图所示，设抛物线的方程为：y 2＝2px (p>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px 得：A ⎝⎛⎭⎫p 2，p .∵OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－12x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px得：B(8p ，－4p)，∵AB ＝53， ∴AB ＝ ⎝⎛⎭⎫8p －p22＋（p ＋4p ）2＝5 3.∴p ＝21339. ∴所求抛物线方程为y 2＝41339x.。

1.已知抛物线的准线方程是x ＝－7，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，准线方程是x ＝－p 2，则－p2＝－7，解得p ＝14，故所求抛物线的标准方程为y 2＝28x .答案：y 2＝28x2.抛物线y ＝1ax 2(a ≠0)的焦点坐标是________．解析：y ＝1ax 2(a ≠0)化为标准方程x 2＝ay ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4. 答案：⎝⎛⎭⎫0，a 4 3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：抛物线的准线为x ＝－p2，将圆的方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1⇒p ＝2.答案：2 4.(2010·高考上海卷)动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．解析：由题意知，点P 的轨迹是以点F (2，0)为焦点，以直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，得出抛物线方程为y 2＝8x ，即为所求．答案：y 2＝8x[A 级 基础达标]1.以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4，0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .故填y 2＝16x .答案：y 2＝16x2.抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的准线方程为________．解析：抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的焦点坐标及准线方程与a 的符号无关，只与焦点所在的坐标轴有关．∵抛物线的焦点在y 轴上，∴准线方程为y ＝－4a4，即y ＝－a .答案：y ＝－a3.抛物线y ＝12x 2的焦点到准线的距离为________．解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124，故焦点到准线的距离为124.答案：1244.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：如图，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝3.CD ＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54，即线段AB 的中点到y 轴的距离为54.答案：545.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 解析：设动圆圆心M 到直线l 的距离为d ，则MA ＝d .由抛物线的定义，M 的轨迹为抛物线，以A (3，0)为焦点、直线l 为准线，方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x6.(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m ，4)到其焦点的距离为174，求p 与m 的值．解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， ∴抛物线的方程为标准方程． 又∵点P (4，2)在第一象限，∴抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2＝2py (p >0)．当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2＝x ； 当抛物线为x 2＝2py 时，则有42＝2p ×2，故2p ＝8，x 2＝8y . 综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y .(2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p2，根据抛物线定义，点A (m ，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋p 2＝174，解得p ＝12；∴抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.7.抛物线的顶点是椭圆16x 2＋25y 2＝400的中心，而焦点是椭圆的右焦点，求此抛物线的方程．解：椭圆方程可化为x 225＋y 216＝1，c 2＝25－16＝9，c ＝3，故中心(0，0)，右焦点为(3，0)．设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝3，故p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝12x .[B 级 能力提升] 8.(2010·高考浙江卷)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，所以点B 到抛物线准线的距离为342.答案：3429.若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．解析：把双曲线x 23－16y 2p 2＝1化为标准形式x 23－y 2p 216＝1，故c 2＝3＋p 216，c ＝3＋p 216＝48＋p 24，左焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫－48＋p 24，0，由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－48＋p 24，又抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，所以－48＋p 24＝－p 2，解得，p ＝4或p ＝－4(舍去)．故p ＝4.答案：410.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x . 又双曲线x 2a 2－y2b2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴ 94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍去)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.11.(创新题)已知抛物线x 2＝4y ，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为(12，6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴的距离之和的最小值．解：将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36>6，所以点A 在抛物线外部．抛物线焦点为F (0，1)，准线l ：y ＝－1.如图所示，过P 点作PB ⊥l 于点B ，交x 轴于点C ，则P A ＋PC ＝P A ＋PB －1＝P A ＋PF －1.由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，P A ＋PF 的值最小，所以P A ＋PF 的最小值为F A ＝13，故P A ＋PC 的最小值为12.。